Tài liệu lý thuyết đồ thị

Lý thuyết đồ thị Biên tập bởi: Khoa CNTT ĐHSP KT Hưng Yên Lý thuyết đồ thị Biên tập bởi: Khoa CNTT ĐHSP KT Hưng Yên Các tác giả: Khoa CNTT ĐHSP KT Hưng Yên Phiên trực tuyến: http://voer.edu.vn/c/cad51e6d MỤC LỤC Mở đầu Bài 1: Các khái niệm Lý thuyết đồ thị Bài 2: Các khái niệm lý thuyết đồ thị Đồ thị Euler 3.1 Các khái niệm Lý thuyết đồ thị Đồ thị Euler (phan 1) 3.2 Các khái niệm Lý thuyết đồ thị Đồ thị Euler (phan 2) Bài 3: Đồ thị hamilton Bài 4: Cây khung đồ thị Bài 5: Bài toán khung nhỏ Bài 6: Bài toán tìm đường ngắn 7.1 Bài toán tìm đường ngắn 7.2 Bài toán tìm đường ngắn ( Tiếp ) Bài 7: Bài toán luồng cực đại mạng Bài 8: Một số ứng dụng đồ thị 9.1 Một số ứng dụng đồ thị(phần 1) 9.2 Một số ứng dụng đồ thị(phần 2) 10 Tài liệu tham khảo Tham gia đóng góp 1/111 Mở đầu Lý thuyết đồ thị lĩnh vực có từ lâu có nhiều ứng dụng đại Những tư tưởng lý thuyết đồ thị đề xuất vào năm đầu kỷ 18 nhà toán học lỗi lạc người Thụy Sỹ Lenhard Eurler Chính ông người sử dụng đồ thị để giải toán tiếng cầu thành phố Konigsberg Đồ thị sử dụng để giải toán nhiều lĩnh vực khác Chẳng hạn, đồ thị sử dụng để xác định mạch vòng vấn đề giải tích mạch điện Chúng ta phân biệt hợp chất hóa học hữu khác với công thức phân tử khác cấu trúc phân tử nhờ đồ thị Chúng ta xác định hai máy tính mạng trao đổi thông tin với hay không nhờ mô hình đồ thị mạng máy tính Đồ thị có trọng số cạnh sử dụng để giải toán như: Tìm đường ngắn hai thành phố mạng giao thông Chúng ta sử dụng đồ thị để giải toán lập lịch, thời khóa biểu, phân bố tần số cho trạm phát truyền hình 2/111 Bài 1: Các khái niệm Lý thuyết đồ thị Các khái niệm Lý thuyết đồ thị Định nghĩa đồ thị Đồ thị cấu trúc rời rạc bao gồm đỉnh cạnh nối đỉnh Chúng ta phân biệt loại đồ thị khác kiểu số lượng cạnh nối hai đỉnh đồ thị Để hình dung lại cần đến loại đồ thị khác nhau, nêu ví dụ sử dụng chúng để mô tả mạng máy tính Giả sử ta có mạng gồm máy tính kênh điện thoại (gọi tắt kênh thoại) nối máy tính Chúng ta biểu diễn vị trí đặt náy tính điểm kênh thoại nối chúng đoạn nối, xem hình Hình 1Sơ đồ mạng máy tính Nhận thấy mạng hình 1, hai máy có nhiều kênh thoại nối chúng, kênh thoại naỳ cho phép liên lạc hai chiều máy tính lại nối với Sơ đồ mạng máy cho hình gọi đơn đồ thị vô hướng Ta đến định nghĩa sau Định nghĩa Đơn đồ thị vô hướng G = (V,E) bao gồm V tập đỉnh, E tập cặp thứ tự gồm hai phần tử khác V gọi cạnh 3/111 Trong trường hợp hai máy tính thường xuyên phải truyền tải nhiều thông tin người ta phải nối hai máy nàu nhiều kênh thoại Mạng với đa kênh thoại máy cho hình Hình Sơ đồ mạng máy tính với đa kênh thoại Định nghĩa Đa đồ thị vô hướng G= (V, E) bao gồm V tập đỉnh, E tập cặp thứ tự