Tài liệu hệ thống một cách chi tiết nhất các tính chất thường gặp trong đề thi ĐHCĐ và các đề thi thử của các trường trên cả nước. Bên cạnh đó, tài liệu này cũng rèn luyện cho bạn đọc một hướng tư duy tốt nhất để học tốt chuyên đề hình học giải tích phẳng Oxy
Hỡnh hc gii tớch Oxy v cỏc tớnh cht quen thuc Nguyn Ngc Nam PHN I S LC MT VI TNH CHT QUEN THUC V TAM GIC TNH CHT 1: Cho D ABC cú tõm ng trũn ngoi tip I, trng tõm G, trc tõm H Gi AA l ng kớnh ca (I) v M l trung im ca BC Khi ú: T giỏc BHCA l hỡnh bỡnh hnh Suy M l trung im ca HA uuu r uu r I, G, H thng hng v HG = 2GI (ng thng Euler) ỡ IM ^ BC ù uuu r ù uuu r ù AH = IM ù ợ A H B G I C M A' TNH CHT 2: Cho D ABC trc tõm H, ng cao ln lt l AD, BE, CF Gi I l tõm ng trũn ngoi tip D ABC E, F ln lt l giao im th hai ca BE v CF vi ng trũn (I) Gi K l trung im ca AH v M l trung im ca BC Cỏc t giỏc AEHF, BFHD, CDHE, BCEF v ACDF ni tip AD l phõn giỏc v BC l phõn giỏc ngoi ti nh D ca D DEF Tng t: BE, AC v CF, AB cng ln lt l cỏc ng phõn giỏc v ngoi ti cỏc nh E, F ca D DEF Suy ra: H l tõm ng trũn ni tip ca D DEF Hỡnh hc gii tớch Oxy v cỏc tớnh cht quen thuc Nguyn Ngc Nam ỡ IA ^ EF ù ù ị IA ^ E ' F ' ù EF P E ' F ' ù ợ KM l trung trc ca EF A F' K F H E' E I B M D C TNH CHT 3: Cho D ABC cú trc tõm H ngoi tip ng trũn tõm I ng cao AH ct (I) ti mt im th hai l H (H khỏc A) Gi I l tõm ng trũn ngoi tip D BHC Khi ú: H i xng vi H qua BC (hay BC l trung trc ca HH) Suy ra: D HBH ' cõn ti B I i xng vi I qua BC (BC l trung trc ca II) Suy ra: D BH ' C l nh ca D BHC qua phộp i xng trc BC ng trũn ngoi tip cỏc tam giỏc AHB, BHC, CHA cú cựng bỏn kớnh v bng bỏn kớnh ca (I) Hỡnh hc gii tớch Oxy v cỏc tớnh cht quen thuc Nguyn Ngc Nam A H I B C H' I' TNH CHT 4: Cho D ABC cú tõm ng trũn ngoi tip v ni tip ln lt l O v I ng thng AI ct (O) ti im th hai l K (K khỏc A), ct BC ti im D Gi J l im i xng vi I qua K Khi ú: KB = KC = KI Suy ra: K l tõm ng trũn ngoi tip D BCI T giỏc BICJ ni tip ng trũn tõm K, ng kinh IJ J l tõm ng trũn bng tip gúc A BK l tip tuyn ca ng trũn ngoi tip D ABD Hỡnh hc gii tớch Oxy v cỏc tớnh cht quen thuc Nguyn Ngc Nam A I B O C D K J TNH CHT 5: Cho D ABC khụng cõn ni tip ng trũn (O) Gi AD, AE ln lt l phõn giỏc v ngoi nh A ca D ABC Gi M, N ln lt l trung im ca DE v BC Khi ú: AD v AE i qua im chớnh gia cung nh v cung ln BC ca (O) Tam giỏc AMD cõn ti M T giỏc AMNO ni tip AM l tip tuyn ca (O) Hỡnh hc gii tớch Oxy v cỏc tớnh cht quen thuc Nguyn Ngc Nam I A O E M B N D C K CC TNH CHT NY S C CHNG MINH PHN SAU Hỡnh hc gii tớch Oxy v cỏc tớnh cht quen thuc Nguyn Ngc Nam PHN II BI TON LIấN QUAN N TAM GIC Bi toỏn 1: Trong mt phng vi h ta Oxy cho ABC cú nh A 3;4 , ng phõn giỏc gúc A cú phng trỡnh x y v tõm ng trũn ngoi tip ABC l I 1;7 Vit phng trỡnh cnh BC, bit din tớch ABC gp ln din tớch IBC A I B H K C D Phõn tớch bi toỏn: + Nu ta gi D l giao im ca ng phõn giỏc gúc A v ng trũn ngoi tip ABC (D khỏc A) thỡ ú: BAD CAD Hay D l im chớnh gia ca BC Khi ú: ID l ng trung trc ca on thng BC (õy chớnh l mu cht ca bi toỏn) + Cú