Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 157 Chuyeân ñeà 5: HÌNH HOÏC KHOÂNG GIAN KIEÁN THÖÙC CAÊN BAÛN 1. QUAN HEÄ SONG SONG I. ÑÖÔØNG THAÚNG SONG SONG Ñònh nghóa: a b a b = vaø a, b () Ñònh lí 1: a b a b () () = c cuøng song song vôùi a vaø b hoaëc truøng vôùi a hoaëc b II. ÑÖÔØNG THAÚNG SONG SONG VÔÙI MAËT PHAÚNG Ñònh nghóa: a () a () = Ñònh lí 2: (Tieâu chuaån song song) a () a b,b a Ñònh lí 3: a a () () = b a III. HAI MAËT PHAÚNG SONG SONG Ñònh nghóa: () () () () = Ñònh lí 4: (tieâu chuaån song song) () () a,b caét nhau a a ,b b ,a .b Ñònh lí 5: a b a b a c b a b a b a b a b a bHöôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 158 Ñònh lí 6: (Ñònh lí Talet trong khoâng gian) Caùc maët phaúng song song ñònh treân hai caùt tuyeán nhöõng ñoaïn thaúng töông öùng tæ leä. () () AB BC AC A B B C A C AA, BB, CC () AB BC AC A B B C A C 2. QUAN HEÄ VUOÂNG GOÙC I. ÑÖÔØNG THAÚNG VUOÂNG GOÙC MAËT PHAÚNG Ñònh nghóa: a () a b, b () Ñònh lí 1: (Tieâu chuaån vuoâng goùc) a () a b a c b,c caét nhau trong Ñònh lí 2: (Ñònh lyù 3 ñöôøng vuoâng goùc) a coù hình chieáu a treân maët phaúng chöùa b. a b a b II. HAI MAËT PHAÚNG VUOÂNG GOÙC Ñònh nghóa: () () ( , ) = 1 vuoâng a b, b () Ñònh lí 3: (Tieâu chuaån vuoâng goùc) a a Ñònh líù 4: c c () B C C’ B’ A A’ a b a b c a b a H S A a cHöôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 159 3. KHOAÛNG CAÙCH GIÖÕA HAI ÑÖÔØNG THAÚNG CHEÙO NHAU I. ÑÒNH NGHÓA AB laø ñoaïn vuoâng goùc chung cuûa a vaø b A a, B b AB a, AB b II. DÖÏNG ÑOAÏN VUOÂNG GOÙC CHUNG 1. a b Qua b döïng maët phaúng () a taïi A Trong () döïng qua A, AB b taïi B AB laø ñoaïn vuoâng goùc chung. 2. a b Caùch 1: Qua b döïng maët phaúng () a Laáy M treân a, döïng MH Qua H döïng a a caét b taïi B Töø B döïng BA MH caét a taïi A AB laø ñoaïn vuoâng goùc chung. Caùch 2: Laáy O treân a Qua O döïng maët phaúng a taïi O Döïng hình chieáu b cuûa b treân . Döïng OH b. Töø H döïng ñöôøng thaúng a caét b taïi B. Qua B döïng ñöôøng thaúng OH caét a taïi A. AB laø ñoaïn vuoâng goùc chung. III. KHOAÛNG CAÙCH GIÖÕA HAI ÑÖÔØNG THAÚNG CHEÙO NHAU d(a, b) = AB ñoä daøi ñöôøng vuoâng goùc chung () chöùa b vaø () a thì d(a, b) = d(a, ()) Vaán ñeà 1: HÌNH CHOÙP A. TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT – PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI HÌNH CHOÙP I. ÑÒNH NGHÓA Hình choùp laø hình ña dieän coù 1 maët laø ña giaùc, caùc maët khaùc laø tam giaùc coù chung ñænh. a b A B H A M B b a a A O B H O b b Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 160 Chieàu cao h laø khoaûng caùch töø ñænh tôùi ñaùy. Hình choùp ñeàu laø hình choùp coù ñaùy laø ña giaùc ñeàu vaø caùc caïnh beân baèng nhau. Ñænh cuûa hình choùp ñeàu coù hình chieáu laø taâm cuûa ñaùy. Hình choùp tam giaùc coøn goïi laø töù dieän hình töù dieän. Hình töù dieän laø hình choùp tam giaùc coù ñaùy laø maët naøo cuõng ñöôïc, ñænh laø ñieåm naøo cuõng ñöôïc. Hình töù dieän ñeàu laø hình töù dieän coù caùc caïnh baèng nhau. II. DIEÄN TÍCH Dieän tích xung quanh cuûa hình choùp ñeàu: S xq = 1 2 nad n: soá caïnh ñaùy; a: ñoä daøi caïnh ñaùy d: ñoä daøi trung ñoaïn Dieän tích toaøn phaàn: Stp = Sxq + B B laø dieän tích ñaùy III. THEÅ TÍCH Theå tích hình choùp: V = 1 3 Bh Theå tích töù dieän: V = 1 dab.sin 6 a, b: ñoä daøi hai caïnh ñoái d: ñoä daøi ñoaïn vuoâng goùc chung : goùc cuûa hai caïnh ñoái. Tæ soá theå tích cuûa hai hình choùp tam giaùc coù chung ñænh vaø 3 caïnh beân. SA B C SABC V SA .SB .SC V SA.SB.SC HÌNH CHOÙP CUÏT I. ÑÒNH NGHÓA Hình choùp cuït laø phaàn hình choùp naèm giöõa ñaùy vaø thieát dieän song song vôùi ñaùy. Hình choùp cuït töø hình choùp ñeàu goïi laø hình choùp cuït ñeàu. ABCD ∽ ABCD SH SA A B SH SA AB A S H B C A A ’ B C C’ S B’ A D’ A’ D C B’ C’ B H H’ SHöôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 161 II. DIEÄN TÍCH S tp = sxq + B + B Dieän tích xung quanh cuûa hình choùp cuït ñeàu: Sxq = 1 2 (na + na).d n: soá caïnh ñaùy; a, a: caïnh ñaùy d: ñoä daøi trong ñoaïn, chieàu cao cuûa maët beân III. THEÅ TÍCH V = V1 – V2 V: theå tích hình choùp cuït V1: theå tích hình choùp V2: theå tích hình choùp treân 3 1 2 V SH V SH V = 1 3 h(B + B + BB ) B, B laø dieän tích ñaùy h laø chieàu cao B. ÑEÀ THI Baøi 1: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2011 Cho hình choùp S.ABC coù ñaùy ABC laø tam giaùc vuoâng caân taïi B, AB = BC = 2a; hai maët phaúng (SAB) vaø (SAC) cuøng vuoâng goùc vôùi maët phaúng (ABC). Goïi M laø trung ñieåm cuûa AB; maët phaúng qua SM vaø song song vôùi BC, caét AC taïi N. Bieát goùc giöõa hai maët phaúng (SBC) vaø (ABC) baèng 600. Tính theå tích khoái choùp S.BCNM vaø khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng AB vaø SN theo a. Giaûi ª Tính theå tích khoái choùp S.BCNM. SAB ABC SAC ABC SA ABC . BC SMN MN BC SMN ABC MN . SB BC BC (SAB) AB BC giaû thieát (SBC),(ABC) SBA 60 0 . Trong tam giaùc vuoâng SBA ta coù SA = AB.tan SBA 2a 3 . Dieän tích hình thang BCNM laø S = 2 1 1 3a BC MN BM 2a a a 2 2 2 . VS.BCNM = 2 3 BCNM 1 1 3a S .SA 2a 3 a 3 3 3 2 . S A B C N M H IHöôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 162 ª Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng AB vaø SN. Döïng moät maët phaúng chöùa SN vaø song song vôùi AB baèng caùch veõ NI song song vôùi AB sao cho AMNI laø hình vuoâng. Suy ra AB (SNI). Ta coù AB (SNI) d(AB,SN) = d(A, (SNI)). Veõ AH vuoâng goùc vôùi SI taïi H. Deã daøng thaáy AH (SNI) d(AB,SN) = d(A, (SNI)) = AH. Trong tam giaùc vuoâng SAI ta coù 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 13 AH SA AI 12a a 12a . Suy ra: d(AB, SN) = AH 2a 39 13 . Caùch 2: Baøi toaùn treân ta söû duïng caùch 2 baèng caùch xaây döïng maët phaúng (SNI) chöùa SN vaø song song vôùi AB, vaø khi ñoù d(AB, SN) = d(A, (SNI)). Caùch 3: Xeùt heä truïc Oxyz nhö hình veõ. A Oy neân xA = zA = 0, coøn yA = BA = 2a A(0; 2a; 0) B O B(0; 0; 0) C Ox neân yC = zC = 0, coøn xC = BC = 2a C(2a; 0; 0) S (Oyz) neân xS = 0, coøn yS = BA = 2a vaø zS = SA = 2a 3 S(0; 2a; 2a 3 ) M Oy neân xM = zM = 0, coøn yM = BM = a M(0; a; 0) N (Oxy) neân zN = 0, coøn xN = BP = a vaø yN = BM = a N(a; a; 0) Ta coù: d(AB, SN) = AB,SN BN AB,SN 2a 39 13 . Baøi 2: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2011 Cho hình choùp S.ABC coù ñaùy ABC laø tam giaùc vuoâng taïi B, BA = 3a, BC = 4a; maët phaúng (SBC) vuoâng goùc vôùi maët phaúng (ABC). Bieát SB = 2a 3 vaø 0 SBC 30 . Tính theå tích khoái choùp S.ABC vaø khoaûng caùch töø ñieåm B ñeán maët phaúng (SAC) theo a. Giaûi Veõ SH vuoâng goùc vôùi BC taïi H. Vì (SBC) (ABC) neân SH (ABC). S A B O C N M x z y PHöôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 163 SH = SB.sin300 = a 3 . SABC = 1 2 AB.BC = 6a2 . VS.ABC = 1 3 SH.SABC = 2a 3 3 . Veõ HM vuoâng goùc vôùi AC taïi M BC (SHM). Veõ HK vuoâng goùc vôùi SM taïi K HK (SAC) HK = d(H, (SAC)). BH = SB.cos300 = 3a HC = a BC = 4HC d(B, (SAC)) = 4d(H, (SAC)) AC = AB BC 5a 2 2 BCA ñoàng daïng MCH HM AB HC AC AB.HC 3a HM AC 5 . SAM vuoâng taïi H coù HK laø ñöôøng cao neân: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 25 1 28 HK HM SH 9a 3a 9a 3a 7 HK 14 Vaäy d(B,(SAC)) = 4HK 6a 7 7 Caùch 2: Ta coù theå tính: d(B,(SAC)) = SABC SAC 3V S . Ta coù: +) AB (SBC) AB SB SA SB AB a 21 2 2 . +) SC SH HC 2a 2 2 . Maø AC = 5a neân SA2 + SC2 = AC2 , suy ra tam giaùc SAC vuoâng taïi S. Do ñoù: SSAC = 1 2 SA.SC = a 21 2 Vaäy d(B,(SAC)) = SABC SAC 3V S = 3 2 3.2a 3 6a 7 a 21 7 . Baøi 3: CAO ÑAÚNG KHOÁI A, B, D NAÊM 2011 Cho hình choùp S.ABC coù ñaùy ABC laø tam giaùc vuoâng caân taïi B, AB=a, SA vuoâng goùc vôùi maët phaúng (ABC), goùc giöõa hai maët phaúng (SBC) vaø (ABC) baèng 300. Goïi M laø trung ñieåm cuûa caïnh SC. Tính theå tích cuûa khoái choùp S.ABM theo a. 300 S B A H C 3a 4a 2a 3 K MHöôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 164 Giaûi BC vuoâng goùc vôùi maët phaúng SAB Goùc SBA = 300 neân SA = 3 a d(M,(SAB)) = 1 2 d(C,(SAB)) = BC a 2 2 Vậy VS.ABM = VM.SAB = 1 1 . 