SKKN một số kinh nghiệm giảng dạy, hướng dẫn học sinh giải phương trình vô tỷ ở lớp 9 THCS

www.huongdanvn.com Nội dung A Tên đề tài: Một số kinh nghiệm giảng dạy, hướng dẫn học sinh giải phương trình vô tỷ lớp THCS B Lý chọn đề tài I Cơ sở phương pháp luận: Căn vào thực tế dạy học hệ thống tập phương trình vô tỷ chương trình Đại số thấy hệ thống tập sách giáo khoa, sách tập Bộ giáo dục - Đào tạo ấn hành đơn giản, chưa sâu, chưa đáp ứng đầy đủ yêu cầu dạng toán thực tế tập phương trình vô tỷ đa dạng, phong phú thể loại toán khó Đại số THCS Khi dạy phần này, học sinh giỏi đòi hỏi giáo viên phải tự biên soạn, sưu tầm, lựa chọn mà nội dung giảng dạy chưa thống Là giáo viên, mong muốn cung cấp cho học sinh “chiếc chìa khoá” để giải dạng cụ thể phương trình Song dạng phương trình có quy tắc định Qua trình giảngdạy, tham khảo đồng nghiệp học hỏi thầy cô mạnh dạn phân dạng phương trình vô tỷ cách giải dạng đồng thời đưa số cách giải phương trình vô tỷ với mục đích giúp học sinh hiểu sâu sắc phương trình vô tỷ nhiều góc độ làm nhẹ nhàng trình giải phương trình vô tỷ cho học sinh Khi dạy học sinh giải phương trình vô tỷ HS cần nắm vấn đề sau: Khái niệm phương trình, tập xác định, nghiệm phương trình - Các định nghĩa, định lý biến đổi hai phương trình tương đương - Cách giải loại phương trình Phương trình vô tỷ - Định nghĩa phương trình vô tỷ, bước giải phương trình vô tỷ nói chung www.huongdanvn.com - Các kiến thức thức, phương pháp giải phương trình vô tỷ II Cơ sở thực tiễn Phương trình vô tỷ dạng toán tương đối khó học sinh THCS Dạng toán giải phương trình vô tỷ có nhiều cách giải, đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng kiến thức cách linh hoạt Có lời giải xem “thiếu tự nhiên” thật độc đáo Các toán phương trình vô tỷ thường hay đưa vào dạy cho học sinh giỏi, trường chuyên, lớp chọn đề cập sách giáo khoa Song thực chất học sinh làm quen với toán giải phương trình từ bậc Tiểu học với cách hỏi đơn giản dạng “Tìm x” kiến thức loại nâng cao dần lớp với phương trình vô tỷ, em làm quen lớp dạng đơn giản học nhiều bậc Trung học phổ thông Toán “giải phương trình vô tỷ” đề cập nhiều loại sách tham khảo, giáo viên khó khăn việc sưu tầm, tuyển chọn Để góp phần vào việc giải vấn đề khó khăn mạnh dạn thực sưu tầm, tuyển trọn số dạng tập phương trình vô tỷ phương pháp giải, áp dụng cho dạng để viết thành đề tài nghiệp vụ: “Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ THCS” giúp cho việc dạy học đạt kết cao C Nội dung đề tài I Phương hướng, nội dung Đại cương phương trình a Khái niệm: Phương trình đẳng thức (mệnh đề) có chứa biến số f(x) = g(x) + Biến số x biểu thức gọi ẩn số + f(x) g(x) hai vế phương trình + Quá trình tìm x gọi giải phương trình + TXĐ: Là tập xác định phương trình www.huongdanvn.com + Mỗi giá trị biến x thuộc tập xác định để có đẳng thức gọi nghiệm phương trình + S: Là tập hợp nghiệm phương trình b Tập xác định phương trình Là giá trị biến làm cho biểu thức phương trình có nghĩa c Hai phương trình tương đương Là hai phương trình có tập hợp nghiệm nghiệm phương trình nghiệm phương trình ngược lại Phương trình vô tỷ a Định nghĩa: Phương trình vô tỷ phương trình có chứa ẩn số thức Ví dụ: 3x − + = − x b Các bước giải phương trình (dạng chung) - Điều kiện xác định phương trình - Dùng phép biến đổi tương đương đưa dạng phương trình học - Giải phương trình vừa tìm - Đối chiếu kết tìm với điều kiện xác định kết luận nghiệm Chú ý: Với phương trình có ĐKXĐ ∀x ∈ R (trong trình biến đổi không đặt điều kiện) tìm nghiệm phải thử lại c Các kiến thức thức - Một số âm bậc chẵn - Muốn nâng lên luỹ thừa bậc chẵn hai vế phương trình để phương trình tương đương phải đặt điều kiện A2 = A A± B = A + A2 − B ± A − A2 − B với A > 0; A2 > B > Các dạng phương trình a Dạng 1: f ( x ) = g ( x) (1) www.huongdanvn.com Sơ đồ cách giải: f ( x) = g ( x) g (x) > (2) f(x) = [g(x)]2 (3) Giải (2) tìm điều kiện ẩn Giải (3) đối chiếu với điều kiện ẩn để kết luận nghiệm f ( x ) + g ( x ) = h( x ) b Dạng 2: (1) Tìm điều kiện có nghĩa phương trình: f(x) > g(x) > (2) h (x) > Với điều kiện (2) hai vế phương trình (1) không âm nên bình phương vế phương trình (1) rút gọn ta được: f ( x).g ( x) = [h( x)] − f ( x) − g ( x) (3) Phương trình (3) có dạng nên giải theo phương pháp dạng Đối chiếu nghiệm tìm (3) với điều kiện kết luận nghiệm c Dạng 3: f ( x ) + g ( x ) = h( x ) d Dạng 4: f ( x ) + g ( x ) = h( x ) + p ( x ) (Cách giải dạng 2) (1) Điều kiện có nghĩa phương trình: f(x) > g(x) > (2) h (x) > p (x) > Bình phương hai vế đưa dạng: F ( x) − G ( x) = H ( x) Tuỳ theo trường hợp để giải phương trình vô tỷ (căn bậc n) e Dạng 5: f ( x) + g ( x) + n f ( x).g ( x) = h( x) Điều kiện: f(x) > (1) www.huongdanvn.com g(x) > Đặt ẩn phụ a = f ( x ) + g ( x) (a > 0) => f ( x).g ( x) = a − f ( x) − g ( x) Đưa phương trình (1) phương trình biết cách giải giải Các phương pháp giải phương trình vô tỷ Trên dạng phương trình vô tỷ ta gặp dạng phương trình vô tỷ đưa dạng Sau số phương pháp giải phương trình vô tỷ thường áp dụng giảng dạy phổ thông a Phương pháp nâng lên luỹ thừa Để làm bậc n ta nâng vế phương trình lên luỹ thừa n Nếu n chẵn ta thực vế phương trình không âm Ví dụ: Giải phương trình: 25 + x + 3 − x = (1) ĐKXĐ: ∀x ∈ R Lập phương hai vế phương trình (1) ta được: (1) 25 + x + - x + 3 (25 + x)(3 − x) (3 25 + x + 3 − x ) = 64 (2) Vì 25 + x + 3 − x = (theo 1), (2) 28 + 12 (25 + x).