ADMIN: NLPT FANPAGE LUYỆN ĐỀ HÀNG TUẦN 4 https:www.facebook.comluyendehangtuan I.Lý thuyết: Giả sử phương trình f x ( ) 0 có thể đưa về dạng: f u f v ( ) ( ) có nghiệm thuộc đoạn a b ; . Khi đó ta có thể tạo ra vô số bài toán với một hàm số đơn điệu trên khoảng ( ; ) a b . Do đó ta sẽ đưa 2 vế của phương trình ban đầu về dạng giống nhau f t ( ) rồi suy ra u v . Có nhiều bài toán cần phải đặt ẩn phụ để nhìn thấy hàm đặc trưng. Khi xét hàm, phải hợp tập xác định của 2 biến lại, để khảo sát hết các giá trị của 1 biến. Công cụ giúp ta dự đoán hàm số chính là chức năng Mode 7 TABLE trong máy tính cầm tay. Bước 1: Tìm được nghiệm X k . Gán nghiệm vào biến A : X k A . Bước 2: Nhập vào máy F X F A AX F(p) = q B p q a p b q ( ) ( ) , ( , ) . Hi vọng bạn đọc sẽ nắm rõ phương pháp cũng như vận dụng được phương pháp này. Thân ái . II.Các ví dụ: Bài 01. Giải phương trình: x x x x x 3 2 5 3 3 (3 6) 3 4 (1).
ADMIN: NLPT FANPAGE LUYỆN ĐỀ HÀNG TUẦN https://www.facebook.com/luyendehangtuan/ Phần II PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ I.Lý thuyết: Giả sử phương trình f ( x) đưa dạng: f (u) f ( v ) có nghiệm thuộc đoạn [ a; b ] Khi ta tạo vô số toán với hàm số đơn điệu khoảng ( a; b) Do ta đưa vế phương trình ban đầu dạng giống f (t ) suy u v Có nhiều toán cần phải đặt ẩn phụ để nhìn thấy hàm đặc trưng Khi xét hàm, phải hợp tập xác định biến lại, để khảo sát hết giá trị biến Công cụ giúp ta dự đoán hàm số chức Mode TABLE máy tính cầm tay Bước 1: Tìm nghiệm X k Gán nghiệm vào biến A : X k A a p Bước 2: Nhập vào máy F ( X ) F ( A) AX F(p) = q B , ( p , q ) b q Hi vọng bạn đọc nắm rõ phương pháp vận dụng phương pháp Thân II.Các ví dụ: Bài 01 Giải phương trình: x 5x 3x (3x 6) 3x (1) Điều kiện: x 13 4 Với nghiệm x , thay vào x x Do PT có dạng ( x 1)3 k ( x 2)2 2( x 1) (3x 4) 3x k (3x 4) 3x (2) Lấy x 5x 3x ( x 1)3 2( x 1) x x 2( x 1)2 2(3x 4) Vậy (1) ( x 1)3 2( x 1)2 2( x 1) (3x 4) 3x 2(3x 4) 3x (3) 2 Xét f (t) t 2t 2t , f '(t) 3t 4t t f (t ) liên tục Nên (3) f ( x 1) f ( x ) x x 13 x 1 x x x30 Chú ý: Để tìm k (2) có nhiều cách, đồng hệ số, thử nghiệm Tuy nhiên, cách giải cách nhanh Bài 02 Giải phương trình: ( x 4)( x 2) ( x 1)( x2 2x 3) (1) Điều kiện: x 2 Quan sát thấy vế có tương đồng: x x Ta có (1) ( x 2) x ( x 2) ( x 1)2 (2) 2 Xét f (t) (t 2)(t 2) t 2t 2t 4, f '(t) 3t 4t 2, f '(t) t Nên (2) f ( x 2) f ( x 1) x x 13 x1 x x2 3x Chú ý: (2) viết lại thành x3 x2 x ( x 4) x ( x 2) x x (3) ĐĂNG KÍ KHÓA HỌC – ĐIỂM DÀNH CHO K99ERS – KHÓA HỌC CUNG CẤP CÁC KĨ NĂNG PHÙ HỢP CHO CÁC EM HỌC SINH – XIN VUI LÒNG LIÊN HỆ INBOX FANPAGE HOẶC SĐT: 0914193306 ADMIN: NLPT FANPAGE LUYỆN ĐỀ HÀNG TUẦN https://www.facebook.com/luyendehangtuan/ Lấy x3 x x ( x 1)3 2( x 1) x2 x 2( x 1)2 2( x 2) Khi (3) (x 1) 2(x 1) 2(x 1) (x 2) x 2(x 2) x Xét f (t) t 2t 2, f '(t ) 3t 4t t f ( x 1) f ( x 2) Bài 03 Giải