Phuong trinh vi phan phương pháp tính

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Bài giảng điện tử Nguyễn Hồng Lộc Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, môn Toán ứng dụng TP HCM — 2013 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TP HCM — 2013 / 29 Các công thức sai phân Sai phân tiến Áp dụng công thức Taylor: f (xk+1 ) = f (xk ) + f (xk )(xk+1 − xk ) + o(xk+1 − xk ) ⇒ f (xk+1 ) ≈ f (xk ) + f (xk )(xk+1 − xk ) ⇒ f (xk ) ≈ f (xk+1 ) − f (xk ) xk+1 − xk Sai phân lùi Áp dụng công thức Taylor: f (xk ) = f (xk+1 ) + f (xk+1 )(xk − xk+1 ) + o(xk − xk+1 ) ⇒ f (xk ) ≈ f (xk+1 ) + f (xk+1 )(xk − xk+1 ) ⇒ f (xk+1 ) ≈ Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) f (xk ) − f (xk+1 ) xk − xk+1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TP HCM — 2013 / 29 Các công thức sai phân Sai phân hướng tâm Xét điểm cách xk−1 , xk , xk+1 h = xk+1 − xk = xk − xk−1 Áp dụng khai triển Taylor đến cấp 2: f (xk+1 ) = f (xk ) + f (xk ).h + f (xk ) h2 + o(h2 ) (1) f (xk−1 ) = f (xk ) − f (xk ).h + f (xk ) h2 + o(h2 ) (2) (1) − (2) ⇒ f (xk+1 ) − f (xk−1 ) = 2hf (xk ) + o(h2 ) ⇒ f (xk ) ≈ f (xk+1 ) − f (xk−1 ) 2h (1) + (2) ⇒ f (xk+1 ) + f (xk−1 ) = 2f (xk ) + h2 f (xk ) + o(h2 ) ⇒ f (xk ) ≈ Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) f (xk+1 ) − 2f (xk ) + f (xk−1 ) h2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TP HCM — 2013 / 29 Bài toán Cauchy Đặt vấn đề Nhiều toán khoa học kỹ thuật dẫn đến việc giải phương trình vi phân Bài toán đơn giản toán Cauchy y (x) = f (x, y (x)), y (a) = y0 a[...]... (1) = 1.2, y (1) = 1 1 x 1.8 Đưa về hệ phương trình vi phân cấp 1 Sử dụng công thức Euler,giải gần đúng phương trình vi phân trên đoạn [1; 1.8] với bước h = 0.2 Giải y (1.2) = 1.4000, Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) y (1.8) = 6.6665 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TP HCM — 2013 19 / 29 Bài toán biên tuyến tính cấp 2 Đặt vấn đề Các phương pháp tìm nghiệm gần đúng của phương trình vi phân thường đòi hỏi các điều kiện... / 29 Phương trình vi phân bậc cao Phương trình vi phân bậc cao y (x) = f1 (x)y + f2 (x)y + f3 (x), y (a) = α , y (a) = β a x b, Thực hiện đổi biến y = z ⇒ y ” = z , z(a) = y (a) = β Phương trình vi phân được chuyển về hệ:  y (x) = z(x), a x b,  z (x) = f1 (x)z + f2 (x)y + f3 (x), a x b,  y (a) = α , z(a) = β Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TP HCM — 2013 18 / 29 Phương trình vi phân... biên được cho ở 2 điểm có dạng   p(x)y (x) + q(x)y (x) + r (x)y (x) = f (x), a < x < b,  y (a) = α, y (b) = β với phương pháp sai phân hữu hạn Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TP HCM — 2013 20 / 29 Bài toán biên tuyến tính cấp 2 Phương pháp sai phân hữu hạn Phương pháp sai phân hữu hạn Chọn số tự nhiên bất kỳ n > 0 Chia đều đoạn [a, b] thành n đoạn bởi các điểm chia x0 = a, xk = x0... lượt áp dụng phương pháp (Euler,Euler cải tiến, Gunge-Kutta) cho mỗi phương trình,chú ý tính theo nghiệm y = [y1 (xk ), y2 (xk )]T theo thứ tự các nút xk từ thấp đến cao Ví  dụ nếu áp dụng phương pháp Euler, ta có:  y1 (xk+1 ) = y1 (xk ) + hf1 (x, y1 (xk ), y2 (xk )) y2 (xk+1 ) = y2 (xk ) + hf2 (x, y1 (xk ), y2 (xk ))  y1 (a) = y1,0 , y2 (a) = y2,0 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TP... 0.0000743 0.0000906 0.0001089 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TP HCM — 2013 15 / 29 Bài toán Cauchy Bài tập Bài tập Cho bài toán Cauchy y (x) = 3x + x sin(x + 2y ), y (1) = 2.4 x 1 Sử dụng công thức Runge-Kutta cấp 4 hãy xấp xỉ y (1.2) với bước h = 0.2 Giải y (1.2) = 3.1123 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TP HCM — 2013 16 / 29 Hệ phương trình vi phân Hệ phương trình vi phân   y1 (x) = f1 (x, y1... q2h )β PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN       TP HCM — 2013 23 / 29 Bài toán biên tuyến tính cấp 2 Ma trận 3 đường chéo Ma trận A ở trên là ma trận 3 đường chéo Để giải hệ phương trình trên thì ta dùng phương pháp phân rã LU   a11 a12 0 0 0  a21 a22 a23 0 0     0 a32 a33 0 0    A=     0 0 0 an−1,n−1 an−1,n  0 0 0 an,n−1 ann Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN... = fk h2 h2  ∀k = 1, 2, , n − 1 Đây chính là hệ phương trình đại số tuyến với A là ma trận  p1 q1 1 0 r1 − 2p + 2h h2 h2  p22 − q2 r2 − 2p22 p22 + q2 2h 2h h h h A=  0 0 0 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN tính cấp n − 1 : AY = B  0  0   2pn−1 rn−1 − h2 TP HCM — 2013 22 / 29 Bài toán biên tuyến tính cấp 2 Phương pháp sai phân hữu hạn Y = [y1 , y2 , , yn−1 ]T và... h2 Thay vào phương trình đã cho ta được yk+1 − 2yk + yk−1 yk+1 − yk−1 pk + qk + rk yk = fk , 2 h 2h ∀k = 1, 2, , n − 1 với pk = p(xk ), qk = q(xk ), rk = r (xk ) và fk = f (xk ) y (xk ) ≈ Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TP HCM — 2013 21 / 29 Bài toán biên tuyến tính cấp 2 Phương pháp sai phân hữu hạn Từ các điều kiện biên y0 = α, yn = β sau khi biến đổi ta thu được hệ phương trình... TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TP HCM — 2013 13 / 29 Bài toán Cauchy Công thức Runge-Kutta Ví dụ Sử dụng phương pháp Runge-Kutta bậc 4 để xấp xỉ nghiệm của bài toán Cauchy y (x) = y − x 2 + 1, 0 x 2, y (0) = 0.5 với n = 10 Tại những điểm nút chia so sánh giá trị gần đúng với giá trị chính xác, biết nghiệm chính xác của bài toán là y (x) = (x + 1)2 − 0.5e x Giải Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI. .. đầu nào đó Đối với phương trình vi phân bậc hai, ta cần 2 giá trị y (x0 ) và y (x0 ) Tuy nhiên, nhiều bài toán trong thực tế cho thấy điều kiện của hàm cần tìm được cho tại nhiều thời điểm khác nhau Vấn đề này dẫn tới vi c tìm nghiệm gần đúng của 1 dạng bài toán thứ hai được gọi là bài toán biên Trong phần này chúng ta chỉ xét bài toán biên của phương trình vi phân thường tuyến tính cấp hai với điều