Chuyên đề PT-BPT-Hệ PT – Luyện thi cấp tốc fb.com/Ad.theluc TỔNG HỢP PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH– HỆ PHƯƠNG TRÌNH (Trích Đề thi thử năm 2015 – 2016) Phần I.Giải phương trình II Giải bất phương trình 1.( Lần – THPT Anh Sơn – Nghệ An) x x2 x2 x 1(1 x2 x 2) Giải: Bất phương trình cho tương đương : ( x x2 x2 x x2 x 2) (1 x2 x 1) ( x 1)(2 x x 2) x(1 x) x x2 x2 x x2 x x2 x ( x 1)( x2 x 0 x x x2 x2 x x2 x x2 x ( x 1) A (1) với A x2 x )0 x x x2 x2 x x x x x 2 x x 1 x 1 x2 x x2 x x x2 Nếu x x x x x2 x x x x x A Nếu x>0 , áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: x2 x x2 x x2 x x x x x 2 2 x x2 x x x2 2 x2 x x2 x x x2 x2 x A 1 x x2 x Tóm lại , với 0 ta có A>0 Do (1) tương đương x 1 x Bikiptheluc.com - Bí kíp công phá THPT QG Chuyên đề PT-BPT-Hệ PT – Luyện thi cấp tốc fb.com/Ad.theluc Vậy tập nghiệm bất phương trình cho (1; ) Chú ý : Cách Phương pháp hàm số Đặt u x x u x x vào bpt cho ta có u x x x x u (1 u 1) u2 u u u2 1 x2 x x x2 1 Xét f (t ) t t t t ) f ' (t ) (t t 1) t 0t nên hàm nghịch biến R Do bpt u x x III Giải hệ phương trình 1.( Lần 3- THPT Lương Tài – Bắc Ninh) Giải: Pt(1) x a x Đặt b y 1 x 3 y 1 x y y 1 a b a 2b a, b , (1) trở thành: a 2b2 ab a b + a 2b 1 vô nghiệm a, b + Xét a = b y x thay vào (2) ta được: x 3 x 3 x 1 x 2x 3 x 1 x 3 x 3 x 1 x 2x x 3 x 1 x y 5(tm) x 3 x x 1 x 2x 3 * (*) x 2 x x 1 x 1 Xét hàm số f t t 2 t 2 , t có Bikiptheluc.com - Bí kíp công phá THPT QG Chuyên đề PT-BPT-Hệ PT – Luyện thi cấp tốc Suy f t đồng biến mà f fb.com/Ad.theluc x f x 1 x x x x 3 y x 3x Vậy hệ phương trình có nghiệm: 3;5 2.(Lần – THPT Lê Lợi – Thanh Hóa) 2 2 x y xy x y y x 3x (1) x y x y x y (2) Giải: Điều kiện : y x 0,4 x y 0, x y 0, x y 2x x 0 * Xét trường hợp: (Không thỏa mãn hệ) 3 x y 1 10 * Xét trường hợp: x 1, y Đưa pt (1) dạng tích ta được: x y2 ( x y 2)(2 x y 1) y x 3x ( x y 2) y x 1 Do y x y x x y 2x x y nên y x 3x * Thay y x vào pt (2) ta x x x x 3x 2 x x x x x ( x 2)( x 1) 3x x ( x 2) x x 3x x 1 x 0) (vì x nên 3x x * x x 2 y (Thỏa mãn ĐK) Vậy hệ phương trình có nghiệm: ( x; y) (2; 4) (Lần - THPT Sông Lô) Giải: Bikiptheluc.com - Bí kíp công phá THPT QG Chuyên đề PT-BPT-Hệ PT – Luyện thi cấp tốc Điều kiện : | x | fb.com/Ad.theluc (1) 2016 x ( x x) 2016 y ( y y ) x ln 2016 ln( x x) y ln 2016 ln[ ( y) ( y)] Xét hàm số : f (t ) t ln 2016 ln( t t ), t R có : Do hàm số đồng biến R, x y 2 Thay vào (2) ta có : 25 x x x Nếu x 18 x (3) x2 18 x 18 x ,7 x VT (3) VP (3) (loại) x 1 18 25 9 x x x 1 Đặt t (0 t ) ta x Nếu x 25 9 4t 2t 18t 18t 12 2t 9 4t t 1 t 1 36(t 2) (t 2) 2(t 2) 0 t 1 4t t 36 2 (4) t 4t Vì 4t 12 t Suy : x 36 9 36 VT (4) 0, t 0; 9t 4 1 ,y 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm : 4.