phương trình: x x 17 x 2( x 4) x (1) Điều kiện: x Dự đoán 2x x ( thay nghiệm phương trình vào) Lấy x3 5x2 17 x ( x 2)3 ( x 2) ( x 2)2 (2 x2 7) Khi (1) ( x 2)3 ( x 2)2 ( x 2) (2 x 7) x x x (2) 2 Xét f (t) t t t , f '(t) 3t 2t t Suy (2) f ( x 2) f ( 2x2 ) x 2x2 x 2 x x x2 4x Bài 04 Giải phương trình: ( x 3) x ( x 3) x x (1) Điều kiện: 1 x Dự đoán x 1 1 x Nên (1) ( x 2) x x (1 x 2) x x Xét f (t ) (t 2)t t t t 2t , t x x x Chú ý: Biến t chạy theo căn, chạy theo x nên xét miền 0; Bài 05 Giải phương trình: ( x 36) x 3x 12 x 99 (1) Điều kiện: x PT có ba nghiệm Dựa vào bảng suy ra: x 3 x X 1 8x 73 3x 6 (1) 27 27 x 9(8 x) (8 x) x x (3x 3) 3x (3 x )3 (3 x ) (3x 3) 3x (2) Xét f (t) t t , f '(t) 3t t Nên (2) x 3x Đặt t x x t Phương trình trở thành: t 3(8 t ) t 12t 27 t t 0; 3; 9 x 73; 1; 8 Bài 06 Giải phương trình: x (2x 7)( x 2) 4x 14x 3x (1) ĐĂNG KÍ KHÓA HỌC – ĐIỂM DÀNH CHO K99ERS – KHÓA HỌC CUNG CẤP CÁC KĨ NĂNG PHÙ HỢP CHO CÁC EM HỌC SINH – XIN VUI LÒNG LIÊN HỆ INBOX FANPAGE HOẶC SĐT: 0914193306 ADMIN: NLPT FANPAGE LUYỆN ĐỀ HÀNG TUẦN https://www.facebook.com/luyendehangtuan/ Điều kiện: x 2 Ta có: (1) x3 (2x 7) x 3x2 x Chia hai vế cho x , ta được: (2 x 7) x 2 2( x 2) x x x x x x 1 1 x Vậy x x Chú ý: Khi gặp x x căn, xét x nghiệm sau chia xuống Xét f (t ) 2t 3t , f '(t ) t x Bài 07 Giải phương trình: 2(4x 3) x ( x 11) x 6x (1) Điều kiện: x Từ hai nghiệm, ta có mối quan hệ: x x (1) 8( x 1) x ( x 11) x x 3 x x x x (2) Xét f (t) t 2t , f '(t) t Nên (2) f ( x 1) f ( x 2) x x 4( x 1) x x x 34 x Bài 08 Giải phương trình: (2 x 3) x ( x 2) x x (1) Điều kiện: x 1 Dự đoán: x x a x 3 Đặt a 2b Phương trình trở thành a b 4b b 1(2) x1 0 b (2) a3 (b3 3b2 3b 1) b2 2b a3 (b 1)3 (b 1)2 2b2 a3 a2 (b 1)3 (b 1)2 f (t) t t , f '(t) 3t 2t t Suy a b 2x x x x Bài 09 Giải phương trình: x 16 x (2 x 3) x x x (1) Điều kiện: x Dự đoán x x hai vế có lượng giống (1) x (4 x) (2 x 3) x x x Nhân vào vế (4 x) (4 x)2 (2 x 3) (2 x 3)2 x Để ý x 2.4 x 2(2 x 3) (4 x) (4 x)2 2.4 x (2 x 3) (2 x 3)2 2(2 x 3) (2) Xét f (t ) t t 2t , f '(t ) t t2 t2 Nên (2) f (4 x) f (2 x 3) x x t ĐĂNG KÍ KHÓA HỌC – ĐIỂM DÀNH CHO K99ERS – KHÓA HỌC CUNG CẤP CÁC KĨ NĂNG PHÙ HỢP CHO CÁC EM HỌC SINH – XIN VUI LÒNG LIÊN HỆ INBOX FANPAGE HOẶC SĐT: 0914193306 ADMIN: NLPT FANPAGE LUYỆN ĐỀ HÀNG TUẦN https://www.facebook.com/luyendehangtuan/ Bài 10 Giải phương trình: x x 4x x2 Điều kiện: 1 x PT có dạng ẩn phụ x x (1) a b ; ab a2 x b2 ;b x6 0 x6 b 2 a2 b2 t2 Khi (1) a b f (t ) t , f '(t ) t t 2 Đặt x x a 4x x2 41 x x x x (5 x)( x 1) x 16 x 20 x x0 Suy Bài 11 Giải phương trình: x x 15 x 13 x2 4x x9 (1) ( x 2, 9) x 12 VP chứa đa thức, VT chứa Mặt khác nghiệm pt thỏa mãn x x Ta có: x x 15x 13 ( x 9) x 3( x 9) x9 Biến đổi VT thành VP: x 12 x93 x 4x ( x 2) 3( x 2) ( x 9) x 3( x 9) t 3t 1 f (t ) t , t 7 2 x93 ( x 2) t 3 t 3 f '(t ) 2t 3 29 x 2 0, t 7 x x x x 3x (t 3) Bài 12 Giải phương trình: x x4 x3 x (1) x3 2x2 2x x x3 x ( x 1)3 ( x 1) x x x ( x 1)3 ( x 1) Điều kiện: x Ta có: x x2 x x ( x 1)2 1 x3 x2 x x ( x 1)2 1 Do ( x 1)3 ( x 1) x x ( x 1)3 t3 x (2) f (t ) , t (0; ) x ( x 1)2 t 1 x ( x 1)2 1 Mà f '(t) 3 5 3t (t 1) 2t t 3t 0, t (0; ) nên (2) x x x 0; (t 1)2 (t 1)2 Bài 13 Giải phương trình: x x (2 x 3)2 (2 x 2) x (1) Điều kiện: x Dự đoán x x hai vế có dạng giống (1) (x 1) x x (2x 3)3 (2x 3)2 x ( x 1) x x x (2x 3)3 (2x 3)2 2x ĐĂNG KÍ KHÓA HỌC – ĐIỂM DÀNH CHO K99ERS – KHÓA HỌC CUNG CẤP CÁC KĨ NĂNG PHÙ HỢP CHO CÁC EM HỌC SINH – XIN VUI LÒNG LIÊN HỆ INBOX FANPAGE HOẶC SĐT: 0914193306 ADMIN: NLPT FANPAGE LUYỆN ĐỀ HÀNG TUẦN https://www.facebook.com/luyendehangtuan/ x Xét f (t ) t t t , f '(t ) t f ( x 1) f (2 x 3) x 2 x (2 x 3) x1 Bài 14 Giải phương trình: Ta có: x1 (2) x x 2( x 3) 2x ( x 2)( x 2) x2 x 2x 2x 2x 1 ; x 13 (1) x x2 x x12 2x ( x 3)( x 2) 2x (2) ( x 2)( x 2) x ( x 1) x x x x f ( x 1) f ( x 1) x x Bài 15 Giải phương trình: 1 3x 3x 4 x x (1) Điều kiện: x Ta có: (1) 3( x 1) 3( x 1) ( x 1) ( x 1) (2) Xét f (t ) t t , t 3; 3 ; f '(t) 4 (3 t) 4 (3 t) ; f '(t) t Bảng biến thiên: t 3 f '(t ) 0 f (t ) Trường hợp 1: x x 3( x 1) f (t ) đồng biến 3; Nên (2) f (3 x 3) f ( x 1) x (loại) Trường hợp 2: x x 3( x 1) f (t ) đồng biến 0; Nên (2) f (3 x 3) f ( x 1) x (loại) Trường hợp 3: x (thỏa mãn) Vậy x nghiệm phương trình Bài 16 Giải phương trình: x2 x 2 x x x2 x x2 (1) x x ĐĂNG KÍ KHÓA HỌC – ĐIỂM DÀNH CHO K99ERS – KHÓA HỌC CUNG CẤP CÁC KĨ NĂNG PHÙ HỢP CHO CÁC EM HỌC SINH – XIN VUI LÒNG LIÊN HỆ INBOX FANPAGE HOẶC SĐT: 0914193306 ADMIN: NLPT FANPAGE LUYỆN ĐỀ HÀNG TUẦN https://www.facebook.com/luyendehangtuan/ 1 17 Điều kiện: x 0; 1 Với x 1 , phương trình (không thỏa mãn) Phân tích Phương trình có nghiệm x Nhìn qua thấy mối liên hệ thức thức Ta có: x2 x (1) x2 x ( x x 2) x2 ( x x) Đặt a x2 x a 2;7 17 b x x b 0; Phương trình trở thành: a 1 a b 1 b x f ( a) f ( b) x (2) Nếu chứng minh f (t ) t hàm đồng biến giải toán 1 t Ta có x2 x x2 x a b 2(1 x) (3) Xét f (t ) t 1 t , f '(t ) t 0; Suy f ( t ) đồng biến 0; 1 17 x Th1 x x D1 1; VP (2) x 1 Nên từ (3) suy a b f ( a ) f ( b) (2) vô nghiệm Th2 x 1 x x D2 0;1 VP Nên từ (3) suy a b f ( a ) f ( b) (2) vô nghiệm Th3 x x 1 Thử lại, x nghiệm phương trình cho Vậy x Bài 17 Giải phương trình: (8 x 10) x (5 x 1)( x 10 x 25) Điều kiện: x Phương trình cho tương đương với: (1) 2(4 x 1) x (5 x 1)( x 10 x 25 1) 2(4 x 1) x (5 x 1)3 (5 x 1) 8( x 1) x x (5 x 1)3 (5 x 1) Xét f (t ) t t , f '(t ) 3t t x x 3x 20 10 x Đặt t x x t 3t 10t 17 t 19 x Bài 18 Giải phương trình: x x (4 x 25 x 18) (1) ĐĂNG KÍ KHÓA HỌC – ĐIỂM DÀNH CHO K99ERS – KHÓA HỌC CUNG CẤP CÁC KĨ NĂNG PHÙ HỢP CHO CÁC EM HỌC SINH – XIN VUI LÒNG LIÊN HỆ INBOX FANPAGE HOẶC SĐT: 0914193306 ADMIN: NLPT FANPAGE LUYỆN ĐỀ HÀNG TUẦN https://www.facebook.com/luyendehangtuan/ Điều kiện: x 1 Ta có nhân tử x x x x x x Khi x 5(2 x 2) 10 x 10 2( x 3) 10 x Phương trình cho tương đương với: (1) 25x3 x3 4x4 25x3 18x2 25x3 x3 4x4 18x2 25(1 x3 ) x3 4x4 18x2 20 25(1 x3 ) x3 (2x2 4)2 2x2 (2) Xét f (t ) t t , f '(t ) 2t t (2) x3 2x2 ( x2 5x 3)(4 x2 5x 3) x x Bài 19 Giải phương trình: (4 x 7) x (2 x 3) x (1) 2 Điều kiện: x Phương trình cho tương đương với: (1) 2(4x 7) x (2 x 3)( x 2.2 x 2) 8( x 2) x x (2 x 3)( x 2.2 x 1) 8( x 2) x x (2 x 3)3 (2 x 3) (2) Xét f (t ) t t , f '(t ) 3t t Suy f (t ) đồng biến (2) f (2 x 2) f (2 x 3) x 43 x x 3x x x 3 x 9 x 70 x 129 Bài 20 Giải phương trình: x x ( x x 1)3 x x x (1) Điều kiện: x Biến đổi hai vế phương trình dạng (1) x4 x2 ( x2 x 1)3 x x2 x4 ( x2 x 1)3 2( x2 x 1) x2 x4 x2 x4 (2) Xét f (t ) t t , t , hàm đồng biến nên: (2) x x x x ( x x 1) ( x x x ) x2 ( x x 1) x x(1 x ) (1 x )2 1 x2 x x Bài 21 Giải phương trình: (2 x 4) x x x (3x 7) x (1) Nghiệm phương trình thỏa mãn 2x x Điều kiện: x 2 Vì x 2 x 1 Ta có: ĐĂNG KÍ KHÓA HỌC – ĐIỂM DÀNH CHO K99ERS – KHÓA HỌC CUNG CẤP CÁC KĨ NĂNG PHÙ HỢP CHO CÁC EM HỌC SINH – XIN VUI LÒNG LIÊN HỆ INBOX FANPAGE HOẶC SĐT: 0914193306 10 ADMIN: NLPT FANPAGE LUYỆN ĐỀ HÀNG TUẦN https://www.facebook.com/luyendehangtuan/ (1) (2 x 3) x x x x 3( x 2) x x a x Đặt Khi phương trình trở thành: a a x x 3b b (2) b x2 0 Ta áp dụng: x x ( x 2)2 6 x 3(2 x 3) Hoặc đồng : x x m(2 x 3) n( x 2)2 ma nb m 3, n Điều hoàn toàn hợp lí Bạn đọc tự cảm giác bậc để đưa cách xử lí (2) a 3a3 a b 3b3 b Xét f (t ) t 3t t , f '(t ) 4t 6t t 1 Suy f (t ) đồng biến t 1 nên f ( a) f (b) x x Các bạn tự giải tiếp Bài 22 Giải phương trình: (1 x) x (1 x) x (2 x) x (1) Điều kiện: 1 x Bình phương hai vế phương trình ta được: (1) 8(1 x ) x2 12 x 24 x x3 Lại có x x nên: (2 x ) (2 x)3 24 x 30 x (2 x )3 6(2 x ) (2 x) 6(2 x)2 (2) Ta có: x 1; 1 x 0; ; (2 x) 1; 2 Xét f (t ) t 6t đoạn 0; f '(t ) 3t 12t 3t(t 4) t (0; 3) Do f (t ) đồng biến đoạn 0; Suy ra: (2) f (2 x ) f (2 x) x x x Bài 23 Giải phương trình: 2x x x 15 x x 2( x x 2) x36 x3 (1) Điều kiện: x 2 Ta tìm mối quan hệ x x (1) x36 x3 x 15 x 2( x x 2) 2x x Đặt a x 0; b x Phương trình cho trở thành: b 6b 2( a2 a 2) b(b 6) 2(2a 2)( a 2) (1) (b 3)(b 4) 2(2a 1)( a 1) b b 12 2a 3a b(b 6) (2a 2)(2a 6) (2) Đến ta có hình dáng hàm số (b 3)(b 4) (2a 3)(2a 4) Xét f (t ) t(t 6) t 6t t 24t 72 , f '(t ) t Suy ra: (t 3)(t 4) t 7t 12 (t 7t 12)2 ĐĂNG KÍ KHÓA HỌC – ĐIỂM DÀNH CHO K99ERS – KHÓA HỌC CUNG CẤP CÁC KĨ NĂNG PHÙ HỢP CHO CÁC EM HỌC SINH – XIN VUI LÒNG LIÊN HỆ INBOX FANPAGE HOẶC SĐT: 0914193306 11 ADMIN: NLPT FANPAGE LUYỆN ĐỀ HÀNG TUẦN https://www.facebook.com/luyendehangtuan/ (2) f (2 x 2) f ( x 3) x 10 x 47 x 58 (thỏa mãn) III Bài tập áp dụng: 3 Bài 24 Giải phương trình: 2x 10x 17x 2x 5x x Bài 25 Giải phương trình: x x 12 x x 4x 4x 2 Bài 26 Giải phương trình: x x x x x x Bài 27 