GIAO THOA COULOMB HADRON NĂNG LƯỢNG CAO

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Đào Thị Luyên GIAO THOA COULOMB - HADRON NĂNG LƯỢNG CAO LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Hà Nội – 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Đào Thị Luyên GIAO THOA COULOMB – HADRON NĂNG LƢỢNG CAO Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Vật lý toán Mã số: 60 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN NHƯ XUÂN Hà Nội – 2014 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo, TS Nguyễn Như Xuân người trực tiếp bảo tận tình, trực tiếp giúp đỡ em suốt thời gian học tập hoàn thành luận văn thạc sĩ Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô, tập thể cán Bộ môn Vật lý lý thuyết, toàn thể người thân, bạn bè giúp đỡ, dạy bảo, động viên, trực tiếp đóng góp, trao đổi ý kiến khoa học quý báu để em hoàn thành luận văn Qua đây, em chân thành gửi lời cảm ơn tới thầy cô Khoa Vật lý tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ em suốt trình học tập hoàn thành luận văn Do thời gian kiến thức hạn chế nên chắn khóa luận có nhiều thiếu sót, em mong nhận bảo, góp ý thầy cô bạn Một lần nữa, em xin trân trọng cảm ơn! Hà Nội, ngày 30 tháng 10 năm 2014 Học viên Đào Thị Luyên MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chƣơng - MÔ HÌNH EIKONAL VÀ GIAO THOA COULOMB - HADRON7 1.1 Biên độ tán xạ cho tổng quát cho hai tương tác 1.2 Pha biên độ tán xạ gần eikonal Chƣơng - HỆ SỐ DẠNG ĐIỆN TỪ 12 2.1 Ảnh hưởng hệ số dạng điện từ vào biểu thức pha tán xạ 12 2.2 Hệ số dạng điện từ xung lượng truyền nhỏ 14 Chƣơng - PHA CỦA BIÊN ĐỘ TÁN XẠ COULOMB - HADRON CẢI BIẾN 16 3.1 Phép khai triển Born eikonal 16 3.2 Biểu thức pha kể thêm bổ hệ số dạng điện từ 17 KẾT LUẬN 23 TÀI LIỆU THAM KHẢO 24 PHỤ LỤC A - PHA BIÊN ĐỘ TÁN XẠ DẠNG GAUSS 26 PHỤ LỤC B - CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH SCHRODINGER TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ 29 PHỤ LỤC C - HỆ SỐ DẠNG ĐIỆN TỪ CỦA NUCLEON 49 DANH MỤC HÌNH VẼ Hình 3.1: Đồ thị pha tán xạ toàn phần TOT , theo q2 (GeV2) với giá trị 13B GeV −= Λ = 2 71 GeV 21 Hình 3.2: Đồ thị mô tả đóng góp v (q2) vào pha tán xạ toàn phần TOT    21 MỞ ĐẦU Bối cảnh nghiên cứu đề tài Những tiến khoa học công nghệ cho đời máy gia tốc lượng cao cung cấp cho hội nghiên cứu thực nghiệm trình tán xạ đàn hồi pp pp lượng khối tâm ngày cao, đặc biệt xác định tiết diện tán xạ toàn phần trình này, liên quan đến phần ảo biên độ tán xạ trước tỉ số phần thực phần ảo biên độ tán xạ, suy từ định lý quang học Lưu ý rằng, tiết diện tán xạ suy từ nguyên lý lý thuyết tán xạ lượng tử dễ dàng so sánh với thực nghiệm [28] Hiện nay, với số liệu thống kê phong phú phép đo tán xạ đàn hồi nucleon tích điện mức lượng cao cho phép thực phân tích chi tiết liệu đo vùng rộng lớn t – bình phương xung lượng truyền chiều Các vùng không gồm vùng gần hạt nhân nơi mà tán xạ hadron chiếm ưu thế, có nghĩa | t |≥ 10−2 GeV mà vùng mà tán xạ Coulomb đóng vai trò ưu tức | t |≤ 10−2 GeV (vùng thường chia thành hai vùng nhỏ vùng Coulomb vùng giao thoa Coulomb – hadron) Lý chọn đề tài Trong lý thuyết tán xạ tồn toán hạt thực tế tham gia đồng thời hai hay nhiều tương tác khác Ví dụ, tương tác hạt nhân hạt mang