(3 − x) = 64 12 (25 + x).(3 − x) = 36 (25 + x).(3 − x) = Lập phương hai vế (3) ta được: (25 + x)(3 - x) = 27 - x - 22x + 75 = 27 x2 + 22x - 48 (x - 2)(x + 24) =0 =0 x=2 x = - 24 Thử lại: + Với x = ta có 25 + + 3 − = + = + Với x = - 24 ta có − 24 + 25 + 3 + 24 = + = Vậy nghiệm phương trình (1) là: x = 2; x = -24 www.huongdanvn.com Ví dụ 2: (1) 1− x + + x = Điều kiện - < x < (*) Khi vế phương trình (1) không âm, bình phương hai vế ta có: (1) - x + + x + (1 − x)(4 + x) = (1 − x)(4 + x) = (2) Bình phương hai vế phương trình (2) ta có: (2) (1 - x)(4 + x) = - x - 3x + = x(x + 3) = x = x=-3 Đối chiếu với điều kiện (*) ta có nghiệm phương trình (1) là: x = 0; x = -3 b Phương pháp đưa phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ1: Giải phương trình: x - 4x - = (1) x+5 Điều kiện x > - (*) Với điều kiện trên: (1) x – 3x + 3 1    x −  =  x + +  2 2   x − = x+5 + 2 Nếu x > Nếu x < x+5 = x - Nếu x > x+5 = - x + Nếu x < x = x+5 + 2 =x +5+ x - = − x+5 − x+5 + (Vì x+5 + x>2 x>2 x + = x2 - 4x + x2 - 5x -1 = 6 > 0) www.huongdanvn.com  x 0) x +1 −1 = 1− x +1  x +1 −1 ≤   x + − ≥   x + − = − x + ⇔ −1 ≤ x ≤ Đối chiếu với điều kiện (*) nghiệm (1) là: - < x < c Phương pháp đặt ẩn phụ Việc giải phương trình vô tỷ thường gây nhiều khó khăn, phức tạp: Nếu nâng lên luỹ thừa để làm dấu dẫn đến phương trình bậc cao, nhiều cách giải Tuy nhiên, đặt ẩn phụ cách thích hợp chuyển phương trình vô tỷ cho phương trình hay hệ phương trình đại số có cách giải quen thuộc Phương pháp nói chung không làm phức tạp thêm toán Cách đặt ẩn phụ tuỳ thuộc vào toán cụ thể, phải linh hoạt x = ( x + 2).1 − − x  (1) Ví dụ 1: Giải phương trình:   www.huongdanvn.com ĐKXĐ: < x < (*) Đặt − x = t (t > 0) Khi - x = t x = (1 - t 2)2 (vì x ≥ 0) Đến phương trình (1) có dạng: (1 - t 2)2 = (3 - t2)(1 - t)2 (1 - t)2(1 + t)2 - (3 - t2)(1 - t2) = (1 - t)2(1 + 2t + t2 - + t2) = (1 - t) 2(2t2 + 2t - 2) = (1 - t)2 = t=1 t2 + t - = t= Vì t > nên − 1+ t=1 t= − 1+ Với t = ta có x = Với t = − 1+ 3− ta có x = 2 Đối chiếu với điều kiện (*) nghiệm (1) là: x = 0; x = Ví dụ 2: Giải phương trình: Điều kiện: Đặt u = 97 − x v= 4 3− 97 − x + x − 15 = (1) 15 < x < 97 (*) (u, v > 0) x − 15 Khi đó, (1) tương đương với hệ phương trình: u+v=4 u4 + v4 = 82 Mặt khác, u4 + v4 = [(u + v) - 2uv] - 2u2v2 Vì: u + v = nên u + v4 = (16 - 2uv) - 2u2v2 Đặt t = u v (t > 0) ta có: (16 - 2t) - 2t2 = 82 (2) t - 32t + 87 = t1 = 3, t2 = 29 www.huongdanvn.com u + v = u.v = Ta có hai hệ phương trình sau:  u + v = (4) u.v = 29 (3)  Hệ (3) có hai nghiệm (1, 3); (3,1) Hệ (4) vô nghiệm 97 − x =  x − 15 = 81 97 − x = 81  x − 15 = Vậy ta có:  (5)  (6) Hệ (5) có nghiệm x = 96 Hệ (6) có nghiệm x = 16 Đối chiếu với điều kiện (*) nghiệm là: x = 96; x = 16 Ví dụ 3: (5 − ) x + (5 + ) x = 10 (1) Giải phương trình: ĐKXĐ: x ∈ R Ta thấy (5 -2 )(5 + ) = x (5 − ) x = u (u > 0) (5 + ) = Đặt Khi phương trình (1) có dạng: u + = 10 u2 - 10u + = u u=5-2 u=5+2 Nếu u = - (5 − ) x = − (5 − ) x = (5 − ) x = x Nếu u = + (5 − ) = + = u (5 − ) x = (5 − ) ( ⇔ 5−2 ) x+2 5−2 =1⇔ x + = x = - Vậy nghiệm phương trình (1) là: x = + d Phương pháp so sánh (hay phương pháp đối lập) Giải phương trình phương pháp tức so sánh vế trái, vế phải từ nhận xét dấu “=” xảy ? Ví dụ 1: Giải phương trình www.huongdanvn.com (1) x − + − x = x − x + 11 ĐKXĐ: < x < Ta thấy: ( (*) x−2 + 4− x ) = + ( x − 2)(4 − x ) = + − x + x − =2 + − ( x − 3) => ( x−2 + 4− x ) < − ( x − 3) ≤ => x−2 + 4− x < Vậy vế trái đạt GTLN x = Mặt khác: x2 - 6x + 11 = (x - 3) + > => Vế phải đạt GTNN x = Phương trình (1) có nghiệm vế trái = vế phải x = Đối chiếu với điều kiện (*) nghiệm phương trình (1) là: x = Ví dụ 2: Giải phương trình x + − x2 = 9y2 + 6y + ĐKXĐ: -2 ≤ x ≤ 2 (1) (*) áp dụng bất đẳng thức Bunhicopxiki cho hai cặp số (1,1) (x; Ta có: (x + − x ) < (12 + 12)(x2 + - x2) = 16 Dấu “=” xảy 8− x2 ) => x + − x ≤ x = − x x = => vế trái đạt GTLN x = Mặt khác 9y2 + 6y + = (3y + 1) + > => vế phải đạt GTNN y = − Phương trình (4) có nghiệm vế trái = vế phải Vậy nghiệm phương trình (1) x = y = − e Phương pháp bất đẳng thức 10 www.huongdanvn.com Ta dùng bất đẳng thức đánh giá vế phương trình để từ suy nghiệm phương trình Khi giải phương trình vô tỷ thường dùng phương pháp bất đẳng thức nhiều dạng khác * Chứng tỏ tập giá trị vế rời nhau, phương trình vô nghiệm Ví dụ: Giải phương trình: ĐKXĐ: ∀x ∈ R x +1 + x + = Ta thấy x2 > 0∀x∈R nên x + ≥ x + ≥ => x +1 + x + ≥ Hay vế trái lớn mà vế phải Vậy phương trình cho vô nghiệm * Sử dụng tính đơn điệu hàm số: (*) 2x −1 + x −1 = ĐKXĐ: ∀x ∈ R Dự đoán nghiệm: x = Với x = ta có:Vế trái 2.1 − + − = + = => vế trái = vế phải = => x = nghiệm phương trình (1) Nếu x > 3 Nếu x < 3 x −1 > x −1 > 2x −1 < x −1 < Vậy x = nghiệm phương trình (1) * Sử dụng điều kiện xảy dấu “=” bất đẳng thức không chặt Ví dụ: Giải phương trình: 36 x−2 + y −1 = 28 - x − − y − Điều kiện: x -2 > x>2 y-1>0 y >1      = 28 (2)   + x − + + y − Khi (1)      x−2   y −1  11 (1) (*) www.huongdanvn.com áp dụng bất đẳng thức Cauchy với hai số dương ta có: x−2 y −1 + x−2 ≥ + y −1 ≥ x − − 2.3 = x−2 y−2 y − − 2.2 =    + x −  +  + y −  > 4.6 + = 28   x−2   y −   =>  (3) Để phương trình (2) có nghiệm (3) phải lấy dấu “=” tức có: x−2 y −1 = x−2 = y −1 x = 11 y=5 (4) Ta