Giải phương trình: 5(x x 6) 5x 19 (x 2)(x x 3)( x 2) Bài 28 Giải phương trình: (2 x 1) (4 x x 3) Bài 29 Giải phương trình: 24 x 60 x 36 5x 2x 2x 4x 4x2 x 1 Bài 30 Giải phương trình: ( x2 3x)(1 x2 1) x x Bài 31 Giải phương trình: x3 x2 x x1 2 2x x2 x 2 x2 x Bài 32 Giải phương trình: 8x2 11x (2 x 1)( x 5) 3 3 Bài 33 Giải phương trình: 2x x 2x 3x 3x x Bài 34 Giải phương trình: x3 15x2 78 x 141 x Bài 35 Giải phương trình: (9x 1) 9x 8x 12x 10x ĐĂNG KÍ KHÓA HỌC – ĐIỂM DÀNH CHO K99ERS – KHÓA HỌC CUNG CẤP CÁC KĨ NĂNG PHÙ HỢP CHO CÁC EM HỌC SINH – XIN VUI LÒNG LIÊN HỆ INBOX FANPAGE HOẶC SĐT: 0914193306 12 ADMIN: NLPT FANPAGE LUYỆN ĐỀ HÀNG TUẦN https://www.facebook.com/luyendehangtuan/ Phần II PHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP I.Các ví dụ: Bài 01 Giải phương trình: ( x 2)2 ( x 3)2 x x 81x 32 Điều kiện: x 1 9 x Vì 81x 32 x x nên (1) ( x 2)2 ( x 3)2 x x (2) 32 Th1: x x 81 Th2: (2) x2 4x ( x2 x) x x( x 3) x ( x 3) x( x 3) 3x x x2 ( x 3) x x ( x 3) f ( x) (3) x33 x1 x2 x 1 Do cần chứng minh x x x 1 Ta có x 33 x1 x 2 0x Cách Đặt g( x) x x , g '( x) x x1 Bảng biến thiên: 2 x 3 3 g '( x ) 92 g( x) Từ bảng biến thiên ta suy g( x) 92 x 1;0 Do f ( x ) x 32 Vậy x S 3; 81 Cách Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có: 1 x x 1 1 x 1x 1 x x 1 x1 x1 x1 Lại có x 1 x1 x1 3 x 1 1 x1 x1 3 ĐĂNG KÍ KHÓA HỌC – ĐIỂM DÀNH CHO K99ERS – KHÓA HỌC CUNG CẤP CÁC KĨ NĂNG PHÙ HỢP CHO CÁC EM HỌC SINH – XIN VUI LÒNG LIÊN HỆ INBOX FANPAGE HOẶC SĐT: 0914193306 13 ADMIN: NLPT FANPAGE LUYỆN ĐỀ HÀNG TUẦN https://www.facebook.com/luyendehangtuan/ Suy x 1 x1 x1 x x f ( x) x 1 Bài 02 Giải phương trình: 3x2 14x 13 ( x 1) x 2( x 5) x (1) Điều kiện: x Phương trình có nghiệm x Cách Liên hợp thường Ta có: (1) 3x2 14 x 13 ( x 1) 4x 2( x 5) x ( x 1)(3x 10) ( x 1)( x 3) 2( x 5)( x 2) 4x x 10 ( x 1) 3x 10 4x x3 2 4x x 10 Đặt f ( x) 3x 10 4x x3 2 4x x 10 x x 10 x x Ta có: 3 4x x32 4x 4x sai bị âm 3 4x 4x x x 10 Nên f ( x) x 10 x 2x Vậy x 3 Cách Truy ngược dấu Ta cần làm cho dấu biểu thức ngoặc dương Vì x âm nên ta tìm lượng liên hợp cho x nhận nghiệm x 1 Nếu ta cho 4x Suy ( x 1)( x 4x 5) ( x 5) x 3( x 2) Bình phương lên, ta có ( x 1)( x 1)2 ( x 5)( x 1) x (1) 3x2 14 x 13 ( x 1) 4x 2( x 5) x x2 3x ( x 1)( x 4x 5) ( x 5) x 3( x 2) ( x 1)2 ( x 5) x ( x 1) x x x 4x x32 Bài 03 Giải phương trình: x2 10 x 11 14 x 11 (1) 11 Phương trình tương đương với: 10 (1) 4(2 x x 1) ( 10 x 11 x 3) ( 14 x 18 x 4) Điều kiện: x 1 (2 x x 1) (2) 10 x 11 x 14 x 18 x ĐĂNG KÍ KHÓA HỌC – ĐIỂM DÀNH CHO K99ERS – KHÓA HỌC CUNG CẤP CÁC KĨ NĂNG PHÙ HỢP CHO CÁC EM HỌC SINH – XIN VUI LÒNG LIÊN HỆ INBOX FANPAGE HOẶC SĐT: 0914193306 14 ADMIN: NLPT FANPAGE LUYỆN ĐỀ HÀNG TUẦN https://www.facebook.com/luyendehangtuan/ 2 2 11 11 10 x 11 14 x 18 Ta có: f '( x) x f ( x) x 10 10 ( 10 x 11 x 3) ( 14 x 18 x 4) 11 11 1 Do đó: f ( x) f Vậy (2) x x x 1; x 10 10 2 Bài 05 Giải phương trình: ( x2 x 6) x ( x 2) x 3x2 x Điều kiện: x Phương trình cho tương đương với: x2 10 x 12 ( x 3)( x 2)( x 1) ( x 2)( x 2) ( x 3)( x 2)( x 2) ( x 2)( x 3) 2( x 3)( x 2) 0 x 1 1 x1 x2 ( x 3)( x 2) ( x 3)( x 2) f ( x) (2) x12 x 1 1 x2 ; g '( x) x Bảng biến thiên: Cách Đặt g( x) x 1 1 x g '( x ) g( x) Từ BBT suy g( x) 2 x2 x 1 1 x , suy f ( x) x Nên (2) x S 2; 3 Cách Ta có: x2 x 1 1 x12 2 x x 1 x 1 1 x12 ( x 1)2 x 1 1 x12 x Bài 06 Giải phương trình: 8x2 11x (2 x 1)( x 5) (1) Điều kiện: x 1 Để ý (2 x 1)(2 x 1) x x 11x (8 x 3)( x 1) 2 x Do (1) 2( x 1) x x x 5(3) ĐĂNG KÍ KHÓA HỌC – ĐIỂM DÀNH CHO K99ERS – KHÓA HỌC CUNG CẤP CÁC KĨ NĂNG PHÙ HỢP CHO CÁC EM HỌC SINH – XIN VUI LÒNG LIÊN HỆ INBOX FANPAGE HOẶC SĐT: 0914193306 15 ADMIN: NLPT FANPAGE LUYỆN ĐỀ HÀNG TUẦN https://www.facebook.com/luyendehangtuan/ Th1 2 x 4(2 x 1) x 3 Th2 (3) (2 x 1) 2x x x x (4) Xét f (t) t t , f '(t) 3t t x x x Nên (4) x x 2 (2 x 1) (4 x) 8 x 11x 14x 15 Bài 07 Giải phương trình: 5x x 4x2 18 x 12 (1) Bài toán chứa nghiệm x nhân tử x x Do ta ưu tiên liên hợp nghiệm lẻ trước 4 Điều kiện x Phương trình cho tương đương với: (1) 3( 5x x 1) 3( x x 1) 4( x2 3x 3) 3 ( x x 3) ( x x 3) f ( x) x x 1 5x x Chú ý: Khi liên hợp phải xét mẫu số có hay không Phần bạn chuyển lên để trình bày x 21 x Xét x x ( nghiệm phương trình) 2 x (1 x) 21 4 nên x x x 4 21 21 Suy ĐK PT x D D1 D2 ; ; 3 4 Th1 x D1 Ta có f ( x) 5x x x x1 15 3 3 3 5x x4 f '( x) x D1 f ( x) nghịch biến D1 A2 B2 4 Suy f ( x) f Do phương trình vô nghiệm Xét x x x Th2 x D2 Ta có f '( x) x D2 f ( x) nghịch biến D2 21 Suy f ( x) f mà f (0) nên PT f ( x ) có nghiệm x Vậy x x 21 nghiệm phương trình Bài 08 Giải phương trình: x x x x x (1) ĐĂNG KÍ KHÓA HỌC – ĐIỂM DÀNH CHO K99ERS – KHÓA HỌC CUNG CẤP CÁC KĨ NĂNG PHÙ HỢP CHO CÁC EM HỌC SINH – XIN VUI LÒNG LIÊN HỆ INBOX FANPAGE HOẶC SĐT: 0914193306 16 ADMIN: NLPT FANPAGE LUYỆN ĐỀ HÀNG TUẦN https://www.facebook.com/luyendehangtuan/ Điều kiện: 1 x Cách Phương trình cho tương đương với: (1) 5x2 4 x 4x 4( x x ) (2 x)2 (2 x) (2 x2 )2 x2 Xét f (t) t t , t 0; x x2 f (t ) t t , t 0; f '(t ) 2t 2t t nên f (t ) đồng biến 0; Do f (2 x) f (2 x ) x x x x Cách Liên hợp Ta có: (1) 5x2 x 4( x x x ) 5x2 x x x2 x 1 x 1 x (2 x)2 (2 x )2 5x x (2 x x )( x x x ) 0 (5 x x) 0x0x g( x ) Chú ý Cách thi khó làm đòi hỏi nhạy bén, tư sắc sảo Đi thi nên làm cách liên hợp Bài 09 Giải phương trình: x 2 x ( x 1)( x2 2) Điều kiện: x 1 Phương trình cho tương đương với: (1) 4( x 2) 2( 2x 3) ( x 3)( x2 x 4) 4 ( x 3) ( x 1)2 x 2x Với x 1 , thỏa mãn phương trình ban đầu 4 4 ( x 1)2 Với x 1 , 2 x 2x Vậy phương trình có nghiệm x 1 x Bài 10 Giải phương trình: Điều kiện: x x x x x x (1) Phương trình cho tương đương với: (1) x( x2 3x 2) x 3x x x x( x 3x 2) x 3x x x ĐĂNG KÍ KHÓA HỌC – ĐIỂM DÀNH CHO K99ERS – KHÓA HỌC CUNG CẤP