HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG TRUNG TÂM ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC MỞ CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự – Hạnh phúc ĐỀ BÀI TẬP ĐIỀU KIỆN • Môn học: Toán cao cấp A2 • Lớp: D13TXQT1-2 • Thời hạn nộp bài:26/03/2014 Nội dung: PHẦN 1: Sinh viên tùy chọn câu hỏi Câu 1: Trình bày khái niệm: Không gian véc tơ, không gian véc tơ con, độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính Điều kiện cần đủ để hệ véc tơ phụ thuộc tuyến tính Cho ví dụ Câu 2: Trình bày khái niệm: Cơ sở không gian véc tơ, số chiều không gian véc tơ, tọa độ véc tơ sở Cơ sở không gian véc tơ n Câu 3: Trình bày khái niệm: Giá trị riêng, véc tơ riêng Điều kiện để ma trận chéo hóa được, cho ví dụ Câu 4: Khái niệm dạng toàn phương, đưa biểu thức tọa độ dạng toàn phương dạng tắc Cho ví dụ Câu 5: Trình bày khái niệm: Ánh xạ tuyến tính, nhân ảnh ánh xạ tuyến tính, hạng ánh xạ tuyến tính, ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính, ma trận ánh xạ tuyến tính hai sở khác Cho ví dụ PHẦN 2: Sinh viên làm câu Câu 1: a) Đặt V1 , V2 hai không gian vectơ gồm véctơ v = ( x1 , x , x3 , x ) thoả mãn hệ phương trình (I) hệ phương trình (II): 2 x1 − 3x − x3 − x = ( I ) 3x1 − x − x3 − x = , ( II ) x − 2x − x − 2x = 2 x1 + x − 10 x3 + x = x1 + x + x − 3x = 3x + x + x − x = Hãy tìm số chiều không gian b) Cho ma trận 1 2 A = − 1 − 1 V1 , V2 , V1 + V2 , V1 ∩ V2 , tìm ma trận P cho P −1 AP có dạng chéo Câu 2: − m ; m ∈ a) Cho ma trận A = m + m −1 i) Với giá trị m ii) Cho m = −1 tìm A −1 b) Cho ánh xạ tuyến tính f : tồn ma trận nghịch đảo → A −1 xác định bởi: f ( x, y , z , t ) = ( x + y + z + 8t ,3 x − y + z − t ,− x − y − t , x + y + z + 9t ) a) Viết ma trận f b) Tìm sở sở tắc Kerf Im f Câu 3: a) Cho ánh xạ tuyến tính f : → có công thức xác định ảnh f ( x, y , z ) = ( x + y + z , x + y + z , x + z ) i) Chứng minh f đẳng cấu ii) Tìm công thức xác định ảnh ánh xạ ngược f −1 ( x, y, z ) b) Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn trình: Oxyz cho mặt bậc hai ( x + y + 10 z − xy − xz + yz = 36 chuẩn cho phương trình ( mặt bậc hai ( S ) S ) có phương Hãy tìm hệ trục toạ độ trực S ) hệ trục toạ độ có dạng tắc, gọi tên Câu 4: a) Cho hai hệ vectơ: v1 = (1,1,1,1), v = (1,−1,1,−1), v3 = (1,3,1,3) u1 = (1,2,0,2), u = (1,2,1,2), u = (3,1,3,1) Đặt { v1 , v , v3 } sinh hệ vectơ { u1 , u , u } V1 không gian vectơ không gian vectơ sinh Hãy tìm số chiều không gian b) Cho ánh xạ tuyến tính f : → hệ vectơ V2 V1 , V2 , V1 + V2 , V1 ∩ V2 xác định bởi: f ( x, y, z ) = (3 x + y + z ,2 x + y + z, x + y + z ) i) Hãy viết ma trận A ánh xạ ii) Tìm ma trận P cho f P −1 AP sở tắc có dạng chéo Câu 5: a) Cho ánh xạ tuyến tính f : → cho f (1,0,0) = (1,1) , f (0,1,0) = (3,0) , f (0,0,1) = (4,−7) a) Tìm ma trận tắc f b) Tính f (1,3,8) , f ( x, y, z ) b) Cho ánh xạ tuyến tính f : → có ma trận sở tắc 0 A = 1 − 0 Hãy tìm ma trận f sở { v1 , v2 , v3 } ; 3 0 v1 = (1,1,1) , v2 = (1,1,0) , v3 = (1,0,0) 3 4 m c) Tìm hạng r ( A) ma trận A = 2 1 − − − 20 Ghi chú: - 01 trang ghi thông tin cá nhân: họ tên SV, lớp-khoá, nội dung câu hỏi chọn Phần nội dung trả lời có mục, tiểu mục phải phân rõ đánh số thứ tự; hình vẽ, bảng, biểu, ảnh, sơ đồ minh hoạ cần đánh số thứ tự kèm theo thích Phần cuối làm câu liệt kê danh mục tài liệu tham khảo phụ lục (nếu có) Bài chép toàn nội dung tài liệu học tập không đánh giá cao Sinh viên nộp làm viết tay, làm đánh máy không chấm điểm./ Sinh viên nộp trực tiếp qua đường Bưu điện cho giáo viên phụ trách lớp theo địa : Trương Mạnh Giáp Trung tâm Đào tạo Mở, Học viện Bưu Viễn thông, Km 10, Nguyễn Trãi, Hà Đông, Hà Nội