thấy (4) thoả mãn điều kiện (*) Vậy nghiệm phương trình (1) x = 11 y = * áp dụng bất đẳng thức để đánh giá vế phương trình kết hợp với phương trình cho kết luận nghiệm Ví dụ: Giải phương trình x + x −1 + − x + x +1 = x − x + ĐKXĐ: x2 + x - > (1) (*) x - x2 + > áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số hạng vế trái (1) Ta có: x + x −1 ≤ x − x +1 ≤ => x + x −1+1 x − x +1+1 x + x −1 + − x + x +1 ≤ x +1 Kết hợp với phương trình (1) ta được: ≤ x2 - x + < x+1 12 www.huongdanvn.com (x-1)2 < Đẳng thức xảy x=1 (thoả mãn điều kiện (*)) Thử: Thay x=1 vào phương trình (1) ta thấy x=1 nghiệm phương trình (1) g Phương pháp tam thức bậc hai: Đưa phương trình cho dạng tắc ax + bx +c = ) (a ≠0) Ví dụ: Giải phương trình x2 - 7x + 2(x+2) x + = 24 (1) ĐKXĐ: x ≥ -3 Khi (1) x2 + x - 8x - 24 + 2(x+2) x+3 + x + x = - 8(x +3) + 2(x +2) Đặt y = x+3 = x + (y > 0) , (2) - 8y + 2(x + 2)y + x + x = ∆' = (x + 2) + 8(x + x) = (3x + 2) y1 = Với y1 = − x − + 3x + − x − x − − 3x − x + = = , y2 = −8 −8 −x ta có x+3 = −x x + x + = x +3 + x +3 −3 = ∆' = + = => x + = −2 − < (loại) x + = −2 + > x +3 = + - Với y2 = x +1 ta có x+3 = x + - x + = x = - < -3 (loại) x +1 x + - x + − = , ∆' = + = x + = 1− < (loại) x + = + > (TMĐK) x + = + + x = + (thoả mãn) 13 www.huongdanvn.com Vậy x = + nghiệm phương trình (1) h Phương pháp đưa dạng tổng đa thức không âm không Ví dụ: Giải phương trình x + y + z + = x −2 + y −3 +6 z −5 (1) ĐKXĐ: x > ; y > ; z > (*) (1) (x - - x − + 1) + ( y − − y − + 4) + ( z − − z − + 9) = ( x − − 1) + ( y − − 2) + ( z − − 3) = x − −1 = x −3 −2 = z −5 −3 = x-2=1 x=3 y - = y=7 z -5 = z = 14 Đối chiếu với điều kiện (*) nghiệm phương trình (1) là: x = 3; y = 7; z = 14 i Phương trình vô tỷ có biện luận Ví dụ 1: Giải biện luận phương trình: (1) a+ x +3 a− x −3 b ĐKXĐ: x > Lập phương vế phương trình (1) ta được: x + a − x + 33 a − x  a + x + a − x  = b   a+ Vì a2 − x = a+ x +3 a− x =3 b (2) nên (2) 3 a − x b = b − 2a b − 2a 33 b (b ≠ 0) a - x = (b − a ) 27b x = a 8a − b + 6ab + 15a b 27b 14 - (b − a ) 27b x = www.huongdanvn.com x = (a + b) (8a − b) 8a − 16a b + 8ab − b + a b − 2ab x = 27b 27b (a + b) (8a − b) >0 27b Vì x > nên - Nếu a + b ≠ thì: + Khi a > 0; < b < 8: Phương trình (1) vô nghiệm + Khi a > 0; b < b > 8: Phương trình (1) có nghiệm: x = (a + b) (8a − b) 27b - Nếu a + b = phương trình (1) có nghiệm x = - Nếu a = b = 0; Phương trình (1) có vô số nghiệm x > Kết luận: Nếu a > < b < 8: Phương trình (1) vô nghiệm Nếu a > b < b > 8; Phương trình (1) có nghiệm (a + b) (8a − b) x= 27b Nếu a = - b ≠ : Phương trình (1) có nghiệm x = Nếu a = b = : Phương trình (1) có vô số nghiệm x > Nếu a < : Phương