[ĐVH]: Chứng minh các đẳng thức sau:.
Trang 1Ví dụ 1 [ĐVH]: Tính giá trị của các hàm lượng giác còn lại của cung x sau:
a) sin 1; 0 π
2 5
x= − < <x
c) tan 2; π 3π
2
x= − < <x
Lời giải:
x= ⇔ x= − x= − = ⇒ x= ±
< < ⇒ > → =
Từ đó ta được:
tan
1
tan
x x
x x
x
x= − ⇒ x= − x= − = ⇒ x= ±
2< <x ⇒ x> → x= 5
Từ đó ta được:
tan
1
tan
x x
x x
x
−
= = −
c) Từ tan 2 cot 1 1
x
Ta có
2
2
2
2 1
sin
sin 2 cos
cos
x
x
x
x
=
Do
2 sin
π
2
cos
5
x x
x
x
x
−
=
<
< < ⇒ ⇒
d) cot 1 tan 1 2
x
Ta có
2
2
2
2
cos
x
x
x
x
=
CÁC DẠNG BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
Trang 2Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95
Do
2 sin
2π
2
cos
5
x x
x
x
x
−
=
<
< < ⇒ ⇒
>
Ví dụ 2 [ĐVH]: Chứng minh các đẳng thức sau:
a) tan2 x−sin2 x=tan2xsin2x b) sin cos 1 cos
c)
tan tan tan tan
cot cot
+
=
+
Lời giải:
a)
b) Áp dụng công thức góc nhân đôi ở phần IV ta được:
( )
2
2
2 sin cos sin
−
2 2
2
1 sin
cos sin
x
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh
c)
+
(sin cos )(sin sin cos cos )
sin cos
d)
tan tan
+ +
+
Ví dụ 3 [ĐVH]: Rút gọn các biểu thức sau
A
+
=
+
2
B
=
(1 cot ) sin (1 tan ) cos sin cos
Lời giải:
Ta có
2 2
4
2 2
cot
+ +
+
+
Ta có
Trang 3cos 2sin (1 sin ) 1 sin 2sin (1 sin ) (1 sin )(1 sin 2sin ) (1 sin )
(1 sin ) 2(1 sin ) (1 sin )(1 sin ) 1 sin
−
2 2
Ta có 4 2 4 2 ( 2 )2 2 ( 2 )2 2
Ví dụ 4 [ĐVH]: Tính giá trị các biểu thức sau
a) tan π
4
= −
, với
x= − < <x
b) Cho a, b là các góc nhọn thỏa mãn: sin 8 , tan 5
Tính: sin(a b− ), cos(a b+ ), tan(a b− )
Lời giải:
x
x
< < → < → = − → = =
Từ đó ta được
40
π
1 tan tan
π 40
x
x
−
−
b) Ta có:
sin a 8 cos a 15
tan 5 sin 5 cos
Từ đó ta có
2 2
5
12
12 cos
13
b
b
⇔
+ = = ±
Do b là góc nhọn nên
5 sin 13 sin 0; cos 0
12 cos
13
b
b
=
> > →
=
• sin( ) sin cos cos sin 8 12 15 5 21
17 13 17 13 221
• cos( ) cos cos sin sin 15 12 8 5 140
17 13 17 13 221
Trang 4Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95
•
15 12
a b
−
−
Ví dụ 5 [ĐVH]: Chứng minh các đẳng thức sau
2 2
cos cos
b) sin4 cos4 1cos 4 3
c) 6 2 cos 4 cot2 tan2
1 cos 4
x
x
−
Lời giải:
a)
2 2
−
(sin cos sin cos )(sin cos sin cos ) sin( ) sin( )
c)
2 2
+
2 2
sin 2
x
x
−
Ví dụ 6 [ĐVH]: Cho 0;
16
∈
và ( 2 2 2 )2 9
10
x− x x = Tính P=sin cos cos 2 cos 4 x x x x x
Lời giải:
