CHYEN DE RUT GON BIỂU THỨC HAY

giáo viên: Dơng Tiến mạnh dạng tập rút gọn biểu thức I Lý thuyết A Những đẳng thức 1) (a+b)2 = a2 + 2ab +b2 2)(a-b)2 = a2 - 2ab + b2 3)a2 - b2 = (a-b)(a+b) 4)a2 + b2 = (a+b)2- 2ab = (a-b)2 + 2ab 5)(a+b)3 = a3 +3a2b + 3ab2 + b3 = a3 + b3 + 3ab(a+b) 6)(a-b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = a3 - b3 - 3ab(a-b) 7)a3 + b3 = (a+b)(a2 - ab + b2) = (a+b)3 - 3ab(a+b) 8)a3 - b3 = (a-b)(a2 + ab + b2) = (a-b)3 + 3ab(a-b) 9)(a+b+c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca 10) (a+b+c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a+b)(b+c)(c+a) B Các công thức biến đổi thức 1) A2 = A 2) AB = A B (với A B ) 3) A = A ( với A B > ) B B 4) a b = a b ( với B ) 5) a b = a b ( với A B ) a b = a b (với A B ) A = B b 6) AB (với A.B B ) 7) A = A B ( với B > ) B B C 8) A B = C 9) A B C ( Am B A b = C ( ) (với A A B2 ) Am B A B ) (với A , B A B ) II tập áp dụng tập Tính a, A = ( + ) 120 15 b, B = + + 2 + 2 +1 ( ( c) + 15 )( ) ) 15 hớng dẫn a, A = ( + ) 120 15 = ( 11 + 30 ) 4.30 30 = 11 + 30 30 30 = 11 2 4 Trờng THCS Tân Sỏi, Yên Thế, Bắc Giang 2 2 giáo viên: Dơng Tiến mạnh b, B = + + 2 ( + 2 ) = + + 2 ( 1) + 2 = +1 ( c) + 15 = ( )( ) (4+ ) 15 = 15 ) tập Tính ( ) ( + 15 ( 15 ) ( + = ) (4 ) 15 = ) ( 15 = ) + 15 a) (1 2) b) 2 e) E = 17 12 + 2 + + 2 f) F = + c) + d) g) G = + h) H = 21 + 6 + 21 6 hớng dẫn a) = < b) = c) = 2+ d) = e) E = 42 ( 1) = = 2 ( 2) + f) Cách ( ) F = 8+2 82 = 2 + ( ( ) +1 ) +1 2 ( = 3- 2 + ) 2 = 2-1+ +1=3 +1 = 2 Cách : Phơng pháp Bình phơng hai vế Có F > Nên F2 = + + - - ( + ) ( ) = - 16 = F = g) Cách G = - - ( + ) = -2 Cách :Phơng pháp Bình phơng hai vế Chú ý : G < h) Cũng có hai cách nh Đáp số H = ( ) ( ) =6 tập : Chứng minh biểu thức sau có giá trị số nguyên a) A = ( 57 + + 38 + ) ( 57 38 + ) 3+3 + 3 b) B = + 13 + 48 6+ c) C = 29 12 hớng dẫn Trờng THCS Tân Sỏi, Yên Thế, Bắc Giang a) A = ( ) ( 57 + + 38 giáo viên: Dơng Tiến mạnh ) = 93 + 12 92 28 = Z b) B = + (2 + 1) = + = 2 + = Z c) C = (2 6+ 6+ 6+ ) = = Z tập : So sánh A 2B với A = 10 + 24 + 40 + 60 + + + + 16 2+ 3+ B= hớng dẫn Ta có A = ( 2) + ( ) + ( 5) + + 10 + 15 = B= ( ) 2+ 3+ + ( 2+ 3+ ) = 1+ ( 2+ 3+ ) = 2+ 3+ 2+ 3+ Vậy 2B = + 2 = + + Suy A > 2B tập : Rút gọn biẻu thức + a) A = 6+ 1 + + + b) B = 2+ 3+ 2008 + 2009 hớng dẫn Sử dụng phơng pháp trục thức a) A = ( ( 5+ )( ) 5+ 3 + ) ( ( 6+ )( ) ) = ( 5+ 53 ) + 2( 63 )= 5+ b) B = ( + 3) + ( + ) + + ( 2008 + 2009 ) = 2009 tập : Tính a) N = ( 2008 ) 2009 + 2008 b) M = 10 + 10 c) P = 2+ + 2+ 3 + hớng dẫn a) N = 2008 ( 2008 + 1) = ( 2008 1) ( 2008 + 1) = 2007 b) Phơng pháp Bình phơng hai vế M2 = - = ( 1) M = - M < c) Có ( 3= ) 2 Trờng THCS Tân