NGHIÊN cứu QUAN NIỆM của SINH VIÊN sư PHẠM TOÁN về các DẠNG KHÁC NHAU của số PHỨC

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ HỒNG ĐIỆP NGHIÊN CỨU QUAN NIỆM CỦA SINH VIÊN SƯ PHẠM TOÁN VỀ CÁC DẠNG KHÁC NHAU CỦA SỐ PHỨC Chuyên ngành: Lý luận phương pháp dạy học môn Toán Mã số: 60 14 01 11 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS TRẦN KIÊM MINH Thừa Thiên Huế, năm 2016 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tôi, số liệu kết nghiên cứu ghi luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa công bố công trình khác Họ tên tác giả Nguyễn Thị Hồng Điệp ii Lời Cảm Ơn Để hoàn thành luận văn này, thân cố gắng nhiều Bên cạnh nhờ vào động viên, giúp đỡ tận tình quý thầy cô, gia đình bạn bè Nhân dịp này, xin gửi lời cảm ơn đến tất cả: Trước tiên, xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Huế, phòng đào tạo sau đại học, thầy cô khoa Toán, đặc biệt thầy cô chuyên nghành Lý luận Phương pháp dạy học môn Toán tận tình giảng dạy cho suốt hai năm qua, tạo điều kiện thuận lợi trình học tập nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm ơn đến Ban giám hiệu trường Đại học An Giang, phòng đào tạo sau đại học, thầy cô khoa Toán hỗ trợ, giúp đỡ trình học tập hoàn thành luận văn Cảm ơn gia đình, bạn bè quan tâm, ủng hộ giúp đỡ để hoàn thành luận văn cách tốt Và đặc biệt giúp đỡ tận tình dạy Tiến sĩ Trần Kiêm Minh – Người hướng dẫn thực luận văn Tuy bận nhiều công việc thầy xếp thời gian để dẫn, giải đáp thắc mắc, góp ý sửa chữa trình thực đề tài nhằm tạo điều kiện cho hoàn thành luận văn Luận văn không tránh khỏi thiếu sót, kính mong nhận hướng dẫn góp ý Chân thành cảm ơn! iii An Giang, tháng 04 năm 2016 iii iv MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa .i LỜI CAM ĐOAN ii Lời Cảm Ơn iii TÀI LIỆU THAM KHẢO 56 PHỤ LỤC 1 DANH MỤC BẢNG Bảng Tên bảng Trang 1.1 Bảng nhân Hamilton 13 1.2 Bảng thống kê số lần xuất nhiệm vụ SGK 20 12CB 4.1 Kết định lượng 40 4.2 Kết định lượng 42 4.3 Kết định lượng 44 4.4 Kết định lượng 45 4.5 Kết định lượng 46 4.6 Kết định lượng câu a 47 4.7 Kết định lượng câu b 49 DANH MỤC HÌNH ẢNH Hình Tên hình Trang 4.1 Hình ảnh làm sinh viên 41 4.2 Hình ảnh làm sinh viên Nguyễn Trúc Quỳnh đối 43 với 4.3 Hình ảnh làm sinh viên 45 4.4 Hình ảnh làm sinh viên 46 4.5 Hình ảnh làm sinh viên câu a 48 4.6 Hình ảnh làm sinh viên câu b 49 4.7 Hình ảnh ý kiến sinh viên 50 4.8 Hình ảnh số câu trả lời sinh viên Đoàn Thị 51 Xuân Nguyên LỜI GIỚI THIỆU Trong tập hợp số, tập số phức tập lớn mang tính trừu tượng Số phức đóng vai trò quan trọng lĩnh vực toán học giải tích, đại số, hình học, lượng giác mà xâm nhập vào mảng kiến thức sinh học, vật lý phương trình tĩnh điện, thủy động lực học, khí động lực học, lý thuyết dao động học lượng tử Ngày có nhiều công trình kỹ thuật, vật lý lý thuyết viết ngôn ngữ số phức Sự hiểu biết hệ thống số phức, bao gồm dạng biểu diễn tính toán số học không gian phức tiêu chuẩn toán học tiêu biểu sáng kiến trường trung học theo chuẩn ban Mỹ “Common Core State Standards Initiative” (CCSSI, 2010, [9]) Tài liệu khuyến khích học viên biết cách sử dụng nhiều dạng biểu diễn (như đại số hình học) để biểu diễn số phức nhiều hình thức khác thực trình tính toán số học Hơn chuyển đổi linh hoạt hình thức biểu diễn Những tài liệu CCSSI chủ yếu vào nhấn mạnh tầm quan trọng chuyển đổi hình thức biểu diễn Để cho học sinh phát triển hiểu biết số phức, giáo viên cần có kỹ kiến thức sư