D (d): x y nờn ta vit c ta im D theo mt tham s Khi ú ta s dng d kin IA=ID tỡm ta im D c th v vit c phng trỡnh BC (cú tham s) + Cui cựng ta s dng SABC 4SIBC vit phng trỡnh BC c th Hng dn gii chi tit: + Gi D l gio im ca ng trũn ngoi tip ABC v ng phõn giỏc gúc A (D khỏc A) Ta cú: BAD CAD D l im chớnh gia ca cung nh BC Suy ra: BD=DC BDC cõn ti D Hỡnh hc gii tớch Oxy v cỏc tớnh cht quen thuc Nguyn Ngc Nam D thuc trung trc ca on thng BC M: I l tõm ng trũn ngoi tip ABC nờn IB=IC I thuc ng trung trc ca BC Suy ra: ID l trung trc ca cnh BC ID BC + Li cú: I l tõm ng trũn ngoi tip ABC Bỏn kớnh ca ng trũn ny l: R IA 2 + Mt khỏc: D (d): x y nờn D t;1 t ID t t t t 2t 10t 37 2 2 t Do IA=ID nờn: IA2 ID hay 2t 10t 37 25 t 5t Suy ra: t Vi D 3;4 thỡ loi vỡ D A D 2;3 D 3; Suy ra: D 2;3 + Do ID BC nờn ng thng BC nhn vộc-t DI 3; lm vộc-t phỏp tuyn Phng trỡnh ng thng BC cú dng: 3x y m + Gi H l hỡnh chiu k t A xung BC ca ABC v K l giao im ca ID v BC AH BC , IK BC 1 + Theo bi: SABC 4SIBC AH BC .IK BC AH IK d A, BC 4d I , BC 2 M: d A, BC 31 m 7m ; d I , BC 5 114 m 7m 31 m m 31 m Suy ra: 5 m 131 Vy phng trỡnh cnh BC l: 9x 12 y 114 hoc 15x 20 y 131 Tớnh cht 1: Cho ABC ni tip ng trũn tõm O Gi D l giao im ca ng phõn giỏc gúc A v ng trũn (O) Suy ra: OD BC Chng minh tớnh cht: Hỡnh hc gii tớch Oxy v cỏc tớnh cht quen thuc Nguyn Ngc Nam Ta cú: BAD CAD D l im chớnh gia ca cung nh BC Suy ra: BD=DC BDC cõn ti D D thuc trung trc ca on thng BC M: O l tõm ng trũn ngoi tip ABC nờn OB=OC O thuc ng trung trc ca BC Suy ra: OD l trung trc ca cnh BC OD BC A O B C D Bi toỏn 2: Trong mt phng ta Oxy, cho ABC nhn ng thng cha ng trung tuyn k t nh A v cnh BC cú phng trỡnh ln lt l 3x y v x y ng thng qua A vuụng gúc vi BC ct ng trũn ngoi tip ABC ti im th hai l D 4; Vit phng trỡnh cỏc ng thng AB, AC bit rng honh ca im B khụng ln hn A E I H B K M C D Phõn tớch bi toỏn: + Gi M, H ln lt l trung im ca BC v trc tõm ca ABC, E l giao im ca BH v AC Hỡnh hc gii tớch Oxy v cỏc tớnh cht quen thuc Nguyn Ngc Nam + Gi K l giao im ca BC v AD, ta nhn thy mt iu c bit l K l trung im HD + u tiờn ta d dng tỡm c ta M AM BC v vit c phng trỡnh AD AD BC Sau ú ta s tỡm c ta cỏc im A, K A AD AM , K AD BC + Do K l trung im HD nờn ta s tỡm c ta im H t hai im K v D + Tham s húa im B mt n B BC , t M l trung im BC ta vit c ta im C theo n ú Tớnh HB, AC ri s dng d kin HB AC tỡm ta im B v bi toỏn c gii quyt Hng dn gii chi tit: + Gi M l trung im ca BC phng trỡnh trung tuyn AM ca ABC l: x y + Gi H l trc tõm ca ABC H AD E l giao im ca BH v AC BE AC + Ta cú: T giỏc HKCE ni tip nờn BHK KCE , m KCE BDA BHK BDA hay BHD BDH Suy ra: BHD cõn ti B, m BK HD (do BC HD ) BK l trung trc ca HD K l trung im HD + M AM BC Ta im M l nghim ca h phng trỡnh: x2 3x y M ; 2 x y4 x + Do AD BC nờn ng thng AD cú vộc-t phỏp tuyn l nAD 1;1 Khi ú ng thng AD i qua im D 4; nờn cú phng trỡnh l: x y x y x y2 x + A AD AM Ta im A l nghim ca h phng trỡnh: A 1;1 y 3x y + K AD BC Ta im K l nghim ca h phng trỡnh: x y x3 K 3; y x y xH xD xK xH xK xD 