điện, tương tác hạt nhân, cần phải xét tương tác Coulomb hạt va chạm [12] Sử dụng phép gần chuẩn cổ điển học lượng tử Bethe thu công thức tán xạ với góc tán xạ nhỏ proton lên hạt nhân, có tính đến giao thoa biên độ tán xạ Coulomb biên độ tán xạ hạt nhân [12] Biên độ tán xạ đàn hồi ký hiệu F C + N biểu diễn cách hình thức dạng tổng hai loại biên độ tán xạ sau: [12] F C + N = F C + F eiαφ ,N (0.1) F C - biên độ tán xạ hoàn toàn Coulomb, F N - biên độ tán xạ hoàn toàn hadron (liên quan với tương tác mạnh), α = 1/137,036 số cấu trúc, αφ pha tương đối - lệch pha dẫn tương tác Coulomb tầm xa Sử dụng mô hình tán xạ thế, Bethe cho kết cụ thể: [12] φ 2ln (1,06 / qa) (0.2) q xung lượng truyền, a tham số đặc trưng cho kích thước hạt nhân Công thức (0.2) nhóm thực nghiệm sử dụng để đánh giá phần thực biên độ tán xạ hạt nhân phía trước Phần thực biên độ tán xạ cho phép ta kiểm tra hệ thức tán sắc [16], hay dáng điệu tiệm cận tiết diện tán xạ toàn phần [10] hay việc kiểm nghiệm mô hình lý thuyết khác cho tương tác mạnh Để xác định biên độ tán xạ trước thông thường người ta sử dụng giao thoa với biên độ giao thoa Coulomb Nếu tiến hành chuẩn hóa biên độ tán xạ Coulomb theo công thức: dσ π = dt sp 2cm (0.3) biên độ tán xạ Coulomb (cho hạt tích điện dấu) là: FC = − αs q2 với q xung lượng truyền khối tâm Nếu giả thiết xung lượng nhỏ coi lượng tán xạ pp pp điểm cao: s >> M p2 Chúng ta xét trình tán xạ hạt – hạt trước, sau ngoại suy kết trình tán xạ hạt phản hạt (0.4) Trong vùng xung lượng truyền nhỏ, biên độ tán xạ cổ điển tham số hóa dạng: F N = Ae− Bq /2 (0.5) đó: B = 10−15 GeV −2 Theo định lý quang biên độ tán xạ toàn phần bằng: σ TOT = 4π pcm s ImF N(q = 0) (0.6) Với lượng siêu cao, tiết diện tán xạ toàn phần xấp xỉ 40 mb −2 Im A ≈ 4GeV s biên độ tán xạ đàn hồi Coulomb hadron gần xung lượng truyền q ≈ α GeV Phần lớn biên độ tán xạ ảo Từ việc xác định giao thoa biên độ tán xạ Coulomb biên độ tán xạ hadron, thu pha giao thoa trình Biểu thức (0.4) mô tả biên độ tán xạ Coulomb cách đơn giản gần Born Tuy nhiên thực tế biên độ tán xạ Coulomb đặc trưng pha Coulomb liên quan đến chất lực Coulomb Hơn không thực mô tả biên độ tán xạ giao thoa Coulomb hadron Nó biểu diễn biên độ tán xạ đơn lẻ cho loại tương tác Biên độ tán xạ Coulomb vùng xung lượng truyền nhỏ biên độ tán xạ hadron vùng xung lượng truyền lớn Thậm chí vùng tương tác mạnh hadron, việc tìm biên độ tán xạ chúng liên quan đến toán trao đổi photon “mềm” có xung lượng ảo Rõ ràng có ảnh hưởng tương tác điện từ đến biên độ tán xạ hadron Giao thoa Coulomb chất hạt nhân West Yennie [3] xem xét lại không dựa lý thuyết chuẩn mà hoàn toàn dựa vào giản đồ Feynman Họ thành công việc tìm biểu thức tổng quát φ theo số hạng biên độ tán xạ đàn hồi hadron: s φW-Y = − ln q'2 dq F N (q'2 ) [1 − −∫ s | q'2 − q | F N (q ) ] Bằng cách tham số hóa thích hợp: F N ≈ exp(-Bq2 / 2) , suy ra: (0.7) φW −Y = −[ln(Bq2 / 2) + γ + O(Bq2 )] (0.8) với γ = 0, 577 số Euler West Yennie xem xét vài vấn đề khác bổ tương tác điện từ với tương tác mạnh hadron Họ xét đến xạ photon thực yếu tố quan trọng tán xạ π p lại bỏ qua vấn đề tán xạ pp Các giản đồ Feynman họ xem xét bao gồm phân kỳ hồng ngoại họ nhấn mạnh bỏ qua giản đồ cho đóng góp vào φ mà Một điểm