Tổng hợp phương trình, bất phương trình, hệ phương trình

Chuyên đề PT-BPT-Hệ PT – Luyện thi cấp tốc fb.com/Ad.theluc TỔNG HỢP PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH– HỆ PHƯƠNG TRÌNH (Trích Đề thi thử năm 2015 – 2016) Phần I.Giải phương trình II Giải bất phương trình 1.( Lần – THPT Anh Sơn – Nghệ An)  x x2   x2  x  1(1  x2  x  2) Giải: Bất phương trình cho tương đương : ( x x2   x2  x  x2  x  2)  (1  x2  x  1)   ( x  1)(2 x  x  2)  x(1  x) x x2   x2  x  x2  x   x2  x   ( x  1)( x2  x   0 x x x2   x2  x  x2  x   x2  x   ( x  1) A  (1) với A  x2  x  )0  x x x2   x2  x  x  x   x  x  2   x  x 1  x 1  x2  x  x2  x    x x2  Nếu x     x  x   x  x2  x  x  x   x x    A  Nếu x>0 , áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:  x2  x   x2  x   x2  x   x  x  x  x   2  2  x x2   x  x   x2   2  x2  x  x2  x   x x2   x2  x   A  1 x  x2  x  Tóm lại , với 0 ta có A>0 Do (1) tương đương x 1   x  Bikiptheluc.com - Bí kíp công phá THPT QG Chuyên đề PT-BPT-Hệ PT – Luyện thi cấp tốc fb.com/Ad.theluc Vậy tập nghiệm bất phương trình cho (1; ) Chú ý : Cách Phương pháp hàm số Đặt u  x  x   u  x  x  vào bpt cho ta có u  x  x  x x   u (1  u  1)  u2  u  u u2 1  x2  x  x x2 1 Xét f (t )  t  t  t t  ) f ' (t )  (t  t  1)  t   0t nên hàm nghịch biến R Do bpt  u  x  x  III Giải hệ phương trình 1.( Lần 3- THPT Lương Tài – Bắc Ninh) Giải: Pt(1)  x    a  x  Đặt  b   y 1  x  3 y  1  x  y   y 1 a  b a  2b    a, b   , (1) trở thành: a  2b2  ab  a  b    + a  2b 1  vô nghiệm a, b  + Xét a = b  y  x  thay vào (2) ta được:  x  3 x  3   x  1  x  2x  3  x 1     x  3 x  3   x  1  x  2x   x 3 x 1   x   y  5(tm)   x  3 x     x  1  x  2x  3 *    (*)     x   2    x     x  1    x  1     Xét hàm số f  t    t  2  t  2 , t  có Bikiptheluc.com - Bí kíp công phá THPT QG Chuyên đề PT-BPT-Hệ PT – Luyện thi cấp tốc Suy f t  đồng biến mà f  fb.com/Ad.theluc  x   f  x  1  x   x  x    x  3 y  x  3x   Vậy hệ phương trình có nghiệm:  3;5 2.(Lần – THPT Lê Lợi – Thanh Hóa) 2  2 x  y  xy  x  y   y  x    3x (1)    x  y   x  y   x  y  (2) Giải: Điều kiện : y  x   0,4 x  y   0, x  y   0, x   y  2x    x  0    * Xét trường hợp:  (Không thỏa mãn hệ) 3  x   y  1  10  * Xét trường hợp: x  1, y  Đưa pt (1) dạng tích ta được: x y2 ( x  y  2)(2 x  y  1)  y  x    3x   ( x  y  2)   y  x  1  Do y  x    y  x    x   y  2x    x  y   nên y  x    3x * Thay y   x vào pt (2) ta x  x   x    x 3x  2 x  x  x   x      x  ( x  2)( x  1)   3x     x    ( x  2)     x   x    3x     x   1 x  0) (vì x  nên 3x     x * x    x  2  y  (Thỏa mãn ĐK) Vậy hệ phương trình có nghiệm: ( x; y)  (2; 4) (Lần - THPT Sông Lô) Giải: Bikiptheluc.com - Bí kíp công phá THPT QG Chuyên đề PT-BPT-Hệ PT – Luyện thi cấp tốc Điều kiện : | x | fb.com/Ad.theluc (1)  2016 x ( x   x)  2016 y ( y   y )  x ln 2016  ln( x   x)   y ln 2016  ln[ (  y)   (  y)] Xét hàm số : f (t )  t ln 2016  ln( t   t ), t  R có : Do hàm số đồng biến R, x   y 2 Thay vào (2) ta có : 25 x  x x    Nếu x  18 x (3) x2  18 x 18 x  ,7 x   VT (3)  VP (3) (loại) x 1 18 25  9    x x x 1 Đặt t  (0  t  ) ta x Nếu x   25  9  4t  2t  18t  18t    12   2t   9  4t   t 1  t 1  36(t  2) (t  2)  2(t  2)  0 t 1  4t  t   36  2  (4)  t   4t   Vì   4t   12   t  Suy : x  36  9  36  VT (4)  0, t   0;  9t    4 1 ,y  2 Vậy hệ phương trình có nghiệm : 4.