trình (1) vô nghiệm Ví dụ 2: Giải biện luận phương trình: ( a − x ) x − b + ( x − b) a − x ĐKXĐ: a − x + x −b = a −b (a, b tham số: a ≠ b ) a-x>0 x-b>0 + Nếu a > b b < x < a (2) Đặt x −b = u , Khi (1) a−x =v ,(u, v > 0) Ta có u + v4 = a - b v u + u v u + v = u5 + v5 - u4v - uv4 = u+v u4(u - v) - v (u - v) = (u - v)(u - v4) = (u - v) (u + v)(u + v 2) = 15 www.huongdanvn.com Vì u2 + v2 ≠ nên u + v ≠ nên u -v = u => u =v x − b = a − x x - b = a – x x = a+b (thoả mãn điều kiện (2) + Nếu a < b: Phương trình (1) vô nghiệm Kết luận: Nếu a > b: Phương trình (1) có nghiệm x = a+b Nếu a < b: Phương trình (1) vô nghiệm Một số sai lầm giải phương trình vô tỷ Thường học sinh hay mắc sai lầm giải phương trình vô tỷ mà có bậc chẵn, là: - Không tìm tập xác định giải: - Không đặt điều kiện biến đổi tương đương phương trình Ví dụ: Giải phương trình: 3x − − x − = x − (1) Giải sai: Chuyển vế: 3x − = x − + x − x - = 5x - + 2x - + (5 x − 1)(2 x − 3) 10 x − 17 x + = −4 x + 10 x − 17 x + = − x (2) 10x2 - 17x + = + 4x 2-4x (3) 6x – 13x + = (x - 2)(6x - 1) = x=2 x= Vậy nghiệm phương trình (1) x = 2; x = Phân tích sai lầm: học sinh không ý đến điều kiện có nghĩa thức Trong ví dụ trên: Điều kiện x > 3 Do < nên x = không 6 nghiệm phương trình (1) Để khắc phục sai lầm ta tìm ĐKXĐ 16 www.huongdanvn.com phương trình giải thử giá trị tìm ẩn vào phương trình cho để kết luận nghiệm - Không đặt điều kiện để biến đổi tương đương phương trình ví dụ trên: phương trình (2) (3) không tương đương mà Phương trình (2) - 2x > 10x2 - 17x + = (1- x) 2 => Như phương trình (3) tương đương với phương trình (2) x< =>x = không nghiệm phương trình (1) Giải đúng: ĐKXĐ: x > (*) Ta có: (1) 10 x − 17 x + = − x   x ≤  1 − x ≥ x ≤ ⇔ ⇔ ⇔x=  2 10 x − 17 x + 13 = + x − x 6 x − 13 x + =  x = 2, x =   Đối chiếu với điều kiện (*) => phương trình (1) vô nghiệm Phần 3: Tác dụng đề tài I Tác dụng Việc vận dụng sáng kiến kinh nghiệm mang lại nhiều hiệu việc giải toán có liên quan giải toán thuộc dạng Phần đông em có hứng thú làm tập tập có phương pháp giải vận dụng phương pháp giải loại toán khác giải Đối với khối lượng đại trà việc học em vấn đề xung quanh SGK nhận dìu dắt tận tình cụ thể việc học em đỡ vất vả có hứng thú Đối với loại toán học sinh không dừng lại cấp THCS mà em vận dụng đến lớp 12 chí thi vào Đại học Cao đẳng Đây dạng toán cần quan tâm đa dạng phong phú đề cập đến kiến thức trường phổ thông 17 www.huongdanvn.com có tính tổng hợp, cần phải vận dụng nhiều đơn vị kiến thức lúc giải vấn đề Với cách học cách hướng dẫn học sinh làm nâng cao kiến thức cho em mà hình thức củng cố, khắc sâu kiến thức cho em Trong đề tài nêu số phương pháp giải