cần lưu ý cần phải tính đến đóng góp giản đồ phân cực chân không lực tương tác Coulomb [2] Nó dẫn đến phụ thuộc số tương tác điện từ vào bình phương xung lượng truyền q2 :   q2  α ln  3π 4me2  (0.9) Kết làm tăng khoảng 50% giá trị số tương tác α khoảng q2 quan tâm Mục đích nghiên cứu luận văn Mục đích luận văn thạc sỹ xem xét lại vấn đề kèm theo việc xác định φ khuôn khổ mô hình eikonal Nó cung cấp toàn tranh vật lý trình tán xạ đưa cách nhìn khác biệt so với tính toán West Yennie [8] Phƣơng pháp nghiên cứu Trong trình nghiên cứu sử dụng phương pháp lý thuyết trường lượng tử gồm số phương pháp tách phân kỳ, phép gần Born, gần chuẩn cổ điển, mô hình eikonal số kỹ thuật tính tích phân Đồ thị vẽ phần mềm matlab Trong luận văn sử dụng hệ đơn vị nguyên tử metric Feynman Các véctơ phản biến tọa độ = c = ( ) xµ = x0 = t, x1 = x, x2 = y, x3 = z = (t, x ) véctơ tọa độ hiệp biến xµ = gµν xν = ( x0 = t, x1 = −x, x2 = − y, x3 = −z ) = (t, −x ) , g µν = g µν 10 0  −1 0 =   0 −1    00 −1 Các số Hy Lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ đến Ý nghĩa khoa học luận văn Luận văn sở lý thuyết khoa học để nghiên cứu số liệu thực nghiệm tán xạ hạt nucleon lượng cao thu từ máy gia tốc Giúp hiểu rõ chế tương tác nucleon hạt nhân Từ sở để nghiên cứu chuyên sâu thêm chế tương tác hadron có tính thêm spin Cấu trúc luận văn Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận ba phụ lục Chƣơng 1: Mô hình eikonal Giao thoa Coulomb - Hadron Ở ta xuất phát từ mô hình eikonal cho biên độ tán xạ lượng cao xung lượng truyền nhỏ (tán xạ phía trước), pha eikonal tính từ biên độ tán xạ Born Trong mục 1.1, ta tính biên độ tán xạ cho tổng quát cho hai tương tác – tương tác Coulomb tương tác hạt nhân sử dụng biên độ tán xạ Born Việc tính pha eikonal ta vận dụng gần eikonal cho tương tác Coulomb trình bày mục 1.2 Chƣơng 2: Hệ số dạng điện từ Để toán giao thoa Coulomb thực hơn, chương kể thêm hệ số dạng điện từ nucleon Về mặt vật lý nucleon hạt điểm quan niệm trước mà có cấu trúc Cấu trúc xác định hệ số dạng điện từ (bao gồm hệ Thay (B.1.42) vào biểu thức (B.1.40) ta tìm gl sau: 2l + 1 gl = − 2ki 2ikr 2l + 1 − 2ki 2ikr = Cl ei (δ l −lπ /2) (2l + 1)ei (δ l +lπ /2) rei (δ l −lπ /2) = 2l + 1(e2iδ l − 1) 2ik (B.1.43) Cuối cùng, thay (B.1.43) vào biểu thức (B.1.37) ta nhận biên độ tán xạ theo sóng riêng phần 1∞ ∞ f (θ ) = ∑ g P (cosθ ) = 2ik ∑ l l l =0 =l (B.1.44) (2l +1)(e2iδ −1)Pl (cosθ ) l B.2 Phƣơng pháp hàm Green Như đề cập mục 1.1, trình tán xạ học lượng tử mô tả phương trình Schrodinger: 2 ∇ + kψ (r) = U (r)ψ (r) , sử dụng ký hiệu k = 2mE (B.2.1) U (r) = 2mU (r) Phương trình vi phân (B.2.1) viết lại dạng phương trình tích phân: (B.2.2) hàm φ (r) thoả mãn phương trình cho hàm tự do: 2 ∇ + kφ(r) =0, (B.2.3) hàm Green G0 (r, r ') nghiệm phương trình: ∇ + k2 G0 (r, r ') = δ (3) (r − r ') (B.2.4) Các điều kiện biên hàm φ (r) G0 (r, r ') xác định từ điều kiện biên hàm ψ (r) Phương trình tích phân (B.2.2) gọi phương trình LippmanSchwinger Các nghiệm phương trình (B.2.3) (B.2.4) là: 37 φ (r) = A0ei k r + B0e−i k r , ik r −r ' (B.2.5) −ik r −r ' e e  +B , G0 (r, r ') = − A 4π  r − r ' r−r'   (B.2.6) (B.2.6) ý A+B =1 Sử dụng phương trình (B.2.5) (B.2.6), nghiệm phương trình