Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath ÔN TẬP KIẾN THỨC ÔN THI ĐẠI HỌC I, Khảo sát hàm số và các vấn đề liên quan 1.Bảng các đạo hàm x n.x n n 1 u n.u .u n n 1 x 2 x 1 u 2 u u 2 1 1 x x 2 1 u u u x 1 , c 0 , k.u k.u u v u v uv u v uv 2 u u v uv v v sinx cos x sin u u .cos u cos x sinx cos u u .sin u tan x 12 cos x tan u u 2 cos u cot x 1 2 sin x cot u u2 sin u 2. Xét dấu biểu thức. Định lý về dấu của nhị thức bậc nhất y f x =ax b a 0 x b a y af x 0 0 af x 0 Định lý về dấu của tam thức bậc hai y ax bx c a 0 2 b 4ac b ac ,b 2 2 b 4 2 +) Nếu 0 0 phương trình y 0 vô nghiệm. x y af x 0 +) Nếu 0 0 phương trình y=0 có nghiệm kép x1,2 b 2a x b 2a y af x 0 0 af x 0 +) Nếu 0 0 phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt b b x 2a a , sắp xếp hai nghiệm x x 1 2 x x1 x2 y af x 0 0 af x 0 0 af x 0 Định lý vi-et: Khi phương trình bậc hai ax bx c 0 a 0 2 có hai nghiệm x ; x 1 2 ta có 1 2 1 2 b x x a c x .x a 3. Phương trình tiếp tuyến ( PT3 ) PT3 với đồ thị hàm số y f x tại điểm M x ; y 0 0 có hệ số góc là f x 0 PT3 với đồ thị hàm số y f x tại điểm M x ; y 0 0 có dạng : y f x x x y 0 0 0 , y f x 0 0 M được gọi là tiếp điểm x0 được gọi là hoành độ của tiếp điểm y0 được gọi là tung độ của tiếp điểmLê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath f '' x 0 được gọi là hệ số góc của tiếp tuyến. Nếu PT3 song song với đường thẳng y ax b thì f x a 0 Nếu PT3 vuông góc với đường thẳng y ax b thì f x 0 1 a Nếu PT3 tạo với trục 0x một góc thì f x tan 0 Nếu PT3 cắt hai trục tọa độ tạo thành một tam giác vuông cân thì f x 1 0 4. Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số Tìm tập xác định của hàm số Tính đạo hàn f x , tìm các điểm x i 1, 2...n i mà tại đó đạo hàm bằng không hoặc không xác định. Sắp xếp xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. Nêu các kết luận về sự đồng biến nghịch biến của hàm số 5. Quy tắc 1 tìm cực trị hàm số Tìm tập xác định của hàm số Tính f x , tìm các điểm x i 1, 2...n i mà tại đó đạo hàm bằng không hoặc không xác định. Sắp xếp xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị của hàm số. 6. Quy tắc 2 tìm cực trị của hàm số Tìm tập xác định Tính f x , giải phương trình f x 0 và kí hiệu x i 1, 2...n i là các nghiệm của nó. Tính f x và f x i Nếu f x 0 0 thì x0 là điểm cực tiểu. Nếu f x 0 0 thì x0 là điểm cực đại. Chú ý nếu f x 0 0 thì ta không kết luận được về tính cực trị hàm số tại x0 7.Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn. Tìm các điểm x ; x ; ...; x 1 2 n trên a;b mà tại đó f x 0 hoặc không xác định. Tính f a ; f x ; f x ;...;f x ;f b . 1 2 n Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Khi đó: a;b a;b M max f x , m min f x Chú ý: Để tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng, nửa khoảng ta có thể lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng, nửa khoảng đó và từ đó kết luận. Không phải hàm số nào cũng có GTLN, GTNN. 8. Đường tiệm cận Đường tiệm cân ngang: y y 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y f x nếu: 0 x lim f x y Đường tiệm cận đứng: x x 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y f x nếu x x0 lim 9. Sơ đồ khảo sát hàm số Tìm tập xác định của hàm số. Xét chiều biến thiên của hàm số +Tìm y’ +Tìm các điểm tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định +Xét dấu y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số (đồng biến,ngịch biến). Tìm cực trị Tìm giới hạn và tiệm cận (nếu có). Lập bảng biến thiên Vẽ đồ thị.Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath 10. Tương giao của hai đồ thị. Xét hai hàm số y f x và y g x tọa độ giao điểm của đồ thị hai hàm số là nghiệm của hệ phương trình. y f x y g x Đường thẳng y ax b là PT3 của đồ thị hàm số y f x , khi và chỉ khi phương trình f x ax b f x a có nghiệm. II, Lượng giác 1.Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản 2 2 2 2 2 2 sin x cos x 1 1 1 1 tan x ,1 cot x cos x sin x sin x cos x t anx ,cot x , tan x cot x 1 cos x sinx 2.Công thức cộng lượng giác sin a b sin a cos b cos a sin b cos a b cos a cos b sin a sin b t ana tan b tan a b 1 tan a tan b 3.Công thức cung nhân đôi 2 2 2 sin 2a 2sin a cos a cos2a cos a sin a 2cos a 1 1 2sin a 2 2 2 tan a tan 2a 1 tan a Chú ý: Nếu đặt tan t x 2 thì ta có: 2 2 2 2 2 2t 1 t sinx ; cos x 1 t 1 t 2t 1 t t anx ; cot x 1 t 2t 4.Công thức hạ bậc 2 2 1 cos2a 1 cos2a cos a ; sin a 2 2 5. Công thức cung nhân ba 3 3 sin 3a 3sin a 4sin a; cos3a 4cos a 3cosa 6.Công thức biến đổi tổng thành tích a b a b cos a cos b 2cos cos 2 2 a b a b cosa-cos b 2sin sin 2 2 a b a b sin a sin b 2sin cos 2 2 a b a b sin a sin b 2cos sin 2 2 7.Công thức biến đổi tích thành tổng. cos a cos b cos a b cos a b 1 2 1 sin a sin b cos a b cos a b 2 1 sin a cos b sin a b sin a b 2 8.Giá trị lượng giác của các góc liên quan. Góc GTLG 2 sin sin sin cos sin cos cos cos sin cos tan tan tan cot tan cot cot cot tan cot 9.Phương trình sinx=a a 1 phương trình vô nghiệm a 1 có góc sin a : 2 2 Được gọi là arcsin a sin f x sin g x f x g x k2 , k f x g x k2 Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath Các trường hợp đặc biệt sinx 1 x k2 ,k 2 sinx 0 x k , k sinx 1 x k2 , k 2 Bảng sin các góc đặc biệt Góc 2 3 4 6 900 600 450 300 sin -1 3 2 2 2 1 2 Góc 0 6 4 3 2 00 300 450 600 900 sin 0 1 2 2 2 3 2 1 10.Phương trình cosx=a a 1 phương trình vô nghiệm a 1 có góc cos a : 0 Được gọi là arccosa cosf x cosg x f x g x k2 , k f x g x k2 Các trường hợp đặc biệt cosx 1 x k2 ,k cosx 0 x k ,k 2 cosx 1 x k2 , k Bảng cos các góc đặc biệt Góc 0 6 4 3 2 00 300 450 600 900 cos 1 3 2 2 2 1 2 0 Góc 2 3 34 56 1200 1350 1500 1800 cos 1 2 2 2 3 2 1 11.Phương trình tanx=a Đk: x k , k 2 Luôn có góc tan a : 2 2 được gọi là arctana tan f x tan g x f x g x k , k Bảng tan các góc đặc biệt Góc 3 4 6 0 600 450 300 00 tan 3 1 3 3 0 Góc 6 4 3 300 450 600 tan 3 3 1 3 12.Phương trình cotx=a Đk: x k , k Luôn có góc cot a : 0 được gọi là arccota cot f x cot g x f x g x k , k Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath Bảng cot các góc đặc biệt Góc 6 4 3 2 300 450 600 900 cot 3 1 3 3 0 Góc 3 4 6 600 450 300 cot 3 3 1 - 3 III, Số phức Số phức Z a bi , a là phần thực của Z, b là phần ảo của Z, i là số 2i 1 Mô đun của số phức Z a bi được tính bởi công thức Z a b 2 2 Cho số phức Z a bi thì số phức