phương trình vô tỷ, phương pháp có số ví dụ minh hoạ tuyển chọn số liệu tham khảo Do điều kiện vừa học tập vừa công tác, kinh nghiệm hạn chế nên trình viết khó tránh khỏi đơn điệu, sai sót kiến thức, cách trình bày hệ thống phương pháp hy vọng phần giúp hiểu kỹ toán giải phương trình vô tỷ phương pháp giải dạng Thông qua nghiên cứu đề tài này, than thực rút nhiều kiến thức quý báu, giúp hoàn tành tốt cho công việc giảng dạy sau Tôi mong nhận đóng góp ý kiến quý báu thày, cô bạn bè đồng nghiệp để vốn kiến thức ngày hoàn thiện phong phú II Hiệu Qua năm tham gia giảng dạy thử nghiệm sáng kiến kinh nghiệm đạt kết định Vì vấn đề khó dám áp dụng vào lớp học tốt với số lượng học sinh 32 em Số học sinh làm tốt: 16 em Đạt tỷ lệ: 50% Số học sinh lại phải hướng dẫn tận tình, bỡ ngỡ ban đầu tránh khỏi Sau nhiều lần hướng dẫn khó khăn ban đầu không nữa, thay vào vận dụng nhanh nhẹn, linh hoạt không dạng toán mà cho nhiều dạng toán khác Với đề tài mạnh dạn trình bày với đồng chí, đồng nghiệp số kinh nghiệm giảng dạy toán phạm vi nhỏ Rất 18 www.huongdanvn.com nhiều khiếm khuyết mong bạn đọc đóng góp ý kiến Tôi xin chân thành cảm ơn ! Sông Mã, ngày 25 tháng 03 năm 2011 NGƯỜI VIẾT 19 [...]... 2 + Nếu a < b: Phương trình (1) vô nghiệm Kết luận: Nếu a > b: Phương trình (1) có nghiệm x = a+b 2 Nếu a < b: Phương trình (1) vô nghiệm 5 Một số sai lầm khi giải phương trình vô tỷ Thường học sinh hay mắc sai lầm khi giải phương trình vô tỷ mà có căn bậc chẵn, đó là: - Không tìm tập xác định khi giải: - Không đặt điều kiện khi biến đổi tương đương các phương trình Ví dụ: Giải phương trình: 3x − 2... b < 8: Phương trình (1) vô nghiệm + Khi a > 0; b < 0 hoặc b > 8: Phương trình (1) có nghiệm: x = (a + b) 2 (8a − b) 27b - Nếu a + b = 0 phương trình (1) có nghiệm x = 0 - Nếu a = b = 0; Phương trình (1) có vô số nghiệm x > 0 Kết luận: Nếu a > 0 và 0 < b < 8: Phương trình (1) vô nghiệm Nếu a > 0 và b < 0 hoặc b > 8; Phương trình (1) có nghiệm (a + b) 2 (8a − b) x= 27b Nếu a = - b ≠ 0 : Phương trình (1)... Với cách học và cách hướng dẫn học sinh làm bài như vậy không những nâng cao kiến thức cho các em mà còn là hình thức củng cố, khắc sâu kiến thức cho các em Trong đề tài này tôi đã nêu được một số phương pháp về giải phương trình vô tỷ, mỗi phương pháp có một số ví dụ minh hoạ do tôi tuyển chọn ở một số liệu tham khảo Do điều kiện vừa học tập vừa công tác, kinh nghiệm còn hạn chế nên quá trình viết... hơn II Hiệu quả Qua một năm tham gia giảng dạy và thử nghiệm về sáng kiến kinh nghiệm của mình tôi cũng đạt được những kết quả nhất định Vì đây là vấn đề khó tôi chỉ dám áp dụng vào lớp học tốt với số lượng học sinh