phạm lĩnh vực ( Ball, 2001, [6]) Chiều sâu nội dung tri thức dạng số phức yêu cầu phải nắm tính chất đại số biểu diễn hình học theo nhiều khía cạnh khác nhau, nhìn nhận dạng phù hợp cho nhiệm vụ đặt Không nhà nghiên cứu khám phá, suy luận hình học giá trị phức số phức Nhìn chung, kết cho thấy nhà nghiên cứu dễ dàng làm việc môi trường số phức với nhiều dạng khác Tuy nhiên điều không khả thi học sinh Nghiên cứu việc dạy học số phức giáo viên, sinh viên học sinh Phổ thông Đại học nhiều tác giả quan tâm từ lâu (Danenhower, 1977; Janvier, 1987; Kaput, 1987; Lesh, Post & Behr, 1987; Sfard, 1991; Sfard, 1992; Anglin, 1995; Zandieh, 2000; Goldin & Shteingold, 2001; Les Evans, 2006; Panaoura, Elia, Gagatsis, & Giatilis, 2006; Merino, 2006; CCSSI 2010; Brown, Larsen, Marrongelle, Oethrtman, 2012; Nemirovsky, Rasmussen, Sweeney, & Wawro, 2012; Guershon Harel, 2013; TAN Soon Hui & TOH Tin Lam, 2013; Chavez, 2014; Karakok, Soto-Johnson, & Dyben, 2015; ) Tuy nghiên cứu tập trung tìm hiểu khía cạnh khác liên quan đến dạy học số phức, dạng biểu diễn khả linh hoạt chuyển đổi chúng, hầu hết thừa nhận khó khăn khả hiểu số phức dạng biểu diễn khác nhau: đại số, hình học (vectơ, điểm), lượng giác, mũ (Janvier, 1987; Kaput, 1987; Lesh, Post & Behr, 1987; Guershon Harel, 2013) Một khó khăn khác mà nhiều học sinh gặp phải học số phức khả chuyển đổi dạng biểu diễn số phức (Lesh, Post & Behr, 1987; Sfard, 1991; Sfard, 1992; Anglin, 1995; Goldin & Shteingold, 2001; Nemirovsky, Rasmussen, Sweeney, & Wawro, 2012; Brown, Larsen, Marrongelle, Oethrtman, 2012; TAN Soon Hui & TOH Tin Lam, 2013; Karakok, Soto-Johnson, & Dyben, 2015) Học sinh hiểu tính toán dạng biểu diễn gặp khó khăn chuyển đổi chúng sang biểu diễn khác không hiểu rõ kết nối hình thức biểu diễn Ở bậc phổ thông, số phức xuất chương trình toán nhiều nước giới từ lâu Nhưng Việt Nam, xuất lần sách giáo khoa toán lớp 12 đưa vào thí điểm năm 2007-2008, thức sử dụng đại trà từ năm học 2008-2009 Nhìn chung, chương trình sách giáo khoa chủ yếu tập trung vào khái niệm số phức phạm vi thu hẹp, học sinh chủ yếu làm việc biểu thức đại số thực phép tính số phức Có toán đề cập đến dạng số phức ngữ cảnh khác nhau, đặc biệt mối quan hệ chuyển đổi dạng biểu diễn chúng Số phức khái niệm khó học sinh, sinh viên giáo viên Tiếp cận tìm hiểu sâu dạng số phức vấn đề chưa khai thác trường học Giáo viên truyền đạt chúng hình thức cho học sinh kế thừa công thức đơn để xử lý, giải dạng toán Chưa trọng đến việc phân tích dạng biểu diễn chuyển đổi chúng Để nhận thấy khó khăn học tập học sinh xác định mục tiêu giảng dạy, giáo viên tạo loạt câu hỏi mở cách trình bày ý tưởng thể trường hợp cụ thể, yêu cầu học sinh minh họa, mô tả thể ý tưởng trường hợp khác Tuy nhiên, để sử dụng chiến lược giảng dạy giáo viên cần phải hiểu rõ dạng khác số phức chuyển đổi linh hoạt chúng Động lực cần thiết phải tìm hiểu số phức yêu cầu lớn đặt giáo dục toán Các khuyến nghị CCSSI (2010) cho học sinh trung học hiểu số phức hy vọng thay đổi cách dạy giáo viên Từ đòi hỏi phải thay đổi chương trình giảng dạy, thiết kế phù hợp theo tiềm hoạt động phát triển chuyên nghiệp Chương trình giảng dạy lớp học tạo hội để giáo viên làm việc thường xuyên với số phức Tạo điều kiện, hỗ trợ cho học sinh, sinh viên có quan niệm đắn linh hoạt biến đổi dạng số phức Trong nghiên cứu này, tập trung tìm hiểu quan niệm khả chuyển đổi dạng biểu diễn số phức sinh viên sư phạm toán (các giáo