Z a bi được gọi là số phức liên hợp của Z a bi Cho Z a bi, Z c di 1 2 Z Z a c b d i 1 2 Z Z ac bd ad bc i 1 2 2 2 2 2 2 1 Z ac bd ad bc i Z a b a b Z 0 1 Nếu a là một số thực âm thì căn bậc hai của a là: i a Các nghiệm của phương trình ax bx c 0 a 0 2 khi 0 là: 1,2 b i x 2a . IV, Mũ, Lô-ga 1. Bảng các đạo hàm x '' x 1 u '' u .u '' 1 x 1 c 0 2 1 1 '' x x 2 1 u '' '' u u x '' 2 x 1 u '' 2 u u '' u v '' u '' v '' uv '' u ''v v''u 2 u u ''v v ''u '' v v ku '' k. u '' sinx cos x sin u cos u. u cos x sinx cos u sin u. u t anx 12 cos x tan u u 12 cos u cot x 1 2 sin x cot u '' u 1 2 sin u e '' e x x e '' e .u '' u u a '' a ln a x x a '' a .ln a.u '' u u ln x '' 1 x ln u '' u '' u log x '' a 1 x ln a log u '' a u '' u ln a 2. Các công thức lũy thừa n n a a.a...a , a 1 0 n n 1 a a m n n m a a a a a a a a a a ab a b a a b b 3. Các công thức Loogarít log b a b a , log 1 0a a a b log b Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath log a a e 10 ln a log a; lg b log b log b log b b log b log b a 1 2 a 1 a 2 1 a a 1 a 2 2 b log log b log b b log b log b a a n a a 1 log b log b n c a a b a c log b log b ;log b.log c log c log a , a b 1 log b log a a a 1 log b log b , 4. Phương trình- Bất phương trình mũ. a)Phương trình mũ Dạng cơ bản: a b x a 0,a 1 nếu b 0 phương trình vô nghiệm, nếu b>0 phương trình có nghiệm duy nhất x log ba Đưa về cùng cơ số a a f (x) g(x) f (x) g(x) Đặt ẩn phụ Dạng 1: A.a B.a C 0 2x x đặt t a t 0 x phương trình trở thành A.t Bt C 0 2 Dạng 2: A.a B ab C.b 0 2x 2x x 2x x a a A. B C 0 b b Đặt x a t b t 0 Dạng 3: A.a B.b C 0 x x với ab 1 hoặc a .b 1 x x ta đặt t a t 0 x . Khi đó bx 1 t Loogarít hóa Với M, N 0 và a 0, a 1 a a f x a M N log M log N a M f x log M Dùng tính đơn điệu: Dự đoán nghiệm của phương trình, dùng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm đó là duy nhất. b)Bất phương trình mũ a 1: a a f (x) g(x) f (x) g(x) 0 a 1 a a f (x) g(x) f (x) g(x) Chú ý b a log b a 5. Phương trình- Bất phương trình lôgarít a)Phương trình lôgarit Dạng cơ bản log x b x a a 0,a 1 a b Chú ý: điều kiện log f (x) a là f (x) 0 a 0; a 1 Đưa về cùng cơ số a a f (x) g(x) log f (x) log g(x) f x 0 f (x) g(x) g x 0 Đặt ẩn phụ Dạng 1: A(log x) B log x C 0 a a 2 đặt t log x a At Bt C 0 2 , chú ý log b log b a a 2 2Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath Dạng 2: A log x Blog a C 0 a x đặt a x 1 t log x log a t x 0, x 1 Mũ hóa c log b c b a a Dùng tính đơn điệu Dự đoán nghiệm của phương trình, dùng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm đó là duy nhất. b)Bất phương trình lôgarit a>1 a a f (x) g(x) log f (x) log g(x) f (x) 0 0 a 1 a a f (x) g(x) log f (x) log g(x) g(x) 0 V, Phương trình, bất phương trình đại số 1. Các hằng đẳng thức đáng nhớ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 A B A 2AB B A B C A B C 2AB 2BC 2AC A B A B A B A B A B A AB B A B A 3A B 3AB B 2. Phương trình ax b 0 ax b 0 1 Hệ số Kết luận a 0 (1) có nghiệm duy nhất x b a a 0 b 0 (1) vô nghiệm b 0 (1) nghiệm đúng với mọi x 3. Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (2) = b2 – 4ac 2 b '' b '' ac, b'' 2 Kết luận > 0 '' 0 (2) có hai nghiệm phân biệt x1,2= b b'' '' 2a a = 0 '' 0 (2) có nghiệm kép b b '' x 2a a < 0 '' 0 (2) vô nghiệm 4. Định lý Vi-ét Nếu phương trình bậc hai ax bx c 0 a 0 2 2 có hai nghiệm x ; x 1 2 thì x x , x x 1 2 1 2 b c a a Nếu hai số u, v có tổng S=u+v và tích P=uv thì u và v là các nghiệm của phương trình x Sx P 0 2 (2) có hai nghiệm phân biệt a 0 0 '' 0 (2) có hai nghiệm trái dấu ac 0 (2) có hai nghiệm cùng âm 1 2 1 2 a 0 0 '' 0 x x 0 x x 0 (2) có hai nghiệm cùng dương 1 2 1 2 a 0 0 '' 0 x x 0 x x 0 3. Phương trình bậc cao Dạng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình Phương trình: n n 1 a x a x ...a x a 0 n n 1 1 0 với các hệ số nguyên có nghiệm hữu tỉ p q thì p là ước của a0 và q là ước của a nLê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath Dạng 2: Phương trình trùng phương ax bx c 0 4 2 đặt x t t 0 2 chuyển về phương trình bậc hai. Dạng 3: Phương trình hồi quy: ax bx cx dx e 0 4 3 2 với a 0 và 2 e d , e 0 a b Nhận xét x 0 không là nghiệm của phương trình, chia hai vế cho x2 ta có: 2 2 e 1 b 1 a x b x c 0 a x d x Đặt t x b 1 d x phương trình trở thành phương trình bậc hai. Dạng 4: Phương trình: x a x b x c x d m , với a b c d . Biến đổi phương trình về dạng: x a b x ab x c d x cd m 2 2 Đặt t x a b x ab 2 biến đổi về phương trình bậc hai. Dạng 5: Phương trình: x a x b x c x d mx 2 với a.b c.d . Biến đổi phương trình về: x a b x ab x c d x cd mx 2 2 2 xét x 0 ; x 0 chia hai vế cho x2 ta có : x a b x c d m ab cd x x Đặt t x ab x biến đổi phương trình về phương trình bậc hai. 4. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối: Để giải các phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối ta tìm cách phá dấu giá trị tuyệt đối của phương trình, có hai cách phá dấu giá trị tuyệt đối của phương trình là xét dấu biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối hoặc bình phương hai vế của phương trình, khi bình phương hai vế của phương trình ta cần phải chú ý điều kiện hai vế cùng lớn hơn hoặc bằng 0. A, A 0 A A, A 0 ; 2 2 A A 2 2 f x g x f x g x f x g x f x g x 2 2 g(x) 0 f(x) g(x) f(x) g(x) g(x) 0 f(x) g x 5. Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn. Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thông thường ta bình phương hai vế của phương trình, khi bình phương hai vế của phương trình ta cần chú ý điều kiện hai vế cùng lớn hơn hoặc bằng 0 2 g(x) 0 f(x) g(x) f(x) g x f(x) 0 f x g x f(x) g(x) g(x) 0 f(x) g(x) 6. Hệ phương trình đối xứng loại 1: Hệ phương trình đối xứng loại 1 hai ẩn x, y là hệ phương trình gồm các phương trình không thay đổi khi ta thay x bởi y và y bởi x Đối với hệ phương trình dạng này ta thường dùng phương pháp đặt ẩn phụ S x y P xy , điều kiện: S 4P 0 2 7. Hệ phương trình đối xứng loại 2: Hệ phương trình đối xứng loại 2 là hệ phương trình nếu thay đổi x cho y và yLê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath cho x thì phương trình này chuyển về phương trình kia của hệ. Đối với hệ phương trình này ta thường trừ từng vế của phương trình cho nhau, bao giờ cũng phân tích được thành nhân tử x y 8. Hệ phương trình đẳng cấp: Phương trình đẳng cấp bậc hai có dạng: 