Chuyờn : MT S BI TON HèNH HC CHNG MINH IM C NH A/ C S Lí LUN: * Trong chng trỡnh hỡnh hc lp 9, cú mt s bi toỏn chng minh ng thng hoc ng trũn i qua im c nh Nhng bi toỏn hỡnh hc chng minh i qua im c nh l nhng bi toỏn khú Cỏc bi toỏn dng ny thng c bi dng thi hc sinh gii * Trong cỏc bi toỏn chng minh i qua im c nh, da vo kin thc ca t giỏc ni tip ng trũn gii * Kin thc v t giỏc ni tip ng trũn l kin thc trng tõm ca chng trỡnh hỡnh hc lp * Chuyờn c s dng cho hc sinh lp 9, bi dng hc sinh gii Tuy vy i vi hc sinh khỏ cng cú th tip cn v lm c B/ NI DUNG TI: I/ CC BC CA PHNG PHP CHNG MINH I QUA IM C NH + Bc 1: Xỏc nh rừ cỏc yu t c nh ó bit + Bc 2: Xỏc nh t giỏc ni tip liờn quan n im c nh + Bc 3: Chng minh ng thng hoc ng trũn i qua im c nh II/ CHNG MINH NG THNG I QUA IM C NH Bi Cho ng trũn (O) bỏn kớnh R v mt ng thng d ct (O) ti C, D Mt im M di ng trờn d cho MC > MD v ngoi ng trũn (O) Qua M k hai tip tuyn MA, MB (A, B l tip im) Chng minh ng thng AB i qua im c nh F Gii: Gi H l trung im CD v giao im ca AB vi MO, OH ln lt l E, F Cú tam giỏc OBM vuụng ti B, ng cao BE A Suy OE OM = OB2 = R2 (1) ã ã Cú FHM = FEM = 90 M H D C Suy t giỏc MEHF ni tip d Cú hai tam giỏc vuụng OHM v OEF ng E dng O OH OM OE.OM = ị OF = Suy (2) OE OF OH B R2 T (1) v (2) suy OF = OH Do ng trũn (O), ng thng d cho trc, nờn OH khụng i Suy OF khụng i, im F c nh Do ú ng thng AB i qua im F c nh * Nhn xột: + Do ng thng OH cho trc, nờn d oỏn AB ct OH ti im c nh + Vn dng t giỏc ni tip khng nh ng thng i qua im c nh + Vn dng h thc lung tam giỏc vuụng gii + Bi toỏn ỳng trng hp im M nm trờn tia i ca tia CD Khi ú ng thng AB i qua im F c nh Bi Cho on thng AC c nh, im B c nh nm gia A v C ng trũn (O) thay i luụn i qua A v B Gi PQ l ng kớnh ca ng trũn (O), PQ vuụng gúc AB, (P thuc cung ln AB) Gi CP ct ng trũn (O) ti im th hai I Chng minh QI luụn i qua mt im c nh ng trũn (O) thay i Gii: Gi IQ ct AB ti K Ta cú t giỏc PDKI ni tip P Tam giỏc CIK ng dng tam giỏc CDP CI CK = ị CI.CP = CD.CK (1) Suy CD CP Cú hai tam giỏc CIB v CAP ng dng I CI CA O = ị CI.CP = CA.CB (2) Suy CB CP T (1) v (2) suy A D B K C CA.CB CK.CD = CA.CB ị CK = CD Do A, B, C c nh nờn CA, CB, CD khụng i Q (D l trung im AB) Khi ú di CK khụng i; nờn K c nh Suy IQ luụn i qua im K c nh * Nhn xột: + Do im A, B, C c nh, nờn d oỏn ng thng IQ ct AB ti im c nh + Chng minh t giỏc PDKI ni tip Da vo t giỏc ni tip, tam giỏc ng dng ta chng minh ng thng ó cho i qua im c nh Bi Cho ng trũn tõm O v hai im A, B c nh thuc ng trũn ú (AB ằ khụng phi l ng kớnh) Gi M l trung im ca cung nh AB Trờn on AB ly hai im C, D phõn bit v khụng nm trờn ng trũn Cỏc ng thng MC, MD ct ng trũn ó cho tng ng ti E, F khỏc M 1) Chng minh rng bn im C, D, E, F nm trờn mt ng trũn 2) Gi O1, O2 tng ng l tõm cỏc ng trũn ngoi tip tam giỏc ACE v BDF Chng minh rng C, D thay i trờn on AB cỏc ng thng AO1 v M BO2 luụn ct ti mt im c nh Gii: 1) Xột trng hp C nm gia A v D ã ẳ ằ Cú MCB = (s MB + s AE ) C D A B H ã ẳ ằ MFE = (s MA + s AE ) O ã ã ẳ ẳ O1 M s MB = s MA MCB = MFE O2 ã ã Cú MCB = BCE = 180 ã ã Suy BCE + MFE = 1800 E ã ã Cú BCE , MFE l gúc i ca t giỏc CDFE F Suy t giỏc CDFE ni tip N * Xột trng hp D nm gia A v C Ta cng chng minh c C, D, F, E cựng nm trờn mt ng trũn Vy C, D, F, E cựng nm trờn mt ng trũn 2) H O1H AC , cú O1A = O1C O1AC cõn ti O1 ã ã ã O1H va l tia phõn giỏc AO1C AO1C = AO1H ã ã M AO C = AEC (gúc tõm v gúc ni tip .) ã ã ã ã ã ã AO1H = AEC M AEC = MAB ( ) Suy AO1H = MAB ã ã Xột AO1H vuụng ti H AO H + HAO = 900 1 ã ã ã MAB + HAO1 = 90 MAO1 = 90 Do ú MA l tip tuyn ca (O1) Kộo di AO1 ct (O) ti N ã ã Suy MON = MAN = 900 = 1800 ằ M, O, N thng hng, cú MN AB Suy N l im chớnh gia cung ln AB ằ Lp lun tng t BO2 i qua N l im chớnh gia cung ln AB ằ Do ú AO1, BO2 i qua N l im chớnh gia cung ln AB Lp lun tng t D nm gia A v C thỡ AO1 v BO2 cng i qua N Vy AO1 , BO2 luụn i qua im c nh * Nhn xột: + ng trũn (O) cho trc, nờn d oỏn AO1 i qua im chớnh gia cung ln AB + Vn dng t giỏc ni tip, ta chng minh hai ng thng cựng i qua im c nh, l im chớnh gia ca mt cung Bi Cho tam giỏc ABC v im D di chuyn trờn cnh BC (D khỏc B v C) ng trũn (O1) i qua D v tip xỳc AB ti B ng trũn (O2) i qua D v tip xỳc AC ti C Gi E l giao im th hai ca (O1) v (O2) a) Chng minh rng D di ng trờn on BC thỡ ng thng ED luụn i qua mt im c nh b) Kt qu trờn cũn ỳng khụng trng hp D di ng ngoi on BC Gii: a) Gi (O) l ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC ã ã ã ã A S Cú ABC = BED; ACB = CED Suy ã ã ã ã ã ã BAC + BED + CED = BAC + ABC + ACB = 180 0 Do ú t giỏc ABEC ni tip Gi DE ct ng trũn (O) ti im th hai S O ã ã T ABC = BED; nờn hai cung AC v SB bng Do ú S l im c nh D B b) Trng hp im D nm ngoi on BC O1 Chng hn D nm trờn tia i tia CB (trng hp D thuc tia i tia BC chng minh tng t) E Ta chng minh c bn im A, B, C, E cựng nm trờn ng trũn (O) Gi DE ct (O) ti im th hai S K tia Cy l tia i ca tia CA Khi ú ng trũn (O2) ta cú ã ã ã ã CED = DCy; DCy = ACB ã ã Suy CED = ACB (khụng i) C O2 A S E ã ã Suy SEC = 180 - CED (khụng i) O2 Nờn gúc SEC khụng i Vy im S c nh O * Nhn xột: B D C + Chng minh