Chuyen de so chinh phuong

http://NgocHung.name.vn SỐ CHÍNH PHƯƠNG Nguyễn Ngọc Hùng I ĐỊNH NGHĨA: Số phương số bình phương số nguyên II TÍNH CHẤT: Số phương có chữ số tận 0, 1, 4, 5, 6, ; có chữ số tận 2, 3, 7, Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phương chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn Số phương có hai dạng 4n 4n + Không có số phương có dạng 4n + 4n + (n ∈ N) Số phương có hai dạng 3n 3n + Không có số phương có dạng 3n + (n ∈ N) Số phương tận chữ số hàng chục chữ số chẵn Số phương tận chữ số hàng chục Số phương tận chữ số hàng chục chữ số chẵn Số phương tận chữ số hàng chục chữ số lẻ Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia hết cho chia hết cho 25 Số phương chia hết cho chia hết cho 16 III MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG A DẠNG1: CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài 1: Chứng minh với số nguyên x, y A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 số phương Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 = (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4 Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t ( t ∈ Z) A = (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 –y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)2 V ì x, y, z ∈ Z nên x2 ∈ Z, 5xy ∈ Z, 5y2 ∈ Z ⇒ x2 + 5xy + 5y2 ∈ Z Vậy A số phương http://NgocHung.name.vn Bài 2: Chứng minh tích số tự nhiên liên tiếp cộng số phương Gọi số tự nhiên, liên tiêp n, n + 1, n+ 2, n + (n ∈ N) Ta có n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) + = (n2 + 3n)( n2 + 3n + 2) + (*) Đặt n2 + 3n = t (t ∈ N) (*) = t( t + ) + = t2 + 2t + = ( t + )2 = (n2 + 3n + 1)2 Vì n ∈ N nên n2 + 3n + ∈ N Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + số phương Bài 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + k(k+1)(k+2) Chứng minh 4S + số phương 1 k(k+1)(k+2).4 = k(k+1)(k+2).[(k+3) – (k-1)] 4 1 = k(k+1)(k+2)(k+3) - k(k+1)(k+2)(k-1) 4 1 1 1 ⇒ S = 1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 +…+ k(k+1)(k+2)(k+3) 4 4 4 k(k+1)(k+2)(k-1) = k(k+1)(k+2)(k+3) Ta có k(k+1)(k+2) = 4S + = k(k+1)(k+2)(k+3) + Theo kết ⇒ k(k+1)(k+2)(k+3) + số ph ương Bài 4: Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889; … Dãy số xây dựng cách thêm số 48 vào số đứng trước Chứng minh tất số dãy số phương Ta có 44…488…89 = 44…488 + = 44…4 10n + 11…1 + n chữ số n-1 chữ số n chữ số n chữ số n chữ số n chữ số 10 n − 10 n − 10n + +1 9 4.10 n − 4.10 n + 8.10 n − + 4.10 n + 4.10 n + = = 9 n  2.10 +   =    = Ta thấy 2.10n +1=200…01 có tổng chữ số chia hết chia hết cho n-1 chữ số http://NgocHung.name.vn  2.10 n +   ⇒    ∈ Z hay số có dạng 44…488…89 số phương Bài 5: Chứng minh số sau số phương: A = 11…1 + 44…4 + 2n chữ số n chữ số B = 11…1 + 11…1 + 66…6 + 2n chữ số n+1 chữ số n chữ số C = 44…4 + 22…2 + 88…8 + 2n chữ số n+1 chữ số n chữ số 2  10 n +   Kết quả: A =     10 n +   B =    ; ;  2.10 n +   C =    Bài 6: Chứng minh số sau số phương: a A = 22499…9100…09 n-2 chữ số n chữ số b B = 11…155…56 n chữ số n-1 chữ số a A = 224.102n + 99…9.10n+2 + 10n+1 + = 224.102n + ( 10n-2 – ) 10n+2 + 10n+1 + = 224.102n + 102n – 10n+2 + 10n+1 + = 225.102n – 90.10n + = ( 15.10n – ) ⇒ A số phương b B = 111…1555…5 + = 11…1.10n + 5.11…1 + n chữ số n chữ số = n chữ số n chữ số 10 n − 10 n − 10 n − 10 n + 5.10 n − + 10n + +1= 9 = 10 2n  10 +  + 4.10 +  =    n n số phương ( điều phải chứng minh) http://NgocHung.name.vn Bài 7: Chứng minh tổng bình phương số tự nhiên liên tiếp số phương Gọi số tự nhiên liên tiếp n-2, n-1, n , n+1 , n+2 (n ∈ N , n ≥2 ) Ta có ( n-2)2 + (n-1)2 + n2 + ( n+1)2 + ( n+2)2 = 5.( n2+2) Vì n2 tận n2+2 không thẻ chia hết cho ⇒ 5.( n2+2) không số phương hay A không số phương Bài 8: Chứng minh số có dạng n6 – n4 + 2n3 + 2n2 n ∈ N n>1 số phương n6 – n4 + 2n3 +2n2 = n2.( n4 – n2 + 2n +2 ) = n2.[ n2(n-1)(n+1) + 2(n+1) ] = n2[ (n+1)(n3 – n2 + 2) ] = n2(n+1).[ (n3+1) – (n2-1) ] = n2( n+1 )2.( n2–2n+2) Với n ∈ N, n >1 n2-2n+2 = (n - 1)2 + > ( n – )2 n2 – 2n + = n2 – 2(n - 1) < n2 Vậy ( n – 1)2 < n2 – 2n + < n2 ⇒ n2 – 2n + số phương Bài 9: Cho số phương có chữ số hàng chục khác chữ số hàng đơn vị Chứng minh tổng chữ số hàng chục số phương số phương Cách 1: Ta biết số phương có chữ số hàng đơn vị chữ số hàng chục số lẻ Vì chữ số hàng chục số phương cho 1,3,5,7,9 tổng chúng + + + + = 25 = 52 số phương Cách 2: Nếu số phương M = a2 có chữ số hàng đơn vị chữ số tận a ⇒ a 2 ⇒ a2  Theo dấu hiệu chia hết cho hai chữ số tận M 16, 36, 56, 76, 96 ⇒ Ta có: + + + + = 25 = 52 số phương Bài 10: Chứng minh tổng bình phương hai số lẻ số phương a b lẻ nên a = 2k+1, b = 2m+1 (Với k, m ∈ N) ⇒ a2 + b2 = (2k+1)2 + (2m+1)2 = 4k2 + 4k + + 4m2 + 4m + = 4(k2 + k + m2 + m) + = 4t + (Với t ∈ N) Không có số phương có dạng 4t + (t ∈ N) a2 + b2 số phương http://NgocHung.name.vn Bài 11: Chứng minh p tích n số nguyên tố p-1 p+1 số phương Vì p tích n số nguyên tố nên p 2 p không chia hết cho (1) a Giả sử p+1 số phương Đặt p+1 = m2 (m ∈ N) Vì p chẵn nên p+1 lẻ ⇒ m2 lẻ ⇒ m lẻ Đặt m = 2k+1 (k ∈ N) Ta có m2 = 4k2 + 4k + ⇒ p+1 = 4k2 + 4k + ⇒ p = 4k2 + 4k = 4k(k+1)  mâu thuẫn với (1) ⇒ p+1 số phương b p = 2.3.5… số chia hết cho ⇒ p-1 có dạng 3k+2 Không có số phương có dạng 3k+2 ⇒ p-1 không số phương Vậy p tích n số nguyên tố p-1 p+1 không số phương Bài 12: Giả sử N = 1.3.5.7…2007 Chứng minh số nguyên liên tiếp 2N-1, 2N 2N+1 số số phương a 2N-1 = 2.1.3.5.7…2007 – Có 2N  ⇒ 2N-1 không chia hết cho 2N-1 = 3k+2 (k ∈ N) ⇒ 2N-1 không số phương b 2N = 2.1.3.5.7…2007 Vì N lẻ ⇒ N không chia hết cho 2N  2N không chia hết cho 2N chẵn nên 2N không chia cho dư ⇒ 2N không số