Phương pháp tham số hóa (tác giả nguyễn thu phương)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƢNG YÊN TRƢỜNG THPT DƢƠNG QUẢNG HÀM - - - - - - - - -  SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHƢƠNG PHÁP THAM SỐ HÓA Môn: Toán Tác giả: Nguyễn Thu Phƣơng Năm học 2013-2014 Nguyên Thu Phƣơng – GV – THPT Dƣơng Quảng Hàm Trang SƠ YẾU LÝ LỊCH Tác giả: Nguyễn Thu Phƣơng Chức vụ: Giáo viên môn Toán Đơn vị công tác: Trƣờng THPT Dƣơng Quảng Hàm Tên đề tài: PHƢƠNG PHÁP THAM SỐ HÓA Nguyên Thu Phƣơng – GV – THPT Dƣơng Quảng Hàm Trang MỤC LỤC I Phần mở đầu Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Giả thuyết khoa học Đối tƣợng nghiên cứu Giới hạn đề tài Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài II Phần nội dung A Cơ sở lý thuyết B Nội dung Phƣơng pháp tham số hóa vào giải phƣơng trình vô tỉ Trang 1-2 4-10 Phƣơng pháp tham số hóa vào giải phƣơng trình lƣợng giác 11-12 Phƣơng pháp tham số hóa vào giải hệ phƣơng trình 12-15 Phƣơng pháp tham số hóa vào giải bất đẳng thức 15-17 C Kết III Kết luận khuyến nghị Nguyên Thu Phƣơng – GV – THPT Dƣơng Quảng Hàm 17 18 Trang I/ Phần mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài Trong kỳ thi tuyển sinh vào ĐH – CĐ, thi chọn học sinh giỏi hàng năm giải toán phƣơng trình vô tỉ, phƣơng trình lƣợng giác, số hệ phƣơng trình, bất đẳng thức … vấn đề khó nhiều học sinh phổ thông Tôi thƣờng băn khoăn có phƣơng pháp đủ mạnh để giải đƣợc tập dạng không Vì suy nghĩ, tìm tòi, sáng tạo cuối đúc rút đƣợc phƣơng pháp “ Phƣơng pháp tham số hóa” Trong viết muốn đƣa học kinh nghiệm để rèn luyện kỹ sử dụng “ Phƣơng pháp tham số hóa”, rèn cách nhìn để giải số phƣơng trình vô tỉ, phƣơng trình lƣợng giác, số hệ phƣơng trình, bất đẳng thức hƣớng sáng tạo để tạo phƣơng trình vô tỉ đẹp, hệ phƣơng trình đẹp, bất đẳng thức đẹp 1.2 Mục tiêu nghiên cứu Áp dụng “ Phƣơng pháp tham số hóa” vào giải số toán phƣơng trình vô tỉ, phƣơng trình lƣợng giác, số hệ phƣơng trình, bất đẳng thức Sáng tạo số phƣơng trình vô tỉ, phƣơng trình lƣợng giác, số hệ phƣơng trình, bất đẳng thức 1.3 Nhiệm vụ nghiên cứu Giải đƣợc phƣơng trình vô tỉ, phƣơng trình lƣợng giác, số hệ phƣơng trình, bất đẳng thức “ Phƣơng pháp tham số hóa” Tạo toán 1.4 Giả thiết khoa học Tổ chức hoạt động dạy học góp phần đổi phƣơng pháp giáo dục nhằm nâng cao chất lƣợng giáo dục phổ thông, Nguyên Thu Phƣơng – GV – THPT Dƣơng Quảng Hàm Trang 1.5 Đối tƣợng nghiên cứu Phƣơng trình vô tỉ, phƣơng trình lƣợng giác, số hệ phƣơng trình, bất đẳng thức Học sinh lớp 10, 11, 12 THPT, ôn thi ĐH – CĐ trƣờng THPT Dƣơng Quảng Hàm 1.6 Giới hạn đề tài Tôi cố gắng phân tích, so sánh, đối chiếu khái quát hoá số toán phƣơng trình vô tỉ, phƣơng trình lƣợng giác, số hệ phƣơng trình, bất đẳng thức 1.7 Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài góp phần phong phú phƣơng pháp dạy học, đổi cách tƣ nhằm đẩy mạnh nâng cao chất lƣợng giáo dục Nguyên Thu Phƣơng – GV – THPT Dƣơng Quảng Hàm Trang II/ NỘI DUNG A CƠ SỞ LÍ THUYẾT Cách giải phƣơng trình vô tỉ :  f ( x)  g ( x)  g ( x)   ; b) f ( x)  g ( x)    f ( x)  a) f ( x)  g ( x)    f ( x)  g ( x)   g ( x)   c) f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x) ; d ) f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x) Cách giải phƣơng trình bậc cao + ax3 + bx2 + cx + d = ( a  ) + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = ( a  ) Cách giải phƣơng trình đẳng cấp bậc ax2 + bxy + cy2 = Cách giải hệ phƣơng trình chƣơng trình phổ thông đƣợc học Sự đồng biến nghịch biến hàm số Hàm số f(t) đồng biến nghịch biến D Khi phƣơng trình f(x) = f(y) với x, y thuộc D  x  y Các bất đẳng thức : Côsi, Côsi –Svac, Bunhiacôpski … Nguyên Thu Phƣơng – GV – THPT Dƣơng Quảng Hàm Trang B NỘI DUNG Phƣơng pháp tham số hóa vào giải phƣơng trình vô tỉ Đối với nhiều phƣơng trình vô tỉ, để giải dùng phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng, phƣơng pháp đánh giá, phƣơng pháp hàm số, phƣơng pháp lƣợng giác hoá, phƣơng pháp đặt ẩn phụ Đặc biệt phƣơng pháp đặt ẩn phụ, ta đặt ẩn phụ nhƣ vấn đề, sử dụng ẩn phụ hay hai ẩn phụ vấn đề Quan trọng ngƣời làm toán phải có cách nhìn, nhìn đƣợc phƣơng trình giải toán đơn giản Sau giới thiệu lớp tập sử dụng “ phƣơng pháp tham số hóa ” để giải phƣơng trình vô tỉ VD1: Giải phƣơng trình :  x    x3  Phân tích : ĐK : x ≥ - Ta có : x3 + = (x + 1)(x2 – x + 1) Một vấn đặt : x2 + có biểu thị đƣợc theo (x + 1) (x2 – x +1) không, biểu thị nhƣ ? Thật : Tìm tham số m n cho x2 + = m( x + 1) + n(x2 – x +1) Bằng đồng thức ta có m = n = Giải: Cách 1: ĐK : x ≥ -  x    x3   2( x  1)  2( x2  x  1)  ( x  1)( x2  x  1) Đặt u  x   0, v  x  x   u  2v Phƣơng trình trở thành :  u  v   5uv   u  v  2 Trở lại phép đặt ta tìm đƣợc: x   37 (T/m )  x  1 Cách 2:  x    x3    2 4( x  2)  25( x  1) (*) Giải (*) : 4x4 – 25x3 + 16x2 – = Nguyên Thu Phƣơng – GV – THPT Dƣơng Quảng Hàm Trang  x  x   0(**)  ( x  x  3)(4 x  x  3)     x  x   (VN ) Giải (**) ta đƣợc x   37 (T/m đk x ≥ - 1) Vậy phƣơng trình có nghiệm x   37 Nhận xét : Cách tƣởng đơn giản nhƣng việc phân tích thành nhân tử khó khăn phức tạp Mở rộng vd1: Thay x x + ta đƣợc toán sau Giải phƣơng trình sau : 2(x2 + 2x + 3) = x3  3x2  3x  Giải: Cách : pt tƣơng đƣơng với :  ( x  1)2    ( x  1)3  Đặt t = x + phƣơng trình thành : t  2  t  Giải tƣơng tự nhƣ ví dụ ta đƣợc t   37  37 x 2 Cách :  x  2 2  4x  3x   x – 3x –   x3  3x  3x    x  2x  3   Giải hệ phƣơng trình ta đƣợc nghiệm  x   37 Nhận xét : Cách tƣởng đơn giản nhƣng việc phân tích thành nhân tử khó khăn phức tạp Cách 3: Pt tƣơng đƣơng với : 2(x2 + 2x + 3) = ( x  2)( x2  x  1) Tìm tham số m n cho 2x2 + 4x + = m.(x + 2) + n(x2 + x + 1) Bằng đồng thức ta có m = n = Khi pt thành : 2(x + 2) + 2(x2 + x +1) = ( x  2)( x2  x  1) Đặt u  x   0, v  x2  x   thay vào phƣơng trình ta đƣợc: Nguyên Thu Phƣơng – GV – THPT Dƣơng Quảng Hàm Trang  37 u  4v x 2u  2v  uv    4u  v Nhận xét : Cách cách gần giống nhƣng cách làm trực tiếp cách làm gián tiếp Khái quát hoá ví dụ 1:  g ( x)   x3  + Tìm tham số m n cho: g(x) = m(x+1) + n(x2 – x + 1) + Đặt hai ẩn phụ u  x   0; v  x2  x   đƣa phƣơng trình đẳng cấp bậc hai ẩn u v + Giải pt đẳng cấp bậc hai ẩn u v trở lại phép đặt ta đƣợc x VD2: Giải phƣơng trình sau : 2x2  5x   x3  Giải: Đk: x  Tìm tham số   cho   x  1    x2  x  1  Đồng thức ta đƣợc: 3 x  1   x2  x  1   x  1  x2  x  1  x 1  x2  x  1 v  9u Đặt u  x 1  0, v  x  x   , ta đƣợc: 3u  2v  uv   v  u  Trở lại phép đặt