c A, B, C, E cựng nm trờn ng trũn y O1 + ng thng DE i qua im c nh S v S khụng l im chớnh gia ca mt cung khỏc vi bi toỏn Bi Cho gúc vuụng xAy, im B c nh trờn Ay, im C di chuyn trờn Ax ng trũn tõm I ni tip tam giỏc ABC tip xỳc vi AC, BC theo th t M, N Chng minh rng ng thng MN luụn i qua mt im c nh Gii: Gi H l giao im ca AI vi MN y T CM = CN, nờn tam giỏc CMN ã B cõn ti C Suy CNM = 90 - C N ã Do ú BNH = 90 + C H I Do I l giao im cỏc ng phõn giỏc ca tam giỏc ABC, x ã A nờn BIA = 90 + C M C ã ã Do ú BIA = BNH Suy t giỏc BIHN ni tip ã ã Li cú BNI = 90 ị BHI = 90 Do ú tam giỏc ABH vuụng ti H, ã li cú BAH = 450 Suy tam giỏc ABH vuụng cõn ti H Do A, B c nh, nờn im H c nh Vy MN luụn i qua im H c nh * Nhn xột: + Chng minh t giỏc BIHN ni tip, da vo t giỏc ni tip chng minh MN i qua im c nh ã + Trng hp tng quỏt xAy = a thỡ tam giỏc ABH vuụng ti H, AB cho trc, a ã BAH = Suy im H c nh Bi Cho ng trũn tõm O, dõy AB im M di chuyn trờn x cung ln AB Cỏc ng cao AE, BF ca tam giỏc ABM ct H M ng trũn tõm H bỏn kớnh HM ct MA, MB theo th t C, D E a) Chng minh rng ng thng k t M D F vuụng gúc vi CD luụn i qua mt im c H nh b) Chng minh rng ng thng k t H v vuụng gúc vi CD cng i qua mt im c nh Gii: a) K tip tuyn Mx vi ng trũn (O) C O A B K ả ã Ta cú M1 = MAB (gúc ni tip v gúc to bi) Cú t giỏc ABEF ni tip ng trũn ã ã ng kớnh AB, nờn MEF = MAB ã ả Do ú MEF = M1 , suy Mx//EF Do ú OM^ EF Ta cú H l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc MCD, HE^ MD, nờn E l trung im MD Tng t F l trung im MC Suy EF l ng trung bỡnh tam giỏc MCD Do ú EF//CD, m OM^ EF Suy OM^ CD Do ú im c nh l O b) Gi K l im i xng vi O qua AB, ta cú OK^ AB, m MH^ AB Suy MH//OK Li cú tam giỏc khong cỏch t trc tõm tam giỏc n nh bng ln khong cỏch t tõm ng trũn ngoi tip n cnh tng ng Do ú MH = OK Vy t giỏc MHKO l hỡnh bỡnh hnh Suy HK//OM, m OM^ CD, nờn HK^ CD Vy ng thng k t H vuụng gúc CD i qua im K Do O, AB cho trc, nờn K l im c nh * Nhn xột: + Trong phn a) da vo t giỏc ABEF ni tip ng trũn, d oỏn ng thng ó cho i qua im O c nh + Trong phn b) da vo tớnh cht tam giỏc khong cỏch t trc tõm tam giỏc n nh bng ln khong cỏch t tõm ng trũn ngoi tip n cnh tng ng Bi Cho tam giỏc ABC, M l im bt kỡ thuc ng trũn (O) ngoi tip tam giỏc y Gi D l im i xng vi M qua AB, E l im i xng vi M qua BC Chng minh rng im M di chuyn trờn ng trũn (O) thỡ DE luụn i qua mt im c nh Gii: D H Gi H, I, K theo th t l chõn cỏc ng vuụng gúc k t M n AB, AC, BC A Ta cú H, I, K thng hng (ng thng Xim- xn) M Gi N l trc tõm ca tam giỏc ABC ã ã AN ct (O) ti F