Lippman-Schwinger (B.47) viết lại dạng: ψ (r) = A0e i k r + B0e −i k r d r '  Ae − +B 4π ∫ r−r' r−r'  ik r −r ' −ik r −r ' e  U (r )ψ (r ') (B.2.7)  Theo điều kiện biên hàm sóng ψ (r ) phải bao gồm hai thành phần: thành phần sóng tới sóng phẳng truyền theo chiều dương trục z thành phần lại sóng cầu tán xạ Vì B0= B = (B.2.7) viết lại dạng: ψ (r) = A0e − 4π i k r ik r −r ' e ∫ d r ' r − r ' U (r )ψ (r ') (B.2.8) Như phân tích trên, biên độ tán xạ thu miền tiệm cận hàm sóng Trong phần lớn toán mà xem xét, U(r) xác định thể tích hữu hạn không gian máy đo (detectors) hiệu ứng tán xạ đặt xa vùng có chứa U(r) Từ đó, kết luận r ' r suy gần sau: r.r '  r ' 2  r − r ' = r − + O    r r    (B.2.9) Từ (B.2.9), viết lại biểu thức (B.2.8) dạng: ψ r →∞ (r) = A0e i k r − d 1r3 'ike( r − r.rrU' )(r ')ψ (r ') 4π ∫ r Đặt Ao = 1, suy ra: ψ r →∞ ( r ) = e với ik r + f (θ ,φ ) eikr , r −i k r f (θ ,φ ) = −4π∫ d r 'e U (r ')ψ (r ') , 38 (B.2.10) (B.2.11) (B.2.12) r r hiểu biên độ tán xạ hạt trường V(r), k = k Bức tranh minh hoạ cho biến đổi phức tạp rõ hình vẽ 1: y r = ( r sinθ cosφ , r sinθ sin φ , r cosθ ) x b' k'=k φ' k ' = ( k sinθ cosφ , k sinθ sin φ , k cosθ ) r r k = ( 0,0, k ) r ' = (b 'cosφ ',b 'sin φ ', z ') θ k,z Hình B.1: Minh hoạ rõ ràng biến đổi phức tạp sử dụng tính toán Chú ý r , k ' k cực toạ độ cầu r ' cực toạ độ trụ Thông thường, thực tế coi f (θ ,φ ) hàm k , k ' viết f (θ ,φ ) = f (k, k ') Để ý rằng, thông tin liên quan tới f (θ ,φ ) chứa đựng miền tiệm cận Ψ(r ) đóng góp tới f (θ ,φ ) phương trình (B.2.12) lại đến từ miền mà khác không U E Với điều kiện cần thiết U/E ka (U / E)2 Trong miền giới hạn đó, biên độ tán xạ viết dạng : f (θ ,φ ) = k 2π ∫ d b 'e −i k '.b ' eiχ (b ') −1   (B.2.13) dz 'U (b ', z ') (B.2.14) đây: 2m χ (b ') = − 2k +∞ ∫ −∞ Thật vậy, trước tiên ta dẫn lại công thức cho biên độ tán xạ: −i k r f (θ ,φ ) = −4π ∫ d r 'e V (r ')ψ (r ') 39 Và từ phương trình Schrodinger (B.1.3): 2 ∇ + kψ (r) = U (r)ψ (r) Ta đặt: ψ (r) = ei k rφ (r) chọn k dọc theo hướng z Khi phương trình viết lại dạng: ∂  2ik ∂z − U (b, z)φ (b, z) = −∇ φ (b, z) (B.2.15) sử dụng ký hiệu r ≡ (b, z) Chúng ta viết nghiệm phương trình (B.2.15) dạng: +∞ db' (B.2.16) −∞ η (b, z) thoả mãn phương trình: ∂  2ik − U (b, z)  ∂z η (b, z) = (B.2.17) Và hàm Ge (b, z,b ', z ') thoả mãn:  ∂  2ik − U (b, z) Ge (b, z,b ', z ') = δ (2) (b − b ')δ ( z − z ')  (B.2.18)  ∂z Nghiệm phương trình (B.2.17) (B.2.18) là: η (b, z) = e ik z ∫ duU (b,u ) −∞ (B.2.19) Với điều kiện biên η (b) = η(b, z → −∞) = Và 40 1 2ik Ge (b, z, b ', z ') = 2ik = δ (2) (b − b ')δ ( z − z ')e 2ik ik z ∫ du.U (b,u ) −∞ z )+ (b,u ) ∫ du.U (b,u ∫ du.U ∫ −∞ 2ik z ∫ z' (B.2 20) 2ik e (2) = 2ik = δ (2) (b − b ')δ ( z − z ')η (b, z)η −1(b, z) 2ik du.U (b,u ) −∞ du.U (b,u ) z' −∞ Thay (B.2.19) (B.2.20) vào (B.2.16), ta thu được:   ∂2   z 2ik −∞∫  −1   ∂z '2  (B.2.21) Phương trình viết lại dạng sau:   ∂  z b, z ', ∇b , ∂z '   −∞ + ∫ dz ' K  b, z ', ∇b ,  ∫ dz ' K  z −∞ z'   ∂  ∂    +  ∂z '  −∞  biểu thức K  b,  z, ∇∂b ,  b, z '', ∇b , ∂z ''   (B.2.22)  tác động lên hàm g(z) cho bởi: ∂z  φ (b, z) g ( z) K  b, z, ∇b , ∂  g ( z)1=−1−  ∂  2ik  ∂z   ∂z  (B.2.23) Thay chuỗi φ (b, z) (B.2.23) vào dạng hàm ψ (r) = ei k rφ (r) cuối ta viết lại