phương c 2N+1 = 2.1.3.5.7…2007 + 2N+1 lẻ nên 2N+1 không chia hết cho 2N không chia hết 2N+1 không chia cho dư ⇒ 2N+1 không số phương Bài 13: Cho a = 11…1 ; b = 100…05 2008 chữ số 2007 chữ số Chứng minh ab + số tự nhiên 10 2008 − Cách 1: Ta có a = 11…1 = ; b = 100…05 = 100…0 + = 102008 + 2008 chữ số 2007 chữ số 2008 chữ số  10 2008 +  (10 2008 − 1)(10 2008 + 5) (10 2008 ) + 4.10 2008 − +  ⇒ ab+1 = +1= =  9   ab + =  10 2008 + 2 10 2008 +   = 3   http://NgocHung.name.vn Ta thấy 102008 + = 100…02  nên 10 2008 + ∈ N hay ab + số tự nhiên 2007 chữ số Cách 2: b = 100…05 = 100…0 – + = 99…9 + = 9a +6 2007 chữ số 2008 chữ số 2008 chữ số ⇒ ab+1 = a(9a +6) + = 9a2 + 6a + = (3a+1)2 ⇒ ab + = (3a + 1) = 3a + N ∈ B DẠNG 2: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ BIỂU THỨC LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài1: Tìm số tự nhiên n cho số sau số phương: a n2 + 2n + 12 b n ( n+3 ) c 13n + d n2 + n + 1589 Giải a Vì n2 + 2n + 12 số phương nên đặt n2 + 2n + 12 = k2 (k ∈ N) ⇒ (n2 + 2n + 1) + 11 = k2 ⇔ k2 – (n+1)2 = 11 ⇔ (k+n+1)(k-n-1) = 11 Nhận xét thấy k+n+1 > k-n-1 chúng số nguyên dương, nên ta viết (k+n+1)(k-n-1) = 11.1 ⇔ k+n+1 = 11 ⇔ k = k–n-1=1 n=4 b Đặt n(n+3) = a2 (n ∈ N) ⇒ n2 + 3n = a2 ⇔ 4n2 + 12n = 4a2 ⇔ (4n2 + 12n + 9) – = 4a2 ⇔ (2n + 3) - 4a2 = ⇔ (2n + + 2a)(2n + – 2a) = Nhận xét thấy 2n + + 2a > 2n + – 2a chúng số nguyên dương, nên ta viết (2n + + 2a)(2n + – 2a) = 9.1 ⇔ 2n + + 2a = ⇔ n = 2n + – 2a = a=2 c Đặt 13n + = y2 ( y ∈ N) ⇒ 13(n – 1) = y2 – 16 ⇔ 13(n – 1) = (y + 4)(y – 4) ⇒ (y + 4)(y – 4)  13 mà 13 số nguyên tố nên y +  13 y –  13 ⇒ y = 13k ± (Với k ∈ N) ⇒ 13(n – 1) = (13k ± )2 – 16 = 13k.(13k ± 8) ⇒ n = 13k2 ± 8k + Vậy n = 13k2 ± 8k + (Với k ∈ N) 13n + số phương d Đặt n2 + n + 1589 = m2 (m ∈ N) ⇒ (4n2 + 1)2 + 6355 = 4m2 ⇔ (2m + 2n +1)(2m – 2n -1) = 6355 Nhận xét thấy 2m + 2n +1> 2m – 2n -1 > chúng số lẻ, nên ta viết (2m + 2n +1)(2m – 2n -1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.41 Suy n có giá trị sau: 1588; 316; 43; 28 http://NgocHung.name.vn Bài 2: Tìm a để số sau số phương: a a2 + a + 43 b a2 + 81 c a2 + 31a + 1984 Kết quả: a 2; 42; 13 b 0; 12; 40 c 12; 33; 48; 97; 176; 332; 565; 1728 Bài 3: Tìm số tự nhiên n ≥ cho tổng 1! + 2! + 3! + … + n! số phương Với n = 1! = = 12 số phương Với n = 1! + 2! = không số phương Với n = 1! + 2! + 3! = 1+1.2+1.2.3 = = 32 số phương Với n ≥ ta có 1! + 2! + 3! + 4! = 1+1.2+1.2.3+1.2.3.4 = 33 5!; 6!; …; n! tận 1! + 2! + 3! + … + n! có tận chữ số nên số phương Vậy có số tự nhiên n thỏa mãn đề n = 1; n = Bài 4: Tìm n ∈ N để số sau số phương: a n2 + 2004 ( Kết quả: 500; 164) b (23 – n)(n – 3) ( Kết quả: 3; 5; 7; 13; 19; 21; 23) c n2 + 4n + 97 d 2n + 15 Bài 5: Có hay không số tự nhiên n để 2006 + n2 số phương Giả sử 2006 + n2 số phương 2006 + n2 = m2 (m ∈ N) Từ suy