ta đƣợc : x   ( T/M ) Mở rộng vd2: Thay x x - ta đƣợc toán sau Giải phƣơng trình sau : 2x2 + x - = x3  3x2  3x  Giải: Cách : pt tƣơng đƣơng với : 2( x  1)2  5( x  1)   ( x  1)3  Đặt t = x - phƣơng trình thành : 2t  5t   t  Giải tƣơng tự nhƣ ta đƣợc t    x   ( T/m đk ) Cách : Bình phƣơng hai vế đƣa phƣơng trình tích Nhận xét : Cách tƣởng đơn giản nhƣng việc phân tích thành nhân tử khó khăn phức tạp Nguyên Thu Phƣơng – GV – THPT Dƣơng Quảng Hàm Trang Cách : Viết phƣơng trình dạng : 2x2 + x - = ( x  2)( x2  x  1) Tìm tham số m n cho 2x2 + x - = m.(x - 2) + n.(x2 – x + 1) Bằng đồng thức ta có m = n = Khi pt thành : 3(x – 2) + 2(x2 – x + 1) = ( x  2)( x2  x  1) Đặt u  x   0, v  x2  x   thay vào phƣơng trình ta đƣợc: v  9u  x  5 3u  2v  uv   v  u  Nhận xét : Cách cách gần giống nhƣng cách làm trực tiếp cách làm gián tiếp Khái quát hoá ví dụ  g ( x)   x3 1 + Tìm tham số m n cho: g(x) = m(x -1) + n(x2 + x + 1) + Đặt hai ẩn phụ u  x 1  0; v  x2  x   đƣa phƣơng trình đẳng cấp bậc hai ẩn u v + Giải pt đẳng cấp bậc hai ẩn u v trở lại phép đặt ta đƣợc x Áp dụng giải pt : 2(x2 + 2x + ) =5 x3  3x2  3x  ( Đề thi học sinh giỏi tỉnh Hƣng Yên năm 2010 ) Nhận xét : Hai toán thân thiện với học sinh biểu thức x3 + x3 – đẳng thức đẹp Sau ta xét số toán thân thiện với học sinh VD3 Giải phƣơng trình : x2  3x    x  x2  Ta có : x  x    x  x  1  x   x  x  1 x  x  1 Tìm tham số m n cho : x  3x  = m.(x2 + x + 1) + n (x2 – x + 1) Bằng đồng thức ta có : m = –1; n = Vậy pt thành : – (x2 + x + 1) + (x2 – x + 1) =  Nguyên Thu Phƣơng – GV – THPT Dƣơng Quảng Hàm ( x  x  1)( x  x  1) Trang 10 Đặt u  ( x2  x  1)  0, v  x2  x   ta đƣợc: u  2v   uv Giải phƣơng trình đƣợc u v thay trở lại phép đặt ta suy x Khái quát hoá vd3:  g ( x)   x4  x2  Tìm tham số m n cho g(x) = m(x2 - x + 1) + n(x2 + x + 1) Sau làm tƣơng tự khái quát hóa vd1 vd2 Nhận xét : Các trƣờng hợp sau đƣa đƣợc nhƣ vd1; vd2; vd3 Xuất phát từ đẳng thức :    x4   x2  x  x2  x  ; x3 + = (x + 2)(x2 – 2x + ) ; x    x  x  1 x  x  1 x3 - = (x - 2)(x2 + 2x + ) … Có nhiều hẳng đẳng thức đẹp thầy cô em học sinh tạo đƣợc ngân hàng đề thi giải phƣơng trình vô tỉ dạng VD4 Giải phƣơng trình sau : x2  2x  2x   3x2  4x  + Nhận xét : Phƣơng trình cho dạng thƣờng khó phát dạng trên, nhƣng ta bình phƣơng hai vế đƣa đƣợc dạng Giải : Đk x  Bình phƣơng vế ta có : x  x   x  1  x2  Nhận xét : x2 + biểu thị đƣợc theo ( x2 + 2x ) ( 2x – 1) x  x   x  1  x2   Đặt : 𝑢 = 𝑥 + 2𝑥, 𝑢 > 𝑣 = 2𝑥 − 𝑣 ≥ x  x   x  1   x2  x    x  1  1 v u  2 ta có : uv  u  v    1 v u   Do u, v  u  Đáp số : 𝑥 = 1 1 v  x2  2x   2x  1 2 1+ Nguyên Thu Phƣơng – GV – THPT Dƣơng Quảng Hàm Trang 11 VD5 Giải phƣơng trình : 5x2  14x   x2  x  20  x  Giải: Đk x  Chuyển vế bình phƣơng ta đƣợc: x2  5x   x  x  20  x  1 Nhận xét : Không tồn số tham số  ,  để x  x     x  x  20     x  1 u  x  x  20 Vậy ta đặt  v  x  Nhƣng ta có:  x  x  20   x  1   x   x  5 x  1   x    x  x  5 Ta viết lại phƣơng trình:  x  x     x    ( x  x  5)( x  4) Đến toán đƣợc giải Đáp số : x = 8, 𝑥 = 5+ 61  u   v  mu  nv2 Khái quát hóa vd5 vd6: Các thầy cô em học sinh tự tạo cho phƣơng trình vô tỉ đẹp theo cách VD 6: Giải phƣơng trình sau 7𝑥 + 9𝑥 − = 𝑥 − 4𝑥 − 5𝑥 + Giải : Cách : Đặt t = 7𝑥 + 9𝑥 − → t3 = 7𝑥 + 9𝑥 − (a) Thay phép đặt vào pt ta có : t = 𝑥 − 4𝑥 − 5𝑥 + Cộng (a) (b) ta đƣợc : t3 + t = x3 + 3x2 + 4x + (b) (c) Ta dùng tham số để viết vế phải (c) tƣơng tự vế trái (c) nhƣ sau: Tìm tham số m cho : x3 + 3x2 + 4x + = ( x + m)3 + (x+m) với x Cho x = thay vào ta đƣợc m3 + m = → m = Vậy (c) ↔ t3 + t = (x + 1)3 + (x +1) ↔ t = x + Với t = x + → 𝑥= 5−1 ; 𝑥= − 5−1 7𝑥 + 9𝑥 − = 𝑥 + giải pt ta đƣợc x = 5; ; Nguyên Thu Phƣơng – GV – THPT Dƣơng Quảng Hàm Trang 12 Cách : 7𝑥 + 9𝑥 − = 𝑥 − 4𝑥 − 5𝑥 + ↔ 7𝑥 + 9𝑥 − − 𝑥 − = 𝑥 − 4𝑥 − 6𝑥 + ↔ (𝑥 − 4𝑥 − 6𝑥 + 5) 7𝑥 +9𝑥−4 + 𝑥+1 Giải phƣơng trình ta đƣợc nghiệm x = 5; 𝑥 = 7𝑥 +9𝑥−4+ 𝑥+1 5−1 ; 𝑥= − 5−1 2 +1 = ; Nhận xét : Sử dụng kĩ thuật nhân liên hợp, với cách ta phải đoán đƣợc nghiệm, nhiên gặp trƣờng hợp nghiệm vô tỉ khó đoán khó làm học sinh Cách : Lập phƣơng vế không khả thi pt bậc Nhận xét : Cách làm tốt VD : Giải pt : 3𝑥 + = 𝑥 + 4𝑥 + Giải: ĐK : 𝑥 ≥ − Cách 1: Đặt t = 3𝑥 + ( t ≥ 0) → t2 = 3x + (a) Thay phép đặt vào phƣơng trình ta có : 3t = 𝑥 + 4𝑥 + (b) Lấy pt(a) + pt(b) ta đƣợc t2 + 3t = x2 + 7x + 10 (c) Ta viết vế phải (c) tƣơng tự vế trái (c) cách tìm tham số m cho x2 + 7x + 10 = ( x + m)2 + 3(x + m) với x Ta cho x = từ ta có m = 2; m = - 5, thử lại ta đƣợc m = Vậy pt(c) ↔ t2 + 3t = ( x + 2)2 + 3(x + 2)↔ 𝑡 = 𝑥+2 𝑡 = −𝑥 − Giải : 𝑡 = 𝑥 + → 3𝑥 + = 𝑥 + → 𝑥 = 17−1 − 17−1 Giải : 𝑡 = −𝑥 − → 3𝑥 + = −𝑥 − → 𝑥 = Kết luận : pt có nghiệm 𝑥 = 17−1 𝑥 = − 17−1 2 Cách : Đặt ẩn phụ đƣa hệ đối xứng đặt 𝑢 = 3𝑥 + 𝑣 = 𝑥+2 Cách : Bình phƣơng vế, sau phân tích thành nhân tử nhƣng khó khăn phức tạp Nhận xét cách cách hiệu Áp dụng VD7 VD8 Giải pt 3𝑥 − = 8𝑥 − 36𝑥 + 53𝑥 − 25 Nguyên Thu Phƣơng – GV – THPT Dƣơng Quảng Hàm Trang 13 Phƣơng pháp tham số hóa vào giải phƣơng trình lƣợng giác VD: Giải phƣơng trình sau : 10sin2x + 5cos2x - 16sinx - 28cosx + 21 = Giải : PT(1)  20sinxcosx + 5(1 - 2sin2x ) - 16sinx - 28cosx + 21 =  - 5sin x + 10sinxcosx - 8sinx + 14cosx - 13 =  5sin x - 2sinx(5cosx - 4) - 14cosx + 13 = Ta thêm tham số m.(sin2x + cos2x) – m vào phƣơng trình ta đƣợc (m - 5)sin2x - 2sinx(5cosx - 4) + m.cos2x - 14cosx + 13 - m = (*) ( m ≠ ) Ta có Δ' = (5cosx - 4)2 - ( m - 5).( m.cos2x - 14cosx + 13 - m) Tìm m để Δ' bình phƣơng biểu thức tức ∆∆′ = → m = pt(*) thành 3sin2x - 2sinx(5cosx - 4) + 8cos2x - 14cosx + = (**) Δ' = ( cosx + 1)2 Pt(**) có nghiệm sinx = - 2cosx ; s inx = - 4cosx ; Giải phƣơng trình : sinx + 2cosx = phƣơng trình 3sinx + 4cosx = ta đƣợc họ nghiệm phƣơng trình lƣợng giác cho Nhận xét cách làm tƣởng đơn giản nhƣng thực tình phức tạp, thử giải nhiều cách nhƣng không ra, chất cách làm ta khái quát toán sau: Giải phƣơng trình : Asin2x + Bcos2x + C = asinx + bcosx ( 1) sin x  2sinx.cos x Cách 1: Thay  cos x   2sin x vào pt(1) ta đƣợc 2A.sinx.cosx + B.(1 - 2sin2x ) + C = asinx + bcosx  2Bsin x + sinx.( a - 2Acosx ) + bcosx - C - B = Ta thêm tham số m – m(sin2x + cos2x) ta đƣợc (2B - m)sin2x + sinx.( a - 2Acosx ) - mcos2x + bcosx + m - C - B = (*) Coi phƣơng trình bậc ẩn sinx Δ= 4 A2  4m.(2B  m)  cos2 x  4cosx.aA+b.(2B  m)  a  4.(2B  m).(m  C  B) Ta tìm m để Δ bình phƣơng biểu thức Nguyên Thu Phƣơng – GV – THPT Dƣơng Quảng Hàm Trang 14 Khi m nghiệm phƣơng trình sau : aA  b.(2B  m) + (2B  m).