( Lần – THPT Chuyên Quang Diêu) Bikiptheluc.com - Bí kíp công phá THPT QG Chuyên đề PT-BPT-Hệ PT – Luyện thi cấp tốc 2 3x 2xy 2y 3x 2y 2 5x 2xy 5y 3x 3y fb.com/Ad.theluc (1) (2) Giải: Nhân hai vế phương trình (1) với trừ theo vế cho (2), ta phương trình: 4x2 4xy y2 6x 3y 2x y (2x y) 3(2x y) 2x y Nếu 2x y y 1 2x , thay vào (1) ta được: x y 7x 5x x y 7 Nếu 2x y y 2x , thay vào (1) ta được: x 1 y 7x 11x x y 7 5 3 6 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm 0;1 ; 1; 0 ; ; ; ; 7 7 ( Lần – Thuận Thành số – Bắc Ninh) 2x y 3y x x 2y x x 3y 17 x 2x 3y Giải: x y ĐK: 2x y x 2y 1 2 1 2x y x 3y x 2y * Nhận xét: 2x y x 2x y x - Nếu y L x Bikiptheluc.com - Bí kíp công phá THPT QG Chuyên đề PT-BPT-Hệ PT – Luyện thi cấp tốc fb.com/Ad.theluc x 3y 1 - Nếu Thay vào PT(2) thấy không thỏa mãn x 2y y 3y x 2y x y 1 x y 1 0 2x y x 3y x 2y x y 2x y x 3y x 2y + TH1: x y y x Thế vào PT (2) ta được: x 4x 14 x 2x 3x (3) ĐK: x (3) 6 x x 16 x 3x 3x x 4x 9x x 4x 1 x x 16 3x 3x 6x 3x 2 x 2 0 x x 16 3x 3x 3x 2 0 x 2 x x 16 3x 3x x (TM) y (TM) + TH2: 2x y x 3y x 2y 2x y 3y x x 2y Ta có: 2x y x 3y x 2y Trừ hai vế tương ứng hai phương trình ta được: x 3y 3y x Thế vào PT (2) ta được: x2 2x 16 x 2x x PT(4) x 7 3 x x (4) ĐK: x 0 Bikiptheluc.com - Bí kíp công phá THPT QG Chuyên đề PT-BPT-Hệ PT – Luyện thi cấp tốc fb.com/Ad.theluc x x (vô lý) PT vô nghiệm x x x Vậy hệ phương trình cho có nghiệm: (x; y) = (2; 1) ( Lần – THPT Thuận Châu) Giải: Điều kiện: Xét phương trình: Đặt Từ phương trình được: ta phương trình: ta có thay vào phương trình Ta có: Xét hàm số Do hàm số đồng biến Bikiptheluc.com - Bí kíp công phá THPT QG ta Chuyên đề PT-BPT-Hệ PT – Luyện thi cấp tốc fb.com/Ad.theluc Từ Ta có: +) Với +) Với Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là: ( THPT Lệ Thủy – Quảng Bình) x x y y x x3 x (1) x y x y ( x 1) (2) Giải: (x,y R ) x y Đk: (1) x( x y x x) ( x y ) x yx x y x x 2 x y ( x y )( x y x x x) Do x=y thay vào pt (2) : x x x x( x 1) Đặt t x x 1(t 0) t 2x 1 x( x 1) Pt trở thành t2+1+2t=9 hay t2+2t-8=0 lấy t=2 x x 25 x x( x 1) x x 16 4 x x 25 20 x x Vậy hệ có nghiệm nhất: (x;y)=( 25 25 ; ) 16 16 8.( THPT Hà Huy Tập – Khánh Hòa ) x x x y x 1 y 1 3x x x 1 y x, y R Bikiptheluc.com - Bí kíp công phá THPT QG Chuyên đề PT-BPT-Hệ PT – Luyện thi cấp tốc fb.com/Ad.theluc Giải: x 1 Điều kiện: y 1 x3 x x y 2 1 x 1 x x x 1 x 1 x 1 y 1 x3 x x 1 x 1 x 1 y 2 y y 1 y 1 Xét hàm số f t t t R có f t 3t 1 0t R suy f(t) đồng biến R x Nên f f x 1 y 1 x y Thay vào (2) ta x 1 3x x x x x 1 x x x 1 x 3 x 6x x 1 x 1 13 x x x 3x 9 x 10 x x2 1 Ta có y x 1 ới x y 43 ới x 13 41 13 y 72 C c nghiệm thỏa mãn điều kiện Vậy hệ phương trình có hai nghiệm x; y 3; 13 41 13 43 ; & x; y 72 9.( Phan Bội Châu – Khánh Hòa) (1) xy y x 2 y 2( x 1) x x x x (2) Giải: Vì x2 x x2 x | x | x 0, x R x2 x x 0, x R Bikiptheluc.com - Bí kíp công phá THPT QG Chuyên đề PT-BPT-Hệ PT – Luyện thi cấp tốc Nên (1) y ( x x) y x 2x fb.com/Ad.theluc x2 x Thế y x2 x vào (2) : x x 2( x 1) x x x x x x x ( x 1) x x ( x 1) 1 ( x 1) ( x) 1 ( x) (*) Xét hàm số f (t ) t (1 t 2) f '(t ) t t2 t2 0, t R f đồng biến R (*) f ( x 1) f ( x) x x x Với x 1 1 y Vậy nghiệm hệ phương trình ;1 Bikiptheluc.com - Bí kíp công phá THPT QG