m2 – n2 = 2006 ⇔ (m + n)(m - n) = 2006 Như số m n phải có số chẵn (1) Mặt khác m + n + m – n = 2m ⇒ số m + n m – n tính chẵn lẻ (2) Từ (1) (2) ⇒ m + n m – n số chẵn ⇒ (m + n)(m - n)  Nhưng 2006 không chia hết cho ⇒ Điều giả sử sai Vậy không tồn số tự nhiên n để 2006 + n2 số phương Bài 6: Biết x ∈ N x>2 Tìm x cho x(x-1).x(x-1) = (x-2)xx(x-1) http://NgocHung.name.vn Đẳng thức cho viết lại sau: x(x-1) = (x-2)xx(x-1) Do vế trái số phương nên vế phải số phương Một số phương tận chữ số 0; 1; 4; 5; 6; nên x tận chữ số 1; 2; 5; 6; 7; (1) Do x chữ số nên x ≤ 9, kết hợp với điều kiện đề ta có x ∈ N < x ≤ (2) Từ (1) (2) ⇒ x nhận giá trị 5; 6; Bằng phép thử ta thấy có x = thỏa mãn đề bài, 762 = 5776 Bài 7: Tìm số tự nhiên n có chữ số biết 2n+1 3n+1 số phương Ta có 10 ≤ n ≤ 99 nên 21 ≤ 2n+1 ≤ 199 Tìm số phương lẻ khoảng ta 25; 49; 81; 121; 169 tương ứng với số n 12; 24; 40; 60; 84 Số 3n+1 37; 73; 121; 181; 253 Chỉ có 121 số phương Vậy n = 40 Bài 8: Chứng minh n số tự nhiên cho n+1 2n+1 số phương n bội số 24 Vì n+1 2n+1 số phương nên đặt n+1 = k2 , 2n+1 = m2 (k, m ∈ N) Ta có m số lẻ ⇒ m = 2a+1 ⇒ m2 = 4a (a+1) + 4a(a + 1) m2 −1 ⇒ n= = = 2a(a+1) 2 ∈ ⇒ n chẵn ⇒ n+1 lẻ ⇒ k lẻ ⇒ Đặt k = 2b+1 (Với b N) ⇒ k2 = 4b(b+1) +1 ⇒ n = 4b(b+1) ⇒ n  (1) Ta có k2 + m2 = 3n + ≡ (mod3) Mặt khác k2 chia cho dư 1, m2 chia cho dư Nên để k2 + m2 ≡ (mod3) k2 ≡ (mod3) m2 ≡ (mod3) ⇒ m2 – k2  hay (2n+1) – (n+1)  ⇒ n  (2) Mà (8; 3) = (3) Từ (1), (2), (3) ⇒ n  24 Bài 9: Tìm tất số tự nhiên n cho số 28 + 211 + 2n số phương Giả sử 28 + 211 + 2n = a2 (a ∈ N) 2n = a2 – 482 = (a+48)(a-48) 2p.2q = (a+48)(a-48) Với p, q ∈ N ; p+q = n p > q p p ⇒ a+48 = ⇒ – 2q = 96 ⇔ 2q (2p-q -1) = 25.3 http://NgocHung.name.vn a- 48 = 2q ⇒ q = p-q = ⇒ p = ⇒ n = 5+7 = 12 Thử lại ta có: 28 + 211 + 2n = 802 C.DẠNG 3: TÌM SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài 1: Cho A số phương gồm chữ số Nếu ta thêm vào chữ số A đơn vị ta số phương B Hãy tìm số A B Gọi A = abcd = k2 Nếu thêm vào chữ số A đơn vị ta có số B = (a+1)(b+1)(c+1)(d+1) = m2 với k, m ∈ N 32 < k < m < 100 a, b, c, d ∈ N ; ≤ a ≤ ; ≤ b, c, d ≤ ⇒ Ta có A = abcd = k2 B = abcd + 1111 = m2 ⇒ m2 – k2 = 1111 ⇔ (m-k)(m+k) = 1111 (*) Nhận xét thấy tích (m-k)(m+k) > nên m-k m+k số nguyên dương Và m-k < m+k < 200 nên (*) viết (m-k)(m+k) = 11.101 Do m – k == 11 ⇔ m = 56 ⇔ A = 2025 m + k = 101 n = 45 B = 3136 Bài 2: Tìm số phương gồm chữ số biết số gồm chữ số đầu lớn số gồm chữ số sau đơn vị Đặt abcd = k2 ta có ab – cd = k ∈ N, 32 ≤ k < 100 Suy 101cd = k2 – 100 = (k-10)(k+10) ⇒ k +10  101 k-10  101 Mà (k-10; 101) = ⇒ k +10  101 Vì 32 ≤ k < 100 nên 42 ≤ k+10 < 110 ⇒ k+10 = 101 ⇒ k = 91 ⇒ abcd = 912 = 8281 Bài 3: Tìm số phương có chữ số biết chữ số đầu giống nhau, chữ số cuối giống Gọi số phương phải tìm aabb = n2 với a, b ∈ N, ≤ a ≤ 9; ≤ b ≤ Ta có n2 = aabb = 11.a0b = 11.