2.3 H 2;0 + Do K l trung im HD nờn: yH yK yD y yH yD K Hỡnh hc gii tớch Oxy v cỏc tớnh cht quen thuc Nguyn Ngc Nam + im B BC B t; t C t;3 t Khi ú: HB t 2; t v AC t; t t Vỡ HB AC HB AC hay t t t t t 2t 10 t Do xB t t nờn B 2; , C 5;1 + ng thng AB i qua A 1;1 v B 2; nờn cú phng trỡnh l: x y x y 3x y + ng thng AC i qua A 1;1 v C 5;1 nờn cú phng trỡnh l: y Vy phng trỡnh AB, AC ca ABC ln lt l 3x y v y Tớnh cht 2: Cho ABC ni tip ng trũn (O), H l trc tõm Gi H l giao im ca AH vi ng trũn tõm (O) Suy ra: H i xng vi H qua BC Chng minh tớnh cht: + Gi K, E ln lt l chõn cỏc ng cao h t A A v B ca ABC K BC, E AC AK BC v BE AC Suy ra: T giỏc HKCE ni tip ng trũn E H B K BHK KCE hay BHH ' BCA O M C M BCA BH ' A BH ' H Nờn: BHH ' BH ' H BHH cõn ti B + Mt khỏc: BC HH ' (do BC AH ' ) BC l trung trc ca HH Suy ra: K l trung im HH hay H i xng vi H qua BC H' Bi toỏn 3: Trong mt phng ta Oxy cho ABC cú tõm ng trũn ngoi tip l I 4; ng cao v trung tuyn xut phỏt t nh A cú phng trỡnh ln lt l d1 : x y v d2 : x y Vit phng trỡnh ng thng cha cỏc cnh ca ABC 10 Hỡnh hc gii tớch Oxy v cỏc tớnh cht quen thuc Nguyn Ngc Nam + T AD MC C 5;1 T ú suy ra: B 1; Vy B 1; , D 1;3 Tớnh cht 12: Cho hỡnh thang vuụng ABCD (ti A v B) cú BC AD Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca B trờn cnh CD M l trung im ca BC Chng minh rng: AH MH + Ta cú: BHD BMD 90o T giỏc BDHM ni tip BDM BHM + Li cú: T giỏc ABMD ni tip BAM BDM Suy ra: BAM BHM T giỏc AHMB ni tip D A Chng minh tớnh cht: H AHM ABM 90o hay AH MH B C M Bi toỏn 11: Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hỡnh bỡnh hnh ABCD cú AC = AB Phng trỡnh ng chộo BD l x- = Gi E l im thuc on AC tha AC = AE , M l trung ổ5 im ca cnh BC Tỡm ta cỏc im A, B, C D bit E ỗ ;7ữ, S BEDC = 36 , im M nm trờn ỗ ữ ỗ2 ữ ố ứ ng thng d : x + y - 18 = v im B cú tung nh hn N A B E M I D 101 C Hỡnh hc gii tớch Oxy v cỏc tớnh cht quen thuc Nguyn Ngc Nam Phõn tớch bi toỏn: + Ban u, bi cho ta im E, phng trỡnh BD v im M ẻ d , ta s ngh n vic tỡm mi liờn h gia cỏc d kin ny Tht vt, ta thy EM ^ BD T õy, bng cỏch vit phng trỡnh EM, ta s tỡm c ta im M + Tham s húa ta im B ẻ BD , t ú ta cng s tỡm cỏch tham s húa ta cỏc im C, A, D theo n ca im B + S dng d kin cũn li l S BEDC = 36 ta s tỡm c ta tt c cỏc nh ca hỡnh bỡnh hnh ABCD Hng dn gii chi tit: + Gi I l giao im ca AC v BD ị I l trung im ca AC v BD (Do ABCD l hỡnh bỡnh hnh) ị AI = 1 AC , m im E theo bi tha AE = AC ị E l trung im ca AI ị IE = 1 1 AI = AC = AB = AB 4 + Ta cú: I, M ln lt l trung im ca BD v BC ị IM l ng trung bỡnh ca D BDC ị IM = 1 CD = AB 2 ổ Suy ra: IE = IM ỗ= ABữị I thuc trung trc ca EM (1) ữ ỗ ữ ỗ ố ứ + Gi N l trung im ca AB ị IN l ng trung bỡnh ca D ABC ị IN = BC = BM ổ Li cú: AB = AI ỗ= AC ữị D ABI cõn ti A M IN v BE ln lt l trung tuyn k t I v B ca ữ ỗ ữ ỗ ố ứ D ABI ị IN = BE Suy ra: BM = BE (= IN )ị B thuc trung trc ca EM (2) + T (1) v (2) suy ra: IB l trung trc ca EM ị EM ^ IB hay EM ^ BD ổ5 Phng trỡnh ng thng EM i qua E ỗ ; 7ữ v vuụng gúc vi BD l: y = ữ ỗ ữ ỗ2 ứ ố ỡ y= ổ ù 11 