So gan dung sai so trong phương pháp tính

SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ Bài giảng điện tử Nguyễn Hồng Lộc Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, môn Toán ứng dụng TP HCM — 2013 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2013 / 30 Số gần sai số Những khái niệm Những khái niệm Định nghĩa Độ sai lệch giá trị gần giá trị xác gọi sai số Định nghĩa Số a gọi số gần số xác A, kí hiệu a ≈ A (đọc a xấp xỉ A) a khác A không đáng kể dùng thay cho A tính toán Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2013 / 30 Số gần sai số Những khái niệm Định nghĩa Đại lượng ∆ = |a − A| gọi sai số thật số gần a Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2013 / 30 Số gần sai số Những khái niệm Định nghĩa Đại lượng ∆ = |a − A| gọi sai số thật số gần a Trong thực tế, số xác A, ta ước lượng đại lượng dương ∆a bé tốt thỏa điều kiện |A − a| ∆a gọi sai số tuyệt đối số gần a Chú ý Trong thực tế ta ký hiệu A = a ± ∆a Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2013 / 30 Số gần sai số Những khái niệm Định nghĩa Sai số tương đối số gần a so với số xác A đại lượng δa tính theo công thức |A − a| δa = |A| Chú ý Trong nhiều trường hợp, A ∆a ta thay δa = 100% |a| Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2013 / 30 Số gần sai số Những khái niệm Ví dụ Giả sử A = π; a = 3.14 Do 3.13 = 3.14 − 0.01 < π < 3.14 + 0.01 = 3.15, nên ta chọn ∆a = 0.01 Mặt khác, 3.138 = 3.14−0.002 < π < 3.14+0.002 = 3.142, ta chọn ∆a = 0.002 Như vậy, với giá trị gần đúng, có nhiều sai số tuyệt đối khác Trong trường hợp ta chọn giá trị nhỏ chúng Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2013 / 30 Số gần sai số Những khái niệm Ví dụ Vận tốc vật thể đo v = 2.8m/s với sai số tương đối δv = 0.5% Khi sai số tuyệt đối 0.5 2.8m/s = 0.014m/s ∆v = v δv = 100 Ví dụ Đo độ dài hai đoạn thẳng ta a = 10cm b = 1cm với ∆a = ∆b = 0.01cm 0.01 0.01 = 0.1%, δb = = 1% hay Khi δa = 10 δb = 10δa Từ suy phép đo a xác phép đo b ∆a = ∆b Như vậy, độ xác phép đo thể qua sai số tương đối Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2013 / 30 Số gần sai số Biểu diễn số thập phân Chữ số có nghĩa Mọi số thực a biểu diễn dạng thập phân hữu hạn vô hạn a = ±(αm αm−1 α1α0.α−1α−2 α−n ) = m ± αk 10k , m, n ∈ N, m 0, n 1, αm = 0, k=−n αk ∈ {0, 1, 2, , 9} Ví dụ 324.59 = × 102 + × 101 + × 100 + × 10−1 + × 10−2 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2013 / 30 Số gần sai số Biểu diễn số thập phân Một số viết dạng thập phân gồm nhiều chữ số Ví dụ 20.25 có chữ số, 0.03047 có chữ số Định nghĩa Những chữ số có nghĩa số chữ số số kể từ chữ số khác không tính từ trái sang phải Ví dụ Số 20.25 có chữ số có nghĩa Số 0.03047 có chữ số có nghĩa Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2013 / 30 Số gần sai số Biểu diễn số thập phân Định nghĩa Làm tròn số thập phân a bỏ số chữ số bên phải a sau dấu chấm thập phân để số a ngắn gọn gần so với a Quy tắc Để làm tròn đến chữ số thứ k sau dấu chấm thập phân, ta xét chữ số thứ k + sau dấu chấm thập phân αk+1 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2013 / 30 Xác định sai số hàm số biết sai số đối số Công thức tổng quát sai số Công thức tổng quát sai số Cho hàm số khả vi liên tục y = f (x1, x2, , xn ) giả sử biết sai số tuyệt đối ∆xi đối số xi (i = n) Gọi Xi , Y xi , y (i = n) giá trị xác giá trị gần đối số hàm số Khi |Y −y | = |f (X1, X2, , Xn )−f (x1, x2, , xn )| n n ∂f ∂f |Xi − xi | ∆xi Vậy sai số i=1 ∂xi i=1 ∂xi n ∂f tuyệt đối hàm số y ∆y = ∆xi ∂x i i=1 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2013 16 / 30 Xác định sai số hàm số biết sai số đối số Công thức tổng quát sai số Sai số tương đối hàm số y n ∂f ∆xi ∆y i=1 ∂xi = δy = |y | |f | n ∂ ln f (x1, x2, , xn ) ∆xi = ∂x i i=1 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2013 17 / 30 Xác định sai số hàm số biết sai số đối số Công thức tổng quát sai số Công thức tổng quát sai số Ví dụ Tính sai số tuyệt đối sai số tương đối thể tích hình cầu V = πd 3, biết đường kính d = 3.70cm ± 0.05cm π = 3.14 ± 0.0016 Xem π d đối số hàm số V , ta có 1 ∂V = d = × (3.70)3 ∂π 6 ∂V = πd = × (3.14) × (3.70)2 ∂d 2 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2013 18 / 30 Xác định sai số hàm số biết sai số đối số Vậy ∆V = Công thức tổng quát sai số ∂V ∂V ∆π + ∆d = × (3.70)3 × ∂π ∂d × (3.14) × (3.70)2 × 0.05 = 1.0882 Do V = π.d = 26.5084cm3 ± 1.0882cm3 1.0882 δV = = 0.0411 26.5084 0.0016 + Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2013 19 / 30 Xác định sai số hàm số biết sai số đối số Sai số tổng đại số Sai số tổng đại số Xét hàm số y = ±x1 ± x2 ± ± xn Khi ∂f = 1, (i = n) Do đó, sai số tuyệt đối ∂xi y ∆y = ∆x1 + ∆x2 + + ∆xn sai số tương ∆y đối y δy = |y | Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2013 20 / 30 Xác định sai số hàm số biết sai số đối số Sai số tổng đại số Ví dụ Tính sai số tuyệt đối sai số tương đối y = a + b + c với a = 47.132 ± 0.003; b = 47.111 ± 0.02; c = 45.234 ± 0.5 Sai số tuyệt đối y ∆y = ∆a + ∆b + ∆c = 0.003 + 0.02 + 0.5 = 0.523 Do Y = y ± ∆y = 139.477 ± 0.523 nên sai số ∆y = 0.0037 tương đối y δy = |y | Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2013 21 / 30 Xác định sai số hàm số biết sai số đối số Sai số tích Sai số tích Xét hàm số y = x1.x2 xn Khi ∂ ln y = , (i = n) Do đó, sai số tương ∂xi |xi | đối y δy = δx1 + δx2 + + δxn sai số tuyệt đối y ∆y = δy |y | Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2013 22 / 30 Xác định sai số hàm số biết sai số đối số Sai số tích Ví dụ Tính sai số tuyệt đối sai số tương đối y = a.b.c với a = 47.132 ± 0.003; b = 47.111 ± 0.02; c = 45.234 ± 0.5 ∆b ∆c ∆a , δb = , δc = , Ta có δa = |a| |b| |c| Sai số tương đối y δy = δa + δb + δc = 0.003 0.02 0.5 + + = 0.0115 47.132 47.111 45.234 Do sai số tuyệt đối y 0.003 0.02 0.5 ∆y = δy |y | = ( + + )× 47.132 47.111 45.234 (47.132 × 47.111 × 45.234) = 1159.2503 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2013 