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 a x b xy c y d a x b xy c y d Cách giải: Cách 1: Đặt x ty tìm t và giải phương trình. Cách 2: Chuyển phương trình về dạng Ax Bxy Cy 0 2 2 Xét y 0 thay vào phương trình Xét y 0 chia 2 vế của phương trình ta được phương trình bậc hai với x y 9. Định lý về dấu của nhị thức bậc nhất: y f x =ax b a 0 x b a y af x 0 0 af x 0 10. Định lý về dấu của tam thức bậc hai: y ax bx c a 0 2 b 4ac b ac ,b 2 2 b 4 2 +) Nếu +) Nếu 0 0 phương trình y 0 vô nghiệm. x y af x 0 +) Nếu 0 0 phương trình y=0 có nghiệm kép x1,2 b 2a x b 2a y af x 0 0 af x 0 +) Nếu 0 0 phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt b b x 2a a , sắp xếp hai nghiệm x x 1 2 x x1 x2 y af x 0 0 af x 0 0 af x 0 11. Bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối g(x) 0 f(x) g(x) g(x) f(x) g(x) g(x) 0 f(x) coù nghóa f(x) g(x) g(x) 0 f(x) g(x) f(x) g(x) Với B > 0 ta có : A B B A B ; A B A B A B . Ta thường dùng cách bình phương hai vế của phương trình để phá dấu giá trị tuyệt đối, khi bình phương cần chú ý điều kiện để hai vế cùng dấu.Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath 12. Bất phương trình chứa ẩn trong căn 2 f(x) 0 f(x) g(x) g(x) 0 f(x) g(x) 2 g(x) 0 f(x) 0 f(x) g(x) g(x) 0 f(x) g(x) Ta thường dùng cách bình phương hai vế của phương trình để phá dấu giá trị tuyệt đối, khi bình phương cần chú ý điều kiện để hai vế cùng dấu. VI, Tích Phân và ứng dụng 1. Bảng các nguyên hàm- tích phân Các nguyên hàm cơ bản 1 x x dx C, 1, 1 1 dx ln x C x , dx x c , 2 1 1 dx C x x cosxdx sin x C sin xdx cosx C 2 1 dx tan x C cos x 2 1 dx co t x C sin x tan xdx ln cosx C co t xdx ln sin x C e dx e C x x x xdx C ln , > 0, 1 Các nguyên hàm thường dùng 1 (ax b) 1 (ax b) dx C, 1, a 1 1 ln ax b dx C ax b a sin(ax b) cos(ax b)dx C a cos(ax b) sin(ax b)dx C a 2 1 1 dx tan(ax b) C cos (ax b) a 2 1 1 dx co t(ax b) C sin (ax b) a 1 tan(ax b)dx ln cos(ax b) C a 1 co t(ax b)dx ln sin(ax b) C a ax b ax b 1 e dx e C a ax b ax bdx C a ln , > 0, 1 dx 2 x C x 2 2 dx 1 x arctan C x a a a 2 2 dx 1 x a ln C x a 2a x a 2 2 dx 1 a x ln C a x 2a a x 2 2 dx ln x x p C x p Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath 2 2 dx x arcsin C a x a b) Nếu F(x) là một nguyên hàm f(x) thì b a b f x dx F x F(b) F(a) a c) Tính tích phân. Phương pháp đổi biến số dạng 1 b b I f x . x dx Đặt t x . Khi đó b b b a I f x . x dx f t dt Chú ý: t x dt x dx g(t) x g t dt x dx Phương pháp đổi biến số dạng 2. b a I f x dx Đặt x t . Với là hàm số có đạo hàm liên tục trên ; , trong đó a ;b .Khi đó b a I f x dx f (t) t dt 2 2 a x x asint 2 2 1 a x a=tant 2 2 x a a x sin t Phương pháp tích phân từng phần b b a a b udv uv vdu a Chú ý: u f x du f x dx dv g x dx v g x dx dx P(x)sinx P(x)cosx u P(x) P(x) dv Sinxdx Cosxdx dx P(x) ex P(x)lnx u P(x) lnx dv ex dx P(x)dx d) Ứng dụng của tích phân. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y f x liên tục và trục hoành,x=a; x=b (a r (P) và (S) không có điểm chung. h = r (P) tiếp xúc với (S). h < r (P) cắt (S) theo đường tròn tâm H, bán kính r r h 2 2 . Chú ý: Điều kiện cần và đủ để (P) tiếp xúc với S(O; r) tại H là (P) vuông góc với OH tại H và OH=r . Khi đó ta gọi H là tiếp điểm và mặt phẳng (P) đượng gọi là mặt phẳng tiếp xúc hay mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu. Nếu h = 0 thì (P) cắt (S) theo đường tròn tâm O bán kính r. Đường tròn này đgl đường tròn lớn và (P) đgl mặt phẳng kính của mặt cầu (S). 3. Mặt cầu nội tiếp-ngoại tiếp Mặt cầu đgl nội tiếp hình đa diện nếu mặt cầu đó tiếp xúc với tất cả các mặt của hình đa diện, mặt cầu đgl ngoại tiếp hình đa diện nếu tất cả các đỉnh của hình đa diện đều nằm trên mặt cầu. Một hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi đáy có đường tròn ngoại tiếp, tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là giao của đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy, vuông góc với mặt phẳng đa giác đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên. 4. Các hình thường gặp: Hình chóp là hình có đáy là một đa giác và đỉnh là một điểm không nằm trên mặt phẳng chứa đáy. Tùy theo đáyLê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath là tam giác, tứ giác… mà ta gọi là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác… Hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu nó có đáy là đa giác đều và có chân đường cao trùng với tâm của đáy. Hình chóp cụt là hình tạo bởi thiết diện song song với đáy cắt các cạnh bên của hình chóp và đáy. Hình chóp cụt đều là hình chóp cụt hình thành do cắt hình chóp đều. Hình tứ diện là hình chóp tam giác Hình tứ diện đều là hình chóp tam giác có bốn mặt là các tam giác đều. Hình lăng trụ là hình gồm hai đáy là hai đa giác bằng nhau nằm trên hai mặt phẳng song song, các cạnh bên song song và bằng nhau. Tùy theo đáy của hình lăng trụ là tam giác, tứ giác ....ta có hình lăng trụ tam giác, tứ giác… Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp. Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với mặt đáy. Độ dài cạnh bên là chiều cao của hình lăng trụ đứng. Tùy theo đáy của hình lăng trụ đứng là tam giác, tứ giác… ta có hình lăng trụ đứng tam giác, hình lăng trụ đứng ngũ giác… Hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều được gọi là hình lăng trụ đều. Hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp đứng. Hình lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật được gọi là hình hộp chữ nhật Hình lăng trụ đứng có đáy là hình vuông các mặt bên đều là hình vuông được gọi là hình lập phương. Chú ý: Đa giác đều là đa giác có các cạnh và các góc bằng nhau. 5. Các kiến thức về quan hệ vuông góc Để chứng minh một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ta chứng minh nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng Hai mặt phẳng vuông góc khi mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. Hai mặt phẳng vuông góc thì đường thẳng nào nằm trong mặt này vuông góc với giao tuyến sẽ vuông góc với mặt phẳng kia. Cách xác định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng +) Để tính khoảng cách từ một điểm M xuống mặt phẳng (P) ta thực hiện: B1: Chọn trong (P) một đường thẳng a và dựng mặt phẳng (Q) qua M và vuông góc với a B2: Xác định giao tuyến b của (Q) và (P). B3: Dựng MH vuông góc với b thì