biểu thức biên độ tán xạ dạng: f (θ ,φ ) = f (0) (θ ,φ ) + f (1) (θ ,φ ) + f (2) (θ ,φ ) + (B.2.24) đây: +∞ ∫ d 2∫'b −∞ dz 'ei ( k −k U ').r ' (b ', z)η (b ', z ') f (0) (θ ,φ ) = − 4π 41 (B.2.25) (1) i ( k −k ').r ' +∞ z' (B.2.26) 4π i ( k −k ').r ' (2) +∞ 4π z' z" dz '' K (b ', z ") −∞ (B.2.27) −∞  b, z, ∇b , ∂z  mũ hàm e tính sau với ý vectơ sử dụng minh hoạ hình k ' = ( k sinθ cosφ , k sinθ sin φ , k cosθ ) k = ( 0,0, k ) r ' = (b 'cosφ ', b 'sin φ ', z ') k r ' = kz ' k '.r ' = kb 'sin(θ ) cos(φ ) cos(φ ') + kb 'sin(θ )sin(φ )sin(φ ')kz ' co s(θ ) i(k − k ').r ' = ikz '− ikb 'sin(θ ) cos(φ ) cos(φ ') − kb 'sin(θ )sin(φ )sin(φ ') − kz ' co s(θ ) (B.2.28) i(k − k ').r ' = ikz '[1 − co s(θ )] − ikb 'sin(θ )[cos(φ ) cos(φ ') + sin(φ )sin(φ ')] i(k − k ').r ' = ikz '.2sin θ − ikb 'sin(θ ) cos(φ − φ ') Ta quan tâm tới hàm f (0) (θ ,φ ) khai triển Từ (B.2.19), (B.2.25) (B.2.26) ta viết: +∞ (0) i ( k −k ').r ' 4π −ikb 'sin(θ ) cos(φ −φ ')+ikz '.2sin 4π 2 ik z' ∫ du.U (b ',u ) −∞ ta xét trường hợp mômen xung lượng vào lớn góc tán xạ nhỏ Khi ta áp dụng gần sau: d b ' dz 'e f ∫ ∫ f (θ ,φ ) =d 2− × ∫ (θ ,φ ) =d −2 =− U (b ', z ')η (b ', z ') −∞42 ∫ dz '' K (b ', z ") ∫ ∫'b −∞ dz 'e U (b ', z ')η (b ', z ') ∫ dz ''' K (b ', z ''')  ∂  ≡ K (b, z) cho biểu thức gọn Biểu thức thay K  f −∞ 1 ∫ ∫'b −∞ dz 'e U (b ', z ')η (b ', z ') +∞ d2 ∫ ∫'b −∞ dz 'e 2θ U (b ', z ')e θ θ ≈ −ikb 'θ cos(φ − φ ') + ikz '.2   2 −ikb 'sin(θ )cos(φ − φ ') + ikz '.2sin Xét gần bậc theo ta nhận biểu thức: −ikb 'sin(θ )cos(φ − φ ') + ikz '.2sin θ ≈ −ikb 'θ cos(φ − φ ') (B.2.30) Bây ta viết lại (B.2.29) sau: f (0) (θ ,φ ) = − 2ik +∞ 2π dφ 'e−ikb∫'θ dz cos(φ −φ ') '.U (b ', z ')e 4π ∫ d b ' 0∫ −∞ z' ∫ du.U (b ',u ) −∞ (B.2.31) Chúng ta cần ý phép xấp xỉ (B.2.30) cho phép đưa +∞ ∫ duU (b ', u) tích phân theo z (B.2.31) cách thay tích phân −∞ Sau tính tích phân, ta được: f (0) (θ ,φ ) = k ∞ 2π 2π i ∫0 b '0db '∫ dφ '.e χ (b ') = − −ikb 'θ cos(φ −φ ') iχ (b ') e  −1   k1∞ dz 'U (b ', z ') E ∫0 (B.2.32) (B.2.33) Như đề cập trên, hàm đối xứng qua trục z, không phụ thuộc vào góc ta bỏ ' tích phân Do vậy, biên độ tán xạ bậc không sử dụng phương pháp hàm Green viết lại dạng: f (0) (θ ) = k∞ eiχ (b ') −1 i ∫0 b ' db ' J (kb 'θ )  (B.2.34) sử dụng đồng thức: J (t ) = 2∫π 2π dφe−it cosφ (B.2.35) B.3 Phƣơng pháp chuẩn cổ điển Cũng xuất phát từ phương trình Schrodinger (B.1), nghiệm phương trình có dạng: ψ = eiS(x)/ (B.3.1) 43 Thế vào phương trình Schrodinger ta được: 2  ∂  iS / iS / = Ee −  2m ∂x 2+ U ( ,x) e 1 S ''+ 2m i 2m → thay E = Trong giới hạn cổ điển S '2 = E − U k2 ta có: 2m S '( x)2 2k = − U ( x) 2m 2m (B.3.2) Tích phân biểu thức S z = ∫Uk −L − 2m U ( b2 + z ' 2)dz '+ const (B.3.3) Từ suy hàm sóng có dạng: ikz ψ= ee (2π ) 3/2 − im z ∫U(b k + z ' )2 dz ' −L (B.3.4) Và biên độ tán xạ viết: f (k ', k ) = − 2m −ik d x 'e v'x' (2b+ z )eikx ' 4π ∫  im z '  ×exp − U ( b2 + z ' )dz ' k −∫L   (B.3.5) Đưa vào hệ tọa độ trụ ta có: d x ' bdbd bdz ' Hơn (k − k ')x ' = (k − k ')(b + z ' z ) = (k − k ')z ' z + kb − k 'b −k 'b Khi k b (k − k ').z O(θ ) bỏ qua góc lệch nhỏ Xét tán xạ mặt phẳng xz, ta có: k '.b = (k sinθ x + kcosθ z).