khóa luận tốt nghiệp- Hệ phương trình đối xứng

- hệ phương trình đối xứng loại I. II. III, phương pháp giải hệ phương trình đối xứng - phân loại các dạng hệ phương trình đối xứng - ứng dụng của hệ phương trình đối xứng - các xây dựng bài toán từ hệ phương trình đối xứng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC TRỊNH THỊ THU HÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP NGÀNH SƯ PHẠM TOÁN HỌC Hà Nội - 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC TRỊNH THỊ THU HÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP NGÀNH SƯ PHẠM TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: ThS Hoàng Ngọc Minh Sinh viên thực khóa luận: Trịnh Thị Thu Hà Hà Nội - 2014 Lời cảm ơn Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này, trước tiên em xin gửi tới thầy giáo - ThS Hoàng Ngọc Minh lời cảm ơn chân thành sâu sắc Thầy trực tiếp hướng dẫn, bảo tận tình cho em suốt thời gian qua Em xin gửi lời cảm ơn tới thầy giáo, cô giáo, cán bộ, nhân viên trường đại học Giáo Dục, trường đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội không tạo điều kiện tốt cho em hoàn thành khóa luận mà tận tình dạy dỗ giúp đỡ em năm em học tập rèn luyện giảng đường đại học Nhân dịp này, em xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè động viên, khuyến khích tạo điều kiện cho em trình học tập thực khóa luận Mặc dù cố gắng song trình thực khóa luận em khó tránh khỏi thiếu sót hạn chế kiến thức, kinh nghiệm, thời gian tìm hiểu thực Em mong nhận ý kiến đóng góp thầy, cô bạn để em có nhìn sâu sắc đề tài Hà Nội, tháng năm 2014 Sinh viên Trịnh Thị Thu Hà Mục lục Hệ phương trình đối xứng loại I 1.1 1.2 Hệ phương trình đối xứng loại I 1.1.1 Phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại I 1.1.2 Các ví dụ Ứng dụng hệ phương trình đối xứng loại I 33 1.2.1 Dạng 1.2.2 Dạng n a + f (x) + n b − f (x) = c 2.2 33 √ √ √ a+c b+d n ax + b + n cx + d = n ex + f với = e f Hệ phương trình đối xứng loại II 2.1 37 41 Hệ phương trình đối xứng loại II 41 2.1.1 Phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại II 41 2.1.2 Các ví dụ 42 Ứng dụng hệ phương trình đối xứng loại II 49 √ 2.2.1 Dạng xn + b = a n ax − b 49 2.2.2 Dạng a + 2.2.3 Dạng 2.2.4 Dạng a + b(a + bxn )n = x 58 a+ √ 52 x=x √ n ax + b = c(dx + e)n + k , d = ac; e = bc + k 54 2.3 Xây dựng số phương trình giải cách đưa hệ đối xứng loại II 60 Một số phương pháp khác để giải hệ phương trình đối xứng loại I II 3.1 73 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số 73 3.1.1 Phương pháp 74 3.1.2 Các ví dụ 75 3.2 Phương pháp đánh giá 83 3.3 Phương pháp sử dụng đẳng thức 91 Danh mục từ viết tắt Từ viết tắt Ý nghĩa ĐK Điều kiện TH