MH là khoảng cách từ M đến (P). +) Chú ý: . Trước khi thực hiện chọn a và mặt phẳng (Q) ta cần xem đường thẳng a và (Q) đã có trong hình chưa. . Ta chọn đường thẳng a sao cho mặt phẳng (Q) dễ dựng nhất. . Nếu có sẵn đường thẳng vuông góc với (P) thì ta chỉ cần kẻ đường thẳng qua M và song song với đường thẳng đó. VIII, Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 1. Tọa độ véc tơ, các phép toán véc tơ Cho hai điểm A x ; y A A và B x ; y B B . Ta có: AB x x ; y y B A B A Cho u u ;u , v(v ; v ) 1 2 1 2 . Khi đó u v u u ; v v ;ku ku ;ku , k 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 u v u v u v 2. Tọa độ trung điểm, trọng tâmLê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath Cho A, B, C. A x ; y ,B x ; y , A A B B C(x ; y ) C C . Tọa độ trung điểm I của AB, trọng tâm G của tam giác ABC được tính theo công thức. A B I A B I x x x 2 y y y 2 , A B C G A B C G x x x x 3 y y y y 3 3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng Trong mặt phẳng tọa độ cho a a ;a 1 2 và b b ; b 1 2 . Khi đó tích vô hướng của hai véc tơ a và b là: a.b a .a b .b 1 2 1 2 Hai véc tơ a (a ;a ) 1 2 và b b ; b 1 2 0 vuông góc với nhau khi và chỉ khi a.b a .a b .b 0 1 2 1 2 Độ dài của véc tơ a a ;a 1 2 được tính theo công thức: 2 2 a a a 1 2 Khoảng cách giữa hai điểm A x ;y ;B x ; y A A B B được dính bởi công thức: AB x x y y B A B A 2 2 Cho a và b đều khác véc tơ 0 thì ta có: os 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 a .b a .b c a; b a a . b b 4. Phương trình tham số của đường thẳng. Đường thẳng qua điểm M x ; y 0 0 có VTCP u u ;u 1 2 thì có phương trình tham số 0 1 0 2 x x u t : , t y y u t (1) Một số chú ý: 1.VTCP là véc tơ 0 có giá song song hoặc trùng với đường thẳng. 2.Nếu có VTPT n a;b thì có VTCP u b;a 3.Nếu có hệ số góc k thì có một VTCP u 1;k 4.Nếu phương trình đường thẳng cho ở dạng (1) thì nó có một VTCP u u ;u 1 2 5.Hai đường thẳng song song có cùng VTCP 6.Hai đường thẳng vuông góc thì VTPT của đường này là VTCP của đường thẳng kia. 7.Phương trinh các trục tọa độ: x t x 0 0x : ; 0y : y 0 y t 5. Phương trình tổng quát của đường thẳng Phương trình : ax+by+c=0 (2) đgl phương trình tổng quát của đường thẳng Đường thẳng qua điểm M x ; y 0 0 có VTPT n a;b thì có phương trình tổng quát : a x x b y y 0 0 0 Một số chú ý: 1.VTPT là véc tơ 0 và vuông góc với VTCP. 2.Nếu có VTCP u a;b thì có VTPT n b;a . 3.Nếu có hệ số góc k thì có một VTPT u k; 1 Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath Phương trình đường thẳng qua M x ; y 0 0 có hệ số góc k có dạng y k x x y 0 0 4.Nếu phương trình đường thẳng cho ở dạng (2) thì nó có một VTPT n a;b 5.Hai đường thẳng song song có cùng VTPT. Phương trình : ax+by+c=0 , nếu '' thì phương trình '': ax+by+m=0 , m c 6.Hai đường thẳng vuông góc thì VTCP của đường này là VTPT của đường thẳng kia. 7.Phương trình các trục tọa độ: 0x : y 0; 0y : x 0 6. Vị trí tương đối của hai đường thẳng Xét hai đường thẳng: 1: a1x + b1y + c1 = 0 và 2: a2x + b2y + c2 = 0 Tọa độ giao điểm của 1 và 2 là nghiệm của hệ : 1 1 1 2 2 2 0 ( ) 0 a x b y c I a x b y c 1 cắt 2 (I) có 1 nghiệm 1 // 2 (I) vô nghiệm 1 2 (I) có VSN. Chú ý: Trong trường hợp có một hoặc cả hai phương trình cho ở dạng tham số ta vẫn xét hệ phương trình và có ba trường hợp trên. 7. Góc giữa hai đường thẳng Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau là góc không tù tạo bởi hai đường thẳng đó + 1 2 (1, 2) = 900 + 1 // 2 (1, 2) = 00 00 (1, 2) 900 Cho 1: a1x + b1y + c1 = 0 2: a2x + b2y + c2 = 0 = (1, 2). cos = cos(n ,n ) 1 2 = 1 2 1 2 n .n n . n cos = 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 a a b b a b . a b 1 2 a1a2 + b1b2 = 0 8. Khoảng các từ một điểm đến một đường thẳng Cho : ax + by + c = 0 và M0(x0; y0). d M; ax by c 0 0 2 2 a b d M;0x y 0 ; d M;0y x 0 9. Phương trình đường tròn Phương trình đường tròn (C) tâm I(a; b), bán kính R: (x – a)2 + (y – b)2 = R2 Phương trình đường tròn (C) tâm O(0; 0), bán kính R: x2 + y 2 = R2 Phương trình: x 2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 với a2 + b2 – c > 0 là phương trình đường tròn tâm I(a; b), bán kính R = 2 2 a b c . Cho (C) có tâm I(a; b), M(x0; y0) (C). Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M0(x0; y0): (x0–a)(x–x0) + (y0–b)(y–y0)=0 Nhận xét : là tiếp tuyến của (C) d(I, ) = R 10. Phương trình Elip Cho 2 điểm cố định F1, F2 và một độ dài không đổi 2a lớn hơn F1F2. M (E) F1M + F2M = 2a F1, F2: các tiêu điểm F1F2 = 2c: Tiêu cự . Phương trình E : 2 2 2 2 x y 1 a b (b2 = a2 – c2) Các đỉnh A1(–a; 0), A2(a; 0) B1(0; –b), B2(0; b) A1A2 = 2a : Trục lớn B B 1 2 =2b trục nhỏ F c;0 ; F c;0 1 2 Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath IX, Phương pháp tọa độ trong không gian 1.Các công thức véc tơ a a a a b b b b ( ; ; ), ( ; ; ) 1 2 3 1 2 3 . a b a b a b a b ( ; ; ) 1 1 2 2 3 3 a b a b a b a b ( ; ; ) 1 1 2 2 3 3 ka k a a a ka ka ka ( ; ; ) ( ; ; ) 1 2 3 1 2 3 (k R) a b a b a b a b 1 1 2 2 3 3 Với b 0 : a b cuøng phöông a kb k R a kb a kb 1 1 2 2 3 3 , : Nếu: A x ; y ;z , B x ; y ;z , C x ; y ;z A A A B B B C C C M là trung điểm AB, G là trọng tâm của tam giác ABC thì ta có: AB x x ; y y ;z z B A B A B A A B M A B M A B M x x x 2 y y y 2 z z z 2 ; A B C G A B C G A B C G x x x x 3 y y y y 3 z z z z 3 2. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng a a a a b b b b ( ; ; ), ( ; ; ) 1 2 3 1 2 3 . a b a b a b a b . 1 1 2 2 3 3 a a a a 2 2 2 1 2 3 AB x x y y z z ( ) ( ) ( ) B A B A B A 2 2 2 ab a b ab a b a a a b b b 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 cos( , ) . a b a b a b a b 1 1 2 2 3 3 0 3. Tích có hướng của hai véc tơ Cho a a ;a ;a 1 2 3 và p b b ;b ;b 1 2 3 . 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 a a a a a a a;b ; ; b b b b b b Là véc tơ vuông góc với cả hai véc tơ n và n '' 4. Phương trình mặt cầu Phương trình mặt cầu tâm I a;b;c bán kính R là: x a y b z c R 2 2 2 2 5. Phương trình mặt phẳng: Phương trình mặt phẳng qua M(x ; y ;z ) 0 0 0 có VTPT n A;B;C là A x x B y y C z z 0 0 0 0 Chú ý: .VTPT là véc tơ 0 có giá vuông góc với mặt phẳng, . Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì VTCP của đường thẳng là VTPT của mặt phẳng . Mặt phẳng qua A, B , C thì nó có một VTPT n AB;AC .Hai mặt phẳng song song có cùng VTPT . Phương trình mặt phẳng đặc biệt. 0xy : z 0; 0yz : x 0; 0xz : y 0 6. Phương trình đường thẳng Phương trình đường thẳng qua M(x ; y ;z ) 0 0 0 có VTCP u u ;u ;u 1 2 3 là d: 0 1 0 2 0 3 x x u t y y u t z x u t là phương trình tham số hoặc 0 0 0 1 2 3 x x y y z z u u u là phương trình chính tắc; u , u , u 0 1 2 3 , Chú ý: .VTCP là véc tơ 0 có giá song song hoặc trùng với đường thẳng. . Đường thẳng qua A, B thì nó có một VTCP là AB Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath . Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì nó có VTCP là VTPT của mặt phẳng, . Hai đường thẳng song song thì có cùng VTCP. . Phương trình đường thẳng đặc biệt: x t x 0 x 0 0x : y 0; 0y : y t ; 0z : y 0 z 0 z 0 z t 7. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng Khoảng cách từ M x ; y ;z 0 0 o đến mặt phẳng :Ax By Cz D 0 là d M; Ax By Cz D 0 0 0 2 2 2 A B C 8. Góc Nếu :Ax By Cz D 0 thì có một VTPT n A;B;C Nếu d: 0 1 0 2 0 3 x x u t y y u t z x u t hoặc 0 0 0 1 2 3 x x y y z z u u u thì d có một VTCP u u ;u ;u 1 2 3 cos d;d '' cos u ;u d d'' cos ; cos n ;n sin d; cos u ;n d 9. Vị trí tương đối của hai đường thẳng Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng 0 1 0 2 0 3 x x u t d : y y u t z z u t , có VTCP u u ;u ;u 1 2 3 , qua M x ; y ;z 0 0 0 0 1 0 2 0 3 x x '' u '' t '' d '': y y '' u '' t '' z z '' u '' t '' ,có VTCP u '' u '' ;u '' ;u '' 1 2 3 ta làm theo các bước: Bước 1. Nếu u '' ku M d '' thì d trùng d’ Nếu u '' ku M d '' thì d song song với d’. Nếu u '' ku chuyển sang bước 2. Bước 2. Xét hê phương trình 0 1 0 1 0 2 0 2 0 3 0 3 x u t x '' u '' t '' y u t y '' u '' t '' z u t z '' u '' t '' -Nếu hệ phương trình vô nghiệm thì d và d’ chéo nhau - Nếu hệ phương trình có nghiệm duy nhất t, t’ thì hai đường thẳng cắt nhau. Cho 0 1 0 2 0 3 x x u t d : y y u t z z u t và :Ax By Cz D 0 để xét vị trí tương đối của d và ta xét hệ phương trình 0 1 0 2 0 3 x x u t y y u t z z u t Ax By Cz D 0 -Nếu hệ phương trình vô nghiệm thì d song song -Nếu hệ phương trình có vô số nghiệm thì d nằm trong -Nếu hệ phương trình có một nghiệm thì d cắt Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath X, Tổ hợp xác suất 1. Quy tắc cộng Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m n cách thực hiện 2. Quy tắc nhân Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách thực thiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai có m.n cách hoàn thành. 3. Hoán vị Cho tập hợp a gồm n phần tử n 1 . Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. Ta kí kiệu số các hoán vị của n phần tử là P n n 1 ...2.1 n! n 4. Chỉnh hợp Cho tập hợp A gồm n phần tử n 1 . Kết quả của việc lấy k phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo mộ thứ tự nào đó đgl một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho. Ta kí hiệu số các chỉnh hợp chập k của n phần tử là: kn n! A n k ! 5. Tổ hợp Giải sử tập hợp A có n phần tử n 1 . Mỗi tập con gồm k phần tử của A đgl một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. Ta kí hiệu số các tổ hợp chập k của n phần tử là : kn n! C k! n k ! k n k k 1 k k C C ; C C C n n n 1 n 1 n 6. Công thức nhị thức Niu-Tơn n 0 n 1 n 1 k n k k n n n n n 1 n 1 n n k n k k n n n k 0 a b C a C a b ... C a b ... C ab C b C a b Nhắc lại các công thức lũy thừa n n a a.a...a , a 1 0 n n 1 a a m n n m a a a a a a a a a a ab a b a a b b 7. Phép thử và biến cố Kí hiệu Ngôn ngữ biến cố Không gian mẫu A A là biến cố A A là biến cố không A A là biến cố chắc chắn C A B C là biến cố: “A hoặc B” C A B C là biến cố: “A và B” A B A và B xung khắc B A \ A A và B đối nhau 8. Xác suất của biến cố n A P A n P A : Xác suất của biến cố A. n A : Số phần tử của A; n : số các kết quả xảy ra của một phép thử. P 0, P 1 0 P A 1 A, B xung khắc: P A B P A P B P A 1 P A A và B là hai biến cố độc lập: P A.B P A .P B
Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội ÔN TẬP KIẾN THỨC ÔN THI ĐẠI HỌC I, Khảo sát hàm số vấn đề liên quan 1.Bảng đạo hàm x n n.x n 1 u n n.u n 1.u x x u u u u u v u v uv uv uv u u v uv v2 v sin u u.cos u k.u k.u s inx cos x cos x s inx x y af x b a x https://www.facebook.com/letrungkienmath af x af x +) Nếu phương trình y có hai nghiệm phân biệt b b , xếp hai 2a a nghiệm x1 x x x1 x2 x b b 4ac b ac , b 2 +) Nếu phương trình y vô nghiệm b 2a b 2a y af x Định lý dấu tam thức bậc hai y ax bx c a af x có nghiệm kép x1,2 cos u u.sin u u tan x tan u cos x cos u u cot x cot u sin x sin u Xét dấu biểu thức Định lý dấu nhị thức bậc y f x =ax b a +) Nếu phương trình y=0 u u x x x , c , x y y af x 0 af x 0 Định lý vi-et: Khi phương trình bậc hai ax bx c a có hai nghiệm b x1 x a x1; x ta có x x c a Phương trình tiếp tuyến ( PT ) PT với đồ thị hàm số y f x điểm M x ; y0 có hệ số góc f x0 PT với đồ thị hàm số y f x điểm M x ; y0 có dạng : y f x x x y , y0 f x M gọi tiếp điểm x gọi hoành độ tiếp điểm y gọi tung độ tiếp điểm https://sites.google.com/site/letrungkienmath af x Lê Trung Kiên f ' x gọi hệ số góc tiếp tuyến Nếu PT song song với đường thẳng y ax b f x a Nếu PT vuông góc với đường thẳng y ax b f x a Nếu PT tạo với trục 0x góc f x tan Nếu PT cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác vuông cân f x 1 Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số Tìm tập xác định hàm số Tính đạo hàn f x , tìm điểm x i i 1, n mà đạo hàm không không xác định Sắp xếp x i theo thứ tự tăng dần lập bảng biến thiên Nêu kết luận đồng biến nghịch biến hàm số Quy tắc tìm cực trị hàm số Tìm tập xác định hàm số Tính f x , tìm điểm x i i 1, n mà đạo hàm không không xác định Sắp xếp x i theo thứ tự tăng dần lập bảng biến thiên Từ bảng biến thiên suy điểm cực trị hàm số Quy tắc tìm cực trị hàm số Tìm tập xác định Tính f x , giải phương trình THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội cực đại Chú ý f x0 ta không kết luận tính cực trị hàm số x 7.Quy tắc tìm GTLN, GTNN hàm số liên tục đoạn Tìm điểm x1 ; x ; ; x n a; b mà f x không xác định Tính f a ; f x1 ; f x ; ; f x n ;f b Tìm số lớn M số nhỏ m số Khi đó: M max f x , m f x a;b a;b Chú ý: Để tìm GTLN, GTNN hàm số khoảng, nửa khoảng ta lập bảng biến thiên hàm số khoảng, nửa khoảng từ kết luận Không phải hàm số có GTLN, GTNN Đường tiệm cận Đường tiệm cân ngang: y y tiệm cận ngang đồ thị hàm số y f x nếu: lim f x y x Đường tiệm cận đứng: x x tiệm