ị M ỗ ;7ữ M = EM ầ d ị Ta im M tha món: ù ữ ỗ ữ ỗ2 ứ ù x + y - 18 = ố ù ợ 102 Hỡnh hc gii tớch Oxy v cỏc tớnh cht quen thuc Nguyn Ngc Nam + B ẻ BD ị B (4; b)(b < 2) uuu r ổ 11 Do M ỗ ;7ữ l trung im ca BC ị C (7;14 - b) ị AC (7 - x A ;14 - b - y A ) ữ ỗ ỗ2 ữ ố ứ uuu ổ5 r M AE ỗ - x A ;7 - y A ữ ữ ỗ ữ ỗ2 ố ứ uuu r uuu r Ta cú: AC = AE ị ỡ ổ ù ù - xA = ỗ5 - xA ữ ữ ổ b + 14 ữ ù ỗ ù ữ ỗ2 ố ứ ị Aỗ1; ữ ỗ ữ ỗ ù ố ứ ù 14 - b - y = (7 - y ) ù A A ù ợ ỡ uur ổ 2b - 14 ù uỗ ữ ù AB ỗ3; ữ ù ỗ ố ứ ữ + Cú: ù r ù uuu ù DC - x ;14 - b - y ù ( D D) ù ợ ỡ uuu uuu ù = - xD r r ù ổ 56 - 5b ữị BD = 56 - 8b ị D ỗ4; T AB = DC ị ù 2b - 14 ữ ỗ ữ ỗ ù ố ứ ù = 14 - b - yD ù ợ + Li cú: S BEDC = SD BED + SD BCD = ị S BEDC = 1 d (E , BD).BD + d (C , BD ).BD 2 1 56 - 8b BD ộ (E , BD )+ d (C , BD )ự= d ỷ 2 Theo bi ta cú: S BEDC = 36 ị ổ3 ỗ + ỗ ỗ2 ố 56 - 8b 3ữ= ữ ữ ứ 56 - 8b = 36 56 - 8b = 48 ộ = 1(tm) b ờ = 13 > (L) b Vy A(1;5), B (4;1), C (7;13), D (4;17) Tớnh cht 13: Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD cú AC = AB Gi E l im thuc on AC tha AC = AE , M l trung im ca BC Chng minh rng: EM ^ BD N A B E M I D 103 C Chng minh tớnh cht: + Gi I l giao im ca AC v BD ị I l trung im ca AC v BD (Do ABCD l hỡnh bỡnh hnh) ị AI = AC m im E theo bi tha AE = AC Hỡnh hc gii tớch Oxy v cỏc tớnh cht quen thuc Nguyn Ngc Nam ị E l trung im ca AI 1 1 ị IE = AI = AC = AB = AB 4 + Ta cú: I, M ln lt l trung im ca BD v BC ị IM l ng trung bỡnh ca D BDC 1 ị IM = CD = AB 2 ổ Suy ra: IE = IM ỗ= ABữị I thuc trung trc ữ ỗ ữ ỗ ố ứ ca EM (1) + Gi N l trung im ca AB ị IN l ng trung bỡnh ca D ABC ị IN = BC = BM ổ Li cú: AB = AI ỗ= AC ữị D ABI cõn ti A ữ ỗ ữ ỗ ố ứ M IN, BE ln lt l trung tuyn k t I v B ca D ABI ị IN = BE Suy ra: BM = BE (= IN )ị B thuc trung trc ca EM (2) + T (1) v (2) suy ra: IB l trung trc ca EM ị EM ^ IB hay EM ^ BD Bi toỏn 12: Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hỡnh vuụng ABCD cú nh C thuc ng thng d1 : x + y - = , ng thng BD i qua im M (1;1) (M khỏc B v D) Tỡm ta nh C, bit rng cỏc hỡnh chiu vuụng gúc ca M trờn AB v AD nm trờn ng thng d2 : x + y - = A E F D 104 B M K H C Hỡnh hc gii tớch Oxy v cỏc tớnh cht quen thuc Nguyn Ngc Nam Phõn tớch bi toỏn: Gi E, F ln lt l hỡnh chiu ca M trờn AB v AD T d kin m bi toỏn a ra, ta s tỡm mi quan h CM ^ EF T ú ta s tỡm c ta im C Hng dn gii chi tit: + Gi E, F, H, K ln lt l hỡnh chiu ca M trờn cỏc cnh AB, AD, BC v CD ỡ MH = ME , MK = MF ù Suy ra: ù ù MK ^ MF , MH ^ ME ù ợ uuu uuu r r uuur uuur uuu uuu u r r uuur uuu uuur uuu u r r Ta cú: CM EF = HM + KM MF - ME = HM MF - KM ME = HM MF - KM ME = ( )( ) ị CM ^ EF + Phng trỡnh EF l: x + y - = ị Phng trỡnh CM l: x - y = ỡ x- y = ù ị C (2; 2) Do C = CM ầ d1 ị Ta C tha món: ù ù x + 2y- = ù ợ Vy C (2; 2) Tớnh cht 14: Cho hỡnh vuụng ABCD cú M thuc on BD Gi E, F ln lt l hỡnh chiu ca M trờn AB v AD Chng minh rng: CM ^ EF A E F B M H Chng minh tớnh cht: Gi H, K ln lt l hỡnh chiu ca M trờn BC v CD ỡ MH = ME , MK = MF ù Suy ra: ù ù MK ^ MF , MH ^ ME ù ợ Ta cú: uuur uuu r uuuu