ĐỀ NĂNG KHIẾU TP HCM 16-17

ĐỀ NĂNG KHIẾU TP HCM 16-17 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh vực k...

ĐỀ THI VÀO LỚP 10 PTNK 2008 - 2009 MƠN TỐN AB (chung cho các lớp Tốn, Tin, Lý, Hố, Sinh) Câu 1. Cho phương trình: ( ) 2 2 x mx 2m 2m  1 x 6    x 2m + − = − + + (1) a)Giải phương trình (1) khi m = -1. b)Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm. Câu 2. a) Giải phương trình: 2x – 1 – 2 x – 1 1.= − b)Giải hệ phương trình: 2 2 2x –x 2y 4xy x 2xy 4  + =   + =   Câu 3. a) Chứng minh rằng biểu thức sau khơng phụ thuộc vào biến x ( với x > 1): A= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x 4x 3 x x x – 1 x 1 x x x x x 3 + + − + + + b) Cho a, b, c là các số thực khác 0 và thoả mãn điều kiện: a + 2b – 3c = 0 bc + 2ac – 3ab = 0 Chứng minh rằng: a = b = c. Câu 4. Cho tứ giác nội tiếp ABCD có góc A nhọn và hai đường chéo AC, BD vng góc nhau. Gọi M là giao điểm của AC và BD, P là trung điểm của CD và H là trực tâm của tam giác ABD. a) Hãy xác định tỉ số PM:DH. b) Gọi N và K lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và D của tam giác ABD; Q là giao điểm của hai đường thẳng KM và BC. Chứng minh rằng MN = MQ. c) Chứng minh rằng tứ giác BQNK nội tiếp được. Câu 5. Một nhóm học sinh cần chia đều một lượng kẹo thành các phần q để tặng cho các em nhỏ ở một đơn vị ni trẻ mồ cơi. Nếu mỗi phần q giảm 6 viên kẹo thì các em sẽ có thêm 5 phần q nữa, còn nếu mỗi phần q giảm 10 viên kẹo thì các em sẽ có thêm 10 phần q nữa. Hỏi nhóm học sinh trên có bao nhiêu viên kẹo? GIẢI Câu 1: Vơi m = - 1 thì (1) trở thành: 2 x x 2 3x 6 ĐK : x 2 x 2 − − = − + ≠ − ⇔ x + 1 = - 3x + 6 (vì x 2 – x – 2 = (x + 1)(x – 2)) ⇔ x = 5 4 (thỏa) b) ĐK: x ≠ - 2m, (1) có thể viết: ( ) ( ) ( ) x m x 2m 2m 1 x 6 x 2m − + = − + + ⇔ x – m = (2m – 1)x + 6 ⇔ 2(1 – m)x = 6 + m (2) (1) có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm khác – 2m ⇔ ( ) 2 1 m 0 m 1 m 1 6 m 3 x 2m 2m 2m 3 0 m 2hoặc m 2 1 m 4  − ≠  ≠  ≠    + ⇔ ⇔    − = ≠ − − − ≠ ≠ ≠     −   Câu 2: a) Phương trình có thể viết lại: 2x 1 1 2 x 1 đk :x 1− + = − ≥ . Bình phương 2 vế , thu gọn được: 2x 1 x 2− = − . Điều kiện x ≥ 2, bình phương 2 vế phương trình được 2x – 1 = x 2 – 4x + 4 hay x 2 – 6x + 5 = 0 ⇔ x = 1(loại) hoặc x = 5 (thỏa). Vậy phương trình có 1 nghiệm x = 5. b) Phân tích phương trình 1 thành (x – 2y)(2x – 1) = 0 ⇔ x = 2y hoặc 2x – 1 = 0. Giải 2 hệ 2 2 x 2y 0 2x 1 0 hoặc x 2xy 4 x 2xy 4   − = − =     + = + =     ⇔ 2 2 x 2 2 1 1 y x x x 2y 2 2 2 hoặc hoặc 15 15 4y 4y 4 x 2 y y 4 4 2 y 2   =       =  = =     =      ⇔     + =    = −   = =         = −     Vậy hệ đã cho có 3 nghiệm: 2 2 1 15 2; ; 2; ; ; 2 2 2 4       − −  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷       Câu 3: a) với x > 1: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 x x x 3x 3 x x 1 x x 1 x 3 x 1 x x 1 A 1 x 1 x 1 x x x 1 x 3 x 1 x 1 x x x 1 x 3     + + + − + + − + +         = = = − + + + + − + + + + b) a + 2b – 3c = 0 ⇔ a – c = 2(c – b) (1) bc + 2ac – 3ab = 0 ⇔ bc – ab + 2ac – 2ab = 0 ⇔ b (c – a) + 2a( c – b) = 0 (2) (1), (2) ⇒ b( c – a) + a(a – c) = 0 ⇔ (c – a)(b – a) = 0 ⇔ c = a hoặc a = b. Nếu c = a thì (1) ⇒ c = b. Vậy a = b = c. Nếu a = b thì (1) ⇒ 3b – 3 c = 0 ⇔ b = c. Vậy a = b = c. Câu 4: a) · · » ( ) · · · ( ) · · CDB CAB cùng chắn BC ;BDH CAB cùng phụ ABD CDB BDH= = ⇒ = ∆CDH có DM là đường cao vừa là đường phân giác nên là ∆ cân ⇒ DM cũng là trung tuyến ⇒ MC = MH, mà PC = PD ⇒ MP là