cận đứng đồ thị hàm số y f x lim x x0 Sơ đồ khảo sát hàm số f x kí hiệu x i i 1, n nghiệm Tính f x f x i Tìm tập xác định hàm số Xét chiều biến thiên hàm số +Tìm y’ +Tìm điểm đạo hàm không xác định +Xét dấu y’ suy chiều biến thiên hàm số (đồng biến,ngịch biến) Tìm cực trị Tìm giới hạn tiệm cận (nếu có) Lập bảng biến thiên Vẽ đồ thị https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath Nếu f x x điểm cực tiểu Nếu f x x điểm Lê Trung Kiên 10 Tương giao hai đồ thị Xét hai hàm số y f x y g x tọa độ giao điểm đồ thị hai hàm số nghiệm hệ phương trình y f x y g x Đường thẳng y ax b PT đồ thị hàm số y f x , f x ax b có nghiệm f x a phương trình II, Lượng giác 1.Các đẳng thức lượng giác sin x cos x 1 ,1 cot x cos x sin x sin x cos x t anx , cot x , tan x cot x cos x s inx tan x 2.Công thức cộng lượng giác sin a b sin a cos b cos a sin b cos a b cos a cos b sin a sin b t ana tan b tan a tan b 3.Công thức cung nhân đôi sin 2a 2sin a cos a tan a b cos2a cos a sin a cos a 2sin a tan a tan 2a tan a x Chú ý: Nếu đặt tan t ta có: 2t 1 t2 s inx ; cos x 1 t2 1 t2 2t 1 t2 t anx ; cot x 1 t2 2t 4.Công thức hạ bậc https://www.facebook.com/letrungkienmath THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội cos2a cos2a ; sin a 2 Công thức cung nhân ba sin 3a 3sin a sin a; cos a cos3a cos3 a 3cos a 6.Công thức biến đổi tổng thành tích ab ab cos a cos b 2cos cos ab ab cosa- cos b 2 sin sin ab ab sin a sin b 2sin cos ab ab sin a sin b 2cos sin 7.Công thức biến đổi tích thành tổng cos a cos b cos a b cos a b sin a sin b cos a b cos a b sin a cos b sin a b sin a b 8.Giá trị lượng giác góc liên quan Góc GTLG cos sin sin sin cos cos sin cos tan tan cot tan cot cot tan cot 9.Phương trình sinx=a a phương trình vô nghiệm sin a a có góc : Được gọi arcsin a sin f x sin g x f x g x k2 ,k f x g x k2 https://sites.google.com/site/letrungkienmath sin cos tan cot Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội Góc Các trường hợp đặc biệt s inx x k2, k s inx x k, k k2, k Bảng sin góc đặc biệt Góc 0 90 60 45 300 sin -1 2 s inx 1 x Góc 00 sin 300 450 600 900 2 10.Phương trình cosx=a a phương trình vô nghiệm cos a a có góc : 0 Được gọi arc cosa cosf x cosg x f x g x k2 ,k f x g x k2 Các trường hợp đặc biệt cosx x k2, k k, k cosx 1 x k2, k Bảng cos góc đặc biệt Góc 0 0 30 45 60 900 cos 1 2 cosx x https://www.facebook.com/letrungkienmath cos 2 1200 3 1350 5 1500 1800 1 2 11.Phương trình tanx=a Đk: x k, k tan a Luôn có góc : gọi arctana tan f x tan g x f x g x k, k Góc tan Góc tan Bảng tan góc đặc biệt 600 450 1 300 450 3 12.Phương trình cotx=a Đk: x k, k 300 3 00 600 cot a Luôn có góc : 0 gọi arccota cot f x cot g x f x g x k, k https://sites.google.com/site/letrungkienmath Lê Trung Kiên Góc THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội 1 ' x x x ' x u v ' u ' v ' u' 1 ' u u u' u ' u uv ' u ' v v 'u s inx cos x sin u cos u. u III, Số phức t anx tan u i 1 cot x Bảng cot góc đặc biệt 0 30 45 60 900 3 cot 600 Góc 450 cot 300 1 - Số phức Z a bi , a phần thực Z, b phần ảo Z, i số Mô đun số phức Z a bi tính công thức Z a b2 Cho số phức Z a bi số phức Z a bi gọi số phức liên hợp Z a bi Cho Z1 a bi, Z c di Z1 Z2 a c b d i Z1Z2 ac bd ad bc i Z2 ac bd ad bc i Z1 a b2 a b2 Z1 Nếu a số thực âm bậc hai a là: i a Các nghiệm phương trình ax bx c a là: x1,2 b i 2a IV, Mũ, Lô-ga Bảng đạo hàm x ' x 1 u ' u 1.u ' x c https://www.facebook.com/letrungkienmath u u 'v v 'u ' v2 v cos x s inx e ' e a ' a x x x x cos x ln a ln x ' x log a sin x x ' x ln a ku ' k. u ' cos u sin u u u cos u cot u ' u sin u e ' e u ' a ' a ln a.u ' u u u u ln u ' u log u' a u ' u' u ln a Các công thức lũy thừa a n a.a a , a a n n an m a a a a n n am a a a a a ab a b a a b b Các công thức Loogarít log a b a b , log a a loga b b https://sites.google.com/site/letrungkienmath Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội log a a a x b x ta đặt t a x t Khi ln a log e a; lg b log b log10 b log a b1b log a b1 log a b b log a log a b1 log a b b2 log a b log a b log a n b log a b n log c b log a b ;log a b.log b c log a c , log c a log a b log b a log a b log a b , Phương trình- Bất phương trình mũ a)Phương trình mũ Dạng bản: x a b a 0, a 1 b phương trình vô nghiệm, b>0 phương trình có nghiệm x log a b Đưa số a a g (x ) f (x) g(x) Đặt ẩn phụ Dạng 1: A.a 2x B.a x C đặt t a x t phương trình trở thành f (x ) A.t Bt C Dạng 2: x A.a 2x B ab C.b 2x a a A B C b b 2x x a Đặt t t b Dạng 3: A.a x B.b x C với ab x https://www.facebook.com/letrungkienmath t Loogarít hóa Với M, N a 0, a M N log a M log a N b x a f x M f x log a M Dùng tính đơn điệu: Dự đoán nghiệm phương trình, dùng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm b)Bất phương trình mũ a 1: a f ( x) a g(x ) f (x) g(x) a 1 a f (x ) a g(x ) f (x) g(x) Chú ý b a loga b Phương trình- Bất phương trình lôgarít a)Phương trình lôgarit Dạng log a x b x a b a 0, a 1 Chú ý: điều kiện log a f (x) f (x) a 0; a Đưa số f (x) g(x) log a f (x) log a g(x) f x f (x) g(x) g x Đặt ẩn phụ Dạng 1: A(log a x) B log a x C đặt t log a x At Bt C , ý log a b log a2 b https://sites.google.com/site/letrungkienmath Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội Dạng 2: A log a x B log x a C đặt t log a x log x a x 0, x 1 t Mũ hóa log a b c b a c >0 ' 0 =0 ' 0 Dùng tính đơn điệu Dự đoán nghiệm phương trình, dùng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm ta có : A B B A B ; A B A B A B Ta thường dùng cách bình phương hai vế phương trình để phá dấu giá trị tuyệt đối, bình phương cần ý điều kiện để hai vế dấu https://sites.google.com/site/letrungkienmath Lê Trung Kiên 12 Bất phương trình chứa ẩn f(x) f(x) g(x) g(x) f(x) g(x)2 g(x) f(x) f(x) g(x) g(x) f(x) g(x)2 Ta thường dùng cách bình phương hai vế phương trình để phá dấu giá trị tuyệt đối, bình phương cần ý điều kiện để hai vế dấu VI, Tích Phân ứng dụng Bảng nguyên hàm- tích phân Các nguyên hàm x dx x 1 C, 1, 1 xdx ln x C , dx x c , x dx C x cos xdx sin x C sin xdx cos x C cos sin 2 x x dx tan x C dx co t x C tan xdx ln cos x C co t xdx ln sin x C e dx e x x C https://www.facebook.com/letrungkienmath THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội x dx x C , > 0, ln Các nguyên hàm thường dùng (ax b) dx a ax bdx 1 (ax b) 1 C, 1, 1 ln ax b cos(ax b)dx