uuur uuu uuu r r r CM EF = HM + KM MF - ME uuuu uuu uuur uuu r r r = HM MF - KM ME ( )( = HM MF - KM ME = ị CM ^ EF (pcm) D 105 K C ) Hỡnh hc gii tớch Oxy v cỏc tớnh cht quen thuc Nguyn Ngc Nam Bi toỏn 13: Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hỡnh ch nht ABCD cú nh D (0;2) Gi H l hỡnh chiu ca B trờn AC v E l im thuc tia i ca tia BH tha BE = AC Tỡm ta cỏc nh A, B, C bit phng trỡnh DE : x - y + = v ng trũn i qua hai im A, B l: 2 (C ): (x - 3) + ( y - 4) = E B A M H D C K Phõn tớch bi toỏn: ADE + i vi bi toỏn ny, vic u tiờn ta cn chng minh ã = 450 t ú vit c phng trỡnh AD Nh vy ta s tỡm c ta im A u tiờn A = AD ầ (C ) + Tip theo ú, ta vit c phng trỡnh ng thng AB, v tỡm c ta hai im B, C Hng dn gii chi tit: + Gi M l hỡnh chiu ca E trờn AB v K = EM ầ CD Xột D BME v D ADC cú: ỡã ù BME = ã (= 900 ) ADC ù ù ù ù BE = AC ị D BME = D ADC (cnh huyn gúc nhn) ù ùã ã ù MBE = DAC = ã ABH ù ù ợ ( ) ị BM = AD = BC v ME = DC ị BCKM l hỡnh vuụng ã ADE ị KC = KM , m ME = DC ị KE = KD ị D DEK vuụng cõn ti K ị KDE = 450 ị ã = 450 106 Hỡnh hc gii tớch Oxy v cỏc tớnh cht quen thuc Nguyn Ngc Nam ã Suy ra: DA, DE = ã = 450 ADE ( ) r + Gi n (a; b)(a + b2 0) l VTPT ca ng thng AD ị Phng trỡnh ng thng AD l: ax + b (y - 2)= ax + by - 2b = AD Suy ra: cos ã , DE = ( Nờn: a- b a + b2 ) = a- b 2 a +b a- b = ã M DA, DE = ã = 450 ADE ( ) ộ = a a + b ab = ờ = b ỡa= ù TH1: Vi ù , chn b = ị Phng trỡnh AD l: y = ị Phng trỡnh CD: x = ù a + b2 ù ợ ộxA = ị A(5; 2) 2 Do A ẻ AD ị A(xA ;2) M A ẻ (C ) ị (xA - 3) + (- 2) = (xA - 3) = ờx = ị A(1; 2) ờA + Nu A(5;2)ị Phng trỡnh AB l: x = ị B (5; yB ) ộyB = ị B (5;6) 2 M B ẻ (C ) ị 22 + ( yB - 4) = ( yB - 4) = ờy = ị B (5; 2) A(L) ờB ị Phng trỡnh BC l: y = ị C (0;6) + Nu A(1;2)ị Phng trỡnh AB l: x = ị B (1; yB ) ộyB = ị B (1;6) 2 M B ẻ (C ) ị (- 2) + ( yB - 4) = ( yB - 4) = ờy = ị B (1; 2) A(L) ờB ị Phng trỡnh BC l: y = ị C (0;6) ỡb= ù TH2: Vi ù , chn a = ị Phng trỡnh AD l: x = ị Phng trỡnh CD: y = ù a + b2 ù ợ 2 Do A ẻ AD ị A(0; yA ) M A ẻ (C ) ị (- 3) + ( y A - 4) = ( y A - 4) = - (Vụ nghim) ộA(5; 2), B (5;6), C (0;6) Vy ờA(1; 2), B (1;6), C (0;6) Tớnh cht 15: Cho hỡnh ch nht ABCD Gi H l hỡnh chiu ca B trờn AC v E l im thuc 107 Hỡnh hc gii tớch Oxy v cỏc tớnh cht quen thuc tia i ca tia BH tha món: BE = AC Chng ADE minh rng: ã = 450 E Nguyn Ngc Nam Chng minh tớnh cht: + Gi M l hỡnh chiu ca E trờn AB v K l giao im ca EM v CD Xột D BME v D ADC cú: ỡã ù BME = ã (= 900 ) ADC ù ù ù ù BE = AC ù ùã ã ù MBE = DAC = ã ABH ù ù ợ ị D BME = D ADC (cnh huyn gúc nhn) ị BM = AD = BC v ME = DC ị BCKM l hỡnh vuụng ị KC = KM m ME = DC ị KE = KD ị D DEK vuụng ã ADE cõn ti K ị KDE = 450 ị ã = 450 ( B A M H D 108 C K ) Hỡnh hc gii tớch Oxy v cỏc tớnh cht quen thuc Nguyn Ngc Nam PHN VI TNH CHT TRONG T GIC Tớnh cht 1: Cho hỡnh ch nht ABCD Gi H l hỡnh chiu ca B trờn AC Gi I, M ln lt l trung im ca BH v CH Chng minh rng: AI BM A B I H M D C Chng minh tớnh cht: Ta cú: I, M ln lt l trung im ca BH v CH IM l ng trung bỡnh ca BHC IM // BC M BC AB