Ta cú BCN = BCF , I suy BC l trung trc NF, m BC l trung trc N O à ả ca ME Suy E = F1 = N1 1 ả ả ả Cú F = C (gúc ni tip) Cú K = C (t giỏc 1 MCKI ni tip) ả Suy K1 = E , ú NE//HK Chng minh tng t cú ND//HK B K C F E Vy D, N, E thng hng Vy DE i qua trc tõm N ca tam giỏc ABC, nờn DE i qua im c nh * Nhn xột: + Da vo cỏc t giỏc ni tip, ta chng minh c H, I, K thng hng ; ú l ng thng Xim xn + D oỏn ng thng DE i qua trc tõm ca tam giỏc ABC c nh + Chng minh ng thng DE i qua trc tõm ca tam giỏc ABC Bi Cho ng trũn tõm (O) T im A c nh ngoi (O) k tip tuyn AB, AC ti (O) (B, C tip im) Lyim M trờn cung nh BC Gi D, E, F th t l hỡnh chiu t M n BC, AC, AB Gi MB ct DF ti P, MC ct DE ti Q Chng minh ng thng ni giao im ca hai ng trũn ngoi tip tam giỏc MPF v MQE luụn i qua mt im c nh Gii : A Gi ng trũn ngoi tip tam giỏc MPF v MQE ct ti M, N ng thng MN ct PQ, BC th t ti K v I Ta cú cỏc t giỏc MDCE, MDBF ni tip T cỏc t giỏc ni tip v gúc to bi gia tip tuyn v dõy cung E ã ã ã Suy MCE = MDE = MBC N ã ã ã F MBF = MDF = MCB M ã ã ã ã ã Suy PMQ + PDQ = PMQ + PDM + QDM ã ã ã K Q = PMQ + MCB + MBC = 180 P Do ú MPDQ l t giỏc ni tip B C ã ã ã D I Suy MQP = MDP = MCB Do ú PQ//BC ã ã ã O T MQP = MCB = MEQ Suy KQ l tip tuyn ca ng trũn (MQE) Chng minh tng t KP l tip tuyn ca ng trũn (MPF) Ta cú KM KN = KQ2, KM KN = KP2 Suy KP = KQ Xột tam giỏc MBC, PQ//BC, KP = KQ Theo nh lớ Ta lột, suy I l trung im BC Vy MN i qua im c nh I l trung im BC * Nhn xột: + Cnh BC c nh cho trc, nờn d oỏn ng thng MN i qua im c nh thuc cnh BC + Chng minh t giỏc MPDQ ni tip, t ú suy MN i qua trung im PQ + Vn dng nh lớ Talột suy MN i qua trung im BC A III/ CHNG MINH NG TRềN I QUA IM C NH Bi Cho tam giỏc ABC cõn ti A Gi M, N th t l cỏc im di ng trờn cỏc ng thng AB, AC cho trung im I ca MN nm trờn cnh BC M Chng minh rng ng trũn qua im A, M, I N luụn i qua mt im c nh khỏc A C B H Gii: Xột trng hp M thuc cnh AB ú N thuc tia i ca tia CA N G (trng hp N thuc cnh AC thỡ chng minh tng t) Gi giao im ng cao AH ca tam giỏc ABC vi ng trũn i qua im A, M, N l G ã Vỡ ABC cõn ti A, nờn AH l phõn giỏc BAC Vy GM = GN, hay GMN cõn ti G GI MN (1) Li cú GIM ng dng CHA (g.g) ã ã ã nờn IGM = ACB = ABC Cú B, G cựng nm trờn na mt phng b MI ã Suy t giỏc MBIG ni tip Suy GBM = 900 Suy GB AB ti B Do ú G l giao im ca AH v ng thng i qua B vuụng gúc AB Suy G c nh Vy ng trũn i qua A, M, N i qua im c nh khỏc A * Nhn xột: + Do ng cao AH ca tam giỏc ABC cõn cho trc, nờn d oỏn ng trũn ngoi tip tam giỏc AMN ct AH ti G, v G l im c nh + Chng minh t giỏc MBIG ni tip Vn dng t giỏc ni tip, chng minh ng trũn i qua mt im c nh ằ Bi 10 Cho tam giỏc ABC ni tip ng trũn (O), I l im chớnh gia ca BC khụng cha A V ng trũn (O1) i qua I v tip xỳc vi AB ti B, v ng trũn (O2) i qua I v tip xỳc vi AC ti C Gi K l giao im th hai ca hai ng trũn (O1), (O2) a) Chng minh rng ba im B, K, C thng hng b) Ly im D bt kỡ thuc cnh AB, im E thuc tia i ca tia CA cho BD = CE Chng minh ng trũn ngoi tip tam giỏc ADE luụn i qua mt im c nh khỏc A A Gii: a) T giỏc ABIC ni tip, nờn ã ã ả ả ABI + ACI = 180 ị B1 + C = 180 D ả =K ;C =K ả ả ả Cú B 1 2 ả ả Do ú K1 + K = 180 Do ú B, K, C thng hng B b) Cú D IBD = D ICE (c g c) O1 ã ã Suy IDB = IEC x ã ã Do ú ADI + AEI = 180 Suy t giỏc ADIC ni tip Vy ng trũn ngoi tip tam giỏc ADE luụn i qua im c nh I khỏc A Nhn xột: ằ + Cú I l im chớnh gia ca BC , nờn I l im c nh O K C 2 O2 I E y chng minh ng trũn ngoi tip tam giỏc ADE i qua im c nh, d oỏn im c nh ú l I + Chng minh t giỏc ADIE ni tip, suy ng trũn ngoi tip tam giỏc ADE i qua im I Bi 11 Cho ng trũn tõm O ng kớnh AB, im C c nh trờn ng kớnh y (C khỏc O) im M chuyn ng trờn ng trũn ng vuụng gúc vi AB ti C ct MA, MB theo th t E, F Chng minh ng trũn ngoi tip tam giỏc AEF luụn i qua qua mt im c nh khỏc A Gii: * Trng hp im C thuc on OB E Gi K l giao im ca ng trũn ngoi tip tip tam giỏc AEF vi cnh AB à Ta cú F2 = A (cựng ph vi gúc B) à ã cú F1 = A (cựng bự vi EFK ) à Suy F = F , M ú FC l trung trc BK, hay BC = CK Do B, C c nh, nờn K l im c nh Vy ng trũn ngoi tip tam giỏc AEF luụn i qua im K c nh * Tng t trng hp im C thuc on OA Ta cú ng trũn ngoi tip tam giỏc AEF luụn i qua im K c nh F A K O C B F M E B * Nhn xột: K C O + ng trũn (O), ng kớnh AB c nh, + ng trũn ngoi tip tam giỏc AEF ct AB ti K, thỡ d oỏn K l im c nh Bi 12 Cho tam giỏc ABC, ng cao AH, (H nm gia B v C) Dng v phớa ã ã ngoi tam giỏc ABC cỏc tam giỏc BAE v CAF cho BAE = CAF = a < 90 , ã ã AEB = AFC = 90 Chng minh rng ng trũn ngoi tip tam giỏc HEF luụn i qua mt im c nh khỏc H gúc a < 900 thay i A Gii: Gi M, N, P th t l trung im BC, AC, AB Cú tam giỏc AEB ng dng tam giỏc AFC T cỏc t giỏc AHBE, AHCF N P E ni tip Suy ã ã ã ã AHE = ABE = ACF = AHF Cú EP = MN = AB A B H M ã ã ã ã ã ã PM = FN = AC Cú EPM = EPB + BPM = 2a + BAC = 2a + MNC = MNF ã ã Do ú D EPM = D MNF, suy EMP = MFN F C ã ã ã ã ã ã ã Suy EMF = EMP + PMN + NMF = MFN + MNC + NMF ã ã ã = 180 - FNC = 2.NCF = 2.ACF ã ã ã ã M EHF = 2.ACF ị EHF = EMF Cú H, M cựng nm trờn na mt phng b EF Suy E, H, M, F cựng nm trờn mt ng trũn Suy ng trũn ngoi tip tam giỏc HEF