3 2 2 3 a a a = 3 a 3 36 Caùch 2: VS.ABC = 1 S .SA ABC 3 = 3 a 3 18 ABM ABC S SM 1 S SC 2 VS.ABM = 3 a 3 36 Baøi 4: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2010 Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a. Goïi M vaø N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh AB vaø AD; H laø giao ñieåm cuûa CN vaø DM. Bieát SH vuoâng goùc vôùi maët phaúng (ABCD) vaø SH = a 3 . Tính theå tích khoái choùp S.CDNM vaø khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng DM vaø SC theo a. Giaûi S(NDCM)= 2 2 2 1 a 1 a 5a a a 2 2 2 2 8 (ñvdt) V(S.NDCM)= 1 5a 5a 3 2 3 a 3 3 8 24 (ñvtt) 2 2 a a 5 NC a 4 2 Ta coù 2 tam giaùc vuoâng AMD vaø NDC baèng nhau Neân goùc NCD = ADM . Vaäy DM vuoâng NC Vaäy ta coù: 2 2 a 2a DC HC.NC HC a 5 5 2 Ta coù tam giaùc SHC vuoâng taïi H, vaø khoaûng caùch cuûa DM vaø SC chính laø chieàu cao h veõ töø H trong tam giaùc SHC Neân 2 2 2 2 2 2 1 1 1 5 1 19 2a 3 h h HC SH 4a 3a 12a 19 . a H 1 1 N M C A B 1 D A C S M B 300 aHöôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 165 Baøi 5: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2010 Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a, caïnh beân SA = a; hình chieáu vuoâng goùc cuûa ñænh S treân maët phaúng (ABCD) laø ñieåm H thuoäc ñoaïn AC, AH AC 4 . Goïi CM laø ñöôøng cao cuûa tam giaùc SAC. Chöùng minh M laø trung ñieåm cuûa SA vaø tính theå tích khoái töù dieän SMBC theo a. Giaûi Ta coù 2 2 a 2 a 14 SH a 4 4 2 2 2 14a 3a 2 32a SC a 2 16 4 16 = AC Vaäy SCA caân taïi C neân ñöôøng cao haï töø C xuoáng SAC chính laø trung ñieåm cuûa SA. Töø M ta haï K vuoâng goùc vôùi AC, neân MK = 1 2 SH Ta coù 3 1 1 a 14 a 14 2 V(S.ABC) a . 3 2 4 24 (ñvdt) Neân V(MABC) = V(MSBC) = 1 2 V(SABC) = a 14 3 48 (ñvdt) Baøi 6: CAO ÑAÚNG KHOÁI A, B, D NAÊM 2010 Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a, maët phaúng (SAB) vuoâng goùc vôùi maët phaúng ñaùy, SA = SB, goùc giöõa ñöôøng thaúng SC vaø maët phaúng ñaùy baèng 450. Tính theo a theå tích cuûa khoái choùp S.ABCD. Giaûi Goïi H laø trung ñieåm AB. Ta coù tam giaùc vuoâng SHC, coù goùc SCH = 450 neân laø tam giaùc vuoâng caân Vaäy 2 2 a a 5 HC SH a 4 2 3 1 a 5 a 5 2 V a 3 2 6 (ñvtt) S A B C D a H B A D C S K H MHöôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 166 Baøi 7: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2009 Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình thang vuoâng taïi A vaø D; AB = AD = 2a; CD = a; goùc giöõa hai maët phaúng (SBC) vaø (ABCD) baèng 600. Goïi I laø trung ñieåm cuûa caïnh AD. Bieát hai maët phaúng (SBI) vaø (SCI) cuøng vuoâng goùc vôùi maët phaúng (ABCD), tính theå tích khoái choùp S.ABCD theo a. Giaûi (SIB) (ABCD) vaø (SIC) (ABCD) Suy ra SI (ABCD) Keû IK BC (K BC) BC (SIK) SKI 60 o Dieän tích hình thang ABCD: SABCD = 3a2 Toång dieän tích caùc tam giaùc ABI vaø CDI baèng 2 3a 2 Suy ra SIBC = 2 3a 2 2 2 2S IBC 3 5a BC AB CD AD a 5 IK BC 5 3 15a SI IK.tanSKI 5 Theå tích khoái choùp: S.ABCD: V = 3 ABCD 1 3 15a S .SI 3 5 (ñvtt) Baøi 8: CAO ÑAÚNG KHOÁI A, B, D NAÊM 2009 Cho hình choùp töù giaùc ñeàu S.ABCD coù AB = a, SA = a 2 . Goïi M, N vaø P laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh SA, SB vaø CD. Chöùng minh raèng ñöôøng thaúng MN vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng SP. Tính theo a theå tích cuûa khoái töù dieän AMNP. Giaûi Goïi I laø trung ñieåm AB Ta coù: MN AB CD vaø SP CD MN SP SIP caân taïi S, SI2 = 2 2 2 a 7a 2a 4 4 SI = SP = a 7 2 Goïi O laø taâm cuûa hình vuoâng ABCD, ta coù SO2 = SI2 – OI2 = 2 2 2 7a a 6a 4 2 4 SO = a 6 2 , H laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa P xuoáng maët phaúng SAB Ta coù SIP 1 1 SO.IP a 6 2 a 6 S SO.IP PH.SI PH a 2 2 SI 2 a 7 7 S D I A B K CHöôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 167 3 AMN 1 1 1 a 1 a 7 a 6 a 6 V S .PH . . ñvtt 3 3 2 2 2 2 48 7 Baøi 9: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2008 Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh 2a, SA = a, SB a 3 vaø maët phaúng (SAB) vuoâng goùc vôùi maët phaúng ñaùy. Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh AB, BC. Tính theo a theå tích cuûa khoái choùp S.BMDN vaø tính cosin cuûa goùc giöõa hai ñöôøng thaúng SM, DN. Giaûi Goïi H laø hình chieáu cuûa S leân SA SH (ABCD) do ñoù SH ñöôøng cao hình choùp. Ta coù: SA2 + SB2 = a2 + 3a2 = AB2 neân SAB vuoâng taïi S, suy ra SM a AB 2 SAM ñeàu cao baèng a SH a 3 2 2 BMDN ABCD 1 S S 2a 2 Theå tích khoái choùp S.BMDN laø: 3 BMDN 1 a 3 V SH.S ñvtt 3 3 Tính cosin: Keû ME DN (E AD), suy ra AE a 2 Ñaët laø goùc giöõa hai ñöôøng SM vaø DN, ta coù SM,ME Theo ñònh lyù 3 ñöôøng vuoâng goùc, ta coù SA AE. Suy ra: SE SA AE , 2 2 a 5 2 ME AM AE 2 2 a 5 2 Tam giaùc SME caân taïi E neân SME vaø goïi I laø trung ñieåm SM MI = SM a 2 2 . Khi ñoù: a 2 5 cos a 5 5 2 Baøi 10: CAO ÑAÚNG KHOÁI A, B, D NAÊM 2008 Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình thang, BAD ABC 90 0 , AB = BC = a, AD = 2a, SA vuoâng goùc vôùi ñaùy vaø SA = 2a. Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa SA, SD. Chöùng minh raèng BCNM laø hình chöõ nhaät vaø tính theå tích cuûa khoái choùp S.BCNM theo a. S A D B N C M HHöôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 168 Giaûi Ta coù: MN AD MN BC BC AD 1 MN AD a BC 2 Suy ra: BCNM laø hình bình haønh Maët khaùc: BC SA BC (SAB) BC MB BC AB MB (SAB) BCNM laø hình bình haønh coù 1 goùc vuoâng neân BCNM laø hình chöõ nhaät Goïi H laø ñöôøng cao AMB. Suy ra AH MB AH (BCNM) AH BC (BC (SAB)) Do M laø trung ñieåm SA neân: d A,(BCNM) d S,(BCNM) AH a 2 2 3 S.BCMN BCMN 1 1 a 2 a V S .AH a.a 2 . 3 3 2 3 (ñvtt) Baøi 11: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2007 Cho hình choùp S. ABCD coù ñaùy laø hình vuoâng caïnh a, maët beân SAD laø tam giaùc ñeàu vaø naèm trong maët phaúng vuoâng goùc vôùi ñaùy. Goïi M, N, P laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh SB, BC, CD. Chöùng minh AM vuoâng goùc vôùi BP vaø tính theå tích cuûa khoái töù dieän CMNP Giaûi Chöùng minh AM BP vaø tính theå tích khoái töù dieän CMNP Goïi H laø trung ñieåm cuûa AD. Do ∆SAD ñeàu neân SH AD. Do (SAD) (ABCD) neân SH (ABCD) SH BP (1) Xeùt hình vuoâng ABCD ta coù ∆CDH = ∆BCP CH BP (2). Töø (1) vaø (2) suy ra BP (SHC). Vì MN SC vaø AN CH neân (AMN) (SHC). Suy ra BP (AMN) BP AM. Keû MK (ABCD), K (ABCD). Ta coù: V MK.S CMNP CNP 1 3 Vì 2 CNP 1 a 3 1 a MK SH , S CN.CP 2 4 2 8 neân 3 CMNP 3a V 96 (ñvtt) K P B N C S D H A M S M N A D B C HHöôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 169 Baøi 12: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2007 Cho hình choùp töù giaùc S. ABCD coù ñaùy laø hình vuoâng caïnh a. Goïi E laø ñieåm ñoái xöùng cuûa D qua trung ñieåm cuûa SA, M laø trung ñieåm cuûa AE, N laø trung ñieåm cuûa BC. Chöùng minh MN vuoâng goùc vôùi BD vaø tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng MN vaø