23 / 30 Bài tập Bài tập Bài Biết A có giá trị gần a = 3.5833 với sai số tương đối δa = 0.28% Ta làm tròn a thành a∗ = 3.58 Tính sai số tuyệt đối a∗ Giải Ta có ∆a∗ = ∆a + |a − a∗| = |a|δa + |a − a∗| = 0.0134 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2013 24 / 30 Bài tập Bài Làm tròn đến hai chữ số lẻ sau dấu chấm thập phân số biểu thức sau: a = 12.6724; b = 1.5476; c 12.8713; d 1.2354 Giải a = 12.6724 ⇒ a ≈ 12.67 b = 1.5476 ⇒ b ≈ 1.55 c 12.8713 ⇒ c 12.88 d 1.2354 ⇒ d 1.23 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2013 25 / 30 Bài tập Bài tập Bài Cho a = 7.1696 với sai số tương đối δa = 0.83% Tìm số chữ số đáng tin cách viết thập phân a Giải Chữ số đáng tin vị trí k thỏa : ∆a 12 10k ⇒ k log (2∆a ) = log (2|a|δa ) = −0.92 kmin = Có chữ số đáng tin Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2013 26 / 30 Bài tập Bài tập Bài Cho biểu thức f = x + xy + y 3.Biết x = 1.9501 ± 0.0050 y = 3.4740 ± 0.0083 Tính sai số tuyệt đối f Giải ∆f = |fx |∆x + |fy |∆y = |3x + y |∆x + |x + 3y 2|∆y = |3 ∗ 1.95012 + 3.4740| ∗ 0.0050 + |1.9501 + ∗ 3.47402| ∗ 0.0083 = 0.3912 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2013 27 / 30 Bài tập Bài tập Bài Cho a = 15.00±0.02, b = 0.123±0.001, c = 137±0.5 Hãy tính sai số tuyệt đối A=a+b+c B = 20a − 100b + c C = a + bc Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2013 28 / 30 Bài tập Giải A = a + b + c ⇒ ∆A = ∆a + ∆b + ∆c = 0.521 B = 20a − 100b + c ⇒ ∆B = 20.∆a + 100.∆b + ∆c = C = a + bc ⇒ ∆C = ∆a + |c|.∆b + |b|.∆c = 0.2185 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2013 29 / 30 Bài tập Bài Cho hàm f (x) = 3x − 2x + x = 1.234 ± 0.00015 Tính ∆f Giải Ta có f (x) = 15x − 4x ∆f = |f (x)|.∆x nên ∆f = |15 × (1.234)4 − × 1.234| × 0.00015 = 0.0045 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2013 30 / 30 [...]... đối số Sai số của tổng đại số Sai số của tổng đại số Xét hàm số y = ±x1 ± x2 ± ± xn Khi đó ∂f = 1, (i = 1 n) Do đó, sai số tuyệt đối của ∂xi y là ∆y = ∆x1 + ∆x2 + + ∆xn và sai số tương ∆y đối của y là δy = |y | Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2013 20 / 30 Xác định sai số của hàm số biết sai số của các đối số Sai số của tổng đại số Ví dụ 7 Tính sai số tuyệt đối và sai. .. δx1 + δx2 + + δxn và sai số tuyệt đối của y là ∆y = δy |y | Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2013 22 / 30 Xác định sai số của hàm số biết sai số của các đối số Sai số của tích Ví dụ 8 Tính sai số tuyệt đối và sai số tương đối của y = a.b.c với a = 47.132 ± 0.003; b = 47.111 ± 0.02; c = 45.234 ± 0.5 ∆b ∆c ∆a , δb = , δc = , Ta có δa = |a| |b| |c| Sai số tương đối của y là... 45.234 ± 0.5 Sai số tuyệt đối của y là ∆y = ∆a + ∆b + ∆c = 0.003 + 0.02 + 0.5 = 0.523 Do Y = y ± ∆y = 139.477 ± 0.523 nên sai số ∆y = 0.0037 tương đối của y là δy = |y | Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2013 21 / 30 Xác định sai số của hàm số biết sai số của các đối số Sai số của tích Sai số của tích Xét hàm số y = x1.x2 xn Khi đó ∂ 1 ln y = , (i = 1 n) Do đó, sai số tương... ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2013 18 / 30 Xác định sai số của hàm số biết sai số của các đối số Vậy ∆V = Công thức tổng quát của sai số 1 ∂V ∂V ∆π + ∆d = × (3.70)3 × ∂π ∂d 6 1 × (3.14) × (3.70)2 × 0.05 = 1.0882 2 1 Do đó V = π.d 3 = 26.5084cm3 ± 1.0882cm3 và 6 1.0882 δV = = 0.0411 26.5084 0.0016 + Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2013 19 / 30 Xác định sai số của hàm số biết sai số... GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2013 9 / 30 Số gần đúng và sai số Biểu diễn số thập phân Ví dụ 3 Làm tròn số π = 3.1415926535 đến chữ số thứ 4,3,2 sau dấu chấm thập phân nhận được các số gần đúng lần lượt là 3.1416; 3.142; 3.14 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2013 10 / 30 Số gần đúng và sai số Biểu diễn số thập phân Định nghĩa Sai số thực sự của a so với a được gọi là sai số làm... ∆xi Vậy sai số i=1 ∂xi i=1 ∂xi n ∂f tuyệt đối của hàm số y là ∆y = ∆xi ∂x i i=1 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2013 16 / 30 Xác định sai số của hàm số biết sai số của các đối số Công thức tổng quát của sai số Sai số tương đối của hàm số y là n ∂f ∆xi ∆y i=1 ∂xi = δy = |y | |f | n ∂ ln f (x1, x2, , xn ) ∆xi = ∂x i i=1 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP... | |f | n ∂ ln f (x1, x2, , xn ) ∆xi = ∂x i i=1 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2013 17 / 30 Xác định sai số của hàm số biết sai số của các đối số Công thức tổng quát của sai số Công thức tổng quát của sai số Ví dụ 6 Tính sai số tuyệt đối và sai số tương đối 1 của thể tích hình cầu V = πd 3, biết đường kính 6 d = 3.70cm ± 0.05cm và π = 3.14 ± 0.0016 Xem π và d là những đối... tròn Vậy θa = |a − a| Sai số tuyệt đối của a so với A được đánh giá như sau: |a − A| = |(a − a) + (a − A)| |a − a| + |a − A| θa + ∆a = ∆a Vì θa 0 nên ∆a ∆a Do đó sau khi làm tròn sai số tăng lên Vì vậy, khi tính toán ta tránh làm tròn các phép toán trung gian, chỉ nên làm tròn kết quả cuối cùng Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2013 11 / 30 Số gần đúng và sai số Biểu diễn số... mọi chữ số có nghĩa đều đáng tin Điều này có nghĩa là sai số tuyệt đối ∆a không lớn hơn một nửa đơn vị của chữ số cuối cùng bên phải 1 2 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2013 14 / 30 Số gần đúng và sai số Biểu diễn số thập phân Ví dụ a = 23.54 thì sai số tuyệt đối 1 −2 10 = 0.005, trong khi nếu viết ∆a 2 a = 23.5400 thì sai số tuyệt đối 1 −4 ∆a 10 = 0.00005 Cách này thường... 0.00005 Cách này thường dùng 2 để trình bày các bảng số Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2013 15 / 30 Xác định sai số của hàm số biết sai số của các đối số Công thức tổng quát của sai số Công thức tổng quát của sai số Cho hàm số khả vi liên tục y = f (x1, x2, , xn ) và giả sử biết sai số tuyệt đối ∆xi của các đối số xi (i = 1 n) Gọi Xi , Y và xi , y (i = 1 n) là các giá trị