(100a+b) = 11.(99a+a+b) (1) Nhận xét thấy aabb  11 ⇒ a + b  11 Mà ≤ a ≤ ; ≤ b ≤ nên ≤ a+b ≤ 18 ⇒ a+b = 11 Thay a+b = 11 vào (1) n2 = 112(9a+1) 9a+1 số phương Bằng phép thử với a = 1; 2; …; ta thấy có a = thỏa mãn ⇒ b = http://NgocHung.name.vn Số cần tìm 7744 Bài 4: Tìm số có chữ số vừa số phương vừa lập phương Gọi số phương abcd Vì abcd vừa số phương vừa lập phương nên đặt abcd = x2 = y3 Với x, y ∈ N Vì y3 = x2 nên y số phương Ta có 1000 ≤ abcd ≤ 9999 ⇒ 10 ≤ y ≤ 21 y phương ⇒ y = 16 ⇒ abcd = 4096 Bài 5: Tìm số phương gồm chữ số cho chữ số cuối số nguyên tố, bậc hai số có tổng chữ số số phương Gọi số phải tìm abcd với a, b, c, d nguyên ≤ a ≤ ; ≤ b,c,d ≤ abcd phương ⇒ d ∈ { 0,1,4,5,6,9} d nguyên tố ⇒ d = Đặt abcd = k2 < 10000 ⇒ 32 ≤ k < 100 k số có hai chữ số mà k2 có tận ⇒ k tận Tổng chữ số k số phương ⇒ k = 45 ⇒ abcd = 2025 Vậy số phải tìm 2025 Bài 6: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết hiệu bình phương số viết số hai chữ số số theo thứ tự ngược lại số phương Gọi số tự nhiên có hai chữ số phải tìm ab ( a,b ∈ N, ≤ a,b ≤ ) Số viết theo thứ tự ngược lại ba 2 Ta có ab - ba = ( 10a + b ) – ( 10b + a )2 = 99 ( a2 – b2 )  11 ⇒ a2 - b2  11 Hay ( a-b )(a+b )  11 Vì < a - b ≤ , ≤ a+b ≤ 18 nên a+b  11 ⇒ a + b = 11 2 Khi ab - ba = 32 112 (a - b) 2 Để ab - ba số phương a - b phải số phương a-b = a - b = • Nếu a-b = kết hợp với a+b = 11 ⇒ a = 6, b = 5, ab = 65 Khi 652 – 562 = 1089 = 332 • Nếu a - b = kết hợp với a+b = 11 ⇒ a = 7,5 ( loại ) Vậy số phải tìm 65 http://NgocHung.name.vn Bài 7: Cho số phương có chữ số Nếu thêm vào chữ số ta số phương Tìm số phương ban đầu ( Kết quả: 1156 ) Bài 8: Tìm số có chữ số mà bình phương số lập phương tổng chữ số Gọi số phải tìm ab với a,b ∈N ≤ a ≤ , ≤ b ≤ Theo giả thiết ta có : ab = ( a + b )3 ⇔ (10a+b)2 = ( a + b )3 ⇒ ab lập phương a+b số phương Đặt ab = t3 ( t ∈N ) , a + b = l ( l ∈N ) Vì 10 ≤ ab ≤ 99 ⇒ ab = 27 ab = 64 • Nếu ab = 27 ⇒ a + b = số phương • Nếu ab = 64 ⇒ a + b = 10 không số phương ⇒ loại Vậy số cần tìm ab = 27 Bài 9: Tìm số lẻ liên tiếp mà tổng bình phương số có chữ số giống Gọi số lẻ liên tiếp 2n-1, 2n+1, 2n+3 ( n ∈N) Ta có A= ( 2n-1 )2 + ( 2n+1)2 + ( 2n+3 )2 = 12n2 + 12n + 11 Theo đề ta đặt 12n2 + 12n + 11 = aaaa = 1111.a với a lẻ ≤ a ≤ ⇒ 12n( n + ) = 11(101a – ) ⇒ 101a –  ⇒ 2a –  Vì ≤ a ≤ nên ≤ 2a-1 ≤ 17 2a-1 lẻ nên 2a – ∈{ 3; 9; 15 } ⇒ a ∈{ 2; 5; } Vì a lẻ ⇒ a = ⇒ n = 21 số càn tìm 41; 43; 45 Bài 10: Tìm số có chữ số cho tích số với tổng chữ số tổng lập phương chữ số số ab (a + b ) = a3 + b3 ⇔ 10a + b = a2 – ab + b2 = ( a + b )2 – 3ab ⇔ 3a( + b ) = ( a + b ) ( a + b – ) a + b a + b – nguyên tố a + b = 3a a + b – = 3a a +b–1=3+b a+b=3+b http://NgocHung.name.vn ⇒ a=4,b=8 Vậy ab = 48 ab = 37 a=3,b=7 ….………………… Hết ………………………… http://NgocHung.name.vn