Trường hợp VP Vế phải VT Vế trái Mở đầu Lí chọn đề tài Hệ phương trình phần kiến thức Toán học- môn vốn phong phú đa dạng hệ thống dạng tập Đây nội dung kiến thức bắt buộc, lồng ghép xuyên suốt chương trình toán trung học dạng toán thường xuyên xuất kì thi học sinh giỏi, đề thi tuyển sinh cao đẳng, đại học Chính vậy, hệ phương trình thu hút quan tâm thầy cô giáo học sinh Cũng có nhiều sách báo, tài liệu viết đề tài Là giáo viên tham gia giảng dạy bô môn Toán tương lai, chưa có nhiều kinh nghiệm chưa có đủ độ hiểu biết sâu rộng kiến thức chuyên môn, em mạnh dạn định chọn đề tài "Hệ phương trình đối xứng" làm đề tài khóa luận tốt nghiệp cho mình, vừa để tự củng cố kiến thức cho thân, vừa có hệ thống đa dạng tập nội dung bạn đọc tham khảo, có thêm tài liệu phục vụ cho công tác giảng dạy sau Đề tài phân loại, hệ thống hóa số phương pháp giải hệ phương trình đối xứng Đồng thời đưa số dạng phương trình giải cách đưa hệ phương trình đối xứng Mục đích nghiên cứu Giúp học sinh nắm vững hệ thống dạng hệ phương trình đối xứng phương pháp giải tương ứng Qua học sinh vận dụng để giải toán đồng thời tự sáng tạo toán Đối tượng nghiên cứu Hệ phương trình đối xứng: • Hệ phương trình đối xứng loại I • Hệ phương trình đối xứng loại II Chủ yếu nghiên cứu hệ phương trình hai ẩn thường gặp chương trình Toán THPT Giả thuyết khoa học Có hệ thống phương pháp giải hệ phương trình đối xứng cách rõ ràng chi tiết giúp em học sinh dễ dàng việc giải toán hệ phương trình đối xứng đồng thời có niềm yêu thích với môn Toán học Phạm vi nghiên cứu Trong nội dung khóa luận mình, em tập trung nghiên cứu đến loại hệ phương trình đối xứng: • Hệ phương trình đối xứng loại I • Hệ phương trình đối xứng loại II Trong nội dung khóa luận mình, em tập trung nghiên cứu tới loại hệ phương trình đối xứng : • Hệ phương trình đối xứng loại I • Hệ phương trình đối xứng loại II Nhiệm vụ nghiên cứu Hệ thống hệ phương trình đối xứng theo dạng đưa phương pháp giải cho dạng, đồng thời vài ứng dụng hệ phương trình đối xứng để học sinh thấy mối liện hệ chặt chẽ phần Toán học Phương pháp nghiên cứu Sưu tầm sách, báo, tài liệu hệ phương trình đối xứng, đọc hiểu lý thuyết liên quan, tìm hiểu dạng bài, ví dụ, sau phân chia dạng, đưa phương pháp giải tương ứng chọn ví dụ minh họa phù hợp Cấu trúc khóa luận Cấu trúc khóa luận gồm phần Phần mở đầu Phần nội dung • Chương 1: Hệ phương trình đối xứng loại I • Chương 2: Hệ phương trình đối xứng loại II • Chương 3: Một số phương pháp khác để giải hệ phương trình đối xứng Phần kết luận Chương Hệ phương trình đối xứng loại I 1.1 Hệ phương trình đối xứng loại I Định nghĩa 1.1.1 Hệ phương trình hai ẩn x y gọi hệ phương trình đối