AC theo a. Giaûi Goïi P laø trung ñieåm cuûa SA. Ta coù MNCP laø hình bình haønh neân MN song song vôùi maët phaúng (SAC). Maët khaùc, BD (SAC) neân BD MN MN (SAC) neân d(MN; AC) = d(N; (SAC)) Vaäy d(MN; AC) = 1 1 a 2 d(B;(SAC)) BD 2 4 4 Baøi 13: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2007 Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy laø hình thang, ABC BAD 90 , 0 BA = BC = a, AD = 2a. Caïnh beân SA vuoâng goùc vôùi ñaùy vaø SA = a 2 . Goïi H laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa A treân SB. Chöùng minh tam giaùc SCD vuoâng vaø tính khoaûng caùch töø H ñeán maët phaúng (SCD) theo a. Giaûi Goïi I laø trung ñieåm cuûa AD. Ta coù: IA = ID = IC = a CD AC. Maët khaùc, CD SA. Suy ra CD SC neân tam giaùc SCD vuoâng taïi C. Trong tam giaùc vuoâng SAB ta coù: 2 2 2 2 2 2 2 2 SH SA SA 2a 2 SB 3 SB SA AB 2a a Goïi d1 vaø d2 laàn löôït laø khoaûng caùch töø B vaø H ñeán maët phaúng (SCD) thì 2 2 1 1 d SH 2 2 d d d SB 3 3 . Ta coù: 1 B.SCD BCD SCD SCD 3V SA.S d S S . Maø S AB.BC a BCD 1 1 2 2 2 vaø S SC.CD SA AB BC . IC ID a 2 SCD 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 . C M N S B P A D E B H S D A C IHöôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 170 Suy ra d1 a 2 Vaäy khoaûng caùch töø H ñeán maët phaúng (SCD) laø: d d 2 1 2 a 3 3 Baøi 14: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2006 Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình chöõ nhaät vôùi AB = a, AD = a 2 , SA = a vaø SA vuoâng goùc vôùi maët phaúng (ABCD). Goïi M, N laàn löôït laø hai trung ñieåm cuûa AD vaø SC. I laø giao ñieåm cuûa BM vaø AC. Chöùng minh raèng maët phaúng (SAC) vuoâng goùc vôùi maët phaúng (SMB). Tính theå tích cuûa khoái töù dieän ANIB. Giaûi Xeùt ABM vaø BCA vuoâng coù AM 1 BA AB BC 2 ABM ñoàng daïng BCA ABM BCA o o AMB BAC BCA BAC 90 AIB 90 MB AC (1) SA (ABCD) SA MB (2). Töø (1) vaø (2) MB (SAC) (SMB) (SAC). Goïi H laø trung ñieåm cuûa AC NH laø ñöôøng trung bình cuûa SAC SA a NH 2 2 vaø NH SA neân NH (ABI) Do ñoù V NH.S ANIB AIB 1 3 . 2 2 2 2 2 2 1 1 1 a 3 AI , BI AB AI AI AB AM 3 2 ABI a 6 a 2 BI S 3 6 2 3 ANIB 1 a a 2 a 2 V . . 3 2 6 36 (ñvtt) Baøi 15: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2006 Cho hình choùp tam giaùc S.ABC coù ñaùy ABC laø tam giaùc ñeàu caïnh a, SA = 2a vaø SA vuoâng goùc vôùi maët phaúng (ABC). Goïi M, N laàn löôït laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa A treân caùc ñöôøng thaúng SB vaø SC. Tính theå tích cuûa khoái choùp A.BCNM. Giaûi Theå tích cuûa khoái choùp A.BCMN. Goïi K laø trung ñieåm cuûa BC A B C D H S a a I M a 2 NHöôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 171 H laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa A treân SK. Do BC AK, BC SA neân BC AH. Do AH SK, AH BC neân AH (SBC). Xeùt tam giaùc vuoâng SAK: 2 2 2 1 1 1 2 3a AH AH SA AK 19 Xeùt tam giaùc vuoâng SAB: 2 2 2 SM SA 4 SA SM.SB SB 5 SB Xeùt tam giaùc vuoâng SAC: 2 2 2 SN SA 4 SA SN.SC SC 5 SC Suy ra: 2 SMN BCMN SBC SBC S 16 9 9 19a S S S 25 25 100 . Vaäy theå tích cuûa khoái choùp A.BCMN laø 3 BCMN 1 3 3a V .AH.S 3 50 (ñvtt) Baøi 16: Cho hình choùp töù giaùc ñeàu S.ABCD coù caïnh ñaùy baèng a, goùc giöõa caïnh beân vaø maët ñaùy baèng (00 < < 900). Tính tang cuûa goùc giöõa hai maët phaúng (SAB) vaø (ABCD) theo . Tính theå tích khoái choùp S.ABCD theo a vaø . Giaûi Ta coù goùc cuûa caïnh beân vaø maët ñaùy baèng . Suy ra SBO = SOB coù tan = SO = tan SO a 2 BO 2 Ve õ OI AB AB (SIO) Ta coù SO AB Goùc cuûa (SAB) vaø (ABCD) laø SIO . tan SIO = a 2 tan SO 2 2 tan IO a 2 3 2 SABCD ABCD 1 1 a 2 a 2 V SO.S tan .a tan 3 3 2 6 (ñvtt) A C B D I S a O A B C S K H N MHöôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 172 Baøi 17: Cho hai maët phaúng (P) vaø (Q) vuoâng goùc vôùi nhau, coù giao tuyeán laø ñöôøng thaúng . Treân laáy hai ñieåm A, B vôùi AB = a. Trong maët phaúng (P) laáy ñieåm C, trong maët phaúng (Q) laáy ñieåm D sao cho AC, BD cuøng vuoâng goùc vôùi vaø AC = BD = AB. Tính baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän ABCD vaø tính khoaûng caùch töø A ñeán maët phaúng (BCD) theo a. Giaûi Goïi I laø trung ñieåm cuûa BC. (d) qua I, (d) (ABC) laø truïc cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp ABC vuoâng caân taïi A. (d) (DC) = F laø trung ñieåm DC (do BF laø trung tuyeán trong vuoâng) F laø taâm maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän: R = FD = DC a 3 2 2 (BC = a 2 ; BD = a) Ta coù : P Q P Q BD Q BD Q Maø AI (P) BD AI, BC AI (do ABCD vuoâng caân) AI (BDC) d(A,(BDC)) = AI = a 2 2 Caùch 2: Choïn heä truïc Axyz sao cho A(0; 0; 0) B(0; a; 0) D(a; a; 0) C(0; 0; a) I(x; y; z) ycbt IA = IB = IC = ID = R x = y = z = a a 3 R IA 2 2 Maët phaúng (BCD) coù VTPT n 0; a ; a a 0; 1; 1 2 2 2 Suy ra phöông trình maët phaúng (BCD): y + z a = 0 d(A, (BCD)) = a 2 2 Baøi 18: Cho hình choùp tam giaùc ñeàu S.ABC ñænh S, coù ñoä daøi caïnh ñaùy baèng a. Goïi M vaø N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh SB vaø SC. Tính theo a dieän tích tam giaùc AMN, bieát raèng maët phaúng (AMN) vuoâng goùc vôùi maët phaúng SBC). B C A H D a F I d a C D A B z a x yHöôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 173 Giaûi Goïi SH laø ñöôøng cao hình choùp SABC. Ta coù H laø troïng taâm ABC, keû AK MN (AMN) (SBC) AK (SBC) Goïi I laø trung ñieåm cuûa BC, ta coù: S, K, I thaúng haøng vaø AH = 2HI MN laø ñöôøng trung bình trong SBC K laø trung ñieåm cuûa SI SAI caân taïi A SA = AI = a 3 2 Ta coù SH2 = SA2 HA2 = SI2 HI2 SI SA SA SA 2 2 2 2 4 1 9 9 2 2 a a 2 2 SA SI 3 2 2 Xeùt AKI ta coù AK2 = AI2 KI2. 2 AMN a 10 1 a 10 AK vaäy S AK.MN ñvdt 4 2 16 . Baøi 19: Cho töù dieän ABCD coù caïnh AD vuoâng goùc vôùi mp (ABC) AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm. Tính khoaûng caùch töø ñieåm A tôùi maët phaúng (BCD). Giaûi Caùch 1: AD (ABC) AD AB AD AC BC2 = AB2 + AC2 ABC vuoâng taïi A 2 2 S 6(cm ) S 2 34(cm ) ABC BCD Goïi a(A, (BCD) = AK ABCD ABC BCD 1 1 V S .AD S .AK 3 3 ABC BCD S .AD 6 34 AK (cm) S 17 Caùch 2: Keû DH BC AH BC (ñònh lyù 3 ñöôøng vuoâng goùc) Keû AK DH (1) Ta coù BC (ADH) BC AK (2) Töø (1), (2) AK (DBC) d (A, (BCD)) = AK 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 17 AK AD AH AB AC AD 72 AK AK = 2 72 6 34 17 17 (cm) A B C S H I M N KHöôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 174 Vaán ñeà 2: HÌNH LAÊNG TRUÏ A. TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT – PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI I. ÑÒNH NGHÓA Hình laêng truï laø hình ña dieän coù 2 maët song song goïi laø ñaùy, vaø caùc caïnh khoâng thuoäc 2 ñaùy song song vôùi nhau. II. TÍNH CHAÁT Trong hình laêng truï: Caùc caïnh beân song song vaø baèng nhau. Caùc maët beân, maët cheùo laø hình bình haønh. Hai ñaùy coù caïnh song song vaø baèng nhau. III. LAÊNG TRUÏ ÑÖÙNG, ÑEÀU. LAÊNG TRUÏ XIEÂN Laêng truï ñöùng laø laêng truï coù caïnh beân vuoâng goùc vôùi ñaùy Laêng truï ñeàu laø laêng truï ñöùng coù ñaùy laø ña giaùc ñeàu. Laêng truï ñeàu coù caùc maët beân laø hình chöõ nhaät baèng nhau. Laêng truï xieân coù caïnh beân khoâng vuoâng goùc vôùi ñaùy. IV. HÌNH HOÄP Hình hoäp laø hình laêng truï coù ñaùy laø hình bình haønh. Hình hoäp coù caùc maët ñoái dieän laø hình bình haønh song song vaø baèng nhau. Caùc ñöôøng cheùo hình hoäp caét nhau taïi trung ñieåm. Hình hoäp ñöùng coù caïnh beân vuoâng goùc vôùi ñaùy. Hình hoäp xieân coù caïnh beân