Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 CÁC DẠNG BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] Ví dụ [ĐVH]: Tính giá trị hàm lượng giác lại cung x sau: π π ; → sin x = sin x −1 tan x = cos x = Từ ta được: cot x = = −2 tan x 1 c) Từ tan x = ⇒ cot x = = tan x 2 sin x = ± sin x cos x = =2 sin x = cos x tan x = Ta có ⇔ ⇔ ⇔ cos x sin x + cos x = 5 cos x = sin x = cos x = ± −2 sin x = sin x < 3π Do π < x < ⇒ ⇒ cos x < cos x = −1 1 d) cot x = − ⇒ tan x = = −2 cot x sin x = ± sin x cos x = = −2 sin x = −2 cos x tan x = Ta có ⇔ ⇔ ⇔ cos x 2 5cos x = sin x = cos x = ± sin x + cos x = 5 Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN LUYỆN ĐÊ MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] −2 sin x = sin x < 3π Do < x < 2π ⇒ ⇒ cos x > cos x = Ví dụ [ĐVH]: Chứng minh đẳng thức sau: a) tan x − sin x = tan x sin x c) − Facebook: LyHung95 sin x + cos x − cos x = sin x − cos x + 1 + sin x tan x + tan y d) tan x.tan y = cot x + cot y b) sin x cos x − = sin x cos x + cot x + tan x Lời giải: sin x sin x − sin x cos x sin x(1 − cos x) sin a) tan x − sin x = − x = = = tan x sin x ⇒ đpcm 2 cos x cos x cos x b) Áp dụng công thức góc nhân đôi phần IV ta được: x x x 2sin x cos x − sin x x x sin cos − 2sin cos − sin sin x + cos x − 2 = 2 = 2 , (1) = x x x x x sin x − cos x + 2sin x cos x + 2sin x 2sin cos + sin cos − sin 2 2 2 2 x x x x cos − sin cos − sin cos x 2 = 2 , ( 2) Mặt khác = x x + sin x x x cos + sin sin + cos 2 Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh sin x cos x sin x cos x sin x cos3 x sin x + cos3 x c) − − = 1− − = 1− − = 1− = cos x sin x + cot x + tan x sin x + cos x sin x + cos x sin x + cos x 1+ 1+ sin x cos x 2 (sin x + cos x)(sin x − sin x cos x + cos x) = 1− = − (1 − sin x cos x) = sin x cos x ⇒ đpcm sin x + cos x sin x sin y sin x cos y + sin y cos x + tan x + tan y cos x cos y sin x sin y cos x cos y d) = = = = tan x tan y ⇒ đpcm cot x + cot y cos x + cos y sin x cos y + sin y cos x cos x cos y sin x sin y sin x sin y Ví dụ [ĐVH]: Rút gọn biểu thức sau 2 A= cos x + cos x cot x sin x + sin x tan x B= cos x − 2sin x(1 − sin x) 2(1 + sin x) (1 − sin x) cos x + (1 + sin x) cos x − sin x C = (1 + cot x) sin x + (1 + tan x) cos3 x − sin x cos x D = sin x + cos x + cos x + 4sin x Lời giải: cos x cos x(sin x + cos x) 2 cos x + cos x cos x + cos x cot x cos x sin x = sin x Ta có A = = = = cot x 2 2 2 sin x sin x(cos x + sin x) sin x sin x + sin x tan x sin x + sin x cos x cos x Ta có Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN LUYỆN ĐÊ MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 cos x − 2sin x(1 − sin x) − sin x − 2sin x(1 − sin x) (1 − sin x)(1 + sin x − 2sin x) (1 − sin x) = = = (1 − sin x) cos x + (1 + sin x) cos x (1 − sin x + + sin x) cos x cos x cos x (1 − sin x)2 2(1 + sin x) (1 − sin x)(1 + sin x) − sin x →B = = = = cos x cos x − sin x cos x cos x cos x sin x C = (1 + cot x) sin x + (1 + tan x) cos3 x − sin x cos x = 1 + sin x + 1 + cos x − sin x cos x = sin x cos x = sin x + cos3 x + cos x sin x + cos x sin x − sin x cos x = (sin x + cos x)(sin x + cos x − sin x cos x) + cos x sin