là 32 em Số học sinh làm tốt: 16 em Đạt tỷ lệ: 50% Số học sinh còn lại tôi đã phải hướng dẫn tận tình, những bỡ ngỡ ban đầu không thể tránh khỏi Sau nhiều lần hướng dẫn những khó khăn ban...www.huongdanvn.com Ta dùng bất đẳng thức đánh giá mỗi vế của phương trình để từ đó suy ra nghiệm của phương trình Khi giải phương trình vô tỷ thường dùng phương pháp bất đẳng thức ở nhiều dạng khác nhau * Chứng tỏ tập giá trị ở 2 vế là rời nhau, khi đó phương trình vô nghiệm Ví dụ: Giải phương trình: ĐKXĐ: ∀x ∈ R x 2 +1 + x 2 + 4 = 2 Ta thấy x2 > 0∀x∈R nên x 2 + 1 ≥ 1 và x 2... là nghiệm của phương trình (1) Để khắc phục sai lầm này ta tìm ĐKXĐ của 16 www.huongdanvn.com phương trình hoặc giải rồi thử các giá trị tìm được của ẩn vào phương trình đã cho để kết luận nghiệm - Không đặt điều kiện để biến đổi tương đương các phương trình ở ví dụ trên: các phương trình (2) và (3) không tương đương mà Phương trình (2) 1 - 2x > 0 10x2 - 17x + 3 = (1- x) 2 1 2 => Như vậy phương trình. .. = 28   x−2   y − 4   =>  9 (3) Để phương trình (2) có nghiệm thì (3) phải lấy dấu “=” tức là có: 9 x−2 4 y −1 = x−2 = y −1 x = 11 y=5 (4) Ta thấy (4) thoả mãn điều kiện (*) Vậy nghiệm của phương trình (1) là x = 11 và y = 5 * áp dụng bất đẳng thức để đánh giá một vế của phương trình rồi kết hợp với phương trình đã cho kết luận nghiệm Ví dụ: Giải phương trình x 2 + x −1 + − x 2 + x +1 =... 2 = 0 x − 2 −1 = 0 x −3 −2 = 0 z −5 −3 = 0 x-2=1 x=3 y - 3 = 4 y=7 z -5 = 9 z = 14 Đối chiếu với điều kiện (*) nghiệm của phương trình (1) là: x = 3; y = 7; z = 14 i Phương trình vô tỷ có biện luận Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình: 3 (1) a+ x +3 a− x −3 b ĐKXĐ: x > 0 Lập phương 2 vế của phương trình (1) ta được: x + a − x + 33 a 2 − x  3 a + x + 3 a − x  = b   a+ Vì 3 a2 −... Phương trình (1) có nghiệm (a + b) 2 (8a − b) x= 27b Nếu a = - b ≠ 0 : Phương trình (1) có nghiệm x = 0 Nếu a = b = 0 : Phương trình (1) có vô số nghiệm x > 0 Nếu a < 0 : Phương trình (1) vô nghiệm Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình: ( a − x ) 4 x − b + ( x − b) 4 a − x 4 ĐKXĐ: a − x + x −b 4 = a −b (a, b là tham số: a ≠ b ) 2 a-x>0 x-b>0 + Nếu a > b thì b < x < a (2) Đặt 4 x −b = u , Khi đó (1) ... vế phải bằng 2 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm * Sử dụng tính đơn điệu của hàm số: 3 (*) 2x −1 + 3 x −1 = 1 ĐKXĐ: ∀x ∈ R Dự đoán nghiệm: x = 1 Với x = 1 ta có:Vế trái 2.1 − 1 + 3 1 − 1 = 1 + 0 = 1 3 => vế trái = vế phải = 1 => x = 1 là nghiệm của phương trình (1) Nếu x > 1 thì 3 3 Nếu x < 1 thì 3 3 2 x −1 > 1 x −1 > 0 2x −1 < 1 x −1 < 0 Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình (1) * Sử dụng