gồm hai phần tử khác V gọi cạnh Hai cạnh e e gọi cạnh lặp chúng tương ứng với cặp đỉnh Hình Sơ đồ mạng máy tính với kênh thoại thông báo Rõ ràng đơn đồ thị đa đồ thị, đa đồ thị đơn đồ thị, đa đồ thị có hai (hoặc nhiều hơn) cạnh nối cặp đỉnh Trong mạng máy tính có kênh thoại nối náy với (chẳng hạn vời mục đính thông báo) Mạng cho hình Khi đa đồ thị mô tả mạng vậy, có khuyên (cạnh nối đỉnh 4/111 với nó) Trong trường hợp nàychúng ta cần sử dụng đến khái niệm giả đồ thị vô hướng, định nghĩa sau: Định nghĩa Giả đồ thị vô hướng G = (V, E) bao gồm V tập đỉnh E tập cặp thứ tự gồm hai phần tử (không thiết phải khác nhau) V gọi cạnh Cạnh e gọi khuyên có dạng e = (u, u) Hình Mạng máy tính với kênh thoại chiều Các kênh thoại mạng máy tính cho phép truyền tin theo chiều Chẳng hạn, hình máy chủ Hà Nội nhận tin từ máy địa phương, có số máy gửi tin đi, kênh thoại cho phép truyền tin theo hai chiều thay hai cạnh có hướng ngược chiều Ta đến định nghĩa sau Định nghĩa Đơn đồ thị có hướng G = (V, E) bao gồm V tập đỉnh E tập cặp có thứ tự gồm hai phần tử khác V gọi cung Nếu mạng có đa kênh thoại chiều, ta phải sử dụng đến khái niệm đa đồ thị có hướng: Định nghĩa Đa đồ thị có hướng G = (V, E) bao gồm V tập đỉnh E tập cặp có thứ tự gồm hai phần tử khác V gọi cung Hai cung e , e tương ứng với cặp đỉnh gọi cung lặp 5/111 Trong phần chủ yếu làm việc v?i đơn đồ thị vô hướng đơn đồ thị có hướng Vì vậy, ngắn gọn, ta bỏ qua tính từ đơn nhắc đến chúng Đường chu trình Đồ thị liên thông Định nghĩa Đường độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v, n số nguyên dương, đồ thị vô hướng G = (V, E) dãy x , x ,…, x n-1 , x n u = x , v = x n , (x i , x i+1 ) ∈ E, i = 0, 1, 2,…, n-1 Đường nói biểu diễn dạng dãy cạnh: (x , x ), (x , x ), …, (x n-1 , x n ) Đỉnh u gọi đỉnh đầu, đỉnh v gọi đỉnh cuối đường Đường có đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối (tức u = v) gọi chu trình Đường hay chu trình gọi đơn cạnh bị lặp lại Ví dụ Trên đồ thị vô hướng cho hình 5: a, d, c, f, e đường đơn độ dài Còn d, e, c, a không đường đi, (c,e) cạnh đồ thị Dãy b, c, f, e, b chu trình độ dài Đường a, b, e, d, a, b có độ dài là đường đơn, cạnh (a, b) có mặt lần Hình Đường đồ thị Khái niệm đường chu trình đồ thị có hướng định nghĩa hoàn toàn tương tự trường hợp đồ thị vô hướng, khác ta có ý đến hướng cung Định nghĩa Đường độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v, đó, n số nguyên dương, đồ thị có hướng G = (V, A) dãy x , x ,…, x n-1 , x n 6/111 u = x , v = x n , (xi, x i+1 ) ∈ E, i = 0, 1, 2,…, n-1 Đường nói biểu diễn dạng dãy cung: (x , x ), (x , x ), …, (x n-1 , x n ) Đỉnh u gọi đỉnh đầu, đỉnh v gọi đỉnh cuối đường Đường có đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối (tức u = v) gọi chu trình Đường hay chu trình gọi đơn cạnh bị lặp lại Ví dụ Trên đồ thị có hướng cho hình 1.6: a, d, c, f, e đường đơn độ dài Còn d, e, c, a không đường đi, (c,e) cạnh đồ thị Dãy b, c, f, e, b chu trình độ dài Đường a, b, e, d, a, b có độ dài là đường đơn, cạnh (a, b) có mặt lần Xét mạng máy tính Một câu hỏi đặt hai máy tính mạng trao đổi thông tin với trực tiếp qua kênh nối chúng thông qua vài máy tính trung gian mạng? Nếu sử dụng đồ thị để biểu diễn mạng máy tính (trong đỉnh đồ thị tương ứng với máy tính, cạnh tương ứng với kênh nối) câu hỏi phát biểu ngôn ngữ đồ thị sau: Tồn hay không đường cặp đỉnh đồ thị Định nghĩa Đồ thị vô hướng G = (V, E) gọi liên thông tìm đường hai đỉnh Như hai máy tính mạng trao đổi thông tin với đồ thị tương ứng với mạng đồ thị liên thông Ví dụ Trong hình 6: Đồ thị G liên thông, đồ thị H không liên thông Hình Đồ thị G H 7/111 Định nghĩa Ta gọi đồ thị đồ thị G = (V, E) đồ thị H = (W, F), W ⊆ V F ⊆ E Trong trường hợp đồ thị không liên thông, rã thành số đồ thị liên thông đôi đỉnh chung Những đồ thị liên thông ta gọi thành phần liên thông đồ thị Ví dụ Đồ thị H hình gồm thành phần liên thông H1, H2, H3 Trong mạng máy tính có máy (Những kênh nối) mà hỏng hóc ảnh hưởng đến việc trao đổi thông tin mạng Các khái niệm tương ứng với tình đưa định nghĩa sau Định nghĩa 10 Đỉnh v gọi đỉnh rẽ nhánh việc loại bỏ v với cạnh liên thuộc với khỏi đồ thị làm tăng số thành phần liên thông đồ thị Cạnh e gọi cầu việc loại bỏ khỏi đồ thị làm tăng số thành phần liên thông đồ thị Ví dụ Trong đồ thị G hình2, đỉnh d e đỉnh rẽ nhánh, cạnh (d, g) (e, f) cầu Đối với đồ thị có hướng có hai khái niệm liên thông phụ thuộc vào việc ta có xét đến hướng cung hay không Định nghĩa 11 Đồ thị có hướng G = (V, A) gọi liên thông mạnh tìm đường hai đỉnh Định nghĩa 12 Đồ thị có hướng G = (V, A) gọi liên thông yếu đồ thị vô hướng tương ứng với vô hướng liên thông Rõ ràng đồ thị liên thông mạnh liên thông yếu, điều ngược lại không đúng, ví dụn Ví dụ Trong hình đồ thị G liên thông mạnh, H liên thông yếu không liên thông mạnh 8/111 Xét véc tơ Pi(Pi1, Pi2, Pin) Pi= l djhướng tới đỉnh wivà Pi = ngược lại Véc tơ Pichính dòng i ma trận liên kết cung nút A mà tất phần tử -l thay Như vậy, điều kiện ràng buộc khả lưu thoát nút mạng là: Trong đó: hi: Khả Lưu thoát nút mạng W r: Số đôi nút mạng mạng có trao đổi bưu gửi Tiêu chí tối ưu toán vận chuyển bưu gửi sau: Giả sử C (C1,C2, Cn) Véctơ chi phí vận chuyển Cj cước vận chuyển l đơn vị sản phẩm qua cung dj(chiều dài cung dj) Khi chi phí vận chuyển là: Z = CX1 + + CXq+ + CXr = C(X1 + + Xq+ + Xr) → Vậy mô hình vận chuyển tối ưu là: Trong