luụn i qua mt im c nh M l trung im BC (khỏc H) * Nhn xột: + D oỏn ng trũn ngoi tip tam giỏc HEF i qua trung im ca BC + Chng minh bn im E, H, M, F cựng nm trờn mt ng trũn Bi 13 Cho ng trũn (O) v dõy cung AB Ly im E trờn dõy cung AB (E khỏc A v B) Qua E v dõy cung CD ca ng trũn (O) Trờn hai tia DA, DB ly hai im P, Q i xng qua E Chng minh rng ng trũn (I) tip xỳc vi PQ ti E v i qua C luụn i qua mt im c nh E di ng trờn dõy cung AB Gii: C Gi M l giao im ca AB v ng trũn (I), EP l tip tuyn ca (I), nờn P ã ã ã (1) CMA = PEC = QED I ã ã Mt khỏc BAC = BDC (gúc ni tip) (2) A T (1) v (2), suy tam giỏc CMA ng M E dng vi tam giỏc QED (g g) O AM DE ị = (3) CM QE Q Chng minh tng t ã ã ã ã DEP = BMC; ADC = ABC , nờn D tam giỏc BMC ng dng tam giỏc DEP (g g) BM DE DE ị = = (4) CM PE QE AM BM = ị AM = BM T (3) v (4) suy CM CM Do ú ng trũn (I) luụn i qua trung im M ca AB l im c nh * Nhn xột: + on thng AB c nh, ú d oỏn ng trũn (I) i qua im c nh thuc on AB, d oỏn im ú l trung im AB + Chng minh M l trung im AB da vo t s bng cú cựng mu s C/ XUT MT S BI TON Bi 14 Cho gúc vuụng xOy Cỏc im A v B theo th t di chuyn trờn cỏc tia Ox v Oy cho OA + OB = k (k khụng i) V cỏc ng trũn (A; OB), v (B; OA) Gi M, N l cỏc giao im ca (A) v (B) Chng minh ng thng MN luụn i qua mt im c nh Bi 15 Cho ng trũn (O) c nh T giỏc ABCD luụn luụn ngoi tip ng trũn (O) Gi I, J th t l trung im ca AC v BD Chng minh ng thng IJ i qua mt im c nh t giỏc ABCD thay i Bi 16 Cho ng trũn (O) v dõy BC c nh Tip ti B v C vi ng trũn (O) ct ti N im A di ng trờn cung ln BC, v dõy AM ca ng trũn B (O) cho AM//BC, MN ct ng trũn (O) ti im th hai K Chng minh ng thng AK luụn i qua mt im c nh Bi 17 Cho tam giỏc ABC cỏc gúc u nhn, cnh BC c nh Cỏc ng cao ca tam giỏc ABC l AD, BE, CF ng thng EF ct BC ti P ng thng i qua D song song EF ct AC ti R v ct AB Q Chng minh ng trũn ngoi tip tam giỏc PQR luụn i qua mt im c nh im A thay i Bi 18 Cho ng trũn (O; R) c nh cho trc v M ngoi ng trũn (O) Gi MA, MB l tip tuyn ca (O), (A, B l tip im) Gi C l mt im bt kỡ trờn cung nh AB ca ng trũn tõm M bỏn kớnh MA (cung AB nm ng trũn (O) ) Cỏc tia AC, BC ct ng trũn (O) ti P, Q (P khỏc A, Q khỏc B) Chng minh ng thng PQ luụn i qua mt im c nh im C thay i Bi 19 Cho ng trũn (O) tõm O cú ng kớnh AB c nh Mt ng thng d tip xỳc vi (O) ti A Gi M l im thuc ng trũn (O), M khỏc A, B Tip tuyn ca (O) ti M ct d ti C Xột ng trũn (I) i qua M v tip xỳc vi d ti C Gi s CD l ng kớnh ca (I) Chng minh ng thng i qua D v vuụng gúc vi BC luụn i qua mt im c nh M di ng trờn ng trũn (O)