(b cosφb x + b sinφb y) 44 (B.3.6) ˆ cos ˆ φb xˆ + k ˆsinθ x.b sinφb y = k sinθ x.b ˆ cos ˆ φb xˆ + kcos ˆ θ z.b sin φb y +kcosθ z.b = k sinθ xˆ.b cosφb xˆ (B.3.7) kbθ cosφb (vì x x  1; x y  0; z x  0; z y  nhỏ nên sin   ) Vậy biểu thức f(k’.k) sau đơn giản hóa là:  2 2m f (k ', k )   bdbdbe ikb cos  4 0 b (B.3.8)   im z    dzV exp   U ( b  z ' )dz '   k  L Sử dụng tính chất hàm Bessel ta có: 2  d e ikb cosb  2 J (kb ) b (B.3.9) Đối với thành phần sau f(k’,k) ta đặt L V(x) định xứ nên đóng góp bên –L    im z  i k2  im z  exp  Udz ' dzU exp  2k Udz '    L m  k L z  z  (B.3.10) Thay (B.2.31) (B.2.32) vào (B.2.30) ta được:  2m f (k ', k )   42bd.2J0(kb) exp22Udz'  im z  ik m  kL  z  z    im    ik  bdb.J (kb )exp   Udz  k      ik  bdb.J 2i (b)  (kb exp )   m Với (b)   2k   U ( b2  z )dz   45 (B.3.11) Biên độ tán xạ tính theo chuẩn cổ điển là: k i f (0) (θ ) = ∫ ∞ eiχ (b) 1 − bdbJ (kbθ )  B.4 Mối liên hệ biên độ tán xạ theo sóng riêng phần biên độ tán xạ eikonal Trong mục này, biểu thức tán xạ phép gần eikonal có quan hệ với biên độ tán xạ sóng riêng phần giới hạn tán xạ lượng cao ngược lại B.4.1 Phép chuyển đổi từ biên độ sóng riêng phần sang biên độ sóng eikonal Như tính toán trên, biên độ tán xạ thu phương pháp sóng riêng phần có dạng: 1∞ e2iδ − 2ik ∑=l ( 2l + 1) Pl (cosθ )  1 f (θ ) = (B.4.1) l Với toán tán xạ lượng cao, coi ka lmax lớn thay cho việc lấy tổng theo l tích phân theo l f (k ,θ ) = Tiếp theo, đặt b = 2ik ∫ ∞ (2l + 1) 2k ) − dl(2l + 1)Pl (cosθ ) e2iδ l ( k1 (B.4.2) suy dl = kdb , b gọi thông số va chạm Với k – lớn, - nhỏ kb có giới hạn, đa thức Legendre trở thành hàm Bessel bậc không: k high P(cos ) small J0 (2l 1)sin l Hơn viết: 2δl (k ) = 2δ kb (k ) = χ (k, b) , (B.4.3) (B.4.4) hàm eikonal miền giới hạn tương tác Và đó, biểu thức biên độ tán xạ thu dạng: 46 ∞  f (k ,θ ) = −ik ∫ bdb.J (2l  + 1)sin    2 θ  iχ ( k ,b) −1 e (B.4.5) θθ   , 2ta có: Khi góc nhỏ sin   ≈ θ θ θ (2l + 1)sin   = (2l + 1)sin =  2k sin 2k    2k   Thay biểu thức vào công thức (B.4.5), nhận được: f (s, t ) = k i ∞ ∫ eiχ (b) −1 bdbJ (kbθ )   (B.4.6) Một lần nữa, biên độ tán xạ eikonal bậc không lại thu B.4.2 Phép chuyển đổi từ biên độ sóng eikonal sang biên độ sóng riêng phần Biên độ sóng eikonal viết sau: k∞ eiχ (b) 1 − i ∫0 bdbJ (kbθ )  f (θ ) = Đặt: b = Ta có (2l + 1) (2l + 1) , suy db = dl k = k 2k 2b (2l + 1) kbθ = Khi góc nhỏ kbθ = 2b (2l + 1) bθ = (B.4.7) (B.4.8) θ θ θ  ≈ sin   , lúc ta có: 2 θ (2l + 1) θ 2 Với k – lớn, - nhỏ kb có giới hạn, đa thức Legendre trở thành hàm Bessel bậc không:  θ  k−high → Pl (cosθ ) J (2l + 1)sin  θ−small   (B.4.10) Hơn viết: 47 (B.4.9) χ (k,b) = 2δ kb (k ) = 2δl (k ) (B.4.11) Thay (B.4.8), (B.4.10) (B.4.11) vào (B.4.7) ta được: f (θ ) = k∞ eiχ (b) − 1 = i i ∫0 bdbJ (kbθ )  = 2ik ∞ ∫ ∫ k ∞ (2l + 1) 2k k dlPl (cosθ )  e2δl ( k ) − 1 e2iδl ( k )1 − dl (2l + 1)Pl (cosθ )  (B.4.12) Với toán tán xạ lượng cao, coi ( ka) lmax lớn thay cho việc lấy tích phân theo l tổng theo l (B.4.12) trở thành: f (θ ) = 2ik ∫ ∞ ) − dl(2l + 1)Pl (cosθ ) e2iδl ( k 1 (B.4.13) Ta lại thu biên độ sóng riêng phần B.5 Sơ đồ mối liên hệ phƣơng pháp toán tán xạ Phƣơng trình Schrodinger f (θ ) = 1∞ 2ik ∑=l (2l + 1)(e2iδ −1)Pl (cosθ ) l Phương pháp Sóng riêng phần Phương pháp Hàm Green Hàm sóng Hai sóng dạng: phẳng tới: Ψ (r) = e cầu phân kỳ ikz in eikr Ψ out (r) = f (θ ,ϕ ) r Hàm sóng 1∞ 2ik l=0∑(2l + 1)(e2iδ − 1)Pl (cosθ ) l Hàm sóng Hai sóng dạng: phẳng tới Ψ (r) = A e cầu phân kỳ in Ψ out (r) = − ∫ d r' 4π Một sóng dạng: ik.r e ψ = eiS(x)/ ik r−r ' r − r' Biên độ tán xạ f (θ ) = Phương pháp Chuẩn cổ điển U(r)ψ (r ') Biên độ tán xạ f (θ ) = (0) k i ∞ ∫ eiχ (b) − bdbJ0 (kbθ )   48 Biên độ tán xạ f (θ ) = (0) k∞ eiχ (b') −1 i ∫0 b'db'J (kb'θ )   PHỤ LỤC C - HỆ SỐ DẠNG ĐIỆN TỪ CỦA NUCLEON Tán xạ đàn hồi tán xạ không đàn hồi electron lên hadron- proton neutron - cho ta thông tin đặc biệt quý giá cấu trúc hadron Trong gần bậc theo tương tác điện từ, tán xạ electron lên nucleon mô tả giản đồ Feymann Biểu thức biên độ tán xạ có dạng: < pN , pe2 1| |SpN1, pe1 >= e u ( pe2 ) γ µu ( pe1 ) q1 u ( pN ) Γµ ( pN , pN1 ) u ( pN1 ) (C.1) u ( pN1 ) , u ( pN ) - spinor Dirac đầu cuối nucleon, u ( pe1 ) , u ( pe ) spinor Dirac đầu cuối tương ứng electron, Γµ ( pN , pN1 ) đỉnh mô tả tương tác nucleon với photon tất bậc theo tương tác mạnh, q = pe2 − pe1 = pN − pN1 Ta tham số hóa đỉnh tương tác Γµ ( pN , pN1 ) Lưu ý, Γµ ( pN , pN1 ) mặt ma trận, mặt khác véctơ Nếu ma trân, thiết phải tổ hợp tuyến tính 16 ma trận Dirac I , γ , γ µ , γ5 γ µ , σ µν = ( γ γ µ ν − γ γν µ ) (C.2) I - ma trận đơn vị Nếu Γµ ( pN , pN1 ) véctơ, phải hình thành từ véctơ pNµ 1, pNµ ma trận (C.2) Như vậy, Γµ ( pN , pN1 ) tổ hợp đại lượng: µ p µ = ( pN1 + pN ) , q µ , γ p µ , γ 5q µ , (C.3) Các hệ số đại lượng hàm số vô hướng xung lượng pN1, pN , có nghĩa hàm số q Sự bảo toàn chẵn lẻ tương tác điện từ tương tác yếu loại bỏ tổ hợp ma trận γ ( u ( pN ) γ 5u ( pN1 ) - giả vô hướng, u ( pN ) γ γ µu ( pN1 ) - giả véc tơ Còn số hạng q µ với triệt tiêu bất biến chuẩn qµ u ( pN ) Γµu ( pN1 ) = 49 (C.4) Suy ra: σ µν pν = −q µ σ µν qν = pµ − 2M γ µ (C.5) Như vậy, kết cuối ta có : κ ( ) Γµ ( pN , pN1` ) = F q 21 γ µ − 2M ( ) F2 q σ µν qν M khối lượng nucleon, κ - moment từ dị thường nucleon (trong đơn vị magneton hạt nhân) Các hàm vô hướng F1,2 ( q ) xung lượng truyền gọi hệ số dạng Lưu ý, F (0)1 = Q, F2 (0) = 1, Thay cho hệ số dạng F1,2 ( q ) thường dùng hệ số dạng GE ( q ) , GM ( q ) : GE ( q ) = F1 ( q ) + ( ) q2 F2 ( q ) 4M ( ) ( ) GM q2 = F1 q2 + κ F2 q2 Ưu việt hệ số dạng GE ( q ) , GM ( q ) chỗ GE ( q ) xác định phân bố điện tích, GM ( q ) mômen từ 50 (C.6) [...]... các hadron tham gia cùng một lúc vào hai loại tương tác là tương tác Coulomb và tương tác mạnh 2 Đã thu được biểu thức cho pha giao thoa Coulomb - hadron tổng quát hơn khi tương tác Coulomb được kể thêm hệ số dạng điện từ của nucleon 3 Đã chứng minh rằng sự ảnh hưởng của hệ số dạng điện từ làm xuất hiện thêm một số hạng mới v = 4q 2 Λ 2 2q 2 ln 2 − Λ 2 Λ 2trong 4q pha giao thoa Coulomb – hadron năng lượng. .. trường hợp hoàn toàn Coulomb Việc kể thêm bổ chính của hệ số dạng và tìm biểu thức cho pha sẽ được xem xét ở mục 3.2 Kết luận dành cho việc liệt kê các kết quả thu được trong luận văn và phương hướng nghiên cứu trong thời gian tới 6 Chƣơng 1 - MÔ HÌNH EIKONAL VÀ GIAO THOA COULOMB - HADRON Trong chương này, mục 1.1, xuất phát từ mô hình eikonal cho biên độ tán xạ năng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ... [e2iδ (b) −1] (1.1) Công thức (1.1) cho biên độ tán