a C sin(ax b) C a sin(ax b)dx cos(ax b) C a cos (ax b)dx a tan(ax b) C sin (ax b)dx a co t(ax b) C tan(ax b)dx a ln cos(ax b) C co t(ax b)dx a ln sin(ax b) C e ax b dx ax b dx dx x x a 2 ax b C , > 0, a ln 2 x C x ax b e C a dx x arctan C a a a dx xa ln C a 2a xa dx ax ln C x 2a ax dx x p ln x x p C https://sites.google.com/site/letrungkienmath Lê Trung Kiên dx a x 2 THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội arcsin x C a b) Nếu F(x) nguyên hàm f(x) f x dx F x a F(b) F(a) b b a c) Tính tích phân Phương pháp đổi biến số dạng I f x x dx b Đặt t x Khi b I f x x dx b b b a f t dt t x dt x dx g(t) x g t dt x dx Chú ý: Phương pháp đổi biến số dạng I f x dx b Đặt x t Với hàm số có đạo hàm a liên tục ; , a ; b Khi I f x dx f (t) t dt b a a x a x2 2 x2 a2 x asint a=tant x a sin t Phương pháp tích phân phần b b b udv uv vdu a a a Chú ý: https://www.facebook.com/letrungkienmath du f x dx u f x dv g x dx v g x dx P(x)cosx dx P(x)sinx u dv P(x) Sinxdx dx P(x) Cosxdx P(x)lnx P(x) e x u P(x) lnx x dv P(x)dx e dx d) Ứng dụng tích phân Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x liên tục trục hoành,x=a; x=b (a r (P) (S) điểm chung h = r (P) tiếp xúc với (S) h < r (P) cắt (S) theo đường tròn tâm H, bán kính r r h2 Chú ý: Điều kiện cần đủ để (P) tiếp xúc với S(O; r) H (P) vuông góc với OH H OH=r Khi ta gọi H tiếp điểm mặt phẳng (P) đượng gọi mặt phẳng tiếp xúc hay mặt phẳng tiếp diện mặt cầu Nếu h = (P) cắt (S) theo đường tròn tâm O bán kính r Đường tròn đgl đường tròn lớn (P) đgl mặt phẳng kính mặt cầu (S) Mặt cầu nội tiếp-ngoại tiếp Mặt cầu đgl nội tiếp hình đa diện mặt cầu tiếp xúc với tất mặt hình đa diện, mặt cầu đgl ngoại tiếp hình đa diện tất đỉnh hình đa diện nằm mặt cầu Một hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp đáy có đường tròn ngoại tiếp, tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp giao đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy, vuông góc với mặt phẳng đa giác đáy mặt phẳng trung trực cạnh bên Các hình thường gặp: Hình chóp hình có đáy đa giác đỉnh điểm không nằm mặt phẳng chứa đáy Tùy theo đáy https://sites.google.com/site/letrungkienmath Lê Trung Kiên tam giác, tứ giác… mà ta gọi hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác… Hình chóp gọi hình chóp có đáy đa giác có chân đường cao trùng với tâm đáy Hình chóp cụt hình tạo thiết diện song song với đáy cắt cạnh bên hình chóp đáy Hình chóp cụt hình chóp cụt hình thành cắt hình chóp Hình tứ diện hình chóp tam giác Hình tứ diện hình chóp tam giác có bốn mặt tam giác Hình lăng trụ hình gồm hai đáy hai đa giác nằm hai mặt phẳng song song, cạnh bên song song Tùy theo đáy hình lăng trụ tam giác, tứ giác ta có hình lăng trụ tam giác, tứ giác… Hình lăng trụ có đáy hình bình hành gọi hình hộp Hình lăng trụ đứng hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy Độ dài cạnh bên chiều cao hình lăng trụ đứng Tùy theo đáy hình lăng trụ đứng tam giác, tứ giác… ta có hình lăng trụ đứng tam giác, hình lăng trụ đứng ngũ giác… Hình lăng trụ đứng có đáy đa giác gọi hình lăng trụ Hình lăng trụ đứng có đáy hình bình hành gọi hình hộp đứng Hình lăng trụ đứng có đáy hình chữ nhật gọi hình hộp chữ nhật Hình lăng trụ đứng có đáy hình vuông mặt bên hình vuông gọi hình lập phương Chú ý: Đa giác đa giác có cạnh góc Các kiến thức quan hệ vuông góc Để chứng minh đường thẳng https://www.facebook.com/letrungkienmath THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội vuông góc với mặt phẳng ta chứng minh vuông góc với hai đường thẳng cắt nằm mặt phẳng Hai mặt phẳng vuông góc mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Hai mặt phẳng vuông góc đường thẳng nằm mặt vuông góc với giao tuyến vuông góc với mặt phẳng Cách xác định khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng +) Để tính khoảng cách từ điểm M xuống mặt phẳng (P) ta thực hiện: B1: Chọn (P) đường thẳng a dựng mặt phẳng (Q) qua M vuông góc với a B2: Xác định giao tuyến b (Q) (P) B3: Dựng MH vuông góc với b MH khoảng cách từ M đến (P) +) Chú ý: Trước thực chọn a mặt phẳng (Q) ta cần xem đường thẳng a (Q) có hình chưa Ta chọn đường thẳng a cho mặt phẳng (Q) dễ dựng Nếu có sẵn đường thẳng vuông góc với (P) ta cần kẻ đường thẳng qua M song song với đường thẳng VIII, Phương pháp tọa độ mặt phẳng Tọa độ véc tơ, phép toán véc tơ Cho hai điểm A x A ; y A B x B ; y B Ta có: AB x B x A ; y B y A Cho u u1 ; u , v(v1 ; v ) Khi u v u1 u ; v1 v ; ku ku1 ; ku , k u1 v1 uv u v 2 Tọa độ trung điểm, trọng tâm https://sites.google.com/site/letrungkienmath Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội Cho A, B, C A x A ; y A , B x B ; y B , C(x C ; yC ) Tọa độ trung điểm I AB, trọng tâm G tam giác ABC tính theo công thức x xB xC xA xB xG A x I , y yA yB y y A y B yC I G 3 Biểu thức tọa độ tích vô hướng Trong mặt phẳng tọa độ cho a a1 ;a2 b b1; b Khi tích vô hướng hai véc tơ a b là: a.b a1 a2 b b2 Hai véc tơ a (a1;a2 ) b b1; b vuông góc với a.b a1 a2 b b2 Độ dài véc tơ a a1 ;a2 tính theo công thức: a a12 a22 Khoảng cách hai điểm A x A ; y A ; B x B ; y B dính công thức: AB x x A yB yA B Cho a b khác véc tơ a1 b1 a2 b ta có: cos a; b a12 a22 b12 b 22 Phương trình tham số đường thẳng Đường thẳng qua điểm M x ; y0 https://www.facebook.com/letrungkienmath có VTCP u u1 ; u có phương x x u1t trình tham số : , t y y0 u t (1) Một số ý: 1.VTCP véc tơ có giá song song trùng với đường thẳng 2.Nếu có VTPT n a; b có VTCP u b;a 3.Nếu có hệ số góc k có VTCP u 1; k 4.Nếu phương trình đường thẳng cho dạng (1) có VTCP u u1 ; u 5.Hai đường thẳng song song có VTCP 6.Hai đường thẳng vuông góc VTPT đường VTCP đường thẳng 7.Phương trinh trục tọa độ: x t x 0x : ; 0y : y y t Phương trình tổng quát đường thẳng Phương trình : ax+by+c=0 (2) đgl phương trình tổng quát đường thẳng Đường thẳng qua điểm M x ; y0 có VTPT n a; b có phương trình tổng quát : a x x b y y0 Một số ý: 1.VTPT véc tơ vuông góc với VTCP 2.Nếu có VTCP u a; b có VTPT n b;a 3.Nếu có hệ số góc k có VTPT u k; 1 https://sites.google.com/site/letrungkienmath Lê Trung Kiên Phương trình đường thẳng qua M x ; y0 có hệ số góc k có dạng y k x x y0 4.Nếu phương trình đường thẳng cho dạng (2) có VTPT n a; b 5.Hai đường thẳng song song có VTPT Phương trình : ax+by+c=0 , ' phương trình ' : ax+by+m=0 , m c 