nờn IM AB Suy ra: I l trc tõm ca ABM AI BM Tớnh cht 2: Cho hỡnh ch nht ABCD Gi H l hỡnh chiu ca B trờn AC Gi I, E, F ln lt l trung im ca cỏc cnh BH, AB, DH Chng minh rng: AI EF E A B I H F D M C Chng minh tớnh cht: FM / / CD / / AB Gi M l trung im ca HC FM l ng trung bỡnh ca HDC FM CD EB 109 Hỡnh hc gii tớch Oxy v cỏc tớnh cht quen thuc Nguyn Ngc Nam T giỏc BEFM l hỡnh bỡnh hnh EF // BM T tớnh cht ta cú: AI BM Suy ra: AI EF Tớnh cht 3: Cho hỡnh ch nht ABCD cú H l hỡnh chiu ca B trờn AC Gi E, F, M, N l lt l trung im ca cỏc cnh AB, DH, CH, AD Chng minh rng: EF MN E A B I N H M F D C Chng minh tớnh cht: MI / / BC / / AN Gi I l trung im ca BH MI l ng trung bỡnh ca HBC MI BC AN T giỏc AIMN l hỡnh bỡnh hnh AI // MN T tớnh cht ta cú: AI EF Suy ra: EF MN Tớnh cht 4: Cho hỡnh ch nht ABCD cú H l hỡnh chiu ca B lờn AC Gi N, I ln lt l trung im ca cỏc cnh CH, D K l im i xng vi C qua B Chng minh rng: KH IN I A D H M K B N C Chng minh tớnh cht: + Gi M l trung im ca BH MN l ng trung bỡnh ca HBC MN // BC M BC AB 110 Hỡnh hc gii tớch Oxy v cỏc tớnh cht quen thuc Nguyn Ngc Nam MN AB M l trc tõm ca ABN AM BN (1) MN / / BC / / AI + Do MN l ng trung bỡnh ca HBC nờn T giỏc AMNI l hỡnh bỡnh hnh MN BC AI Suy ra: AM // IN (2) + T (1) v (2) suy ra: BN IN + Cú: B, N ln lt l trung im ca cỏc cnh CK v CH BN l ng trung bỡnh ca CHK BN // KH M BN IN nờn KH IN Tớnh cht 5: Cho hỡnh vuụng ABCD Trờn hai cnh AD v AB ln lt ly hai im E, F cho: AE AF Gi H l hỡnh chiu ca A trờn BE Chng minh rng: CH HF A B F E D H C Chng minh tớnh cht: Xột AHF v BHC cú: AHF AH BH AH BH AE BA AF BC HAF HBC AEH BHC c.g c AHF BHC M AHF FHB 90o nờn BHC FHB 90o hay FHC 90o CH HF ti H 111 Hỡnh hc gii tớch Oxy v cỏc tớnh cht quen thuc Nguyn Ngc Nam PHN VII BI TP VN DNG Bi 1: Cho hỡnh vuụng ABCD cú A 1; Cỏc im M, N ln lt l trung im ca AD v BC E l giao im ca BN v CM Vit phng trỡnh ng trũn ngoi tip BME bit B cú honh ln hn v ng thng BN cú phng trỡnh l 2x y Bi 2: Cho hỡnh ch nht ABCD cú AD AB Gi M, N ln lt l trung im ca cỏc cnh AD v BC im K 5; l im i xng vi M qua N Phng trỡnh ng thng AC l 2x y Tỡm ta cỏc nh ca hỡnh ch nht ABCD bit A cú tung dng Bi 3: Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hỡnh vuụng ABCD Gi M l trung im ca cnh BC, N ; l mt im trờn cnh AC cho AN AC Xỏc nh ta cỏc nh ca hỡnh vuụng 2 ABCD, bit ng thng DM cú phng trỡnh l: x Bi 4: Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hỡnh vuụng ABCD Gi M l trung im ca cnh BC, 11 N l im trờn CD cho CN 2ND Gi s M ; v ng thng AN cú phng trỡnh: 2 2x y Tỡm ta im A Bi 5: Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hỡnh vuụng ABCD cú im A 1;3 Bit im 17 M 6;4 thuc cnh BC v N ; thuc ng thng DC Tỡm ta cỏc nh B, C, D ca hỡnh 2 vuụng ABCD Bi 6: Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hỡnh vuụng ABCD Gi M l trung im ca cnh BC, N ; l mt im trờn cnh AC cho AN AC Giao im ca AC v DM l I 1; Xỏc 2 nh ta cỏc nh cuu hỡnh vuụng ABCD Bi 7: Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hỡnh thang ABCD vi hai ỏy AB, CD v CD