Sỏi, Yên Thế, Bắc Giang ( )( giáo viên: Dơng Tiến mạnh ) ( )( )( ) 2+ 3 2+ 3 + 3 + 3+ + = + ữ = ữ 3+ 3 ữ P= +1 ữ 2+ 3+ 3 2 3+ +3 = ữ= ữ tập : CMR 1 1 + + + a) + < với n 1và n N ( n + 1) n b) 36 35 < + + + 12 +1 3+ 36 + 35 a) Ta có ( ) hớng dẫn 1 1 1 = k ữ ( k + 1) k ữ = k k k + ữ = k k k + ữ k + k + ữ ( k + 1) k k 1 = + ữ ữ k k + ữ < k k + ữ k +1 áp dụng với k { 1; 2;3; ; n} ta có 1 < ữ 2 1 < ữ 3 (1) (2) 1 < ( n + 1) n n n + ữ (n) Cộng vế với vế n BĐT ta có 1 1 + + + + < ữ < 2 ( n + 1) n n +1 b) Xét biểu thức n +1 n với n N* ( n + 1) + n Vì (n+1) +n = 2n + = ( 2n + 1) = 4n2 + 4n + > 4n + 4n = n ( n + 1) 1 < ( n + 1) + n n n + n + n n + n < ( n + n > 0) ( n + 1) + n n n + n + n 1 < (n + + n ) n n +1 ;2; ;36} ta có áp dụng BĐT với n { Trờng THCS Tân Sỏi, Yên Thế, Bắc Giang giáo viên: Dơng Tiến mạnh 1 36 35 < + + + + + + 2 2 2 35 36 +1 3+ 36 + 35 1 = = 2.6 12 Lu ý :Ta dùng BĐT cô si (n+1) + n > ( n + 1) n Tổng quát 1 1 n +1 n n +1 + + + < +1 3+ ( n + 1) + n n +1 tập : Rút gọn biểu thức a) A= 45a6 30a5 + 5a4 với a < 3a b) B = 2m + m2 m hớng dẫn 3 a) A = 5a4 9a2 6a + = 5a2 3a = ( 3a) = 3a 1) m = B= m ) 4(m < tập : Cho biểu thức a + A= ữ: a a a ữ a + a 1ữ ( ) a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị A biết a = +2 c) Tìm a để A < hớng dẫn a) Điều kiện < a a Khi ta có A = a a a a1 a +1 a1 A= : = a( a 1) ( a a + 1) )( a ( b) a = +2 = ( ) 2+1 ) ữ: + ữ a +1 ( )( a +1 ữ a ữ ) A = 2+ 2 = 2+1 c) Với < a A < a1 a < a 1< a < Kết hợp với điều kiện ta có A< < a < tập 10 : Cho biểu thức P = + x+2 x +4 ữ ữ x x x +3 ữ Trờng THCS Tân Sỏi, Yên Thế, Bắc Giang giáo viên: Dơng Tiến mạnh a) Rút gọn P b) Tìm x để P > hớng dẫn a) Điều kiện x x +3 x+3 x x2 x +4 ữ ữ= ữ x 2ữ x +3 x x Khi P = x >1 x b) Với x ta có P > Vậy P >1 x < x > x 2 > x 2 x > x ??? x Lu ý : Từ Nhiều học sinh kết luận x < sai ??? tập 11 : Cho biểu thức a a A = ữ: ữ + a + a a ữ với a a a) Rút gọn A b) Tìm a để gia trị a đạt GTLN hớng dẫn a a + a a +1 a a) A = ữ: ữ 1+ a a a +1 a ( )( ữ= ữ ) ( = -(a- a +1) ( ) a )( a ) a +1 ( 1+ a ) ( a ) a +1 a 3 4 b) A = -(a- a +1) = - ( a )2 - 1 a = a = t/m 4 tập 12 : Cho biểu thức y = x + x 2x + x +1 x x +1 x Amax = a) Rút gọn y Tìm x để y = b) Cho x > CMR y - y = c) Tìm GTNN y hớng dẫn a) Đkxđ x > ( ) x x + *A = x x x + x x + = x +1 = x x +1 x 1+1 = x x x x +1 x x x +1 x = * y = x x = x x 2=0 x = x = t/m x =2 ( ) ( ) ( ) ( ) b) y = x- x = x ( x 1) với x > y > y = y y y = Trờng THCS Tân Sỏi, Yên Thế, Bắc Giang giáo viên: Dơng Tiến mạnh c) y = x - x = x ữ 4 1 x = x = t/m 4 tập 13 : Cho biểu thức x x +1 x x P= x x ữ: x ữ ữ ymin = a) Rút gọn P b) Tìm P bết x = c)Tìm x để P =3 hớng dẫn a) ĐKXĐ < x ( Khi ta có P = )( ) x ữ x x x + ( x 1) x = x ữ= ữ x ữ x x x x +1 x x x Lu ý : Nhiều học sinh thực phép chia biểu thức toán trở nên phức tạp x ( x +1 x x +1 )( ) b) Với < x x = P = x = x 1 thay vào P ta có x= 4 =6 c) P =3 x = 3x+ x x = x -2 = x = x = t /m x= tập 14 : Cho biểu thức a 1 ữ P= ữ: 1+ a a 1+ a a ữ a) Rút gọn P b) Tìm a để P nhận giá trị nguyên a) Đkxđ a Khi ta có ( ) a a +1 hớng dẫn a a a : ữ= : 1+ a a a +1 a +1 1+ a a a +1 a +1 P= ( = ( 1+ )( ) ( )( a ( a 1) a 2a : = a ) ( a a + 1) ( a + 1) a a + ) ( ) b) Có P nhận giá trị nguyên a Trờng THCS Tân Sỏi, Yên Thế, Bắc Giang giáo viên: Dơng Tiến mạnh Nếu a = có P = giá trị nguyên Vậy a = giá trị t/m Nếu < a ta có a - a + > 0a P > Lại có theo BĐT Côsi < P = a + 1 a a a =2 Do < P < mà P Z P =1 2a =1 a a + = a = a = a a +1 2 KL : a = a = tập 15 : Cho biểu thức a b ab P = + ữ ữ: ab b a b ab + a a) Rút gọn P b) Tìm a, b nguyên để P = ab > a) Đkxđ a b Khi ta có P = = a ( hớng dẫn ) ( ab + a ) a b = a ab ab + b ( ab + a ) ( ab b ) ab ab b ab + a ab b + b ab + ab a b ab ab ab ab ( a + b ) a b a + b = ab ab ( a b ) ab ab > a+b b) Giả sử có a, b nguyên P = = ( a + b ) = ab ab a b a ( b ) ( b ) = ( a ) ( b ) = (*) ab > Do có a, b nguyên a2 b2 a b a = a = a = a = b = b = b = b = a = a = a = a = (loại ) (loại) b = b = b = b = a = a = KL : b = b = Nên từ (*) ab > Lu ý : Với ĐK ta dùng P2 quy đồng Nêú đặt nhân tử chung chia tử ab cho mẫu sai tập 16 : Cho biểu thức Trờng THCS Tân Sỏi, Yên Thế, Bắc Giang giáo viên: Dơng Tiến mạnh x 1 x x +1 + ữ: ữ ữ ữ x x + 9x x + Cho biểu thức A = a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A < a) Đkxđ x Khi ta có P = = ( )( (3 hớng dẫn ) ( x + 1) ( ) x x +1 x + x 3x + x x x + + x : ) x : x +1 x +1 x +1 3x + x x +1 = x +1 x +1 x x +1 ( x + 1) ( x 1) x ( x + 1) x +1 x = = ( x + 1) ( x 1) x + x ( )( ) Ta có P < x < x < < x < x x x 1 x ữ 4 1 Và A= nên Amax (a2 +a+1)min Ta có (a2 +a+1)min = a + = a = kt/m 1+ a + a 2 Kl : giá trị a để Amax tập 18 : Cho biểu thức x x ữ: ữ Với x x x x + x x ữ x +1 ữ P = Trờng THCS Tân Sỏi, Yên Thế, Bắc Giang giáo viên: Dơng Tiến mạnh a) Rút gọn P b) Tìm x để P < hớng dẫn a) Với x Ta có x ữ: x + x x x x + x ữ x +1 x ữ: x + x = x x +1 x ( x + 1) ữ P= ( ) ( ( ) ) x +1 x x +1 = ( x 1)( x + 1) x + x x 1 b) Với x Ta có P < < x < x < x Kết hợp với điều kiện ta có P < x < tập 19 : Cho biểu thức x x P = + x + ữ: x x x + x x ữ Với x ữ ữ = a) Rút gọn P b) Tìm x nguyên để M = P - x nhận giá trị nguyên hớng dẫn a) Với x P= x + x +1 x : x x +1 x ( x + 1) ( x + 1) x + x +1 x : = x ( x + 1) x x +1 ( ) ữ ữ ữ ữ ( ) x x + x +1 x x +1 x + x +1 x +1 = x + x + : = x +1 : = ( x + 1) x x +1 x +1 x ( x + 1) x ( = ) ( ) x+2 x b) Với x Có M = P - x = Để