viên toán tương lai) Chúng mặt tập trung vào nghiên cứu khả hiểu biết khái niệm số phức sinh viên, mặt khác tập trung nhấn mạnh khả kết nối chuyển đổi qua lại dạng biểu diễn Trong nghiên cứu này, hướng đến mục tiêu là: - Xem xét hiểu biết sinh viên sư phạm toán khái niệm số phức - Phân tích tính linh hoạt việc chuyển đổi kết nối kiểu biểu diễn khác số phức sinh viên sư phạm toán Luận văn gồm chương: Chương 1: Đặt vấn đề Trong chương giới thiệu sơ lược khía cạnh lịch sử tri thức luận hình thành số phức Chúng tổng quan nghiên cứu chủ đề số phức chương trình sách giáo khoa phổ thông, nội dung số phức chương trình phát triển nghiệp vụ cho sinh viên sư phạm toán điểm bình nghiên cứu liên quan đến dạy học số phức Các phân tích tổng quan nghiên cứu cho phép ghi nhận đặt vấn đề nghiên cứu việc hiểu khái niệm số phức sinh viên, đặc biệt mối quan hệ đại diện khác Chương 2: Khung lý thuyết tham chiếu Trong chương này, giới thiệu khung lý thuyết tham chiếu để làm sở khoa học bao gồm: hình ảnh khái niệm [3] Nguyễn Thị Duyên Dạy học số phức trường phổ thông, [VIETMATHS.NET] [4] Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – Vũ Tuấn (Chủ biên) – Lê Thị Thiên Hương – Nguyễn Tiến Tài – Cấn Văn Tuất (2008), Sách giáo khoa Giải Tích 12, Nhà xuất giáo dục [5] Vũ Tuấn (Chủ biên) – Lê Thị Thiên Hương – Nguyễn Thu Nga – Phạm Thu – Nguyễn Tiến Tài – Cấn Văn Tuất (2013), Sách Bài Tập Giải Tích 12, Nhà xuất giáo dụcViệt Nam Tài liệu tiếng Anh: [6] Ball, D L., Lubienski, S T., & Mewborn, D S (2001) Research on teaching mathematics: The unsolved problems of teachers’ mathematical knowledge In V Richardson (Ed.), Handbook of research on teaching (4th ed., pp 433-456) New York: Macmillan [7] Brown, S., Larsen, S., Marrangelle, K., Oehrtman, M (2012) Proceedings of the 15th annual conference on research in undergraduate Mathematics education [8] Chavez, G (2014) Teaching complex numbers in high School The Interdepartmental program in Natural Sciences [9] Council of Chief State School Officers & National Governors Association Center for Best Practices (2010) Common core state standards for mathematics Common Core State Standards Initiative http://www.corestandards.org/assets/CCSSI_Math%20Standard.pdf [10] Danenhower, P (2000) Teaching and Learning Complex Analysis at Two British Columbia Universities Dissertation Abstract International [11] Dubinsky, E (1991) Reflective abstraction in advanced mathematical thinking In Advanced mathematical thinking, 95–126 [12] Duval, R (2006) A cognitive analysis of problems of comprehension in a learning of mathematics Educational Studies in Mathematics, 61, 103-131 DOI: 10.1007/s10649-006-0400-z 57 [13] Goldin, G & Shteingold, N (2001) System of representations and the development of mathematics concepts In A Cuoco & F R Curcio (Eds.), The roles of representations in school mathematics (pp.1–23) Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics [14] Harel, G (2013) DNR- Based Curricula: The Case of Complex Numbers Journal of Humanistic Mathematics [15] Janvier, C (1987) Problems of representation in the teaching and learning of mathematics Highsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates [16] Kaput, J (1987) Representation systems in mathematics In C Janvier (Ed.), Problems of representation in the teaching and learning of Mathematics (pp 19– 26) Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates [17] Karakok, G., Soto-Johnson, H & Dyben, S.A (2015) Secondary teachers’ conception of various forms of complex numbers Journal of Mathematics Teacher Education DOI: 10.1007/s10857-014-9288-1 [18] Karakok, G., Soto-Johnson, H & Dyben, S.A (2015) In-service secondary teachers’ conceptualization of complex numbers [19] Les Evans (2006) Complex Numbers and Vectors Mathsworks for Teachers [20] Lesh, R., Post, T., & Behr, M (1987) Representations and translations among representations in mathematics learning and problem solving In C Janvier (Ed.), Problems of representation in the teaching and learning of mathematics (pp 33– 40) Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates [21] Nemirovsky, R., Rasmussen, C., Sweeney, G., & Wawro, M (2012) When the classroom floor becomes the complex plane: Addition and multiplication as ways of bodily navigation Journal for the Learning Sciences, 21(2), 287–323 [22] Nordlander, M.C., Nordlander, E (2011) On the concept image of complex numbers International Journal of Mathematical Education in Science and Technology DOI: 10.1080/0020739X.2011.633629 [23] Orlando Merino (2006) A Short History of Complex Number 58 [24] Panaoura, A., Elia, I., Gagatsis, A., & Giatilis, G (2006) Geometric and algebraic approaches in the concept of complex numbers International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 37(6), 681–706 [25] Sfard, A (1991) On the dual nature of mathematical conceptions: Reflections on processes and objects as different sides of the same coin Educational Studies, 22(1), 1–36 [26] Sfard, A (1992) Operational origins of mathematical objects and the quandary of reification: the case of function In Harel, G., & Dubinsky, E (Eds.), The concept of function: Aspects of epistemology and pedagogy, MAA Notes 25 (pp 59–84) Washington: MA [27] Soto – Johnson, H., Troup, J (2014) Reasoning on the complex plane via inscriptions and gesture The Journal of Mathematical Behavior, 109–125 [28] TAN Soon Hui & TOH Tin Lam (2013) On the teaching of the representation of complex numbers in the argand diagram Learning Science and Mathematics [29] Zandieh, M (2000) A theoretical framework for analyzing student understanding of the concept of derivative Research in Collegiate Mathematics Education IV CBMS Issues in Mathematics Education, 103–127 59 PHỤ LỤC Họ tên:……………………………… PHIẾU HỌC TẬP Bài 1: Biểu diễn số phức z mặt phẳng tọa độ, biết z ≤ và: a) Phần thực không vượt phần ảo b) Phần ảo lớn Bài 2: Bạn cho biết số phức thỏa điều kiện có điểm biểu diễn thuộc phần tô đậm? P1 a) b) Bài 3: P2 Sử dụng biểu diễn hình học để chứng minh biểu thức z.z = z Bài 4: Chứng minh mệnh đề sau: “Nếu 1 1 − iθ 1 với  ÷z = = iθ = e ” z z re r z Bài 5: Cho biết điểm thuộc đường tròn hình vẽ thỏa mãn phương trình với biến số phức z Tìm phương trình đó? Giải thích cách bạn tìm phương trình P3 Bài 6: a) Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z cho z − z số thực b) Tìm phần thực phần ảo số phức ( +i ) P4 Bài 7: Bạn quan niệm số phức? a) Khi nói đến khái niệm số phức, bạn thường nghĩ đến điều gì? b) Bạn có quan niệm/hình ảnh khác khái niệm số phức không? Đó quan niệm hình ảnh nào? c) Theo bạn, số phức? Bài 8: Bạn thường gặp khó khăn học số phức? Bạn nói rõ khó khăn đó? P5 Bài 9: Trong số dạng biểu diễn khác số phức, bạn thích làm việc dạng biểu diễn nhất? Giải thích? HÌNH ẢNH BÀI LÀM CỦA MỘT SỐ SINH VIÊN P6 P7 P8 P9 P10 P11 P12