AB Gi H l chõn ng vuụng gúc h t D xung AC v M l trung im ca HC Bit ta nh B 5;6 , phng trỡnh cỏc ng thng DH, DM ln lt l 2x y v x y Tỡm ta cỏc nh ca hỡnh thang ABCD Bõỡ 8: Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hỡnh vuụng ABCD Gi M l trung im ca cnh BC, N l mt im trờn cnh AC cho AN AC im N thuc ng thng 3x y , phng trỡnh ng thng MD l x Xỏc nh ta nh A ca hỡnh vuụng ABCD bit khong cỏch t A ti ng thng MD bng v im N cú honh õm 112 Hỡnh hc gii tớch Oxy v cỏc tớnh cht quen thuc Nguyn Ngc Nam Bi 9: Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hỡnh vuụng ABCD Gi M l trung im ca cnh BC, 11 N l im trờn CD cho CN 2ND Gi s M ; v ng thng AN cú phng trỡnh 2 2x y Tỡm ta im A Bi 10: Cho hỡnh ch nht ABCD cú H l hỡnh chiu ca B trờn AC Gi E, F, G ln lt l trung im 17 29 17 ca CH, BH v AD Bit E ; , F ; , G 1;5 Tỡm ta tõm ng trũn ngoi tip tam 5 5 giỏc ABE Bi 11: Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hỡnh vuụng ABCD cú A 2;6 , nh B nm trờn ng thng d : x y Trờn hai cnh BC v CD ly hai im M v N cho BM CN 14 Xỏc nh ta cỏc nh ca hỡnh vuụng bit AM v BN ct ti im I ; 5 Bi 12: Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hỡnh vuụng ABCD cú phng trỡnh ng chộo AC l x y Trờn tia i ca tia CB ly im M v trờn tia i ca tia DC ly im N cho: DN BM ng thng song song vi AN k t M v ng thng song song vi AM k t N ct F 0; Xỏc nh ta cỏc nh ca hỡnh vuụng ABCD, bit im M nm trờn trc honh Bi 13: Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hỡnh vuụng ABCD cú im A 1;4 Trờn tia i ca tia CB ly im M v trờn tia i ca tia DC ly im N cho: DN BM ng thng song song vi AN k t M v ng thng song song vi AM k t N ct F Bit phng trỡnh gf thng CF l x y Xỏc nh ta cỏc im M v N, bit M nm trờn trc honh Bi 14: Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hỡnh ch nht ABCD cú hai ng chộo ct I 0; K AH v BK ln lt vuụng gúc vi BD v AC Hai ng thng AH v BK ct E ; Xỏc nh ta cỏc nh ca hỡnh ch nht ABCD, bit im H nm trờn ng thng 2 x y Bi 15: Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hỡnh ch nht ABCD cú hai ng chộo ct I K AH v BK ln lt vuụng gúc vi BD v AC Hai ng thng AH v BK ct E Xỏc nh ta cỏc nh ca hỡnh ch nht ABCD, bit phng trỡnh ng thng BK: 3x y , phng trỡnh ng thng IE: x y v ta im H ; 5 Bi 16: Trong mt phng Oxy, cho ABC cõn ti A Cỏc im M 1;1 v N 1; l cỏc im ln lt trờn cnh AB v trờn tia i ca tia CA cho BM CN Xỏc nh ta cỏc nh ca ABC, bit ng thng BC i qua im E 3; 113 Hỡnh hc gii tớch Oxy v cỏc tớnh cht quen thuc Nguyn Ngc Nam Bi 17: Trong mt phng Oxy, cho ABC cõn A Cỏc im M v N 1; l cỏc im ln lt trờn cnh AB v trờn tia i ca tia CA cho BM CN Xỏc nh ta cỏc nh ca ABC, bit K 1; l trung im ca MN v ng thng BC i qua im E 3; Bi 18: Trong mt phng Oxy, cho ABC ni tip ng trũn (I) im M 5;4 l mt im thuc ng trũn (I) Gi D 1;6 , E 1;2 , F theo th t l hỡnh chiu vuụng gúc ca M trờn AB, BC, CA Xỏc nh ta cỏc nh ca ABC, bit im F thuc ng thng 2x y Bi 19: Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hỡnh ch nht ABCD tõm I Gi M l trung im cnh CD, H l hỡnh chiu vuụng gúc