(m  C  B)  A2  m.(2B  m) = Sau tìm đƣợc giá trị m ta thay vào pt(*) coi phƣơng trình bậc ẩn sinx ta giải đƣợc nghiệm: sinx = αsinx + βcosx + µ ; sinx = α'sinx + β'cosx + µ' Giải phƣơng trình ta đƣợc họ nghiệm phƣơng trình lƣợng giác ban đầu sin x  2sinx.cos x Cách : Thay  cos x  2cos x  Cách : Thay sau làm tƣơng tự cách sin2x = 2sinxcosx sau làm tƣơng tự cách cos2x = cos x − sin2 x Áp dụng cách giải giải phƣơng trình sau 31sin2x + 11cos2x - 2sinx - 44cosx + = Phƣơng pháp tham số hóa vào giải hệ phƣơng trình VD1 : Giải hệ phƣơng trình sau :   x  y  3x  y  (I )  x  y  x  y    Giải : 5 x  y  ( A) 3x  y  + Điều kiện :  + Tìm tham số m n cho : ( x + 3y ) = m(5x + 4y ) + n(3x + y) 11 11 Vậy : x  y  (5x  y)  (3x  y) 7  x  y  3x  y   ( II ) + Với điều kiện (A) hpt (I)   11 x  y  ( x  y )  ( x  y )   7   u  x  y , u   u  x  y  + Đặt   v  3x  y v  3x  y , v   Khi m  ; n   (1) u  v  11 u  u  v  (2)   + Thay phép đặt vào hệ (II) hệ (II) thành :  + Từ (1) ta có : v = – u thay vào pt (2) giải pt ta đƣợc u = 3; u = 36  Với u = 36 ( t/m đk u ) thay vào (1) ta có v = - 31 ( loại ) Nguyên Thu Phƣơng – GV – THPT Dƣơng Quảng Hàm Trang 15  Với u = ( t/m đk u ) thay vào (1) ta có v = ( t/m đk v ) 5x  y  x   3x  y  y  x  + Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm :  y 1 Trả lại phép đặt ta có :  ( t/m đk (A) ) Nhận xét : Với cách làm đơn giản nhƣng hiệu cao Nếu làm theo cách khác đƣợc nhƣng dài dòng phức tạp khó hiểu Tôi vận dụng cách làm học sinh làm đƣợc sáng tạo nhiều hệ tƣơng tự VD2: Giải hệ phƣơng trình sau 2𝑥 − 𝑦 + 5𝑥 + 4𝑦 = 4 3𝑥 − 2𝑦 − 5𝑥 + 4𝑦 = 2𝑥 − 𝑦 ≥ Giải : Điều kiện : 5𝑥 + 4𝑦 ≥ (A) 3𝑥 − 2𝑦 ≥ Với điều kiện (A) hpt tƣơng đƣơng với 2𝑥 − 𝑦 + 5𝑥 + 4𝑦 = 5𝑥 + 4𝑦 = 43𝑥 − 36𝑦 − Tìm tham số m, n cho 43𝑥 − 36𝑦 = m(2𝑥 − 𝑦) + n(5𝑥 + 4𝑦) Bằng đồng hệ số ta có 𝑛 = − Đặt 𝑢 = 2𝑥 − 𝑦, 𝑣 = 29 13 ;𝑚 = 352 13 5𝑥 + 4𝑦 𝑢+𝑣=4 29 352 Hệ pt thành : 2𝑣 = − 𝑣 + 𝑢 −1 13 13 𝑢=1 𝑣=3 2𝑥 − 𝑦 = 𝑥=1 Trở lại phép đặt ta có ↔ ( thỏa mãn đk (A)) 𝑦=1 5𝑥 + 4𝑦 = Giải hệ ẩn u, v ta đƣợc Kết luận : HPT có nghiệm x=1; y =1 Nguyên Thu Phƣơng – GV – THPT Dƣơng Quảng Hàm Trang 16 VD3: Giải hệ phƣơng trình sau 𝑥 + 𝑦 + + 2𝑥 + 3𝑦 + = 2𝑥 − 𝑦 − 𝑥 + 𝑦 + = Giải : 𝑥+𝑦+2≥0 Điều kiện : 2𝑥 + 3𝑦 + ≥ (A) 2𝑥 − 𝑦 ≥ Với điều kiện (A) hpt tƣơng đƣơng với 𝑥 + 𝑦 + + 2𝑥 + 3𝑦 + = 17𝑥 − 10𝑦 − = 𝑥 + 𝑦 + Tìm tham số m, n, p cho 17𝑥 − 10𝑦 − 3= m(𝑥 + 𝑦 + 2) + n(2𝑥 + 3𝑦 + 4) + p Bằng đồng hệ số ta có m = 71; n = Đặt 𝑢 = 𝑥 + 𝑦 + 2, 𝑣 = 27; p = 37 2𝑥 + 3𝑦 + 𝑢+𝑣 =5 2𝑢 = −27𝑣 + 71𝑢2 − 37 𝑢=2 Giải hệ ẩn u, v ta đƣợc 𝑣=3 𝑥+𝑦+2=4 𝑥=1 Trở lại phép đặt ta có ↔ ( thỏa mãn đk (A)) 𝑦=1 2𝑥 + 3𝑦 + = Hệ pt thành : Kết luận : HPT có nghiệm x=1; y =1 VD4 : Giải hệ phƣơng trình sau :   2y  x   y  x  20  x  1 (1)   2 x  y  y  x3 (2) Nhận xét : Từ pt(2) hệ ta có x  x3  y  y Ta xét hàm số f(t) = 2t + t3 hàm số đồng biến R Vậy phƣơng trình x  x3  y  y  f ( x)  f ( y)  x  y Với x = y thay vào pt(1) ta có : x2  5x   x  x  20  x  1 Nhận xét : Không tồn tham sô  ,  để : x  x     x  x  20     x  1 Nguyên Thu Phƣơng – GV – THPT Dƣơng Quảng Hàm Trang 17 u  x  x  20 Vậy ta đặt  v  x  Nhƣng ta có :  x  x  20   x  1   x   x  5 x  1   x    x  x  5 Vì vây phƣơng trình:  x  x     x    ( x  x  5)( x  4) Đến toán đƣợc giải