đường trung bình của ∆CHD ⇒ PM:DH = ½ b) ABCD nội tiếp ⇒ · · · ( ) QCD BAD cùng bù BCD= (1) AKHN nội tiếp ⇒ · · · ( ) BAD NHD cùng bù KHN= (2) ∆DCH cân ⇒ · · DCM MHD= (3) (1), (2), (3) ⇒ · · QCM MHN= (*) ABMN nội tiếp ⇒ · · ABN AMN= ; BKHM nội tiếp ⇒ · · ABN KMH= ⇒ · · · KMH HMN CMQ= = (**) MC = MH (***) (*), (**), (***) ⇒ ∆MCQ = ∆MHN (g.c.g) ⇒ MQ = MN. c) AKHN nội tiếp ⇒ · · · · · · · BAH KNH,mà BAH BNM KNB BNM BQM= = ⇒ = = ⇒ BQNK nội tiếp. Câu 5: Gọi x là số viên kẹo của mỗi phần quà. ĐK: x > 10, x nguyên. y là số phần quà mà nhóm hs có , y nguyên dương. Tổng số viên kẹo của nhóm là xy (viên). Ta có hệ phương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) x 6 y 5 xy 5x 6y 30 x 30 5x 5y 50 y 20 x 10 y 10 xy  − + =   − = =  ⇔ ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG PT NĂNG KHIẾU KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học 2010 – 2011 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút Câu 1. a) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn điều kiện a + b + c = a 3 + b 3 + c 3 = 0. Chứng minh rằng trong ba số a, b, c có ít nhất một số bằng 0 b) Giải hệ phương trình:      ++=+++ −=++ =++ )(36 1 3 222333 zyxzyx xzyzxy zyx Câu 2. a) Giải phương trình (2x – 1) 2 = 12 2 2 +− xx + 1 b) Cho tam giác ABC vuông tại A và có diện tích bằng 1. Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức 2 ≤ BC ≤ )2(2 −+ ACAB Câu 3. a) Hãy chỉ ra một bộ 4 số nguyên dương phân biệt mà tổng ba số bất kì trong chúng là một số nguyên tố b. Chứng minh rằng không tồn tại 5 số nguyên dương phân biệt sao cho tổng ba số bất kì trong chúng là một số nguyên tố. Câu 4. Cho đường tròn tâm O, bán kính R và dây cung BC cố định có độ dài BC = R. A là một điểm thay đổi trên cung lớn BC, gọi E là điểm đối xứng của B qua AC và F là điểm đối xứng của C qua AB, các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABE và ACF cắt nhau tại K ( K ≠ A) a. Chứng minh K luôn thuộc một đường tròn cố định b. Xác định vị trí của điểm K để tam giác KBC có diện tích lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó theo R c. Gọi H là giao điểm của BE và CF. Chứng minh rằng tam giác ABH đồng dạng với tam giác AKC và đường thẳng AK luôn đi qua một điểm cố định Câu 5. Trong một giải bóng đá có 12 đội tham dự, thi đấu vòng tròn một lượt ( hai đội bất kì thi đấu với nhau đúng một trận). a. Chứng minh rằng sau 4 vòng đấu ( mỗi đội thi đấu đúng 4 trận) luôn tìm được ba đội bóng đôi một chưa thi đấu với nhau. b. Khẳng định trên còn đúng không nếu mỗi đội đã thi đấu đúng 5 trận. ------------------------------------------------- TP. HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG PTNK - ĐHQG TP HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 2013 - 2014 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút. Không kể thời gian giao đề Câu 1: Cho phương trình: x 2 - 4mx + m 2 - 2m + 1 = 0 (1) với m là tham số. a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x 1 , x 2 phân biệt. Chứng minh rằng khi đó hai nghiệm không thể trái dấu nhau. b) Tìm m sao cho: 12 x x 1 Câu 2: Giải h ệ phương trình:       2 2 2 3x 2y 1 2z x 2 3y 2z 1 2x y 2 3z 2x 1 2y z 2                    Câu 3: Cho x, y là hai số không âm thỏa mãn: x 3 + y 3 ≤ x - y. a) Chứng minh rằng: y ≤ x ≤ 1. b ) C h ứng minh rằng: x 3 + y 3 ≤ x 2 + y 2 ≤ 1. Câu 4: Cho M = a 2 + 3a + 1, với a là số nguyên dương. a) Chứng minh rằn g m ọi ước số của M đề u là số lẻ. b) Tìm a