trường hợp điều kiện hạn chế khả lưu thoát nút mạng, toán định tuyến mạng bưu đơn giản toán tìm đường ngắn 97/111 đôi nút mạng Bài toán tìm đường ngắn giải thuật toán dán nhãn Dijkstra Mô hình mạng đường thư thành phố Mạng đường thư thành phố đồ thị đỉnh bưu cục Hai đỉnh đồ thị nối kết với cung liên kết chúng có tuyến đường Trong thành phố bưu cục có đường thư, nên đồ thị kết nối theo kiểu điểm nối điểm Đồ thị mạng đường thư thành phố đồ thị có hướng khoảng cách i tới j j tới i không trùng (đường chiều) Giá trị cung biểu diễn khoảng cách thời gian vận chuyển nút mạng chi phí vận chuyển nút mạng Ta có chi phí vận chuyển nút mạng là: cịj = krij rij : Khoảng cách nút i nút j (cần xác định theo khoảng cách thực tế phải lựa chọn rij đường ngắn nhất, tức phải thoả mãn điều kiện rij ≤ rik + rkj cạnh tam giác nhỏ tổng cạnh lại) k: Chi phí vận chuyển l km ô tô Thời gian vận chuyển cung ij Vij : Vận tốc vận chuyển ô tô từ nút i tới nút j t0j : Thời gian trao đổi nút mạng j Khi tổ chức mạng đường thư sử dụng phương thức đường thẳng, đường vòng hỗn hợp Mạng đường vòng có ưu điểm sử dụng phương tiện vận chuyển hiệu Do thành phố thường sử dụng đường vòng tính kinh tế Bài toán Bài toán tổ chức mạng đường thư thành phố xác định hành trình ô tô phải qua nút mạng nào, theo trình tự để đảm bảo chi phí vận chuyển toàn mạng nhỏ (hoặc tổng quãng đường hay tổng thời gian vận chuyển nhỏ nhất) đồng 98/111 thời thoả mãn ràng buộc thời gian vận chuyển ô tô dung lượng vận chuyển ô tô Trong hệ thống khai thác tập trung tồn Bưu điện trung tâm Nếu chia nút mạng làm hai loại nguồn đích, nút mạng trung tâm nguồn, nút mạng lại đích ngược lại Trong mô hình vận chuyển bưu gửi thành phố, đỉnh đồ thị đặc trưng số lượng bưu gửi mà cần nhận từ qi ngược lại cần gửi ri Trong đó: 0: nút nguồn i = l ÷ N : đích Trong hệ thống khai thác phân tán đồ thị chia thành đồ thị con, đồ thị có nút mạng nguồn việc giải toán thực tế giải toán Nếu mạng vận chuyển thành phố chủ yếu ô tô, ta giả sử: M: số ô tô toàn mạng Qj - dung lượng j ô tô, phụ thuộc vào loại ô tô T - thời gian vận chuyển tối đa cho phép đường thư T xác định dựa định mức (T = giờ) Qj = (Pj / b, Vj / d) Trong Pj : tải trọng ô tô; Vj : thể tích vận chuyển ô tô; b: Khối lượng trung bình túi thư; d: thể tích trung bình túi thư 99/111 Mô hình toán học Giả sử gọi xijk ẩn cần tìm, xijk = tuyên vòng k, đỉnh j tới sau đỉnh i, Xijk = trường hợp ngược lại, mô hình toán học toán mạng đường thư thành phố là: Biến Xijk cần thoả mãn ràng buộc sau: j=0÷N (1) k = ÷ M, p = ÷ N (2) k=1÷M (3) k=1÷M (4) Trong t0i : thời gian trao đổi nút mạng i (l): Do đỉnh đồ thị thuộc tuyến đường vòng; (2): Đối với đỉnh, số lượng cung vào phải