CÁC KĨ NĂNG PHÙ HỢP CHO CÁC EM HỌC SINH – XIN VUI LÒNG LIÊN HỆ INBOX FANPAGE HOẶC SĐT: 0914193306 17 ADMIN: NLPT FANPAGE LUYỆN ĐỀ HÀNG TUẦN https://www.facebook.com/luyendehangtuan/ x (2) ( x x 2) x x x ( x 1)2 ( x 1) x ( x 1)2 Mẫu số phân thức ngoặc Nhóm x x x ( x 1)2 1 để mẫu không bị x (1) x( x x 2) x x x ( x 1)2 ( x 1)2 2 x 1 1 x 1( x 2) x x x 1; 2 x 3x x x Bài 11 Giải phương trình: ( x 1) x 2(3x 1) 4x 2(8x2 x 1) (1) 1 Điều kiện: x Phương trình có nghiệm x 2 Ý tưởng toán truy ngược dấu giống 02 Tuy nhiên, điều thực 1 thay vào x ta không nhận số hữu tỷ với x x 1 Th1 x Phương trình cho tương đương với: (1) 2(8 x2 x 1) ( x 1) x 2(3x 1) x Muốn biểu thức bên dương ta sử dụng kĩ thuật mà dân mạng gọi truy ngược dấu Để truy ngược dấu ta đặt thức trước dấu biểu thức ngoặc dương Cụ thể: Biểu thức x nhận x 0.5 nghiệm x Mà liên hợp bị âm dấu ( x 1) x Do ta viết lại: ( x 1) x ( x 1) x 3( x 2) 1 ( x 1)(2 x 3) ( x 1) x ( x 1)(2 x 3) ( x 1) x 2 Biểu thức tương tự Vì có sẵn số nên không cần nhân thêm 2(3 x 1) x (3 x 1) x 2( x 2) (3 x 1)(4 x 2) 2(3 x 1) x Tóm lại, kĩ thuật thêm bớt lượng cho dấu biểu thức ngoặc dương 3 x ( x 1) x 3( x 2) (3 x 1) x 2( x 2) 2 ( x 1)(2 x 1) x (3 x 1)(4 x 2) x x2 3x 2x 4x ( x 1) x 2(3x 1) x (2 x 1) 3( x 1) 0x 2x 4x 3x2 ĐĂNG KÍ KHÓA HỌC – ĐIỂM DÀNH CHO K99ERS – KHÓA HỌC CUNG CẤP CÁC KĨ NĂNG PHÙ HỢP CHO CÁC EM HỌC SINH – XIN VUI LÒNG LIÊN HỆ INBOX FANPAGE HOẶC SĐT: 0914193306 18 ADMIN: NLPT Th2 FANPAGE LUYỆN ĐỀ HÀNG TUẦN https://www.facebook.com/luyendehangtuan/ 1 x Ta có: 2(8x2 x 1) 2.4 x(2 x 1) 2.3x 2.1 2(3x 1) 2(3x 1) x Suy 2(8x2 x 1) ( x 1) x 2(3x 1) x Vậy phương trình vô nghiệm Bài 12 Giải phương trình: x3 3x2 10 x 26 3x 2x (1) Điều kiện: 3 x Phương trình cho tương đương với: (1) x3 3x2 10 x 26 3x x ( x 2)( x x 12) x x ( x 2) x x 12 3x 2x Với 1 x ta có x x 12 ( x 3)( x 4) Vậy x nghiệm Do x x 12 3x 2x Bài 13 Giải phương trình: 3( x2 x 3) x 1 x2 19 x 12 12 x 16 x2 11x 27 , x 3 Có mẫu ta cần phải khử 12 3( x 1)( x 3) (12 x)( x 1) (1) 16 x 11x 27 x 1 12 x Điều kiện: 4 x 3( x 1)( x 3)( x 1) (12 x)( x 1) ( x 1)(16 x 27) x3 12 x Với x , thỏa mãn Khi phương trình tương đương với: x 12 x 16 x 24 (3 x 12 x )(3 x 12 x ) x 12 x 16 x 23 12 x x 382 333 256 Bài 14 Giải phương trình: ( x 2) x (4 x 5) 2x x 23 (1) Điều kiện: x 1 Ta giải theo cách Cách Liên hợp thường (1) ( x 2)( x 2) (4 x 5)( 2x 3) 4x 12 ĐĂNG KÍ KHÓA HỌC – ĐIỂM DÀNH CHO K99ERS – KHÓA HỌC CUNG CẤP CÁC KĨ NĂNG PHÙ HỢP CHO CÁC EM HỌC SINH – XIN VUI LÒNG LIÊN HỆ INBOX FANPAGE HOẶC SĐT: 0914193306 19 ADMIN: NLPT FANPAGE LUYỆN ĐỀ HÀNG TUẦN https://www.facebook.com/luyendehangtuan/ 2( x 2) 2(4 x 5) ( x 3) ( x 3) f ( x) 2( x 2) 2x 2( x 2) 2(4 x 5) 2( x 2) 2(4 x 5) Ta có: ,x 1 2( x 2) x 2( x 2) 2x Suy f ( x ) x 1 Vậy x nghiệm Cách Đặt x t x t Phương trình cho trở thành: (1) t 6t t 17 (4t 1) 2t t 6t t 17 (4t 1)(t 