x(sin x + cos x) − sin x cos x = (sin x + cos x)(1 − sin x cos x) + sin x cos x(sin x + cos x − 1) = sin x + cos x − sin x cos x (1 − cos x ) + cos x + (1 − sin x ) + 4sin x ( cos x + 1) + ( sin x + 1) = sin x + cos x + = Ta có D = sin x + cos x + cos x + sin x = = cos x + cos x + + sin x + 2sin x + = 2 2 2 2 2 2 Ví dụ [ĐVH]: Tính giá trị biểu thức sau 3π π a) A = tan x − , với cos x = − ; π < x < 41 4 b) Cho a, b góc nhọn thỏa mãn: sin a = , tan b = 17 12 Tính: sin ( a − b ) , cos ( a + b ) , tan ( a − b ) Lời giải: 81 1600 40 a) cos x = − ⇔ sin x = − cos x = − = ⇒ sin x = ± 41 1681 1681 41 3π 40 sin x 40 Do π < x < → sin x < → sin x = − → tan x = = 41 cos x 40 π −1 tan x − tan π 31 = Từ ta A = tan x − = = π 40 + tan x tan 49 1+ b) Ta có: 15 sin a = → cos a = ± 17 17 15 Do a góc nhọn ⇒ cos a > → cos a = → tan a = 17 15 5 tan b = ⇔ sin b = cos b 12 12 sin b = ± sin b = cos b 13 Từ ta có ⇔ 12 sin b + cos b = cos b = ± 12 13 sin b = 13 Do b góc nhọn nên sin b > 0; cos b > → cos b = 12 13 12 15 21 • sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b = − = 17 13 17 13 221 15 12 140 • cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b = − = 17 13 17 13 221 Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN LUYỆN ĐÊ MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 − tan a − tan b 15 12 = 21 • tan(a − b) = = + tan a tan b + 220 15 12 Ví dụ [ĐVH]: Chứng minh đẳng thức sau sin ( a + b ) sin ( a − b ) a) tan a − tan b = cos a.cos b b) sin x + cos x = cos x + 4 + cos x c) = cot x + tan x − cos x Lời giải: sin a sin b sin a.cos b − sin b.cos a 2 a) tan a − tan b = − = cos a cos b cos a.cos b (sin a cos b − sin b cos a )(sin a cos b + sin b cos a ) sin(a − b)sin(a + b) = = cos a.cos b cos a.cos b 1 b) sin x + cos x = ( sin x + cos x ) − 2(sin x cos x) = − sin 2 x = − (1 − cos x) = + cos x 4 4 2 4 sin x cos x sin x + cos x c) tan x + cot x = + = cos x sin x sin x cos x 1 sin x + cos x − 2(sin x cos x) − sin x 1 − + cos x + cos x = = = = 2 − cos x sin x − cos x sin x 2 π Ví dụ [ĐVH]: Cho x ∈ 0; ( cos 2 x − 4sin x cos x ) = Tính P = sin x cos x cos x x cos x 10 16 ( 2 ) Lời giải: 1 Ta có P = sin x cos x cos x = sin x cos x x = sin x Bài có ( cos 2 x − 4sin x cos x ) = (1) 9 ⇔ ( cos 2 x − sin 2 x ) = ⇔ cos x = 10 10 10 + cos8 x 4 3 = ⇔ cos x = ⇒ sin x = − cos x = − = ⇒ sin x = ± 10 5 5 5 ⇔ 3 π π Mà x ∈ 0; ⇒ x ∈ 0; ⇒ sin x > ⇒ sin x = Thế vào (1) ta có P = = 40 16 2 Đ/s: P = 40 tan x −1 π 3π Ví dụ [ĐVH]: Cho x ∈ ; = Tính P = sin tan x + cos cot x + sin x cot x +1 Lời giải: 2 sin x cos3 x sin x + cos x + 2sin x cos x ( sin x + cos x ) Ta có P = + + 2sin x cos x = = = cos x sin x sin x cos x sin x cos x sin x Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN LUYỆN ĐÊ MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 (1) Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Bài có tan x −1 −1 sin x −1 = ⇔ tan x = ⇔ = ⇔ cot x cos x +1 +1 +1 ( ⇔ sin x + cos x = ( cos x − sin x ) ⇔ = cos x ⇔ cos x = Facebook: LyHung95 ) + sin x = ( ) − cos x 2 ⇒ sin x = − cos x1 = − = ⇒ sin x = ± 5 5 2 π 3π Mà x ∈ ; 2 3π ⇒ 2x ∈ π ; 2 = − Thế vào (1) ta có P = ⇒ sin x < ⇒ sin x = − − Đ/s: P = − sin x sin x − cos3 x + cos5 x π Ví dụ [ĐVH]: Cho x ∈ ; π sin x = Tính P = sin x cos x + sin x 2 sin x.2 sin x cos x − cos x (1 − cos x ) Ta có P = sin x ( cos x − sin x ) + sin x Lời giải: = 2sin x cos x − cos3 x sin x sin x cos x − sin x (1 − sin x ) 2sin x cos x (1 − cos x ) sin x cos x sin x 2sin x cos x 2sin x = = = = sin x cos x − sin x cos x sin x cos x (1 − sin x ) sin x cos x cos x cos3 x Bài có sin x = (1) 4 3 ⇒ cos x = − sin x = − = ⇒ cos x = ± 5 5 5 128 π Mà x ∈ ; π ⇒ cos x < ⇒ cos x = − Thế vào (1) ta có = − 27 2 − 5 Đ/s: P = − 128 27 x x sin x + 3sin x cos x − 2sin cos 1− π 2 Ví dụ [ĐVH]: Cho x ∈ 0; cos x = Tính P = 6 sin x + cos x + 3cos x − 2 Lời giải: x x Ta có sin x + 3sin x cos x − sin cos = sin x + 3sin x cos x − sin x 2 = 3sin x cos x − sin x (1 − sin x ) = 3sin x cos x − sin x (1 − sin x )(1 + sin x ) = 3sin x cos x − sin x cos x (1 + sin x ) = sin x cos x ( 3cos x − − sin x ) = sin x cos x ( 3cos x − sin x − cos x − sin x ) = 2sin x cos x ( cos x − sin x ) sin x + cos x + 3cos x − = ( sin x + cos x )( sin x + cos x − sin x cos x ) + 3cos x − = ( sin x + cos x ) − 3sin x cos x + 3cos x − = 3cos x ( cos x − sin x ) Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN LUYỆN ĐÊ MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Do P = sin x cos x ( cos x − sin x ) 3cos x ( cos x − sin x ) 2 2 = sin x Facebook: LyHung95 (1) 1− 1+ 2 1− 1+ 2 ⇒ sin x = − cos x = − =± Bài có cos x = = 1+ 2 1+ 2 1+ 2 π Mà x ∈ 0; ⇒ sin x > ⇒ sin x = Thế vào (1) có P = = 3 2 Đ/s: P = 1+ 2 2 sin x + cos x − π π Ví dụ 10 [ĐVH]: Cho x ∈ 0; cos x = Tính P = sin x + 4 sin x + cos x − 4 2 Lời giải: sin x + cos x )( sin x + cos x − sin x cos x ) − sin x + cos x ( Ta có P = 2 ( sin + cos2 x ) − 2sin x cos2 x − ( sin = = 2 4 x + cos x ) − 3sin x cos x − sin x + cos x − 2sin x cos x − 2 − 3sin x cos x − sin x + cos x = ( sin x + cos x ) 2 −2sin x cos x 2 (1) 2 2 2 Bài có cos x = ⇒ sin x = − cos x = − = ⇒ sin x = ± 3 3 2 1+ 2 + π Mà x ∈ 0; ⇒ sin x > ⇒ sin x = Thế vào (1) có P = = + = 3 2 2 2 Đ/s: P = 4+ BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài [ĐVH]: Chứng minh đẳng thức sau: sin x sin x + cos x a) − = sin x + cos x sin x − cos x tan x − b) − cot x = − sin x sin x Bài [ĐVH]: Chứng minh đẳng thức sau: a) + sin x = + cot x − cos x b) 2(1 − sin x)(1 + cos x) = (1 − sin x + cos x) Bài [ĐVH]: Chứng minh đẳng thức sau: a) sin x(1 + cos x) sin x + tan x = cos x(1 + sin x) cos x + cot x b) cos x − sin x = sin x.cos x cot x − tan x Bài [ĐVH]: Chứng minh đẳng thức sau: Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN LUYỆN ĐÊ MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] a) − 4sin x cos x = (sin x − cos x) 2 (sin x + cos x) b) Facebook: LyHung95 sin x − cos x + cos x = tan x 2 cos x − sin x + sin x Bài [ĐVH]: Rút gọn biểu thức sau a) A = − cos x − sin x + cos x b) B = − sin x.cos x − cos x cos x Bài [ĐVH]: Rút gọn biểu thức sau a) C = − cos x + cos x − + cos x − cos x b) D = − cot x.sin x + Bài [ĐVH]: Tính giác trị hàm số lượng giác a) sin x = π ;0 < x < c) tan x + cot x = 2; < x < b) cot x = − 2; − π d) cos x = π < x