đỉnh; (3): Ràng buộc dung lượng ô tô; (4): Ràng buộc thời hạn vận chuyển ô tô Đây toán tổng quát mạng vận chuyển thư thành phố Bài toán tìm hành trình bưu tá qua n điểm trường hợp riêng có tuyến đường vòng qua n điểm (M=1), toán cần xác định M tuyến đường cho M ô tô cần thoả mãn hạn chế (ràng buộc) tiêu thời gian dung lượng vận chuyển ô tô 100/111 Một số ứng dụng đồ thị(phần 2) Một số ứng dụng đồ thị Bài tập Bài tập :Cho G=(V,E) đồ thị có hướng cung (s,t) Chứng minh số đường nối hai đỉnh s t số đỉnh đồ thị cần loại bỏ để đồ thị không đường nối s với t Bài tập :Xây dựng thuật toán tìm tập E1 tất cung đồ thị mà việc tăng khả thông qua cung E dẫn đến tăng giá trị luồng cực đại mạng Bài tập :Cho hai dãy số nguyên dương {pi, i=1,2,…,m} {qj, j=1,2,…,n} Hãy xây dựng ma trận A={aij : i=1,2,…,m; j=1,2,…n} với phần tửai j ∈ {0,1} có tổng phần tử dòng i pi , tổng phần tử cột j qj Bài tập :Có m chàng trai, n cô gái k bà mối, bà mối p (p=1,2,…,k) có danh sách Lp số chàng trai cô gái số chàng trai cô gái nói khách hàng bà ta Bà mối p se duyên cho cặp trai gái khách hàng bà ta, không đủ sức tổ chức dp đám cưới Hãy xây dựng thuật toán vào danh sách Lp, dp, p=1,2,…,k; đưa cách tổ chức nhiều đám cưới m chàng trai n cô gái với giúp đỡ bà mối Bài tập : Chuyển bi Cậu bé vẽ N (N[...]... 2: Các khái niệm cơ bản của lý thuyết đồ thị Đồ thị Euler Các khái niệm cơ bản của Lý thuyết đồ thị Đồ thị Euler (phan 1) Các khái niệm cơ bản của Lý thuyết đồ thị. Đồ thị Euler Các loại đồ thị đặc biệt Trong mục này ta xét một số đơn đồ thị vô hướng dạng đặc biệt xuất hiện trong nhiều vấn đề ứng dụng thực tế Đồ thị đầy đủ Đồ thị đầy đủ n đỉnh, ký hiệu bởi Kn, là đơn đồ thị vô hướngmà giữa hai đỉnh... luôn có cạnh nối Các đồ thị K3, K4, K5 cho trong hình dưới đây Hình 1 Đồ thị đầy đủ Đồ thị đầy đủ Kn có tất cả n(n-1)/2 cạnh, nó là đơn đồ thị có nhiều cạnh nhất Đồ thị vòng Đồ thị vòng Cn, n≥3 gồm n đỉnh v1, v2, .vn và các cạnh (v1,v2), (v2,v3) (vn-1,vn), (vn,v1) 13/111 Đồ thị vòng C3, C4, C5, C6 cho trong hình 2 Hình 2 Đồ thị vòng C 3 , C 4 , C 5 , C 6 Đồ thị bánh xe Đồ thị Wn thu được từ Cn... thị Đồ thị Euler (phan 2) Các khái niệm cơ bản của Lý thuyết đồ thị Đồ thị Euler Đồ thị eule Định nghĩa Chu trình đơn trong đồ thị G đi qua mỗi cạnh của nó một lần được gọi là chu trình Euler Đường đi đơn trong G đi qua mỗi cạnh của nó một lần được gọi là đường đi Euler Đồ thị được gọi là đồ thị Euler nếu nó có chu trình Euler, và gọi là đồ thị nửa Euler nếu nó có đường đi Euler Rõ ràng mọi đồ thị. .. của đồ thị được định hướng Khi đó ta thu được đồ thị có hướng liên thông mạnh Đồ thị vô hướng liên thông Trong mục này chúng ta sẽ trình bày một số thuật ngữ cơ bản của lý thuyết đồ thị Trước tiên, ta xét các thuật ngữ mô tả các đỉnh và cạnh của đồ thị vô hướng Định nghĩa 13 9/111 Hai đỉnh u và v của đồ thị vô hướng G được gọi là kề nhau nếu (u,v) là cạnh của đồ thị G Nếu e = (u, v) là cạnh của đồ thị. .. : Đồ thị hai phía Đồ thị phẳng Đồ thị được gọi là đồ thị phẳng nếu ta có thể vẽ nó trên mặt phẳng sao cho các cạnh của nó không cắt nhau ngoài ở đỉnh Cách vẽ như vậy sẽ được gọi là biểu diễn phẳng của đồ thị Ví dụ đồ thị K4 là phẳng, vì có thể vẽ nó trên mặt phẳng sao cho các cạnh của nó không cắt nhau ngoài ở đỉnh (xem hình 6) 15/111 Hình 6: Đồ thị K 4 là đồ thị phẳng Một điều đáng lưu ý nếu đồ thị. ..Hình 8 Đồ thị liên thông mạnh G và đồ thị liên thông yếu H Một câu hỏi đặt ra là khi nào có thể định hướng các cạnh của một đồ thị vô hướng liên thông để có thể thu được đồ thị có hướng liên thông mạnh? Ta sẽ gọi đồ thị như vậy là đồ thị định hướng được Định lý dưới đây cho ta tiêu chuẩn nhận biết một đồ thị có là định hướng được hay không Định lý 1 Đồ thị vô hướng liên thông là... dụ Ví dụ 6 Đồ thị G1 trong hình 1 là đồ thị Euler vì nó có chu trình Euler a, e, c, d, e, b, a Đồ thị G3 không có chu trình Euler nhưng nó có đường đi Euler a, c, d, e, b, d, a, b, vì thế G3 là đồ thị cửa Euler Đồ thị G2 không có chu trình cũng như đường đi Euler Hình 1 : Đồ thị G 1 , G 2 , G 3 Ví dụ 7 : Đồ thị H2 trong hình 1 là đồ thị Euler vì nó có chu trình Euler a, b, c, d, e, a Đồ thị H3 không... đồ thị nửa Euler Đồ thị H1 không có chu trình cũng như đường đi Euler 25/111 Hình 1: Đồ thị H 1 , H 2 , H 3 Điều kiện cần và đủ để một đồ thị là một đồ thị Euler được Euler tìm ra vào năm 1736 khi ông giải quyết bài toán hóc búa nổi tiếng thế giới thời đó về bảy cái cầu ở thành phố Konigsberg và đây là định lý đầu tiên của lý thuyết đồ thị Định lý Euler và thuật toán Flor Định lý 4 (Euler) Đồ thị. .. xem một đồ thị có phải là đồ thị phẳng có thể sử dụng định lý Kuratovski, mà để phát biểu nó ta cần một số khái niệm sau: Ta gọi một phép chia cạnh (u,v) của đồ thị là việc loại bỏ cạnh này khỏi đồ thị và thêm vào đồ thị một đỉnh mới w cùng với hai cạnh (u,w), (w, u) Hai đồ thị G(V,E) và H=(W,F) được gọi là đồng cấu nếu chúng có thể thu được từ cùng một đồ thị nào đó nhờ phép chia cạnh Định lý 2 (Kuratovski)... a[i,j] nếu (i,j) là cạnh của đồ thị, chúng ta sẽ ghi k là số cạnh nối hai đỉnh i, j Trong rất nhiều vấn đề ứng dụng của lý thuyết đồ thị, mỗi cạnh e=(u,v) của đồ thị được gán với một con số c(e) (còn viết là c(u,v) gọi là trọng số của cạnh e Đồ thị trong trường hợp như vậy được gọi là đồ thị có trọng số Trong trường hợp đồ thị có trọng số, thay vì mà trận kề, để biểu diễn đồ thị ta sử dụng ma trận trọng