xứng loại I ta thay đổi vai trò x y phương trình hệ không đổi Các biểu thức xuất hệ phương trình đối xứng loại I biểu thức đối xứng hai ẩn x, y Hệ phương trình đối xứng loại I có dạng: f(x,y)=0 g(x,y)=0 1.1.1 f (x, y) = f (y, x) g(x, y) = g(y, x) Phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại I Phương pháp thường sử dụng để giải hệ phương trình đối xứng loại I, sau: Bước • Đặt điều kiện toán( có) • Đặt S = x + y, P = xy ( ĐK: S − 4P ≥ 0) • Sử dụng tính chất đơn điệu hàm số (đã giới thiệu phần trên); • So sánh vế phương trình đoạn chia thích hợp; • Sử dụng bất đẳng thức Các ví dụ Ví dụ 3.2.1 Giải hệ phương trình √ x+ √ y=1 (1) √ x+ √ y=1 (2) Lời giải Từ phương trình (1) ta suy ra: Suy ra: Hay √ x √ √ x− 5x √ x, √ 0, y √ y √ √ y y− x 1, y Trừ theo vế hai phương trình hệ, ta thu được: √ √ √ √ ( x − x) + ( y − y) = Do vậy, ta suy dấu "=" xảy khi:   x=0        √   √  x= x x=1 ⇔  √  √  y=0 y = y         y=1 Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm (x, y) = (0, 1); (1, 0) Ví dụ 3.2.2 Giải hệ phương trình √ x + y − xy = √ √ x+1+ y+1=4 84 Nhận xét Đây hệ phương trình đối xứng loại I Có thể giải hệ phương trình trình cách bình phương hai vế phương trình, đặt ẩn phụ trình bày Chương Tuy nhiên, ta tham khảo phương pháp sử dụng bất đẳng thức sau: Lời giải Từ phương trình thứ ta có: x+y = √ xy + ≤ x+y +3⇒x+y ≤6 (1) Từ phương trình thứ hai ta có: √ √ x+1+ y+1≤ [(x + 1) + (y + 1)] = 2(x + y + 2) Từ (1) (2) suy ra: √ √ y+1≤4 x+1+ Suy dấu xảy va   x+y =6 ⇔x=y=3  x=y Kết luận: hệ phương trình có nghiệm (x, y) = (3, 3) Ví dụ 3.2.3 Giải hệ phương trình   x2 − y +  y − x = (1) x2 + y − x − y = (2) Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cop-xki, ta có: 85 (2) x2 − y + 2= y2 − x (1 + 1)(x2 − y + y − x) = (do x2 + y − x − y = 2) Dấu "=" xảy khi:  x2 −y = y2 −x⇔ x2 −y = y2 x=y − x ⇔ (x − y)(x + y + 1) = ⇔  y = −x − +  Với x = y ta có: x = y ⇔ x +x −x−x=2 + Với y = −x − 1, ta có:   x = y  x2 − x − = √ 1± ⇔x=y=  x =      y = −x −  y = −x −  y = −1  ⇔  ⇔     x = −1 x +x=0 x + (−x − 1)2 − x − (−x − 1) =    y = Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm (x, y) = √ √ 1+ 1+ ; 2 , √ √ 1− 1− ; 2 , (0; −1) , (−1; 0) Ví dụ 3.2.4 Giải hệ phương trình   x+√ y−1=1  y+√ x−1=1 Lời giải Điều kiện x ≥ 1, y ≥ Từ điều kiện toán, ta suy : x+ √ y − ≥ y + √ x−1≥1 Vậy dấu đẳng thức xảy x = y = Kết luận: hệ phương trình có nghiệm (x, y) = (1, 1) 86 Ví dụ 3.2.5 Giải hệ phương trình  √ x + x +  y+ √ y+ y+1=1 √ x+1=1 Lời giải ĐK: x ≥ 0, y ≥ Từ điều kiện hệ, ta suy ra: x+ y+ √ x+ y+1 √ √ y+ x+1 Đẳng thức xảy x = y = Kết luận: hệ phương trình có nghiệm (x, y) = (0, 0) Ví dụ 3.2.6 Giải hệ phương trình  4xy   = x2 + 2y  2x + √ x − 10x + 89    2y + 4xy y2 − 10y + 89 = y + 2x Nhận xét Ngay ta quan sát hệ nhận thấy, phương pháp trừ hay cộng theo vế không hiệu việc giải hệ phương trình đối xứng loại II này, cảm thấy khó khăn việc sử dụng tính đơn điệu hàm số Trở ngại ta thức cồng kềnh Tuy nhiên , quan sát kĩ biểu thức căn, ta thấy điểm cần ý đáng để nghĩ bậc ba có đẳng thức x2 − 10x + 89 = (x − 5)2 + 64 Ta giải toán theo hướng sau: Lời giải Cộng theo hai vế hệ phương trình ta thu được: 87 √ 4xy x2 − 10x + 89 + 4xy y − 10y + 89 = x2 + y Suy xy ≥ Sử dụng đánh giá: x2 − 10x + 89 = (x − 5)2 + 64 y − 10y + 89 = (y − 5)2 + 64 4xy + ⇒ √ x − 10x + 89 ⇒ x2 + y 2xy 4xy hay y − 10y + 89 xy + xy = 2xy (x − y)2 ≤ Suy x = y Thay x = y vào hệ phương trình ban đầu, ta có: 2x + √  ⇔  4x2 x2 − 10x + 89 = x2 + 2x x=0 x2 − 10x + 89 = 43 x=0⇒y=0 ⇔ x=5⇒y=5 Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm (x, y) = (0, 0); (5, 5) Ví dụ 3.2.7 Giải hệ phương trình − y2 = √ y + − x2 = x+ Nhận xét Đậy hệ đối xứng loại II Lời giải Cộng theo hai vế hệ phương trình ta thu được: x+ − y2 + y + 88 √ − x2 = (1) Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cop-xki, ta có sau: (x + − x2 )2 ≤ (1 + 1)(x2 + − x2 ) = ⇒ x + − x2 ≤ (y + − y )2 ≤ (1 + 1)(y + − y ) = ⇒ y + − y2 ≤ Cộng theo vế hai bất phương trình ta được: √ − x2 + y + x+ − y ≤ (2) Vậy từ (1) (2), suy (1) xảy dấu ” = ” xảy ra, tức là: x= √ − x2 ⇔ − y2 y= x=1 y=1 Kết luận: Vậy hệ phương trình có nghiệm (x, y) = (1, 1) Ví dụ 3.2.8 Giải phương trình √  2x − +  2y − + √ 4y − = 2x 4x − = 2y Lời giải ĐK: x ;y 4 Cộng hai phương trình hệ, ta có: √ 2x − + √ 4x − + √ √ 2y − + 4y − = 2x + 2y Ta có: √ 2x − + =x √ 4x − + + + 4x − =x √ √ ⇒ 2x − + 4x − 2x 2x − Dấu "=" xảy x = Tương tự, ta có: 89 √ 2y − + √ 4y − 2y Dấu "=" xảy y = Cộng theo vế hai bất phương trình trên, ta có được: √ 2x − + √ √ √ 4x − + 2y − + 4y − 2x + 2y Dấu "=" xảy x = y = Kết luận: hệ phương trình có nghiệm (x, y) = (1, 1) Ví dụ 3.2.9 Giải hệ phương trình  √  x + + √7 − y = (1)  √y + + √7 − x = (2) Lời giải ĐK:   −1 x −1 y  Cộng theo vế hai phương trình hệ, ta thu được: √ x+1+ √ 7−x+ √ y+1+ √ 7−y =8 Sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cop-xki, ta có: √ x+1+ √ 7−x (1 + 1) (x + + − x) = Dấu "=" xảy x = 3, và: √ y+1+ √ 7−y (1 + 1) (y + + − y) = Dấu "=" xảy y = Cộng theo vế hai bất phương trình trên, ta có: √ √ √ √ x+1+ 7−x+ y+1+ 7−y Dấu "=" xảy x = y = Kết luận: hệ phương trình có nghiệm (x, y) = (3, 3) 90 3.3 Phương pháp sử dụng đẳng thức Các ví dụ Ví dụ 3.3.1 Giải hệ phương trình x2 + y = (x + y)(1 + xy)2 = Lời giải Ta có : (x + y)(1 + xy)2 = ⇔ (x + y)(2 + 2xy)2 = 32 ⇔ (x + y)(x2 + y + 2xy)2 = 32 ⇔ (x + y)5 = 32 ⇔ (x + y) = Thay y = − x vào hệ phương trình ban đầu, ta có: x2 + (2 − x)2 = ⇔ 2x2 − 4x + = ⇔ x2 − 2x + = ⇔x=1 ⇒y=1 Kết luận: hệ phương trình có nghiệm (x, y) = (1, 1) Ví dụ 3.3.2 Giải hệ phương trình   x + y2 =  x5 + y = 11(x + y) 91 Lời giải Ta có: x5 + y = (x2 + y )(x3 + y ) − x2 y (x + y) = 5(x + y)(x2 − xy + y ) − x2 y (x + y) = (x + y)[5(5 − xy) − x2 y ] = (x + y)(−x2 y − 5xy + 25) Suy ra: (x + y)(−x2 y − 5xy + 25) = 11(x + y) ⇔ (x + y)(x2 y + 5xy − 14) =  x+y =0   ⇔  xy =  xy = −7 TH1: x + y =    x =        5  2   y=−  x + y = (x + y) − 2xy = x =   2 ⇔  ⇔ ⇔      x = −y  x+y =0 x+y =0 x = −       y = TH2: xy =  x=1⇒y=2      x = ⇒ y =  x + y2 =  (x + y)2 =  x + y = ±3  ⇔ ⇔ ⇔      x = −1 ⇒ y = −2 xy = xy = xy =   x = −2 ⇒ y = −1 TH3: xy = −7 92   x + y2 =  ⇔ xy = −7   (x + y)2 = −9  (vô nghiệm) xy = −7 Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm (x, y) = ,− − ; , ; (1, 2); (2, 1); (−1, −2), (−2, −1) Ví dụ 3.3.3 Giải hệ phương trình x3 + y + 2xy(x + y) = x5 + y + 30xy = 32 Lời giải Ta biến đổi phương trình hệ sau: x5 + y + 30xy = 32 ⇔ x5 + y + 5xy.6 = 32 ⇔ x5 + y + 5xy.(x3 + y + 2xy(x + y)) = 32 ⇔ (x + y)5 = 32 ⇔x+y =2 Thế x + y = vào hệ phương trình ban đầu, ta có: x3 + y + 2xy(x + y) = ⇔ (x + y)3 − (x + y).xy = ⇔ xy = Vậy suy x, y nghiệm phương trình X − 2X + = ⇔ x = y = Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm (x, y) = (1, 1) Ví dụ 3.3.4 Giải hệ phương trình 93 x2 + y + xy = x5 + y + 15xy(x + y) = 32 Lời giải Ta có đẳng thức: (x + y)5 = x5 + y + 5xy(x3 + y ) + 10x2 y (x + y) = x5 + y + 5xy(x + y)(x2 + y + xy) Thay x2 + y + xy = ta có : x5 + y + 5xy(x + y).3 = 32 ⇔ x5 + y + 5xy(x + y)(x2 + y + xy) = 32 ⇔ (x + y)5 = 32 ⇔x+y =2 ta có hệ: x+y =2 x2 + y + xy = ⇔ x+y =2 ⇔x=y=1 xy = Kết luận: hệ phương trình có nghiệm (x, y) = (1, 1) Ví dụ 3.3.5 Giải hệ phương trình   x + 3x2 y = 32  y + 3y x = 32 Lời giải Cộng theo vế hai phương trình, ta có: x3 + 3x2 y + 3y x + y = 64 ⇔ (x + y)3 = 64 ⇔x+y =4 94 Thế y = − x vào hệ ban đầu, ta thu được: x3 + 3x2 y = 32 ⇔ x3 + 3x2 (4 − x) = 32 ⇔ x3 − 6x2 + 16 = ⇔ (x − 2)(x2 − 4x − 8) =  x=2⇒y=2   √ √ ⇔  x = + 12 ⇒ y = − 12  x=2− √ 12 ⇒ y = + √ 12 Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm (x, y) = (2, 2); (2 + √ √ √ √ 12, − 12); (2 − 12, + 12) Ví dụ 3.3.6 Giải hệ phương trình   x + y2 =  x4 + y + 6x2 y + 20xy = 81 Lời giải Vì x2 + y = nên: x4 + y + 6x2 y + 20xy = 81 ⇔ x4 + y + 6x2 y + 4xy x2 + y = 81 ⇔ (x + y)4 = 81 ⇔ x + y = ±3 hay hệ phương trình ban đầu tương đương:      x2 + y =  (x + y)2 − 2xy =  xy =           x+y =3 x+y =3   x+y =3   ⇔ ⇔      x + y2 =   (x + y)2 − 2xy =   xy =          x + y = −3 x + y = −3 x + y = −3 95  x = 1, y =    x = 2, y =  ⇔   x = −1, x = −2   x = −2, y = −1 Kết luận: hệ phương trình có nghiệm (x, y) = (1, 2), (2, 1), (−1, −2), (−2, −1) 96 Kết luận Trong khuôn khổ khóa luận mình, em thực công việc sau: • Nhắc lại số kiến thức liên quan • Phân dạng hệ phương trình đối xứng loại I II thường gặp • Đưa phương pháp giải thông thường cho loại hệ • Đưa số phương pháp giải khác cho hệ phương trình đối xứng • Lấy ví dụ minh họa cho loại hệ phương trình phương pháp giải tương ứng, có nhận xét số ví dụ đặc biệt • Đưa ứng dụng hệ phương trình đối xứng loại I II • Trình bày cách xây dựng số phương trình giải cách đưa hệ đối xứng loại II Mặc dù cố gắng, song thiếu nhiều kinh nghiệm, thời gian chưa có vốn kiến thức chuyên môn vững vàng nên em tránh khỏi sai sót Em mong nhận đóng góp từ thầy cô để khóa luận em hoàn thiện cá nhân em có nhìn sâu sắc đề tài 97 Tài liệu tham khảo [1] Lê Hồng Đức,Phương pháp giải tự luận trắc nghiệm Toán Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ Nhà xuất Hà Nội [2] Lê Sĩ Đồng,Tam thức bậc hai ứng dụng Nhà xuất Giáo Dục, 2006 [3] Nguyễn Vũ Lương, Phạm Văn Hùng, Nguyễn Ngọc Thắng, Hệ phương trình phương trình chứa thức NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [4] Phan Huy Khải, Phương trình bất phương trình Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2011 98 [...]... nghiệm của phương trình X 2 − 6X + 9 = 0 ⇔ X = 3 ⇒ x = y = 3 Kết luận: Hệ đã cho có nghiệm (x, y) = (3, 3) Ví dụ 1.1.11 Giải hệ phương trình x2 + y 2 + xy = 1 x − y − xy = 3 Nhận xét Trong nhiều trường hợp, hệ phương trình ban đầu không có ngay dạng đối xứng loại I nhưng sẽ trở thành hệ đối xứng loại I sau một số phép biến đổi thích hợp Với hệ x2 + y 2 + xy = 1 x − y − xy = 3 , hệ phương trình này vốn... −5 ( thỏa mãn) (loại) P =8 Với S = 2, P = 1 thì x,t là nghiệm của phương trình: X 2 − 2X + 1 = 0 ⇔ (X − 1)2 = 0 ⇔ X = 1 ⇒ (x, t) = (1, 1) Kết luận: Hệ phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất (x, y) = (1, −1) Ví dụ 1.1.12 Giải hệ phương trình xy(x − y) = −2 x3 − y 3 = 2 Lời giải Tương tự ví dụ 1.1.11 Ta đưa hệ về dạng phương trình đối xứng loại I bằng cách đặt ẩn t = −y Ta thu được : −tx(x + t) =... , hệ phương trình này vốn không phải là hệ đối xứng loại I, nhưng nếu ta đặt t = -y; khi đó hệ phương trình đã cho trở thành x2 + t2 − tx = 1 x + t + tx = 3 Đây là một hệ đối xứng loại I theo x và t Lời giải 22 Đặt t = −y Hệ phương trình trở thành: x2 + t2 − tx = 1 (x + t)2 − 3tx = 1 ⇔ (1) x + t + tx = 3 x + t + tx = 3 Đặt S = x + t, P = xt (ĐK: S 2 − 4P ≥ 0) Hệ (1) trở thành: S 2 − 3P = 1 ⇔ S+P =3... x = 1 y=− 3 x+1 2 Kết luận: Hệ phương trình có hai nghiệm 1 1 (x, y) = (1, 1); (− , − ) 3 