6.Hai đường thẳng vuông góc VTCP đường VTPT đường thẳng 7.Phương trình trục tọa độ: 0x : y 0; 0y : x Vị trí tương đối hai đường thẳng Xét hai đường thẳng: 1: a1x + b1y + c1 = 2: a2x + b2y + c2 = Tọa độ giao điểm 1 nghiệm hệ : a1 x b1y c1 (I ) a2 x b2 y c2 1 cắt 2 (I) có nghiệm 1 // 2 (I) vô nghiệm 1 2 (I) có VSN Chú ý: Trong trường hợp có hai phương trình cho dạng tham số ta xét hệ phương trình có ba trường hợp Góc hai đường thẳng Góc hai đường thẳng cắt góc không tù tạo hai đường thẳng + 1 2 (1, 2) = 900 + 1 // 2 (1, 2) = 00 00 (1, 2) 900 Cho 1: a1x + b1y + c1 = 2: a2x + b2y + c2 = = (1, 2) n1.n cos = cos(n1 , n ) = n1 n https://www.facebook.com/letrungkienmath THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội cos = a1a2 b1b2 a12 b12 a22 b22 1 2 a1a2 + b1b2 = Khoảng từ điểm đến đường thẳng Cho : ax + by + c = M0(x0; y0) ax by c d M; a b2 d M; 0x y0 ; d M; 0y x Phương trình đường tròn Phương trình đường tròn (C) tâm I(a; b), bán kính R: (x – a)2 + (y – b)2 = R2 Phương trình đường tròn (C) tâm O(0; 0), bán kính R: x2 + y = R2 Phương trình: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = với a + b2 – c > phương trình đường tròn tâm I(a; b), bán kính R = a2 b c Cho (C) có tâm I(a; b), M(x0; y0) (C) Phương trình tiếp tuyến với (C) M0(x0; y0): (x0–a)(x–x0) + (y0–b)(y–y0)=0 Nhận xét : tiếp tuyến (C) d(I, ) = R 10 Phương trình Elip Cho điểm cố định F1, F2 độ dài không đổi 2a lớn F 1F2 M (E) F1M + F2M = 2a F1, F2: tiêu điểm F1F2 = 2c: Tiêu cự Phương trình E : x2 y2 (b2 = a2 – c2) a b Các đỉnh A1(–a; 0), A2(a; 0) B1(0; –b), B2(0; b) A1A2 = 2a : Trục lớn B1B2 =2b trục nhỏ F1 c; ; F2 c;0 https://sites.google.com/site/letrungkienmath Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội IX, Phương pháp tọa độ không gian 1.Các công thức véc tơ a (a1; a2 ; a3 ), b ( b1; b2 ; b3 ) a b ( a1 b1; a2 b2 ; a3 b3 ) a b ( a1 b1; a2 b2 ; a3 b3 ) ka k (a1; a2 ; a3 ) (ka1; ka2 ; ka3 ) (k R) a1 b1 a b a2 b2 a b 3 Với b : a , b cuøng phöông a1 kb1 k R : a2 kb2 a kb 3 Nếu: A x A ; y A ; z A , B x B ; yB ; z B , C x C ; yC ; zC M trung điểm AB, G trọng tâm tam giác ABC ta có: AB x B x A ; y B y A ; z B z A xA xB x M yA y B yM zA zB z M xA xB xC xG y y B yC ; yG A zA z B zC z G Biểu thức toạ độ tích vô hướng a (a1; a2 ; a3 ), b ( b1; b2 ; b3 ) a.b a1b1 a2 b2 a3b3 a a12 a22 a32 AB (xBxA)2 (yByA)2 (zBzA)2 cos(a,b) ab 1 a2b2 a3b3 a12 a22 a32 b12 b22 b32 a b a1b1 a2 b2 a3 b3 Tích có hướng hai véc tơ https://www.facebook.com/letrungkienmath Cho a a1 ; a ; a p b b1 ; b ; b3 a a a a a a a; b ; ; b b3 b3 b1 b1 b Là véc tơ vuông góc với hai véc tơ n n ' Phương trình mặt cầu Phương trình mặt cầu tâm I a; b; c bán kính R là: x a y b z c 2 R2 Phương trình mặt phẳng: Phương trình mặt phẳng qua M(x ; y0 ; z ) có VTPT n A; B;C A x x B y y0 C z z0 Chú ý: VTPT véc tơ có giá vuông góc với mặt phẳng, Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng VTCP đường thẳng VTPT mặt phẳng Mặt phẳng qua A, B , C có VTPT n AB; AC Hai mặt phẳng song song có VTPT Phương trình mặt phẳng đặc biệt 0xy : z 0; 0yz : x 0; 0xz : y Phương trình đường thẳng Phương trình đường thẳng qua M(x ; y0 ; z ) có VTCP u u1 ; u ; u x x u1 t d: y y u t phương trình tham số z x u t x x y y0 z z0 phương trình u1 u2 u3 tắc; u1 , u , u , Chú ý: VTCP véc tơ có giá song song trùng với đường thẳng Đường thẳng qua A, B có VTCP AB https://sites.google.com/site/letrungkienmath Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng có VTCP VTPT mặt phẳng, Hai đường thẳng song song có VTCP Phương trình đường thẳng đặc biệt: x t x x 0x : y 0; 0y : y t ; 0z : y z z z t Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách từ M x ; y ; z o đến mặt phẳng :Ax By Cz D d M; Ax By0 Cz D A B2 C Góc Nếu :Ax By Cz D có VTPT n A; B;C x x u1 t Nếu d: y y u t z x u t x x y y0 z z0 d có VTCP u1 u2 u3 u u1 ; u ; u cos d; d ' cos u d ; u d ' cos ; cos n ; n sin d; cos u d ; n u ' ku Bước Nếu d trùng d’ M d ' u ' ku Nếu d song song với d’ M d ' Nếu u ' ku chuyển sang bước Bước Xét phương trình x u1t x '0 u '1 t ' y u t y '0 u '2 t ' z u t z ' u ' t ' 3 -Nếu hệ phương trình vô nghiệm d d’ chéo - Nếu hệ phương trình có nghiệm t, t’ hai đường thẳng cắt x x u1 t Cho d : y y u t z z u t :Ax By Cz D để xét vị trí tương đối d ta xét hệ phương trình Vị trí tương đối hai đường thẳng Để xét vị trí tương đối hai đường thẳng x x u1 t d : y y u t , có VTCP u u1 ; u ; u , qua z z u t x x u1 t y y0 u t z z u t Ax By Cz D -Nếu hệ phương trình vô nghiệm d song song -Nếu hệ phương trình có vô số nghiệm d nằm -Nếu hệ phương trình có nghiệm d cắt M x ; y0 ; z x x '0 u '1 t ' d ' : y y '0 u '2 t ' ,có VTCP u ' u '1 ; u '2 ; u '3 z z ' u ' t ' ta làm theo bước: https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội X, Tổ hợp xác suất Quy tắc cộng Một công việc hoàn thành hai hành động Nếu hành động có m cách thực hiện, hành động có n cách thực không trùng với cách hành động thứ công việc có m n cách thực Quy tắc nhân Một công việc hoàn thành hai hành động liên tiếp Nếu có m cách thực thiện hành động thứ ứng với cách có n cách thực hành động thứ hai có m.n cách hoàn thành Hoán vị Cho tập hợp a gồm n phần tử n 1 Mỗi kết xếp thứ tự n phần tử tập hợp A gọi hoán vị n phần tử Ta kí kiệu số hoán vị n phần tử Pn n n 1 2.1 n! Chỉnh hợp Cho tập hợp A gồm n phần tử n 1 Kết việc lấy k phần tử tập hợp A xếp chúng theo mộ thứ tự đgl chỉnh hợp chập k n phần tử cho Ta kí hiệu số chỉnh hợp chập k n phần tử n! là: A kn n k ! Tổ hợp Giải sử tập hợp A có n phần tử n 1 Mỗi tập gồm k phần tử A đgl tổ hợp chập k n phần tử cho Ta kí hiệu số tổ hợp chập k n phần tử : n! C kn k! n k ! Ckn Cnn k ; Ckn 11 Ckn 1 Ckn Nhắc lại công thức lũy thừa a a.a a , a a n n an m a a a a n n am a a a a a n ab a b a a b b Phép thử biến cố Kí hiệu Ngôn ngữ biến cố Không gian mẫu A biến cố A A biến cố không A A biến cố chắn A C biến cố: “A B” C AB C biến cố: “A B” C AB A B xung khắc AB B A \ A A B đối Xác suất biến cố P A n A n P A : Xác suất biến cố A n A : Số phần tử A; n : số kết xảy phép thử P 0, P P A A, B xung khắc: P A B P A P B P A 1 P A A B hai biến cố độc lập: P A.B P A P B Công thức nhị thức Niu-Tơn n a b C0n a n C1n a n 1b Ckn a n k bk Cnn 1ab n 1 Cnn b n Ckn a n k b k n k 0 https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath