DE THI VAO 10 LOP CHON THPT SAM SON 2015 2016

Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N.. Tính SABCD theo m và n Câu 5: 1,0 điểm : Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a và một điểm M chuyển động trên cung n

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA Đề thi kiểm tra chất lượng vào lớp 10

Trường THPT Sầm Sơn Năm học 2015 - 2016

Môn Toán

Câu 1: (2,0 điểm) Cho biểu thức P = x 2 1 x 1



a) Rút gọn P với x > 0 và x  1

b) Tìm x để P = 2 x + 5

Câu 2 : ( 2,0 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P) y = 1

2 x

2

và đường thẳng (d) : y = mx + 2

a) Tìm giá trị của m để (d) đi qua A thuộc (P), biết hoành độ của A là xA = 4

b) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt với mọi m Gọi x1, x2 là hoành độ giao điểm, tìm m để x13 + x23 = 32

Câu 3 : ( 2,0 điểm)

a) Giải hệ phương trình :

12

19









  



b) Giải phương trình : 2 4x 2 5x 3

x x 3 x 5x 3  2

Câu 4 : (2,0 điểm ) Cho hình thang ABCD ( AB // CD ), giao điểm hai đường chéo là O

Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N

a) Chứng minh : MO

CD +

MO

AB =1 và

MN

CD +

MN

AB = 2 b) Biết SAOB = m2 ; SCOD = n2 Tính SABCD theo m và n

Câu 5: ( 1,0 điểm ) : Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a và một điểm M chuyển động

trên cung nhỏ AB của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh MA + MB = MC

Và tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P = MA + MB + MC theo a

Câu 6 : (1,0 điểm ) Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3 Chứng minh và

tìm dấu bằng xảy ra : P=

a bc b ca  c ab 2

   HẾT   

GỢI Ý LÀM BÀI (ĐỀ THI MÔN TOÁN VÒNG 2, LỚP CHỌN TRƯỜNG THPT SẦM SƠN, TH 2016)



HD

a) Với x > 0 và x  1, ta có:



=2 x 2 x 1 2( x 1)



 b) Tìm x để P = 2 x + 5

Ta có: P = 2 x + 5  2( x 1)

2 x 5 x



   2( x +1)=2x+5 x  2x+3 x2=0

Đặt t= x (đk: t > 0), ta được: 2t2+3t2=0 

1

2









 



Với t =1

2  x=

1

4 (t/m)

Vậy x =1

4

Câu 2 : ( 2,0 điểm )trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P) y = 1

2 x

2

và đường thẳng (d) : y = mx + 2

a) Tìm giá trị của m để (d) đi qua A thuộc (P), biết hoành độ của A là xA = 4

b) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt với mọi m Gọi x1, x2 là hoành độ giao điểm, tìm m để x1

3 + x2 3 = 32

HD

a) Do A  (P) và xA=4  yA=8  A(4; 8) Thay x=4; y=8 vào phương trình đường thẳng (d) được: 8=4m+2  m=3

2

Vậy m=3

2 là giá trị cần tìm

b) Phương trình hoành độ giao điểm là: 1

2 x

2

=mx+2  x22mx4=0 (*)

Ta có: ’=m2+4 > 0,  m nên pt (*) luôn có hai nghiệm phân biệt x1; x2 với mọi m hay (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m

Ta có: x31 x32 32(x1 x )2 3 3x x (x1 2 1 x ) 322  (**)

Áp dụng hệ thức Viét, có: 1 2

1 2





 



Thay vào (**), được:

8m3+24m32=0  m3+3m4=0  (m1)(m2+m+4)=0



2

m 1





 m=1

Vậy m=1 thỏa mãn bài toán

Câu 3

HD

a) Giải hệ phương trình :

12

19









  



Đk: x, y  0

Đặt 1 1

x  y  , ta được:

1

y





(t/m)

Vậy (x; y) = (1

3;

1

2)

x x 3 x 5x 3  2

Đkxđ: x2 5x 3  0

Đặt t=x+3

x ta được

t 1 t 5  2  8(t5)+10(t+1)=3(t+1)(t5)

 18t30=3t2+12t+15=0  3t2+6t45=0  t2+2t15=0  (t+5(t3)=0

 t 5

t 3

  







+) Với t =5 x2+5x+3=0  5 13

x

2

 

+) Với t=3 x23x+3=0 (vô nghiệm)

x

2

 



Câu 4 : (2,0 điểm ) Cho hình thang ABCD ( AB // CD ), giao điểm hai đường chéo là O Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N

a) Chứng minh : MO

CD +

MO

AB =1 và

MN

CD +

MN

AB = 2 b) Biết SAOB = m2 ; SCOD = n2 Tính SABCD theo m và n

Gợi ý

a) Do MO // CD và MO // AB nên có:

C

D

H

K

MO AO MO CO

;

MO

CD +

MO

AB =1 (1) Tương tự: NO NO

1

Từ (1) và (2)  MN

CD +

MN

AB = 2 (đpcm) b) Do OAB  OCD  OAB

OCD

S





Kẻ đường thẳng đi qua O, vuông góc với AB, cắt AB và CD tại H và K

Do  OAB  OCD nên OH AB m



2 OAB

ABCD

ABCD

OH.AB



Câu 5: (1,0 điểm ) : Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a và một điểm M chuyển động trên cung nhỏ AB của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh MA + MB = MC

Và tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P = MA + MB + MC theo a

Gợi ý

Trên tia MC lấy điểm N sao cho MA=MN Ta có:

M1=B1=600

  AMN đều  A23=600.Mà A13=600  A2=A1

  AMB=NAC (cgc)  BM=CN

 MA+MB=MC

Ta lại có: P=MA+MB+MC=2MC  P lớn nhất  MC lớn nhất

 MC là đường kính của đường tròn

Khi đó: do MC đi qua tâm O của đường tròn ngoại tiếp  ABC

nên CM là đường phân giác ACB

 C2=300 và MAC=900 Xét AMC vuông tại A có: MC= a 0 2a 3

 Pmax=2a 3

3 xảy ra khi MC là đường kính

Câu 6 : (1,0 điểm ) Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3 Chứng minh và tìm dấu bằng xảy ra : P=

a bc b ca  c ab 2

Gợi ý Áp dụng BĐT thức Côsi, ta có:

3



3

a bc  4  4 2



(a b c) (bc ca ab)

a bc  b ca c ab  4   4   2

Vì bc+ca+ab 

2 (a b c)

3 3

 

 (do a+b+c=3) nên

P  15 3 3 3

4 42 2 Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1

2 1

1

3

A

M

B

C

N

1

2

2

1 2

Cách 2 Ta có: 3=a+b+c  33 abc  abc  1  bc  1

a



2

1

a a



Mà



Tương tự, ta có: P  3 2 2 2 3

Vì 3(a2+b2+c2)  (a+b+c)2 =9  a2+b2+c2  3

 P  3

2 Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1

Cách 3 Sử dụng Côsi ngược do mẫu số ở dạng tổng

Tương tự, ta có: P  a2+b2+c2 abc

(a b c)

Vì a b c 3    abc  1 và a2+b2+c2  3

 P  33

2  P 

3

2 Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1