xạ ở vùng năng lượng cao là tổng quát với ý nghĩa nó không dựa vào cơ chế tương tác cụ thể nào Tất cả động lực học của quá trình trong mô hình eikonal được xác định, nếu cho trước dạng cụ thể của pha δ (b) Pha này phụ thuộc vào tham số va chạm b và năng lượng của khối tâm Ở năng lượng siêu cao δ (b) xác định bởi biểu thức: δ (b) = 1 2 −iq.b (1.2) 2π... chí cho các mục đich của họ vì rằng tham số B phụ thuộc vào xung lượng s chứ không phải là Λ 2 Do sự khác nhau giữa biểu thức (2.14) và (2.15) là nhỏ, biểu thức (2.14) đơn giản hơn thích hợp và tiện lợi cho việc tính toán pha tán xạ φ 15 Chƣơng 3 - PHA CỦA BIÊN ĐỘ TÁN XẠ COULOMB - HADRON CẢI BIẾN Việc hiệu chỉnh biên độ tán xạ Coulomb - Hadron trong gần đúng Born có tính đến tương tác điện từ được biểu... trước đó cho biên độ tán xạ sẽ thu được kết quả rất nhỏ 22 KẾT LUẬN Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu tán xạ các nucleon trong hạt nhân ở vùng năng lượng cao dưới sự ảnh hưởng của tổng hai thế là thế tương tác Coulomb và thế tương tác mạnh các hadron trong mô hình eikonal hiện tượng luận của West và Yennie Pha của biên độ tán xạ eikonal được suy ra từ biên độ tán xạ trong gần đúng Born và hệ... biến biên độ tán xạ Coulomb khi tính đến hệ số dạng điện từ, từ đó thu được biểu thức tổng quát cho pha Việc cụ thể hóa dạng của hệ số dạng được xem xét ở mục 2.2 2.1 Ảnh hƣởng của hệ số dạng điện từ vào biểu thức pha tán xạ Thực tế là bài toán giao thoa Coulomb phải bao gồm cả tương tác điện từ của proton Các hệ số tương tác điện từ thu được bằng cách hiệu chỉnh biên độ tán xạ Coulomb: đầu tiên là... hình này tiết diện tán xạ tỉ lệ với lũy thừa bậc 4 của hệ số tương tác điện từ Trong mô hình này thì B và Λ 2 liên hệ với nhau bởi hệ thức BΛ = 8 Khi đó pha giao thoa tham số mũ của (0.4) bằng: φ = − ln ( Bq2 / 2) − γ − ln 2 , 2 còn pha giao thoa lưỡng cực của (2.15) bằng: φ = − ln ( Bq2 / 2) − γ + (γ + ln 4 − 363 / 140) Số hạng cuối cùng trong ngoặc gần bằng – 0.63, nó không sai khác nhiều lắm so... nucleon trong hạt nhân khi có sự trộn lẫn cả 2 loại tương tác Coulomb và tương tác mạnh của các hadron trong hạt nhân 1.2 Pha biên độ tán xạ trong gần đúng eikonal Để có thể áp dụng biểu thức này cho các bài toán về sau chúng ta cần lấy gần đúng eikonal biên độ tán xạ Coulomb Từ biểu thức (1.2) và (0.4), chúng ta đưa vào khối một photon khối lượng nhỏ λ để khử phân kỳ hồng ngoại: 1 2 −iq.b −α s d be (... (q'2 ) −1  | q 2 −q'2 |  F N (q 2 )  kết quả này phù hợp với kết quả thu được (0.7) của West và Yennie bằng phương pháp giản đồ Feynman 11 (1.18) Chƣơng 2 - HỆ SỐ DẠNG ĐIỆN TỪ Để bài toán giao thoa Coulomb hadron hiện thực tốt hơn, trong chương này chúng ta kể thêm hệ số dạng điện từ của proton Về mặt vật lý thì proton ở đây không phải là hạt điểm như quan niệm trước kia mà nó có cấu trúc Cấu trúc... biên độ tán xạ Coulomb khi tính đến hệ số dạng điện từ và thu được biểu thức tổng quát cho pha Việc cụ thể hóa dạng của hệ số dạng điện từ được xem xét ở mục 2.2 Chƣơng 3: Pha của biên độ tán xạ Coulomb cải biến Việc kể thêm hệ số dạng của hạt sẽ làm thay đổi biên độ tán xạ Coulomb Trong chương này, ta xem xét phép khai triển Born – eikonal cho biên độ tán xạ và tính pha của biên độ tán xạ Coulomb cải