khoâng vuoâng goùc vôùi ñaùy. Hình hoäp chöõ nhaät laø hình hoäp ñöùng coù ñaùy laø hình chöõ nhaät. Hình hoäp chöõ nhaät coù caùc maët laø hình chöõ nhaät Ñoä daøi caùc caïnh xuaát phaùt töø 1 ñænh goïi laø kích thöôùc cuûa hình hoäp chöõ nhaät a, b, c. Caùc ñöôøng cheùo hình hoäp chöõ nhaät baèng nhau vaø coù ñoä daøi: d = a b c 2 2 2 Hình laäp phöông laø hình hoäp coù 6 maët laø hình vuoâng. Caùc caïnh cuûa hình laäp phöông baèng nhau soá ño a. Caùc ñöôøng cheùo hình laäp phöông coù ñoä daøi: d = a 3 A B D C E E B C A D A D B C A’ D’ C’ B’ a c bHöôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 175 V. DIEÄN TÍCH XUNG QUANH VAØ DIEÄN TÍCH TOAØN PHAÀN S xq = pl p laø chu vi thieát dieän thaúng l laø ñoä daøi caïnh beân Laêng truï ñöùng: Sxq = ph p laø chu vi ñaùy h laø chieàu cao Hình hoäp chöõ nhaät: Stp = 2(ab + bc + ca) a, b, c laø kích thöôùc cuûa hình hoäp chöõ nhaät. VI. THEÅ TÍCH Theå tích cuûa hình hoäp chöõ nhaät: V = abc a, b, c laø kích thöôùc Theå tích hình laäp phöông: V = a3 a laø caïnh Theå tích laêng truï: V = B.h B laø dieän tích ñaùy h laø chieàu cao V = Sl S laø dieän tích thieát dieän thaúng l laø caïnh beân Theå tích cuûa laêng truï tam giaùc cuït: Laêng truï tam giaùc cuït laø hình ña dieän coù hai ñaùy laø tam giaùc coù caïnh beân song song khoâng baèng nhau. V = a b c S 3 S laø dieän tích thieát dieän thaúng. a, b, c laø ñoä daøi caùc caïnh beân. B. ÑEÀ THI Baøi 1: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2011 Cho laêng truï ABCD.A1B1C1D1 coù ñaùy ABCD laø hình chöõ nhaät AB = a, AD = a 3 . Hình chieáu vuoâng goùc cuûa ñieåm A1 treân maët phaúng (ABCD) truøng vôùi giao ñieåm cuûa AC vaø BD . Goùc giöõa hai maët phaúng (ADD1A1) vaø (ABCD) baèng 600 . Tính theå tích khoái laêng truï ñaõ cho vaø khoaûng caùch töø ñieåm B1 ñeán maët phaúng (A1BD) theo a. Giaûi Goïi O laø giao ñieåm cuûa AC vaø BD A1O (ABCD) Goïi I laø trung ñieåm AD. Ta coù: OI AD ( Vì ABCD laø hình chöõ nhaät) A1I AD Vì AD (A1IO) Suy ra: Goùc giöõa hai maët phaúng (ADD1A1) b a cHöôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 176 vaø (ABCD) laø A IO 1 A IO 60 1 0 . Ta coù: OI = a 2 , A1O = OI.tan600 = a 3 2 SABCD = AB.AD = a 3 2 Suy ra: ABCD.A B C D 1 1 1 1 V SABCD . A1O = 3 3a 2 . Goïi M laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa ñieåm B1 treân maët phaúng (ABCD). Suy ra: B1M A1O vaø M IO . Veõ MH vuoâng goùc BD taïi H, suy ra: MH (A1BD) . Vì B1M (A1BD) neân d(B1, (A1BD)) = d(M, (A1BD)) = MH. Goïi J laø giao ñieåm cuûa OM vaø BC, suy ra: OJ BC vaø J laø trung ñieåm BC. Ta coù: SOBM = 1 OM.BJ 2 = 1 1 1 BC A B . 2 2 = 1 a 3 a. 2 2 = 2 a 3 4 . Ta laïi coù: SOBM = 1 OB.MH 2 d(B1, (A1BD)) = 2 OBM a 3 2 2S 4 a 3 MH OB a 2 . Caùch 2: Ta coù: B1C A1D B1C (A1BD) d(B1, (A1BD)) = d(C, (A1BD)) Veõ CH vuoâng goùc vôùi BD taïi H CH (A1BD) d(B1, (A1BD)) = d(C, (A1BD)) = CH . Trong tam giaùc vuoâng DCB ta coù heä thöùc CH.BD = CD.CB, töø ñoù tính ñöôïc CH Caùch 3: Ta coù: d(B1, (A1BD)) = B A BD 1 1 A BD 1 3V S . 3 ABD.A B D ABCD.A B C D 1 1 1 1 1 1 1 1 3a V V 2 4 . 3 ABD.A B D ABCD.A B C D 1 1 1 1 1 1 1 1 3a V V 2 4 . 3 A .ABD ABD 1 D.A B D 1 1 1 1 1 a V S .A O V 3 4 . 60 0 A B D C O M A1 B1 D1 C1 H I J A B D C O A1 B1 D1 C1 H A B D C O A1 B1 D1 C1Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 177 3 B A BD ABD.A B D A .ABD D.A B D 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a V V V V 4 . 2 A BD 1 1 1 a 3 S BD.A O 2 2 . d(B1, (A1BD)) = B A BD 1 1 A BD 1 3V a 3 S 2 . Baøi 2: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2009 Cho hình laêng truï tam giaùc ABC.ABC coù BB = a, goùc giöõa ñöôøng thaúng BB vaø maët phaúng (ABC) baèng 600; tam giaùc ABC vuoâng taïi C vaø BAC = 600. Hình chieáu vuoâng goùc cuûa ñieåm B leân maët phaúng (ABC) truøng vôùi troïng taâm cuûa tam giaùc ABC. Tính theå tích khoái töù dieän A’ABC theo a. Giaûi Goïi D laø trung ñieåm AC vaø G laø troïng taâm tam giaùc ABC ta coù B’G (ABC) B BG 60 o B’G = B’B. sinB BG a 3 2 vaø BG BD a 3a 2 4 Tam giaùc ABC coù: BC , AC CD AB 3 AB AB 2 2 4 BC2 + CD2 = BD2 2 2 2 3AB AB 9a 4 16 16 3a 13 AB 13 , 3a 13 AC 26 ; 2 ABC 9a 3 S 104 (ñvdt) Theå tích khoái töù dieän A’ABC: 3 A ABC B ABC ABC 1 9a V V B G.S 3 208 (ñvtt) Baøi 3: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2009 Cho hình laêng truï ñöùng ABC.ABC coù ñaùy ABC laø tam giaùc vuoâng taïi B, AB = a, AA = 2a, AC = 3a. Goïi M laø trung ñieåm cuûa ñoaïn thaúng AC, I laø giao ñieåm cuûa AM vaø AC. Tính theo a theå tích khoái töù dieän IABC vaø khoaûng caùch töø ñieåm A ñeán maët phaúng (IBC). Giaûi Haï IH AC (H AC) IH (ABC); IH laø ñöôøng cao cuûa töù dieän IABC IH AA IH CI 2 AA CA 3 IH = 2 4a AA 3 3 AC = A C A A a 5 2 2 , BC AC AB 2a 2 2 B’ C’ A’ A G D C BHöôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 178 Dieän tích tam giaùc ABC: S .AB.BC a ABC 1 2 2 Theå tích khoái töù dieän IABC: 3 ABC 1 4a V IH.S 3 9 Haï AK AB (K ( AB). Vì BC ( (ABBA) neân AK ( BC ( AK ( (IBC). Neân khoaûng caùch töø A ñeán maët phaúng (IBC) laø AK. SA’BC= 1 52 5 2 2 a a a 2 2 2 2 5 IC A C S S a 3 3 3 IBC A BC 3 2 3 4 3 2 2 5 3 9 5 2 5 5 IABC IBC V a a a AK S a Baøi 4: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2008 Cho laêng truï ABC.ABC coù ñoä daøi caïnh beân baèng 2a, ñaùy ABC laø tam giaùc vuoâng taïi A, AB = a, AC a 3 vaø hình chieáu vuoâng goùc cuûa ñænh A treân maët phaúng (ABC) laø trung ñieåm cuûa caïnh BC. Tính theo a theå tích khoái choùp A.ABC vaø tính cosin cuûa goùc giöõa hai ñöôøng thaúng AA, BC. Giaûi Goïi H laø trung ñieåm BC Suy ra AH (ABC) vaø AH BC a 3a a 1 1 2 2 2 2 Do ñoù: AH2 + AH2 = 3a2 AH = a 3 Vaäy: 3 A .ABC ABC 1 a V A H.S ñvtt 3 3 Trong tam giaùc vuoâng ABH ta coù: HB A B A H 2a 2 2 neân BBH caân taïi B Ñaët laø goùc giöõa hai ñöôøng thaúng AA vaø BC thì B BH Vaäy BI a 1 cos BB 2.2a 4 (vôùi I laø trung ñieåm BH). Baøi 5: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2008 Cho laêng truï ñöùng ABC.ABC coù ñaùy ABC laø tam giaùc vuoâng, AB = BC = a, caïnh beân AA a 2 . Goïi M laø trung ñieåm cuûa caïnh BC. Tính theo a theå tích cuûa khoái laêng truï ABC.ABC vaø khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng AM, BC. Giaûi A C B H A’ B’ C’ A’ M C’ I B’ 2a A a H B C 3a KHöôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 179 Theå tích laêng truï: V S .h .a 2 a ñ a.a 2 3 2 2 (ñvtt) Goïi N trung ñieåm BB Do BC MN d(BC, AM) = d(B, (AMN)) Do N laø trung ñieåm BB d(B, (ABN)) = d(B, (AMN)) Goïi H laø hình chieáu cuûa B leân mp(AMN) Ta coù: 2 2 2 2 1 1 1 1 BH BA BM BN 2 2 2 2 1 4 2 7 a a a a a BH 7 . Vaäy d B C;AM a 7 . Baøi 6: Cho hình laäp phöông ABCD, ABCD. Tính soá ño goùc nhò dieän B, AC, D. Giaûi Goïi O = AC BD vaø caïnh hình laäp phöông baèng a. AB = AD = a 2 = BD Ta coù ACB = ACD (caïnh caïnh caïnh) Neân veõ BH AC DH AC vaø BH = DH B, AC, D = BHD 2BHO BHD caân taïi H HO BD Ta coù sin a 2 BO 3 2 BHO BH 2 a 6 3 BHO = 600 B, AC, D = 1200. Baøi 7: Cho hình laêng truï ñöùng ABCD. ABCD coù ñaùy ABCD laø hình thoi caïnh a, goùc BAD = 600. Goïi M laø trung ñieåm caïnh AA vaø N laø trung ñieåm caïnh CC. Chöùng minh raèng boán ñieåm B, M, D, N cuøng thuoäc moät maët phaúng. Haõy tính ñoä daøi caïnh AA theo a ñeå töù giaùc BMDN laø hình vuoâng. Giaûi Tam giaùc BDC ñeàu caïnh a, AA = b. Choïn heä truïc nhö hình veõ. A B M C N H B’ C’ A’ A B C D O A’ B’ C’ D’ HHöôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 180 Ta coù: B( a 2 ; 0; 0); D( a 2 ; 0; 0); C(0; a 3 2 ; 0); B( a 2 ; 0; h); D( a 2 , 0; h); C(0; a 3 2 ; h); A(0; a 3 2 ; h); M(0; a 3 2 ; h 2 ); N(0; a 3 2 ; h 2 ) B, M, D, N ñoàng phaúng. a a 3 h DM ; ; 2 2 2 ; a a 3 h DN ; ; 2 2 2 DB = (a; 0; h) 2 ha 3 a . 