Ta có 1sin 2 cos 2 cos 4 1sin 4 cos 4 1sin 8
2 2
x
8 5 40
Đ/s: 3
40
P=
Ví dụ 7 [ĐVH]: Cho ;3
và
x x
−
= + Tính
sin tan cos cot sin 2
Lời giải:
2 sin cos
+
Trang 5Bài ra có 2 ( ) 2 ( ) 2
2
5
2
5
2 5
−
Đ/s: P= − 5
Ví dụ 8 [ĐVH]: Cho ;
2
x π π
∈
và
4
5
x= Tính
5
sin sin 2 2 cos 2 cos
sin cos 2 sin
P
=
+
Lời giải:
sin 2 sin cos 2 cos 1 cos 2 sin cos 2 cos sin
P
−
Bài ra có
2 2
3
4
128 5
5
= −
−
Đ/s: 128
27
P= −
Ví dụ 9 [ĐVH]: Cho 0;
2
∈
và
2
Tính
sin 3sin cos 2 sin cos
P
=
Lời giải:
Ta có sin5 3sin cos4 2 sin cos sin5 3sin cos4 sin
sin x+cos x+3cos x− =1 sin x+cos x sin x+cos x−sin xcos x +3cos x−1
sin x cos x 3sin xcos x 3cos x 1 3cos x cos x sin x
Trang 6Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95
sin 3
−
Bài ra có
2
Đ/s: 1 2 2
3
Ví dụ 10 [ĐVH]: Cho 0;
2
∈
và
2 2
3
6 6
4 4
π
Lời giải:
2
2
P
=
2 2
=
2 2
2 2
Bài ra có
2 2
Đ/s: 4 2
4
BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1 [ĐVH]: Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
2
2
sin cos
+
4
1 cot
x
Bài 2 [ĐVH]: Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
2
2 2
1 sin
1 2 cot
1 cos
x
x x
2
2(1 sin )(1 cos )− x + x = −(1 sinx+cos )x
Bài 3 [ĐVH]: Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
2
2
2 2
2 2
2 2
sin cos
−
Bài 4 [ĐVH]: Chứng minh các đẳng thức sau:
Trang 7a) 1 4 sin cos 2 (sin cos )2
4
tan
x
Bài 5 [ĐVH]: Rút gọn các biểu thức sau
x A
−
2 2
2 2
1 sin cos
cos cos
x
−
Bài 6 [ĐVH]: Rút gọn các biểu thức sau
C
2 2
Bài 7 [ĐVH]: Tính giác trị của các hàm số lượng giác
a) sin 1 ; 0 π
2 3
x= < <x b) cot 2; π 0
2
x= − − < <x
c) tan cot 2; 0 π
2
x+ x= < <x d) cos 2 ; π 3π
2 6
x= < <x
Bài 8 [ĐVH]: Tính giác trị của các hàm số lượng giác
a) tan cot 2 ; π 3π
2 3
x− x= − < <x b) tan 1 ;π π
2 3
x= − < <x
Bài 9 [ĐVH]: Chứng minh các đẳng thức sau
a) tan sin cos
sin cot
x
4 4
6 6
c)
2
2 2
1 sin
1 2 tan
1 sin
x
x x
2 2
6
2 2
tan
x
−
Bài 10 [ĐVH]: Chứng minh các đẳng thức sau
2 2
2 2
1
c)
cos x(2 sin x+cos x)= −1 sin x
Bài 11 [ĐVH]: Chứng minh các đẳng thức sau
a) (cosx+ +1 sin )(cosx x− +1 sin )x =2 sin cosx x
b) (1 sin− x+cos )x 2 =2(1 sin )(1 cos )− x + x
Bài 12 [ĐVH]: Chứng minh các đẳng thức sau
a) cos4x−sin4 x=cos2 x(1 tan )(1 tan )− x + x
b) sin3x(1 cot ) cos+ x + 3x(1 tan )+ x =sinx+cosx