sao cho M chia hết cho 5. Với n h ững giá trị n à o c ủa a thì M là lũy thừa của 5. Câu 5: Cho ABC có  0 A 60 . Đường tròn (I) nội t i ếp tam giác tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB l ần lượt tại D, E, F. Đườn g t h ẳng ID cắt EF tại K, đườn g t h ẳng qua K song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại M, N. a) Chứng minh rằng: IFMK và IMAN là tứ giác nội t i ếp. b ) G ọi J là trung điểm BC. Chứng minh A, K, J thẳng hàng. c) Gọi r là bán kính đường tròn (I) và S là diện tích tứ giác IEAF. Tính S theo r và chứng minh: IMN S S 4  Câu 6: Trong một kỳ thi, 60 học sinh phải g i ải 3 bài toán. Khi kết thúc kì thi, người ta nhận t h ấy r ằn g : Với hai thí sinh bất kì luôn có ít nhất một bài toán mà cả hai thí sinh đề giải được. Chứng minh rằn g : a) Nếu có một bài toán mà mọi thí sinh đề không giải được thì phải c ó m ột bài toán khác mà mọi thí sinh đều giải được. b) Có một bài toán mà có ít nhất 40 thí sinh đều giải được. Hế t Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Ghí chú: Cán bộ coi thi khôn giải thích gì thêm! SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP.HCM TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU TP.HCM Đề thi chính thức ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2013 – 2014 MÔN THI: TOÁN (Thời gian làm bài 180 phút không kể thời gian giao đề) Bài 1. Tìm tất cả các hàm số thoả mãn Bài 2. Cho dãy thoả mãn . Tìm tất cả các số nguyên tố p là ước của và . Bài 3. Trong một hội nghị khoa học có 5000 đại biểu tham dự, mỗi một đại biểu biết ít nhất một thứ tiếng. Một uỷ ban gồm một số đại biểu được gọi là uỷ ban làm việc nếu tất cả thành viên trong uỷ ban đều biết chung một thứ tiếng và được gọi là uỷ ban thách thức nếu không có hai thành viên nào của uỷ ban biết chung một thứ tiếng (uỷ ban có thể gồm 1 thành viên; uỷ ban này gọi là làm việc cũng được, thách thức cũng được). Chứng minh rằng có thể chia các đại biểu thành đúng 100 uỷ ban rời nhau (mỗi đại biểu thuộc đúng một uỷ ban) sao cho các uỷ ban này hoặc là uỷ ban làm việc hoặc là uỷ ban thách thức. Bài 4. Tam giác ABC có B,C cố định còn A di động sao cho AB=AC và . Đường thẳng đối xứng với BC qua AB cắt AC tại P. Trên đoạn PC lấy M sao cho PM=PB. Gọi N là giao điểm của AB với phân giác ngoài góc BCA. Chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố định. Bài 5. Cho 2014 số thực thỏa mãn điều kiện và Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . Bài 6. Cho dãy số xác định bởi: . Tìm Bài 7. Cho n là số nguyên dương và A là tập con khác rỗng của . Tính giá trị của tổng , trong đó E lấy trên tất cả các tập con của X (kể cả tập rỗng). Cho , xét m tập con khác rỗng của X là và m số nguyên khác 0 là sao cho . Chứng minh rằng tồn tại tập con E của X sao cho (Ký hiệu |A| chỉ số phần tử của tập hợp A, số phần tử của tập rỗng là 0). Bài 8. Tam giác ABC nhọn có trực tâm H và P là điểm di động bên trong tam giác ABC sao cho . Đường thẳng qua B vuông góc với AB cắt PC tại M, đường thẳng qua C vuông góc với AC cắt PB tại N. Chứng minh trung điểm I của MN luôn thuộc một đường thằng cố định. Đại Học Quốc Gia TP.HCM Trường Phổ Thông Năng Khiếu Hội Đồng Tuyển Sinh ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC : 2015 - 2016 MÔN THI : TOÁN CHUYÊN Thời gian làm 150 phút , không kể thời gian phát đề Bài ( 2.0đ ) : a) Giải phương trình : 2x    2x  x  x b) Cho số a b thỏa mãn điều kiện a  b  b , chứng minh −1⩽ a