3 DB,DN ;0; 2 2 DB,DN DM 0 2 2 2 2 a ha 3 h a 3 2 ñpcm. Ta coù 2 2 a a 3 h h 2 2 B M , , a B M 2 2 2 4 Töông töï 2 2 2 2 2 h MD DN B N a 4 MD DN BN BM 2 2 2 2 (1) Maët khaùc 2 2 2 a 3a h DM.DN 4 4 4 (1) BMDN laø hình thoi neân BMDN laø hình vuoâng khi: DM.DN 0 h 2a h = a 2 2 2 Baøi 8: Cho hình laäp phöông ABCDA1B1C1D1 coù caïnh baèng a. a Tính theo a khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng A1B vaø B1D. b Goïi M, N, P laàn löôït laø caùc trung ñieåm cuûa caùc caïnh BB1, CD, A1D1. Tính goùc giöõa hai ñöôøng thaúng MP vaø C1N. Giaûi Choïn heä truïc Axyz nhö hình veõ. Ta coù A(0; 0; 0) ; B(a; 0; 0) ; C(a; a; 0) ; D(0; a; 0) A1(0; 0; a) ; B1(a; 0; a) ; C1(a; a; a) ; D1(0; a; a) M(a; 0; a 2 ) N( a 2 ; a; 0) P(0; a 2 ; a) a A B a; 0; a B D a; a; a 1 1 A B C D O A’ B’ C’ D’ z N M y x A B C D N A1 B1 C1 D1 M P Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 181 Goïi (P) laø maët phaúng qua B1D vaø (P) A1B (P) coù VTPT n = (1, 2, 1) Pt (P): x + 2y + z 2a = 0 d(A1B, B1D) = d(B, (P) = a 6 b MP a; ; C N ; 0; a a a a 1 2 2 2 Ta coù MP.C N 0 MP C N 1 1 . Vaäy goùc giöõa MP vaø C1N laø 900. Vaán ñeà 3: HÌNH TRUÏ – HÌNH NOÙN – HÌNH CAÀU A. TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT – PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI HÌNH TRUÏ I. ÑÒNH NGHÓA Hình truï laø hình sinh ra bôûi hình chöõ nhaät OOMM quay xung quanh caïnh OO Caïnh OM sinh ra hình troøn ñaùy. Caïnh MM sinh ra maët noùn troøn xoay. MM goïi laø ñöôøng sinh OO’ laø truïc cuûa hình truï. h = OO laø chieàu cao R = OM baùn kính ñaùy II. DIEÄN TÍCH HÌNH TRUÏ Dieän tích xung quanh: Sxq = 2Rh R: baùn kính ñaùy h: chieàu cao S tp = 2Rh + 2R2 III. THEÅ TÍCH HÌNH TRUÏ V = R2h R: baùn kính ñaùy h: chieàu cao HÌNH NOÙN I. ÑÒNH NGHÓA Hình noùn laø hình sinh ra bôûi tam giaùc vuoâng OMS quay xung quanh caïnh goùc vuoâng OS. Caïnh OM sinh ra hình troøn ñaùy. Caïnh SM sinh ra maët noùn troøn xoay. SM goïi laø ñöôøng sinh SO laø truïc hoaønh, ñöôøng cao. R = OM baùn kính ñaùy; h = SO chieàu cao II. DIEÄN TÍCH Dieän tích xung quanh hình noùn: Sxq = Rl M M’ O’ O M O SHöôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 182 R: baùn kính ñaùy l: ñoä daøi ñöôøng sinh Dieän tích toaøn phaàn: Stp = Rl + R2 = R(l + R) III. THEÅ TÍCH Theå tích hình noùn: V = 1 3 R2h R: baùn kính ñaùy h: laø chieàu cao HÌNH NOÙN CUÏT I. ÑÒNH NGHÓA Hình noùn cuït laø phaàn hình noùn giöõa ñaùy vaø moät thieát dieän vuoâng goùc vôùi truïc. Hình noùn cuït sinh bôûi moät hình thang vuoâng OMMOquay quanh OO. h = OO chieàu cao MM = l laø ñöôøng sinh II. DIEÄN TÍCH Dieän tích xung quanh: Sxq = (R + R)l R, R laø baùn kính ñaùy l laø ñöôøng sinh Dieän tích toaøn phaàn: Stp = (R + R)l + R2 + R2 III. THEÅ TÍCH Theå tích hình noùn cuït: V = 1 3 (R2 + R2 + RR)h R, R’ laø baùn kính ñaùy h chieàu cao HÌNH CAÀU I. ÑÒNH NGHÓA Hình caàu taâm O, baùn kính R laø taäp hôïp nhöõng ñieåm M trong khoâng gian thoaû maõn ñieàu kieän OM R Maët caàu taâm O baùn kính R laø taäp hôïp nhöõng ñieåm M trong khoâng gian thoaû maõn ñieàu kieän OM = R Thieát dieän qua taâm laø hình troøn lôùn taâm O baùn kính R. Thieát dieän cuûa hình caàu vôùi moät maët phaúng laø hình troøn coù taâm H laø hình chieáu cuûa O treân maët phaúng vaø baùn kính: r1 = R d 2 2 R laø baùn kính hình caàu; d laø khoaûng caùch töø taâm tôùi maët phaúng. d = OH Tieáp dieän cuûa maët caàu laø maët phaúng coù 1 ñieåm chung vôùi maët caàu. Ñieàu kieän ñeå maët phaúng () tieáp xuùc vôùi maët caàu laø: d(0, ) = R Tieáp tuyeán cuûa maët caàu laø ñöôøng thaúng coù moät ñieåm chung vôùi maët caàu. Ñieàu kieän ñeå ñöôøng thaúng laø tieáp tuyeán laø d(0; ) = R. II. DIEÄN TÍCH MAËT CAÀU: S = 4R2Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 183 III. THEÅ TÍCH MAËT CAÀU: V R 4 3 3 B. ÑEÀ THI Baøi 1: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2010 Cho hình laêng truï tam giaùc ñeàu ABC.ABC coù AB = a, goùc giöõa hai maët phaúng (ABC) vaø (ABC) baèng 600. Goïi G laø troïng taâm tam giaùc ABC. Tính theå tích khoái laêng truï ñaõ cho vaø tính baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän GABC theo a. Giaûi Goïi H laø trung ñieåm cuûa BC, theo giaû thuyeát ta coù: Goùc A HA = 600. Ta coù: AH = a 3 2 , A’H = 2AH = a 3 vaø AA = a 3. 3 2 = 3a 2 Vaäy theå tích khoái laêng truï V = 2 a 3 3a 4 2 = 3 3a 3 8 Keû ñöôøng trung tröïc cuûa GA taïi trung ñieåm M cuûa GA trong maët phaúng AAH caét GI taïi J thì GJ laø baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän GABC. Ta coù: GM.GA = GJ.GI R = GJ = GM.GA GI = 2 2 2 GA GI IA 2GI 2GI = 7a 12 . Baøi 2: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2006 Cho hình truï coù caùc ñaùy laø hai hình troøn taâm O vaø O, baùn kính ñaùy baèng chieàu cao vaø baèng a. Treân ñöôøng troøn taâm O laáy ñieåm A, Treân ñöôøng troøn taâm O laáy ñieåm B sao cho AB = 2a. Tính theå tích cuûa khoái töù ñieän OOAB. Giaûi Keû ñöôøng sinh AA. Goïi D laø ñieåm ñoái xöùng vôùi A qua O vaø H laø hình chieáu cuûa B treân ñöôøng thaúng AD. Do BH AD vaø BH AA neân BH (AOOA). Suy ra: VOO’AB = 1 3 .BH.SAOO’ Ta coù: AB = AB A A a 3 2 2 BD A D A B a 2 2 A B O A’ O’ H D A’ A B C C’ B’ H G IHöôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 184 BOD ñeàu BH = a 3 2 (ñvtt) Vì AOO laø tam giaùc vuoâng caân caïnh beân baèng a neân: S a AOO 1 2 2 Vaäy theå tích khoái töù dieän OOAB laø: 2 3 1 a 3 a a 3 V . . 3 2 2 12
Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Chuyên đề 5: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN KIẾN THỨC CĂN BẢN QUAN HỆ SONG SONG a I ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG c b Đònh nghóa: a // b a b = a, b () Đònh lí 1: a // b a () () = c song song với a b trùng với a b b II ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG Đònh nghóa: a // () a () = Đònh lí 2: (Tiêu chuẩn song song) a // b, b a // () a a b Đònh lí 3: a // () () = b // a a III HAI MẶT PHẲNG SONG SONG Đònh nghóa: () // () () () = Đònh lí 4: (tiêu chuẩn song song) a,b cắ t () // () a // a,b // b,a.b a b a b a' b' Đònh lí 5: // a a // b b a b 157 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Đònh lí 6: (Đònh lí Talet không gian) Các mặt phẳng song song đònh hai cát tuyến đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ AB BC AC () // () // AB BC AC a b A A’ B’ B AA', BB', CC' // () AB BC AC AB BC AC C’ C QUAN HỆ VUÔNG GÓC I ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC MẶT PHẲNG Đònh nghóa: a () a b, b () Đònh lí 1: (Tiêu chuẩn vuông góc) a b a () a c b,c cắ t a b S a Đònh lí 2: (Đònh lý đường vuông góc) a có hình chiếu a' mặt phẳng chứa b a b a' b ( , ) = vuông a b, b () Đònh lí 3: (Tiêu chuẩn vuông góc) a a II HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC Đònh nghóa: () () 158 H a' a b A c Đònh líù 4: c () c c Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU I ĐỊNH NGHĨA AB đoạn vuông góc chung a b A a, B b AB a, AB b a b A B II DỰNG ĐOẠN VUÔNG GÓC CHUNG a b Qua b dựng mặt phẳng () a A Trong () dựng qua A, AB b B AB đoạn vuông góc chung A M a a b Cách 1: Qua b dựng mặt phẳng () // a H a' Lấy M a, dựng MH B b Qua H dựng a' // a cắt b B Từ B dựng BA // MH cắt a A AB đoạn vuông góc chung b