Qua ví dụ ta thấy vai trò to lớn tham số hóa Phƣơng pháp tham số hóa vào giải bất đẳng thức 2𝑥 + 3𝑦 − 5𝑧 ≤ VD1 : Cho x, y, z thuộc tập số thƣc thoả mãn : 3𝑥 + 4𝑦 − 4𝑧 ≥ 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức : T = 3y – 32z Phân tích: Tìm tham số m, n, p cho : T = 3y – 21z = m(2x + 3y- 5z) + n(3x+4y-4z) + p(x+y+2z) Bằng đồng hệ số ta có m = -2; n = 5; p = -11 Vậy T= –2(2x+3y-5z)+5(3x+4y-4z)–11(x+y+2z) ≥ – + 20 – 55 = – 41 Vậy giá trị nhỏ T : – 41 Đẳng thức xảy : VD2 Cho x, y, z ≥ 0; x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức F = 3xy + 5yz + 4xz Phân tích: Tìm tham sô m, n, p cho : 3xy + 5yz + 4xz = m.x(y+z) + n.y(x+z) + p.z(x+y) 3xy + 5yz + 4xz = ( m + n ).xy + (n + p).yz + (m + p).xz Đẳng thức xảy : m + n = 3; n + p = 5; m + p = Giải hệ ta đƣợc p = 3; m =1; n =2 Vậy 3xy + 5yz + 4xz = x(y+z) + 2y(x+z) + 3z(x+y) = x(1 –x) + 2y(1– y) +3z(1–z) Nguyên Thu Phƣơng – GV – THPT Dƣơng Quảng Hàm Trang 18 = – [ ( x – )2 + 2(y – )2 + 3(z – )2 ] + Theo BDT Côsi – Svac ta có : ( x – )2 + 2(y – )2 + 3(z – )2 Từ suy : F – = Dấu xảy : 𝑥 = 22 ;𝑦 = 11 ;𝑧 = 22 ; VD3 Cho a  b  c  a + b + c = Chứng minh ab2 + bc2 + ca2 Phân tích: ab2 + bc2 + ca2 = b.ab + c.bc + a.ca Tìm tham sô m, n, p cho: b.ab + c.bc + a.ca = m.a.(b +c) + n.b.(c + a) + p.c.( a + b) Bằng đồng thức ta tìm đƣợc m, n, p abc bca a c b a.(b  c)  b.( a  c)  c.( a  b) 2 2c  3 2a  3 2b  3 27 = ( a  )  ( b  )  ( c  )  2 2 2 Điều phải chứng minh tƣơng đƣơng với : Cho a  b  c  a + b + c = 3, Ta có: ab2 + bc2 + ca2 = chứng minh 2c  3 2a  3 2b  3 (a  )2  (b  )  (c  )  (*) 2 2 2 Do a  b  c  a + b + c = nên ta có trƣờng hợp : THI :  c  b  a  Khi hiển nhiên (*) Vậy bđt (1) đƣợc chứng minh Dấu xảy a = b = c = THII :  c  b   a  Khi ta xét vế trái (*) nhƣ sau : 3 3 3 f  (c  ).(a  )2  (b  )2 (a  )  (b  ).(c  ) 2 2 2 tam thức bậc ẩn (a  ) có : Nguyên Thu Phƣơng – GV – THPT Dƣơng Quảng Hàm Trang 19 + c 3 < (  c  ) 2 3 3  3    (b  )  4.(b  ).(c  )3  (b  )  (b  )3  4(c  )3  2 2  2   3    (b  )  (b  )3  (c  )3  3(c  )3   2  Nhận xét   Vậy f = VT(*) < hay BĐT(*) Vậy BĐT (1) đƣợc cm Qua ví dụ ta thấy vai trò to lớn phƣơng pháp tham số hóa Bài tập rèn luyện: Bài 1: Giải hệ phƣơng trình sau :   x  y  3x  y  a)  ; x  y  11 x  y  16     4x  y  6x  y  b)    x  y  8x  y   2y2  x   x3  y  y   x  y  11x  y  c  d)  x y 2014 2014 e  e  y   4 x  y   x  y  x Bài : Giải phƣơng trình sau a) x3  x  x   x  x  𝑏) 3𝑥 − 3𝑥 − + 5𝑥 − 2𝑥 − 𝑥 = c) x3  x  3x    3x  1 3x  d ) x2  37x+29  x  Bài : Giải phƣơng trình sau a) x  2 x   x  c) x  x    e)  4x x  x2   3x  5  x3  b)  x    x  d ) x  x   x3  f) x  x    x3  g ) 3x  x   x  x  h) x  x   x  v) x  2 x   x  k)  10  3x  x  Nguyên Thu Phƣơng – GV – THPT Dƣơng Quảng Hàm Trang 20 C Kết đạt đƣợc áp dụng đề tài vào giảng dạy trƣờng THPT Dƣơng Quảng Hàm năm học 2013 - 2014 Lớp Khi chưa áp dụng đề tài Sau áp dụng đề tài (Sĩ số) G K TB Y G K TB Y 11A2 12 18 13 23 20 (46) (26.1%) (39.1%) (28.2%) (6.6%) (50%) (43.4%) (6.6%) 11 A5 14 15 13 25 ( 45) (15.6%) (31.1%) (33.3%) (20%) (28.9%) (55.5%) (15.6%) 10A6 12 17 11 12 23 10 (45) (11.1%) (26.7%) (26.7%) (51.1%) (22.2%) (37.8%) (24.4%) 0 D Bài học kinh nghiệm + Giảng dạy kĩ phần phần phƣơng trình vô tỉ, hệ phƣơng trình, phƣơng trình bản, bất đẳng thức + Chọn tập đơn giản vận dụng kiến thức lí thuyết + Giáo viên đƣa ví dụ mẫu điển hình chữa chi tiết lập luận chặt chẽ + Giáo viên nên hƣớng dẫn học sinh sáng tạo toán Nguyên Thu Phƣơng – GV – THPT Dƣơng Quảng Hàm Trang 21 III/ KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ A Kết luận - Trong nhiều năm giảng dạy lớp chọn luyện thi đại học, nhận thấy gặp toán dạng không bình thƣờng cần xử lý đƣa dạng gặp học sinh thƣờng lúng túng làm cách để qui lạ quen, trông dạng quen nhƣng học sinh lại không Khi học sinh học phƣơng pháp tham số hóa để giải phƣơng trình vô tỉ, hệ phƣơng trình, bất đẳng thức, phƣơng trình lƣợng giác công cụ sắc bén để nghiên cứu số phƣơng trình, hệ phƣơng trình, bất đẳng thức Giáo viên cung cấp cho học sinh cách nhìn, cách suy nghĩ mở rộng thu hẹp toán - Học sinh hào hứng tiếp thu tốt phƣơng pháp sáng tạo nhiều tập tƣơng tự B Kiến nghị - Đối với trƣờng THPT Dƣơng Quảng Hàm tổ chức áp dụng sâu rộng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy - Đối với Sở tổ chức báo cáo sáng kiến kinh nghiệm đạt giải cao để giáo viên trau kiến thức học tập nhằm nâng cao chất lƣợng giáo dục C Tài liệu tham khảo + Sách giáo khoa lớp 10, 11, 12 ban tự nhiên + Đề thi tuyển sinh đại học năm + Tập san báo toán học tuổi trẻ + Bộ đề thi tuyển sinh + Diễn đàn Toán học mạng Internet Nguyên Thu Phƣơng – GV – THPT Dƣơng Quảng Hàm Trang 22 CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập- Tự do- Hạnh phúc BẢN CAM KẾT I TÁC GIẢ Họ tên: NGUYỄN THU PHƢƠNG Ngày sinh: 07/04/1979 Giáo viên môn TOÁN Đơn vị công tác: Trƣờng THPT Dƣơng Quảng Hàm II TÊN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Tên SKKN: PHƢƠNG PHÁP THAM SỐ HÓA III NỘI DUNG CAM KẾT Tôi xin cam kết sáng kiến kinh nghiệm thân viết, không chép nội dung ngƣời khác Sáng kiến kinh nghiệm áp dụng thành công giảng dạy trƣờng THPT Dƣơng Quảng Hàm Văn Giang, ngày tháng năm 2014 Ngƣời cam kết NGUYỄN THU PHƯƠNG Nguyên Thu Phƣơng – GV – THPT Dƣơng Quảng Hàm Trang 23 XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC TRƢỜNG THPT DƢƠNG QUẢNG HÀM Tổng điểm:………………….Xếp loại:……………… T.M HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CHỦ TỊCH - HIỆU TRƢỞNG Nguyên Thu Phƣơng – GV – THPT Dƣơng Quảng Hàm Trang 24 [...]... bài toán đƣợc giải quyết Qua các ví dụ trên ta thấy vai trò to lớn của tham số hóa 4 Phƣơng pháp tham số hóa vào giải bất đẳng thức 2𝑥 + 3𝑦 − 5𝑧 ≤ 3 VD1 : Cho x, y, z thu c tập số thƣc thoả mãn : 3𝑥 + 4𝑦 − 4𝑧 ≥ 4 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 ≤ 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : T = 3y – 32z Phân tích: Tìm tham số m, n, p sao cho : T = 3y – 21z = m(2x + 3y- 5z) + n(3x+4y-4z) + p(x+y+2z) Bằng đồng nhất hệ số ta có m... x Áp dụng cách giải trên giải phƣơng trình sau 31sin2x + 11cos2x - 2sinx - 44cosx + 9 = 0 3 Phƣơng pháp tham số hóa vào giải hệ phƣơng trình VD1 : Giải hệ phƣơng trình sau :   5 x  4 y  3x  y  5 (I )  5 x  4 y  x  3 y  7   Giải : 5 x  4 y  0 ( A) 3x  y  0 + Điều kiện :  + Tìm tham số m và n sao cho : ( x + 3y ) = m(5x + 4y ) + n(3x + y) 8 7 11 8 11 Vậy : x  3 y  (5x  4 y) ... nhƣng rất khó khăn và phức tạp Nhận xét cách 1 và cách 2 rất