ca D lờn AM v N l trung im ca AH Phng trỡnh ng trũn 2 ổ 5ử ổ 9ử 25 ngoi tip D IMN l (T ): ỗx - ữ + ỗ y - ữ = , nh D cú honh ụ nguyờn v nm trờn ng ữ ỗ ữ ỗ ữ ố ữ ỗ ố 2ứ ỗ 2ứ thng x - y = Tỡm ta cỏc nh B, D Bi 20: Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hỡnh vuụng ABCD cú M (- 3;1) l trung im ca AB, im E thuc on thng BC cho EC = 5EB Bit rng DE cú phng trỡnh l 23 x + y - 10 = v nh D cú honh dng Tỡm ta nh D Bi 21: Trong mt phng ta Oxy, cho ng trũn (C) tõm I i qua im A(- 2;3) v tip xỳc vi ng thng d1 : x + y + = ti im B ng trũn (C) ct ng thng d2 : 3x + y - 16 = ti C, D cho ABCD l hỡnh thang cú hai ỏy l AD v BC Tỡm ta cỏc nh B, C, D bit hai ng chộo AC v BD vuụng gúc vi v im I cú honh dng Bi 22: Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hỡnh ch nht ABCD ni tip ng trũn (T) Gi M ổ 1ử 10 l trung im cnh AB, ng thng CM ct ng trũn (T) ti E (0; 2) (E khỏc C) Bit G ỗ ; ữ l ỗ ữ ỗ 3ữ ố ứ trng tõm ca D ABC , im F (2; - 4) nm trờn ng trũn (T) v im B cú honh dng Tỡm ta cỏc nh ca hỡnh ch nht ABCD Bi 23: Trong mt phng Oxy, cho hỡnh ch nht ABCD cú im E nm trờn cnh BC, phng trỡnh ổ 1ử ng trũn ngoi tip D ABE l ỗx - ữ + ( y - 1) = v phng trỡnh ng thng DE l ữ ỗ ỗ ố ứ 2ữ 3x + y - 18 = Bit im M (0; - 3) nm trờn ng thng AB Tỡm ta cỏc nh ca hỡnh ch nht ABCD ổ 11 Bi 24: Trong mt phng Oxy, cho hỡnh vuụng ABCD cú E , F ỗ ;3ữ tng ng l trung im ca cỏc ữ ỗ ữ ỗ2 ứ ố cnh AB v AD im K nm trờn cnh CD cho KD = 3KC , ng thng EK cú phng trỡnh 19 x - y - 18 = Tỡm ta cỏc nh ca hỡnh vuụng ABCD bit im E cú honh nh hn 114 Hỡnh hc gii tớch Oxy v cỏc tớnh cht quen thuc Nguyn Ngc Nam Bi 25: Trong mt phng ta Oxy, cho hỡnh ch nht ABCD cú phng trỡnh ng thng AB l x - y + = , phng trỡnh ng thng BD l x - y + 14 = Vit phng trỡnh tng quỏt ca ng thng AC, bit ng thng AC i qua im M (2;1) Bi 26: Trong mt phng Oxy, cho hỡnh ch nht ABCD cú im M nm trờn cnh BC cho MC = 2MB , trờn tia i ca tia DC ly im N cho NC = 2ND Bit im D (1; - 3) v im A nm trờn ng thng d : 3x - y + = Phng trỡnh ng thng MN l x - y - = Tỡm ta cỏc nh cũn lai ca hỡnh ch nht ABCD Bi 27: Trong mt phng Oxy, cho hỡnh ch nht ABCD cú din tớch bng 30, hai im E (3;3), F nm ổ 14 trờn ng thng BC Hỡnh chiu vuụng gúc ca D trờn ng thng AF l im H ỗ ; - ữ Bit ữ ỗ ữ ỗ5 ố 5ứ ổ im M ỗ- ; 0ữ l trung im ca cnh AD v ng thng BC cú h s gúc l mt s nguyờn Tỡm ữ ỗ ữ ỗ ứ ố ta cỏc nh ca hỡnh ch nht ABCD Bi 28: Trong mt phng Oxy, cho hỡnh ch nht ABCD cú din tớch bng 15 ng thng AB cú ổ 13 16 phng trỡnh x - y = Trng tõm ca D BCD l G ỗ ; ữ Tỡm ta cỏc nh ca hỡnh ch nht ữ ỗ ữ ỗ3 3ứ ố ABCD bit nh B cú tung ln hn Bi 29: Trong mt phng Oxy, cho D ABC cú nh B (4; - 3) , M l trung im ca cnh BC, D l giao ã im ca ng phõn giỏc MAC v cnh BC Bit rng CB = 3CD , ng thng AD cú phng trỡnh 39 x - y - = , din tớch D ABC bng v nh C cú honh dng Tỡm ta cỏc nh A v C Bi 30: Trong mt phng Oxy, cho hỡnh ch nht ABCD cú hai im B, C thuc trc tung Phng trỡnh ng chộo AC l x + y - 16 = Xỏc nh ta cỏc nh ca hỡnh ch nht ó cho bit rng bỏn kớnh ng trũn ni tip D ACD bng 115