Cách 2: A B Lấy O a b' Qua O dựng mặt phẳng a O O H Dựng hình chiếu b' b Dựng OH b' Từ H dựng đường thẳng // a cắt b B Qua B dựng đường thẳng // OH cắt a A AB đoạn vuông góc chung III KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU d(a, b) = AB độ dài đường vuông góc chung () chứa b () // a d(a, b) = d(a, ()) HÌNH CHÓP Vấn đề 1: A TÓM TẮT LÝ THUYẾT – PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH CHÓP I ĐỊNH NGHĨA Hình chóp hình đa diện có mặt đa giác, mặt khác tam giác có chung đỉnh 159 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Chiều cao h khoảng cách từ đỉnh tới đáy S Hình chóp hình chóp có đáy đa giác cạnh bên Đỉnh hình chóp có hình chiếu A C tâm đáy H Hình chóp tam giác gọi tứ diện hình B tứ diện Hình tứ diện hình chóp tam giác có đáy mặt được, đỉnh điểm Hình tứ diện hình tứ diện có cạnh II DIỆN TÍCH Diện tích xung quanh hình chóp đều: Sxq = nad n: số cạnh đáy; a: độ dài cạnh đáy d: độ dài trung đoạn Diện tích toàn phần: Stp = Sxq + B B diện tích đáy III THỂ TÍCH S Thể tích hình chóp: V = Bh A C’ ’ B’ Thể tích tứ diện: V = dab.sin A C a, b: độ dài hai cạnh đối d: độ dài đoạn vuông góc chung B : góc hai cạnh đối Tỉ số thể tích hai hình chóp tam giác có chung đỉnh cạnh bên VSABC SA.SB.SC VSABC SA.SB.SC S HÌNH CHÓP CỤT I ĐỊNH NGHĨA Hình chóp cụt phần hình chóp nằm đáy thiết diện song song với đáy Hình chóp cụt từ hình chóp gọi hình chóp cụt A'B'C'D' ∽ ABCD SH SA AB SH SA AB 160 D’ A’ B’ A H’ C’ D H B C Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – II DIỆN TÍCH Stp = sxq + B + B' (na + na').d n: số cạnh đáy; a, a': cạnh đáy d: độ dài đoạn, chiều cao mặt bên Diện tích xung quanh hình chóp cụt đều: Sxq = III THỂ TÍCH V = V1 – V2 V1: thể tích hình chóp V: thể tích hình chóp cụt V2: thể tích hình chóp V1 SH 3 V2 SH V= B, B' diện tích đáy h chiều cao h(B + B' + BB ) B ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung điểm AB; mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 600 Tính thể tích khối chóp S.BCNM khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a Giải ª S Tính thể tích khối chóp S.BCNM SAB ABC SA ABC SAC ABC H M A BC// SMN MN // BC SMN ABC MN AB BC giả thiế t (SBC),(ABC) SBA 600 SB BC BC (SAB) Trong tam giác vuông SBA ta có SA = AB.tan SBA 2a Diện tích hình thang BCNM S = B 1 3a2 VS.BCNM = SBCNM SA 2a a3 3 I N C 1 3a2 BC MN BM 2a a a 2 161 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – ª Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SN Dựng mặt phẳng chứa SN song song với AB cách vẽ NI song song với AB cho AMNI hình vuông Suy AB // (SNI) Ta có AB // (SNI) d(AB,SN) = d(A, (SNI)) Vẽ AH vuông góc với SI H Dễ dàng thấy AH (SNI) d(AB,SN) = d(A, (SNI)) = AH 1 1 13 Trong tam giác vuông SAI ta có 2 AH SA AI 12a a 12a2 Suy ra: d(AB, SN) = AH 2a 39 13 Cách 2: Bài toán ta sử dụng cách cách xây dựng mặt phẳng (SNI) chứa SN song song với AB, d(AB, SN) = d(A, (SNI)) Cách 3: Xét hệ trục Oxyz hình vẽ A Oy nên xA = zA = 0, yA = BA = 2a A(0; 2a; 0) M y A B O B(0; 0; 0) C Ox nên yC = zC = 0, xC = BC = 2a C(2a; 0; 0) z S BO P N S (Oyz) nên xS = 0, yS = BA = 2a zS = SA = 2a S(0; 2a; 2a ) x C M Oy nên xM = zM = 0, yM = BM = a M(0; a; 0) N (Oxy) nên zN = 0, xN = BP = a yN = BM = a N(a; a; 0) Ta có: d(AB, SN) = AB,SN BN 2a 39 13 AB,SN Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB = 2a SBC 300 Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a Giải Vẽ SH vuông góc với BC H Vì (SBC) (ABC) nên SH (ABC) 162 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – SH = SB.sin300 = a S SABC = AB.BC = 6a2 VS.ABC = SH.SABC = 2a3 2a 300 4a H B Vẽ HM vuông góc với AC M BC (SHM) A HK (SAC) HK = d(H, (SAC)) C M 3a Vẽ HK vuông góc với SM K K BH = SB.cos300 = 3a HC = a BC = 4HC d(B, (SAC)) = 4d(H, (SAC)) AB2 BC2 5a AC = BCA đồng dạng MCH SAM vuông H có HK đường cao nên: HK HM SH 25 9a Vậy d(B,(SAC)) = 4HK HM AB AB.HC 3a HM HC AC AC 3a 28 9a HK 3a 14 6a 7 Cách 2: Ta tính: d(B,(SAC)) = 3VSABC SSAC Ta có: +) AB (SBC) AB SB SA SB2 AB2 a 21 +) SC SH2 HC2 2a Mà AC = 5a nên SA2 + SC2 = AC2 , suy tam giác SAC vuông S Do đó: SSAC = SA.SC = a2 21 Vậy d(B,(SAC)) = 3VSABC 3.2a3 6a = SSAC a 21 Bài 3: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2011 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB=a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 300 Gọi M trung điểm cạnh SC Tính thể tích khối chóp S.ABM theo a 163 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Giải S BC vuông góc với mặt phẳng SAB a Góc SBA = 300 nên SA = BC a d(C,(SAB)) = 2 d(M,(SAB)) = M 1 a a a3 Vậy VS.ABM = VM.SAB = a = 3 36 A C a Cách 2: 300 a3 VS.ABC = SABC SA = 18 B SABM SM a3 VS.ABM = SABC SC 36 Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2010 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB AD; H giao điểm CN DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) SH = a Tính thể tích khối chóp S.CDNM khoảng cách hai đường thẳng DM SC theo a Giải 1a 1a 5a2 a S(NDCM)= a2 (đvdt) 22 22 5a2 5a3 (đvtt) a 24 V(S.NDCM)= NC a2 M A B a N a2 a D Ta có tam giác vuông AMD NDC H C Nên góc NCD = ADM Vậy DM vuông NC Vậy ta có: DC2 HC.NC HC a2 a 2a Ta có tam giác SHC vuông H, khoảng cách DM SC chiều cao h vẽ từ H tam giác SHC Nên 164 h HC SH 4a 3a 19 12a h 2a 19 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2010 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a; hình chiếu vuông góc đỉnh S mặt phẳng (ABCD) điểm H thuộc đoạn AC AC, AH Gọi CM đường cao tam giác SAC Chứng minh M trung điểm SA tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a Giải S a 2 a 14 Ta có SH a D 14a2 3a 32a2 SC a = AC 16 16 Vậy SCA cân C nên đường cao hạ từ C A xuống SAC trung điểm SA Từ M ta hạ K vuông góc với AC, nên MK = SH M a K a 14 a3 14 Ta có V(S.ABC) a2 (đvdt) 3 24 Nên V(MABC) = V(MSBC) = C H B a3 14 V(SABC) = (đvdt) 48 Bài 6: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2010 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = SB, góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy 450 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD Giải Gọi H trung điểm AB S Ta có tam giác vuông SHC, có góc SCH = 45 nên tam giác vuông cân Vậy HC SH a2 B a2 a a a3 (đvtt) V a2 C H A D 165 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Bài 7: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2009 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D; AB = AD = 2a; CD = a; góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 60 Gọi I trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Giải (SIB) (ABCD) (SIC) (ABCD) Suy SI (ABCD) S Kẻ IK BC (K BC) BC (SIK) SKI 60o Diện tích hình thang ABCD: SABCD = 3a2 Tổng diện tích tam giác ABI CDI 3a2 I BC AB CD 2 AD2 SI IK.tan SKI a IK B C K D 3a2 Suy SIBC = A 2SIBC 5a BC 15a Thể tích khối chóp: S.ABCD: V = 15a3 (đvtt) SABCD SI Bài 8: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AB = a, SA = a Gọi M, N P trung điểm cạnh SA, SB CD Chứng minh đường thẳng MN vuông góc với đường thẳng SP Tính theo a thể tích khối tứ diện AMNP Giải Gọi I trung điểm AB Ta có: MN // AB // CD SP CD MN SP SIP cân S, SI2 = 2a2 a a2 7a2 SI = SP = 4 7a2 a 6a2 Gọi O tâm hình vuông ABCD, ta có SO = SI – OI = 2 SO = 2 a , H hình chiếu vuông góc P xuống mặt phẳng SAB 1 SO.IP a a a Ta có S SIP SO.IP PH.SI PH 2 SI a 7 166 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Suy d1 a 2 a Vậy khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) là: d d1 3 Bài 14: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = a , SA = a SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M, N hai trung điểm AD SC I giao điểm BM AC Chứng minh mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB) Tính thể tích khối tứ diện ANIB Giải AM BA Xét ABM BCA vuông có AB BC S ABM đồng dạng BCA ABM BCA AMB BAC BCA BAC 90o AIB 90o MB AC SA (ABCD) SA MB a (1) (2) a Từ (1) (2) MB (SAC) N A I (SMB) (SAC) Gọi H trung điểm AC Ma H B NH đường trung bình SAC SA a NH NH // SA nên NH (ABI) 2 Do VANIB NH.SAIB AI AB BI AM AI D C a , BI2 AB2 AI2 a a2 a a2 a3 VANIB (đvtt) SABI 6 36 Bài 15: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = 2a SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M, N hình chiếu vuông góc A đường thẳng SB SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM Giải Thể tích khối chóp A.BCMN Gọi K trung điểm BC 170 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – H hình chiếu vuông góc A SK Do BC AK, BC SA nên BC AH S Do AH SK, AH BC nên AH (SBC) Xét tam giác vuông SAK: AH SA AK AH 3a N 19 Xét tam giác vuông SAB: SA2 SM.SB SM SA SB SB Xét tam giác vuông SAC: SA2 SN.SC Suy ra: M A H C K B SN SA2 SC SC2 SSMN 16 9 19a2 SBCMN SSBC SSBC 25 25 100 3a3 Vậy thể tích khối chóp A.BCMN V AH.SBCMN (đvtt) 50 Bài 16: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy (00 < < 900) Tính tang góc hai mặt phẳng (SAB) (ABCD) theo Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Giải Ta có góc cạnh bên mặt đáy S Suy SBO = SOB có tan = SO a SO = tan BO Vẽ OI AB AB (SIO) Ta có SO AB Góc (SAB) (ABCD) SIO a tan SO tan SIO = tan a IO C D I O a B A 1a a3 VSABCD SO.SABCD tan .a2 tan (đvtt) 3 171 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Bài 17: Cho hai mặt phẳng (P) (Q) vuông góc với nhau, có giao tuyến đường thẳng Trên lấy hai điểm A, B với AB = a Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, mặt phẳng (Q) lấy điểm D cho AC, BD vuông góc với AC = BD = AB Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a Giải Gọi I trung điểm BC (d) qua I, (d) (ABC) trục đường tròn ngoại tiếp ABC vuông cân A (d) (DC) = F trung điểm DC (do BF trung tuyến vuông) F tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện: DC a R = FD = 2 D d a F (BC = a ; BD = a) P Q P Q Ta có : BD Q BD Q A a B I H C Mà AI (P) BD AI, BC AI (do ABCD vuông cân) a 2 Cách 2: Chọn hệ trục Axyz cho A(0; 0; 0) B(0; a; 0) D(a; a; 0) C(0; 0; a) I(x; y; z) ycbt IA = IB = IC = ID = R AI (BDC) d(A,(BDC)) = AI = x=y=z= a a R IA 2 z C A B y a x D Mặt phẳng (BCD) có VTPT n 0; a2 ; a2 a2 0; 1; 1 Suy phương trình mặt phẳng (BCD): y + z a = d(A, (BCD)) = a 2 Bài 18: Cho hình chóp tam giác S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy a Gọi M N trung điểm cạnh SB SC Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng SBC) 172 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Giải S Gọi SH đường cao hình chóp SABC Ta có H trọng tâm ABC, kẻ AK MN (AMN) (SBC) AK (SBC) N Gọi I trung điểm BC, ta có: K S, K, I thẳng hàng AH = 2HI MN đường trung bình SBC C H a SAI cân A SA = AI = M A K trung điểm SI I B Ta có SH2 = SA2 HA2 = SI2 HI2 a2 a SI2 SA2 SA2 SA2 SA2 SI 9 2 Xét AKI ta có AK2 = AI2 KI2 AK a 10 a2 10 vậ y SAMN AK.MN đvdt 16 Bài 19: Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mp (ABC) AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD) Giải AD AB Cách 1: AD (ABC) AD AC BC2 = AB2 + AC2 ABC vuông A SABC 6(cm2 ) SBCD 34(cm2 ) Gọi a(A, (BCD) = AK S AD 34 1 (cm) VABCD SABC AD SBCD AK AK ABC SBCD 17 3 Cách 2: Kẻ DH BC AH BC (đònh lý đường vuông góc) Kẻ AK DH (1) Ta có BC (ADH) BC AK (2) Từ (1), (2) AK (DBC) d (A, (BCD)) = AK AK AD AH AB AC AD 17 72 34 AK2 (cm) AK = 72 17 17 173 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – HÌNH LĂNG TRỤ Vấn đề 2: A TÓM TẮT LÝ THUYẾT – PHƯƠNG PHÁP GIẢI I ĐỊNH NGHĨA Hình lăng trụ hình đa diện có mặt song song gọi đáy, cạnh không thuộc đáy song song với E II TÍNH CHẤT A D Trong hình lăng trụ: B C Các cạnh bên song song Các mặt bên, mặt chéo hình bình hành Hai đáy có cạnh song song E' A' III LĂNG TRỤ ĐỨNG, ĐỀU LĂNG TRỤ XIÊN Lăng trụ đứng lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy B' D' C' Lăng trụ lăng trụ đứng có đáy đa giác Lăng trụ có mặt bên hình chữ nhật Lăng trụ xiên có cạnh bên không vuông góc với đáy IV HÌNH HỘP Hình hộp hình lăng trụ có đáy hình bình hành Hình hộp có mặt đối diện hình bình hành song song Các đường chéo hình hộp cắt trung điểm Hình hộp đứng có cạnh bên vuông góc với đáy Hình hộp xiên có cạnh bên không vuông góc với đáy A b D a B c A’ D’ C B’ C’ Hình hộp chữ nhật hình hộp đứng có đáy hình chữ nhật Hình hộp chữ nhật có mặt hình chữ nhật Độ dài cạnh xuất phát từ đỉnh gọi kích thước hình hộp chữ nhật a, b, c Các đường chéo hình hộp chữ nhật có độ dài: d = Hình lập phương hình hộp có mặt hình vuông Các cạnh hình lập phương số đo a Các đường chéo hình lập phương có độ dài: d = a 174 a2 b2 c2 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – V DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ DIỆN TÍCH TOÀN PHẦN Sxq = pl p chu vi thiết diện thẳng l độ dài cạnh bên Lăng trụ đứng: Sxq = ph p chu vi đáy h chiều cao Hình hộp chữ nhật: Stp = 2(ab + bc + ca) a, b, c kích thước hình hộp chữ nhật VI THỂ TÍCH Thể tích hình hộp chữ nhật: V = abc Thể tích hình lập phương: V = a Thể tích lăng trụ: V = B.h a, b, c kích thước a cạnh B diện tích đáy h chiều cao V = Sl S diện tích thiết diện thẳng l cạnh bên Thể tích lăng trụ tam giác cụt: Lăng trụ tam giác cụt hình đa diện có hai đáy tam giác có cạnh bên song song không abc V= S a b c S diện tích thiết diện thẳng a, b, c độ dài cạnh bên B ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2011 Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD hình chữ nhật AB = a, AD = a Hình chiếu vuông góc điểm A1 mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC BD Góc hai mặt phẳng (ADD1A1) (ABCD) 600 Tính thể tích khối lăng trụ cho khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a Giải Gọi O giao điểm AC BD A1O (ABCD) Gọi I trung điểm AD Ta có: OI AD ( Vì ABCD hình chữ nhật) A1I AD [Vì AD (A1IO)] Suy ra: Góc hai mặt phẳng (ADD1A1) 175 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – D1 (ABCD) A1IO A1IO 600 Ta có: OI = a a , A1O = OI.tan600 = 2 C1 B1 A1 SABCD = AB.AD = a2 Suy ra: D 60 C 3a M J O VABCD.A B C D SABCD A1O = 1 1 A B Gọi M hình chiếu vuông góc điểm H B1 mặt phẳng (ABCD) Suy ra: B1M // A1O M IO Vẽ MH vuông góc BD H, suy ra: MH (A1BD) Vì B1M // (A1BD) nên d(B1, (A1BD)) = d(M, (A1BD)) = MH Gọi J giao điểm OM BC, suy ra: OJ BC J trung điểm BC I Ta có: SOBM = a a2 1 BC = a = OM.BJ = A1B1 2 2 a2 a a 2 2S Ta lại có: SOBM = OB.MH d(B1, (A1BD)) = MH OBM OB Cách 2: D1 Ta có: B1C // A1D B1C // (A1BD) d(B1, (A1BD)) = d(C, (A1BD)) B1 A1 Vẽ CH vuông góc với BD H CH (A1BD) d(B1, (A1BD)) = d(C, (A1BD)) = CH D C Trong tam giác vuông DCB ta có hệ thức OH CH.BD = CD.CB, từ tính CH A B Cách 3: 3VB1A1BD D1 Ta có: d(B1, (A1BD)) = SA1BD B1 A1 3a3 VABD.A B D VABCD.A B C D 1 1 1 3a3 VABD.A B D VABCD.A B C D 1 1 1 a3 VA1.ABD SABD A1O VD.A1B1D1 A 176 D C O B C1 C1 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – VB1A1BD VABD.A1B1D1 VA1.ABD VD.A1B1D1 a3 a2 SA1BD BD.A1O 2 3VB1A1BD a d(B1, (A1BD)) = SA1BD Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2009 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có BB' = a, góc đường thẳng BB' 0 mặt phẳng (ABC) 60 ; tam giác ABC vuông C BAC = 60 Hình chiếu vuông góc điểm B' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a Giải Gọi D trung điểm AC G trọng tâm tam giác ABC ta có B’G (ABC) BBG 60o B’G = B’B sin BBG BG a a 3a BD Tam giác ABC có: BC AB AB AB , AC CD 2 3AB2 AB2 9a2 BC + CD = BD 16 16 2 A’ B’ C’ A 3a 13 3a 13 9a2 AB , AC ; SABC (đvdt) 13 26 104 B G C D 9a3 Thể tích khối tứ diện A’ABC: VAABC VBABC BG.SABC (đvtt) 208 Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, AA' = 2a, A'C = 3a Gọi M trung điểm đoạn thẳng A'C', I giao điểm AM A'C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC) Giải Hạ IH AC (H AC) IH (ABC); IH đường cao tứ diện IABC IH CI 2 4a IH // AA' IH = AA AA CA 3 AC = AC2 AA2 a , BC AC2 AB2 2a 177 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Diện tích tam giác ABC: SABC AB.BC a2 A’ 4a3 Thể tích khối tứ diện IABC: V IH.SABC 2a Hạ AK A'B (K ( A'B) Vì BC ( (ABB'A') I a C’ B’ K A nên AK ( BC ( AK ( (IBC) Nên khoảng cách từ A đến mặt phẳng (IBC) AK SA’BC= M 3a C H B 2 a 52a a IC A/ C S IBC S A/ BC a 3 AK 3VIABC 4a 3 2a 2a 3 S IBC 2a 5 Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2008 Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC a hình chiếu vuông góc đỉnh A' mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A'.ABC tính cosin góc hai đường thẳng AA', B'C' Giải Gọi H trung điểm BC Suy A'H (ABC) 1 AH BC a 3a2 a 2 A’ B’ C’ Do đó: A'H2 + AH2 = 3a2 A'H = a a3 Vậy: VA.ABC AH.SABC đvtt 3 Trong tam giác vuông A'B'H ta có: A HB AB2 AH2 2a nên B'BH cân B' C H B Đặt góc hai đường thẳng AA' B'C' BBH Vậy cos BI a (với I trung điểm BH) BB 2.2a Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2008 Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C có đáy ABC tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' khoảng cách hai đường thẳng AM, B'C Giải 178 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Thể tích lăng trụ: V Sđ h a.a a a (đvtt) 2 Gọi N trung điểm BB' Do B'C // MN d(B'C, AM) = d(B', (AMN)) Do N trung điểm BB' B’ d(B', (ABN)) = d(B, (AMN)) Gọi H hình chiếu B lên mp(AMN) A’ 1 1 N Ta có: 2 BH BA BM BN2 H 2 2 B a a a a a a Vậy d BC;AM BH A 7 C’ M C Bài 6: Cho hình lập phương ABCD, A'B'C'D' Tính số đo góc nhò diện [B, A'C, D] Giải Gọi O = AC BD cạnh hình lập phương a A’ D’ A'B = A'D = a = BD Ta có A'CB = A'CD (cạnh cạnh cạnh) Nên vẽ BH A'C DH A'C BH = DH [B, A'C, D] = BHD 2BHO B’ H C’ A D BHD cân H HO BD O B a C BO Ta có sin BHO BHO = 600 [B, A'C, D] = 1200 BH a Bài 7: Cho hình lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc BAD = 600 Gọi M trung điểm cạnh AA' N trung điểm cạnh CC' Chứng minh bốn điểm B', M, D, N thuộc mặt phẳng Hãy tính độ dài cạnh AA' theo a để tứ giác B'MDN hình vuông Giải Tam giác BDC cạnh a, AA' = b Chọn hệ trục hình vẽ 179 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Ta có: B( C'(0; a a a a a ; 0; 0); D( ; 0; 0); C(0; ; 0); B'( ; 0; h); D'( , 0; h); 2 2 a a a h a h ; h); A'(0; ; h); M(0; ; ); N(0; ; ) 2 2 2 * B', M, D, N đồng phẳng a a h a a h DM ; ; ; DN ; ; 2 2 2 2 DB' = (a; 0; h) z D’ A’ B’ M a2 DB',DN ;0; A a2 a h DB,DN DM 0 D N O x đpcm C’ B y C a a h h * Ta có BM , , BM a2 2 2 Tương tự MD2 DN2 BN2 a2 Mặt khác DM.DN h2 MD2 DN2 B'N2 B'M2 (1) a2 3a2 h2 4 (1) B'MDN hình thoi nên B'MDN hình vuông khi: DM.DN h2 2a2 h = a Bài 8: Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 có cạnh a a/ Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng A1B B1D b/ Gọi M, N, P trung điểm cạnh BB1, CD, A1D1 Tính góc hai đường thẳng MP C1N Giải Chọn hệ trục Axyz hình vẽ Ta có A(0; 0; 0) ; B(a; 0; 0) ; C(a; a; 0) ; D(0; a; 0) A1(0; 0; a) ; B1(a; 0; a) ; C1(a; a; a) ; D1(0; a; a) a a a M(a; 0; ) N( ; a; 0) P(0; ; a) 2 B a/ A1B a; 0; a B1D a; a; a 180 A1 M B P D1 C1 A D C N Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Gọi (P) mặt phẳng qua B1D (P) // A1B (P) có VTPT n = (1, 2, 1) Pt (P): x + 2y + z 2a = d(A1B, B1D) = d(B, (P) = a a a a b/ MP a; ; C1N ; 0; a 2 Ta có MP.C1N MP C1N Vậy góc MP C1N 900 Vấn đề 3: HÌNH TRỤ – HÌNH NÓN – HÌNH CẦU A TÓM TẮT LÝ THUYẾT – PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH TRỤ I ĐỊNH NGHĨA M Hình trụ hình sinh hình chữ nhật O'OMM' quay xung quanh cạnh OO' Cạnh OM sinh hình tròn đáy Cạnh MM' sinh mặt nón tròn xoay M’ MM' gọi đường sinh OO’ trục hình trụ h = OO' chiều cao R = OM bán kính đáy II DIỆN TÍCH HÌNH TRỤ Diện tích xung quanh: Sxq = 2Rh R: bán kính đáy Stp = 2Rh + 2R2 III THỂ TÍCH HÌNH TRỤ V = R2h R: bán kính đáy HÌNH NÓN I ĐỊNH NGHĨA Hình nón hình sinh tam giác vuông OMS quay xung quanh cạnh góc vuông OS Cạnh OM sinh hình tròn đáy Cạnh SM sinh mặt nón tròn xoay SM gọi đường sinh SO trục hoành, đường cao R = OM bán kính đáy; h = SO chiều cao II DIỆN TÍCH Diện tích xung quanh hình nón: Sxq = Rl O O’ h: chiều cao h: chiều cao S M O 181 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – R: bán kính đáy l: độ dài đường sinh Diện tích toàn phần: Stp = Rl + R = R(l + R) III THỂ TÍCH Thể tích hình nón: V = R2h R: bán kính đáy h: chiều cao HÌNH NÓN CỤT I ĐỊNH NGHĨA Hình nón cụt phần hình nón đáy thiết diện vuông góc với trục Hình nón cụt sinh hình thang vuông OMM'O'quay quanh OO' h = OO' chiều cao MM' = l đường sinh II DIỆN TÍCH Diện tích xung quanh: Sxq = (R + R')l R, R' bán kính đáy l đường sinh Diện tích toàn phần: Stp = (R + R')l + R2 + R'2 III THỂ TÍCH Thể tích hình nón cụt: V = (R2 + R'2 + RR')h R, R’ bán kính đáy h chiều cao HÌNH CẦU I ĐỊNH NGHĨA Hình cầu tâm O, bán kính R tập hợp điểm M không gian thoả mãn điều kiện OM R Mặt cầu tâm O bán kính R tập hợp điểm M không gian thoả mãn điều kiện OM = R Thiết diện qua tâm hình tròn lớn tâm O bán kính R Thiết diện hình cầu với mặt phẳng hình tròn có tâm H hình chiếu O mặt phẳng bán kính: r1 = R2 d2 R bán kính hình cầu; d khoảng cách từ tâm tới mặt phẳng d = OH Tiếp diện mặt cầu mặt phẳng có điểm chung với mặt cầu Điều kiện để mặt phẳng () tiếp xúc với mặt cầu là: d(0, ) = R Tiếp tuyến mặt cầu đường thẳng có điểm chung với mặt cầu Điều kiện để đường thẳng tiếp tuyến d(0; ) = R II DIỆN TÍCH MẶT CẦU: S = 4R2 182 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – III THỂ TÍCH MẶT CẦU: V R B ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2010 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có AB = a, góc hai mặt phẳng (A'BC) (ABC) 600 Gọi G trọng tâm tam giác A'BC Tính thể tích khối lăng trụ cho tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a Giải Gọi H trung điểm BC, theo giả thuyết ta có: A’ Góc AHA = 600 Ta có: AH = a , A’H = 2AH = a C’ B’ a 3 3a = 2 Vậy thể tích khối lăng trụ AA' = a2 3a 3a3 = Kẻ đường trung trực GA trung điểm M GA mặt phẳng A'AH cắt GI J GJ bán kính mặt cầu C ngoại tiếp tứ diện GABC Ta có: GM.GA = GJ.GI V= G H A I B GA2 GI2 IA 7a GM.GA = = GI 2GI 2GI 12 Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006 Cho hình trụ có đáy hai hình tròn tâm O O', bán kính đáy chiều cao a Trên đường tròn tâm O lấy điểm A, Trên đường tròn tâm O' lấy điểm B cho AB = 2a Tính thể tích khối tứ điện OO'AB Giải Kẻ đường sinh AA' O’ H A’ D Gọi D điểm đối xứng với A' qua O' H hình chiếu B đường thẳng A'D B Do BH A'D BH AA' nên BH (AOO'A') A Suy ra: VOO’AB = BH.SAOO’ O R = GJ = Ta có: A'B = AB2 AA2 a BD AD2 AB2 a 183 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – BO'D BH = a (đvtt) Vì AOO' tam giác vuông cân cạnh bên a nên: SAOO' a2 a a2 a3 Vậy thể tích khối tứ diện OO'AB là: V 2 12 184