hiệu quả Áp dụng VD7 và VD8 Giải pt 3 3𝑥 − 5 = 8𝑥 3 − 36𝑥 2 + 53𝑥 − 25 Nguyên Thu Phƣơng – GV – THPT Dƣơng Quảng Hàm Trang 13 2 Phƣơng pháp tham số hóa vào giải phƣơng trình lƣợng giác VD: Giải phƣơng trình sau : 10sin2x + 5cos2x - 16sinx - 28cosx + 21 = 0 Giải : PT(1)  20sinxcosx + 5(1 - 2sin2x ) - 16sinx - 28cosx + 21 = 0 2  - 5sin x + 10sinxcosx... đâu Khi học sinh học phƣơng pháp tham số hóa để giải phƣơng trình vô tỉ, hệ phƣơng trình, bất đẳng thức, phƣơng trình lƣợng giác đó là một công cụ sắc bén để nghiên cứu một số phƣơng trình, hệ phƣơng trình, bất đẳng thức Giáo viên cung cấp cho học sinh một cách nhìn, một cách suy nghĩ mới có thể mở rộng và thu hẹp bài toán - Học sinh rất hào hứng và tiếp thu tốt phƣơng pháp trên và có thể sáng tạo... BẢN CAM KẾT I TÁC GIẢ Họ và tên: NGUYỄN THU PHƢƠNG Ngày sinh: 07/04/1979 Giáo viên môn TOÁN Đơn vị công tác: Trƣờng THPT Dƣơng Quảng Hàm II TÊN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Tên SKKN: PHƢƠNG PHÁP THAM SỐ HÓA III NỘI DUNG CAM KẾT Tôi xin cam kết sáng kiến kinh nghiệm này là của bản thân tôi viết, không sao chép nội dung của ngƣời khác Sáng kiến kinh nghiệm này đã áp dụng thành công trong giảng dạy tại trƣờng... uv  u  v    1 5 v u  2  Do u, v  0 u  Đáp số : 𝑥 = 1 5 1 5 v  x2  2x   2x  1 2 2 1+ 5 2 Nguyên Thu Phƣơng – GV – THPT Dƣơng Quảng Hàm Trang 11 VD5 Giải phƣơng trình : 5x2  14x  9  x2  x  20  5 x  1 Giải: Đk x  5 Chuyển vế bình phƣơng ta đƣợc: 2 x2  5x  2  5 x 2  x  20  x  1 Nhận xét : Không tồn tại số tham số  ,  để 2 x 2  5 x  2    x 2  x  20    ... (A)) 𝑦=1 5𝑥 + 4𝑦 = 9 Giải hệ ẩn u, v ta đƣợc Kết luận : HPT có nghiệm x=1; y =1 Nguyên Thu Phƣơng – GV – THPT Dƣơng Quảng Hàm Trang 16 VD3: Giải hệ phƣơng trình sau 𝑥 + 𝑦 + 2 + 2𝑥 + 3𝑦 + 4 = 5 3 2𝑥 − 𝑦 − 𝑥 + 𝑦 + 2 = 1 Giải : 𝑥+𝑦+2≥0 Điều kiện : 2𝑥 + 3𝑦 + 4 ≥ 0 (A) 2𝑥 − 𝑦 ≥ 0 Với điều kiện (A) hpt tƣơng đƣơng với 𝑥 + 𝑦 + 2 + 2𝑥 + 3𝑦 + 4 = 5 17𝑥 − 10𝑦 − 3 = 2 𝑥 + 𝑦 + 2 Tìm tham số m, n, p sao cho 17𝑥... x3 + 3x2 + 4x + 2 (b) (c) Ta dùng tham số để viết vế phải của (c) tƣơng tự vế trái của (c) nhƣ sau: Tìm tham số m sao cho : x3 + 3x2 + 4x + 2 = ( x + m)3 + (x+m) đúng với mọi x Cho x = 0 thay vào ta đƣợc m3 + m = 2 → m = 1 Vậy (c) ↔ t3 + t = (x + 1)3 + (x +1) ↔ t = x + 1 Với t = x + 1 → 𝑥= 5−1 2 ; 𝑥= 3 − 5−1 2 7𝑥 2 + 9𝑥 − 4 = 𝑥 + 1 giải pt trên ta đƣợc x = 5; ; Nguyên Thu Phƣơng – GV – THPT Dƣơng Quảng... có : Nguyên Thu Phƣơng – GV – THPT Dƣơng Quảng Hàm Trang 19 + c 3 3 < 0 vì ( 0  c  ) 2 2 3 3 3 3  3 3    (b  ) 4  4.(b  ).(c  )3  (b  )  (b  )3  4(c  )3  2 2 2 2  2 2  3  3 3 3    (b  )  (b  )3  (c  )3  3(c  )3  2  2 2 2  Nhận xét   0 Vậy f = VT(*) < 0 hay BĐT(*) đúng Vậy BĐT (1) đƣợc cm Qua các ví dụ trên ta thấy vai trò to lớn của phƣơng pháp tham số hóa Bài tập... nghiệm + Giảng dạy kĩ phần các phần phƣơng trình vô tỉ, hệ phƣơng trình, phƣơng trình cơ bản, bất đẳng thức + Chọn bài tập đơn giản vận dụng ngay kiến thức lí thuyết + Giáo viên đƣa các ví dụ mẫu điển hình chữa chi tiết và lập luận chặt chẽ + Giáo viên nên hƣớng dẫn học sinh sáng tạo bài toán Nguyên Thu Phƣơng – GV – THPT Dƣơng Quảng Hàm Trang 21 III/ KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ A Kết luận - Trong nhiều năm giảng