M Z + Z x x+2 x x = 2+ x = 1+ x x Z x Q x p với p ; q N q , (p;q) = q p2 q q Khi x = Z nên p M p M ( p; q ) = q q = x = p N q Ta có x= Trờng THCS Tân Sỏi, Yên Thế, Bắc Giang 10 giáo viên: Dơng Tiến mạnh x = Từ M Z x Z hay x ớc x = Lu ý : + ƯCLB(a;b) = (a;b) + aM ƯCLN(a;b) = b b + Để M Z + M = Z x { 0; 4;16} t/m Z x Z sai Chẳng hạn x )( ( x =0,5 ) tập 20 : Cho x ; y thoả mãn x + x + y + y + = Tính giá trị biểu thức a) A = x + y b) B = x2009 + y2009 c) C = x + y + y + x + )( ( ) hớng dẫn a)Nhân hai vế x + x + y + y + = với x - x + )( ) ( x + x + ) ( x x + ) ( y + y + ) = ( x x + ) x ( x + 1) ( y + y + ) = ( x x + ) ( y + y + ) = ( x ( 2 2 2 2 x2 + ) y + y + = x + x + (1) Tơng tự nhân hai vế với y - y + ta có x + x + = y + y + (2) Cộng vế với vế (1) (2) ta có x + y = hay A = b) Từ x + y = x = -y x2009 = - y2009 x2009 + y2009 = hay B = c) Ta có x = - y nên C = x + y + y + x + = x + x + y + y + = )( ( ) ( )( ) a a a a +1 a + tập 21 : Cho biểu thức : A = a a a + a ữ: a ữ a) Với giá trị a A xác định b) Rút gọn biểu thức A c) Với giá trị nguyên a A có giá trị nguyên hớng dẫn a > a) Đkxđ a a b) Khi ta có A = = ( ( )( a( ) ( a a + a +1 ) a ) : a + = a )( ( ) a +1 a a +1 a + ữ: ữ a2 a a +1 ) a a +1 a + a +1 a a2 a+2 Trờng THCS Tân Sỏi, Yên Thế, Bắc Giang 11 giáo viên: Dơng Tiến mạnh a > a2 c) Với a Ta có A = =2a+2 a+2 a a + = a = Để A Z 8Ma + ) mà a + Z a > nên a + > ( a+2=8 a = Đối chiếu với điều kiện ta lấy a = 1 + tập 22 : Cho biểu thức : A= ữ: ữ+ 1- x + x x + x x a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị A x = + c) Với giá trị x A đạt giá trị nhỏ hớng dẫn a) Đkxđ < x 1+ x x + x + x ữ: ữ+ Khi ta có A = x 1+ x ữ x 1+ x ữ x = (1 x ) (1+ x ) ( )( ( )( ) ( (1 x ) (1+ x ) + x x ( b)Ta có x = + = + ) nên A = = ( ) ) 1 = + x x x x ) = ( x x ) 1 = x x 2+ 7+4 ( ) 53 = 5+3 c) Với < x Ta thấy A < x > Nếu A có GTNN GTNN A phải nhỏ x < Đặt x = + 1( > 0) Ta có = nhỏ A nhỏ , A nhỏ đợc Vậy A + giá trị nhỏ a+b Lu ý : + Một số HS sử dụng BĐT ữ ab a; b Ta có x +1 x x = t/m sai ?? A x x ữ = x x Lu ý x = A = n tập 23 : Cho biểu thức: A= ( ) ( ) Trờng THCS Tân Sỏi, Yên Thế, Bắc Giang 12 giáo viên: Dơng Tiến mạnh x +2 x x +1 (với < x ) Q= ữì x x + x +1 x a) Chứng minh Q = x b) Tìm số nguyên x lớn để Q có giá trị số nguyên hớng dẫn a) với < x ta có ( Q= = ) x + ( x 1) ( )( ) x x + x +1 ( x 1) ( x + ) x +1 ( x +1 x x x + 2x x x x + 2x + x 2x x ( x 1) ( x + ) x +1 ( )( ) x +1 x ) x +1 x x +1 x +1 = = x x ( x 1) x + ( x 1) x + b) với < x ta có Q Z Z 2Mx 1) có (x-1) Z x { 1; 2} x { 1;0;2;3} ( x Đối chiếu với điều kiện ta có giá trị x nguyên lớn để Q nhận giá trị nguyên x = = 2x + x ( ) ( ) Trờng THCS Tân Sỏi, Yên Thế, Bắc Giang 13