( Lần – THPT Chuyên Quang Diêu) Bikiptheluc.com - Bí kíp công phá THPT QG Chuyên đề PT-BPT-Hệ PT – Luyện thi cấp tốc 2  3x  2xy  2y  3x  2y   2  5x  2xy  5y  3x  3y   fb.com/Ad.theluc (1) (2) Giải: Nhân hai vế phương trình (1) với trừ theo vế cho (2), ta phương trình: 4x2  4xy  y2  6x  3y    2x  y   (2x  y)  3(2x  y)      2x  y  Nếu 2x  y  y  1 2x , thay vào (1) ta được: x   y  7x  5x    x   y    7 Nếu 2x  y  y   2x , thay vào (1) ta được:  x  1 y  7x  11x     x   y   7 5 3  6 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  0;1 ; 1; 0 ;  ;   ;  ;   7  7 ( Lần – Thuận Thành số – Bắc Ninh)   2x  y   3y   x  x  2y   x  x  3y  17  x   2x 3y   Giải: x    y   ĐK:   2x  y     x  2y  1  2 1  2x  y   x  3y   x  2y  * Nhận xét:  2x  y    x   2x  y   x   - Nếu  y   L     x  Bikiptheluc.com - Bí kíp công phá THPT QG Chuyên đề PT-BPT-Hệ PT – Luyện thi cấp tốc fb.com/Ad.theluc  x   3y  1   - Nếu  Thay vào PT(2) thấy không thỏa mãn  x  2y  y      3y   x  2y  x  y 1 x  y 1   0 2x  y   x 3y   x  2y x  y     2x  y   x  3y   x  2y + TH1: x  y    y  x  Thế vào PT (2) ta được: x  4x  14  x   2x 3x   (3) ĐK: x  (3)  6 x    x  16    x  3x    3x     x  4x   9x      x  4x      1   x   x  16 3x   3x   6x   3x   2   x  2   0  x   x  16 3x   3x     3x   2 0   x  2   x   x  16 3x   3x        x  (TM)  y  (TM)  + TH2:  2x  y   x  3y   x  2y   2x  y   3y   x  x  2y Ta có:    2x  y   x  3y   x  2y Trừ hai vế tương ứng hai phương trình ta được: x  3y   3y  x  Thế vào PT (2) ta được: x2  2x  16  x   2x x  PT(4)     x 7 3  x  x  (4) ĐK: x  0 Bikiptheluc.com - Bí kíp công phá THPT QG Chuyên đề PT-BPT-Hệ PT – Luyện thi cấp tốc fb.com/Ad.theluc  x     x  (vô lý)  PT vô nghiệm   x    x  x  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm: (x; y) = (2; 1) ( Lần – THPT Thuận Châu) Giải: Điều kiện: Xét phương trình: Đặt Từ phương trình được: ta phương trình: ta có thay vào phương trình Ta có: Xét hàm số Do hàm số đồng biến Bikiptheluc.com - Bí kíp công phá THPT QG ta Chuyên đề PT-BPT-Hệ PT – Luyện thi cấp tốc fb.com/Ad.theluc Từ Ta có: +) Với +) Với Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là: ( THPT Lệ Thủy – Quảng Bình)  x x  y  y  x  x3  x (1)    x  y  x   y ( x  1)  (2)  Giải: (x,y  R ) x  y  Đk:  (1)  x( x  y  x  x)  ( x  y )  x yx x y x x 2  x  y   ( x  y )( x  y  x  x  x)  Do x=y thay vào pt (2) : x  x  x   x( x  1)  Đặt t  x  x 1(t  0)  t  2x 1  x( x 1) Pt trở thành t2+1+2t=9 hay t2+2t-8=0 lấy t=2  x   x   25 x  x( x  1)   x   x 16 4 x  x  25  20 x  x  Vậy hệ có nghiệm nhất: (x;y)=( 25 25 ; ) 16 16 8.( THPT Hà Huy Tập – Khánh Hòa ) x   x  x    y    x  1 y  1  3x  x    x  1 y    x, y  R  Bikiptheluc.com - Bí kíp công phá THPT QG Chuyên đề PT-BPT-Hệ PT – Luyện thi cấp tốc fb.com/Ad.theluc Giải:  x  1 Điều kiện:   y  1 x3  x  x   y  2 1  x 1 x  x      x 1  x 1   x  1 y  1   x3  x  x  1  x  1 x 1   y  2 y   y 1  y 1 Xét hàm số f t   t  t R có f  t   3t 1  0t  R suy f(t) đồng biến R  x  Nên f   f  x 1    y 1  x  y  Thay vào (2) ta x 1 3x  x   x x     x  1  x  x     x 1    x  3  x  6x    x 1  x 1       13 x  x  x    3x      9 x  10 x   x2 1 Ta có y  x 1 ới x    y  43 ới x   13 41  13  y 72 C c nghiệm thỏa mãn điều kiện Vậy hệ phương trình có hai nghiệm   x; y      3;   13 41  13  43  ;  &  x; y      72   9.( Phan Bội Châu – Khánh Hòa)  (1)  xy   y x   2   y  2( x  1) x  x   x  x (2) Giải: Vì x2   x  x2  x | x |  x  0, x  R  x2  x  x  0, x  R Bikiptheluc.com - Bí kíp công phá THPT QG Chuyên đề PT-BPT-Hệ PT – Luyện thi cấp tốc Nên (1)  y ( x   x)   y  x 2x fb.com/Ad.theluc  x2   x Thế y  x2   x vào (2) :   x   x  2( x  1) x  x   x  x   x x   x  ( x  1) x  x    ( x  1) 1  ( x  1)    ( x) 1  ( x)   (*)     Xét hàm số f (t )  t (1  t  2) f '(t )   t   t2 t2   0, t  R  f đồng biến R (*)  f ( x  1)  f ( x)  x    x  x  Với x  1 1 y      Vậy nghiệm hệ phương trình   ;1  Bikiptheluc.com - Bí kíp công phá THPT QG