1) (4t 1)( 2t t 1) 2t t , xem phần liên hợp tối ưu chương dưới) t 2t 3t 2t 16 (4t 1) 2t t 4t t (t 2) 3t 4t t x 2t t (Để tìm biểu thức Bài 15 Giải phương trình: x2 3x x x (1) Điều kiện: 3 x Phương trình cho tương đương với: (1) x 3x 2( x 2) 2(1 x ) ( x 1) x ( x 1) f ( x) x3 2 2x Nhìn đẹp x bị âm Ta có: f ( x) x x32 2( x 3) 2x 2( x 3) 2x x32 2x 3 2( x 3) x 3; Vậy x 2 x ( x 1)(3 x ) Bài 16 Giải phương trình: 16 x x 26 x x 16 (1) Điều kiện: 1 x Phương trình cho tương đương với: (1) 64 x 96 x 60 4 x ( 4 x 7) 3( 4 x 1) 12 x (2) 32 32 32 nghiệm x D 1; ; D1 D2 4 2 16 x 24 x 15 16 x 24 x 15 (2) 4(16 x 24 x 15) 4 x 4 x 4 x x Xét x ĐĂNG KÍ KHÓA HỌC – ĐIỂM DÀNH CHO K99ERS – KHÓA HỌC CUNG CẤP CÁC KĨ NĂNG PHÙ HỢP CHO CÁC EM HỌC SINH – XIN VUI LÒNG LIÊN HỆ INBOX FANPAGE HOẶC SĐT: 0914193306 20 ADMIN: NLPT FANPAGE LUYỆN ĐỀ HÀNG TUẦN https://www.facebook.com/luyendehangtuan/ 32 ( thỏa mãn) (Sai rồi, chia thành 1/4 để làm lại) 1 Th2 Xét f ( x) , 4 x 4 x 4 x x 4 4 2x x1 f '( x) x D ( 4 x 4 x ) ( 4 x x 1)2 Nên hàm số f ( x) đồng biến khoảng Suy ra: bị âm -0.99999 x -> vô Th1 16 x 24 x 15 x f ( x) f ( 1) x D1 f ( x) f (2) x D2 Vậy pt f ( x) vô nghiệm Bài 17 Giải phương trình: (5x 4) 3x x (6x 1) x (1) x Phương trình có căn, bình phương vế để căn: (1) (5x 4)2 (3x 2) 25(2 x) 10(5x 4) (3x 2)(2 x) (6 x 1)2 ( x 3) Điều kiện: 39 x3 50 x2 94 x 15 10(5x 4) (3x 2)(2 x) 39 x 75 x 39 x 75 5(5 x 4) (3 x 2)(2 x) (3 x) 5(5x 4) ( x 1)(13x 25) 3( x 1) Theo bđt Cauchy: (3 x 2)(2 x) x 2 (3x 2)(2 x) x x x (3x 2)(2 x) x x x ; 3 5(5 x 4) x f ( x) 3( x 1) (5 x 4) 2 x (3 x 2)(2 x) x II Bài tập áp dụng: Bài 18 Giải phương trình: 2x3 x2 6x 3x2 Bài 19 Giải phương trình: Bài 20 Giải phương trình: x x2 x x x x x x2 2x ( x 1)( x 2) x2 2x Bài 21 Giải phương trình: ( x 1) x ( x 6) x x2 x 12 ĐĂNG KÍ KHÓA HỌC – ĐIỂM DÀNH CHO K99ERS – KHÓA HỌC CUNG CẤP CÁC KĨ NĂNG PHÙ HỢP CHO CÁC EM HỌC SINH – XIN VUI LÒNG LIÊN HỆ INBOX FANPAGE HOẶC SĐT: 0914193306 21 ADMIN: NLPT FANPAGE LUYỆN ĐỀ HÀNG TUẦN https://www.facebook.com/luyendehangtuan/ Bài 22 Giải phương trình: 5x x x2 26 x 10 Bài 23 Giải phương trình: x x x2 2( x2 x 1) Bài 24 Giải phương trình: 2( x 3) x ( x 5) x 3( x 1) Bài 25 Giải phương trình: Bài 26 Giải phương trình: x2 x2 x x 1 x 1 1 x x x x x Bài 27 Giải phương trình: ( x 2) 2x 2( x 2) x x2 5x Bài 28 Giải phương trình: 2x 4x 4x 4x 15 2 Bài 29 Giải phương trình: x x x x x x x Bài 30 Giải phương trình: x( x 1)( x 3) x x 3 Bài 31 Giải phương trình: 4x2 x 2x 2x2 x3 9x2 4x Bài 32 Giải phương trình: (14 3x) x (4 x 3) x 16 x x 15 Bài 33 Giải phương trình: x2 x ( x 1) 8x x Bài 34 Giải phương trình: x x x3 4x2 5x x3 3x2 Bài 35 Giải phương trình: 2x4 3x2 x ( x2 x) 2( x3 x 1) ĐĂNG KÍ KHÓA HỌC – ĐIỂM DÀNH CHO K99ERS – KHÓA HỌC CUNG CẤP CÁC KĨ NĂNG PHÙ HỢP CHO CÁC EM HỌC SINH – XIN VUI LÒNG LIÊN HỆ INBOX FANPAGE HOẶC SĐT: 0914193306 22