3 Ví dụ 1.1.8 Giải hệ phương trình 18  1 1  x + y + + = 4 x y 1 1   x2 + y 2 + 2 + 2 = 4 x y Lời giải ĐK: x = 0 , y = 0 Nhận xét: Ta nhận thấy rằng đây cũng là một hệ phương trình đối xứng loại I Nếu ta đặt theo cách thông thường S = x + y, P = xy , ta sẽ làm phức tạp bài toán, do hệ thu được không hề đơn... (thỏa mãn) Kết luận: hệ phương trình có nghiệm (x, y) = (4, 4) Ví dụ 1.1.17 Giải hệ phương trình   x√x + y √y = 2√xy  √x + √y = 2 Lời giải Điều kiện x ≥ 0; y ≥ 0 Đặt u = √ x, v = √ y, (u, v ≥ 0) Hệ phương trình trở thành:   u3 + v 3 = 2uv  u+v =2 Đặt S = u + v, P = uv (ĐK: S 2 − 4P ≥ 0 ) Ta được hệ: 29 S3 − 3SP = 2P S=2    8 − 8P = 0  S=2 ⇔ ⇔  S=2  P =1 u,v là nghiệm của phương trình:   ... tinh tế các phương trình của hệ để sau khi đặt ẩn ta thu được những hệ phương trình mới đơn giản hơn Ta tiếp tục xét các ví dụ tiếp theo dưới đây: Ví dụ 1.1.7 Giải hệ phương trình  3xy = x + y + 1  x2 y2 1 + = 2 2 (y + 1) (x + 1) 2 Lời giải 17 Biến đổi phương trình thứ nhất của hệ, ta có: 3xy = x + y + 1 ⇔ 4xy = (x + 1)(y + 1) ⇔ xy 1 = (x + 1)(y + 1) 4 Đặt x y+1 v = y x+1  u = Hệ đã cho trở thành:...• Đưa hệ phương trình đã cho về hệ phương trình mới theo ẩn S và P Bước 2: • Giải hệ mới này, tìm được nghiệm (S0 , P0 ) của hệ, với S0 , P0 thỏa mãn S0 2 − 4P0 ≥ 0 • Khi đó x, y cần tìm sẽ là nghiệm của phương trình X 2 − S0 X + P0 = 0 (theo định lý Vi-et đảo) Dưới đây là một số biểu thức đối xứng của x và y biểu diễn theo S và P: • x2 + y 2 = S 2... Đặt S = x + y, P = xy (ĐK: S 2 − 4P ≥ 0) Hệ phương trình trở thành:   SP = 2 ⇔ ⇔ ⇔  S(P 2 + P + 1) = 6    SP = 2 P 1   2 = P +P +1 3   SP = 2  2 P − 2P + 1 = 0  S = 2  P =1 Suy ra x, y là nghiệm của phương trình X 2 − 2X + 1 = 0 ⇔ X = 1 ⇒ x = y = 1 11 Kết luận: Vậy hệ phương trình có duy nhất một nghiệm (x, y) = (1, 1) Ví dụ 1.1.4 Giải hệ phương trình x4 + y 4 + x2 y 2 = 21 x2 + y 2 +... 6S 2 − 6S − 63 = 0  S=3 Suy ra x,y là nghiệm của phương trình:  x=2   X=1 2 X − 3X + 2 = 0 ⇔  ⇒   X=2 y=1  x=1 y=2 13 Kết luận: Hệ phương trình có hai nghiệm (x, y) = (1, 2); (2, 1) Nhận xét Tuy hệ phương trình trên hoàn toàn có thể giải được theo cách đặt ẩn thông thường; nhưng nếu chú ý quan sát ta có thể nhận thấy ở phương trình đầu của hệ xy + x + y + 1 = (x + 1)(y + 1) Với quan sát này,... x+1=2  x=1   X=3 y+1=3 Kết luận: Hệ phương trình có hai nghiệm (x, y) = (1, 2); (2, 1) Ví dụ 1.1.6 Giải hệ phương trình x + y + x2 + y 2 = 8 xy(x + 1)(y + 1) = 12 Lời giải Cách 1 Thông thường, ta sẽ đặt S = x + y, P = xy (ĐK: S 2 − 4P ≥ 0) Hệ phương trình trở thành 14 y=2 S 2 + S − 2P = 8 P (S + P + 1) = 12 Rút P = S2 + S − 8 từ phương trình thứ nhất, thế vào phương trình thứ hai ta 2 được: ( S2 + S