Hướng dẫn học sinh tính thể tích khối đa diện

A T VN I.Lớ chn ti Trong chng trỡnh giỏo dc ph thụng thỡ mụn toỏn c nhiu hc sinh yờu thớch v say mờ, nhng núi n mụn hỡnh hc thỡ li mang nhiu khú khn v tr ngi cho khụng ớt hc sinh, thm trớ ta cú th dựng t s hc c bit l hỡnh hc khụng gian tng hp Mt nhng ni dung quan trng ca hỡnh hc khụng gian tng hp ú l tớnh th tớch a din õy l mt ni dung khú vỡ liờn quan n nhiu kin thc chng trỡnh hỡnh hc lp 11 v yờu cu hc sinh phi t linh hot, kh nng phõn tớch tng hp v tng tng Nhng l phn rt quan trng cú cu trỳc thi tt nghip, cao ng, i hc v thng xuyờn xut hin cỏc thi tuyn chn hc sinh gii v cú kh nng phỏt trin t cho sinh Qua thc t mt s nm ging dy 12 Trng THPT Lờ Vn Linh, tụi thy hc sinh hc phn ny thng rt lỳng tỳng khụng nh hng c cỏch tớnh th tớch v hay mc phi s sai lm Nguyờn nhõn l cỏc em khụng nm vng lớ thuyt, vic luyn cũn ớt L mt giỏo viờn dy toỏn, bn thõn tụi luụn t cõu hi? dy nh th no hc sinh d tip thu, nm chc kin thc, dng tt vo gii toỏn, v phự hp vi nhiu i tng ú l m tụi luụn trn tr v tỡm tũi quỏ trỡnh ging dy v mong mun c trao i vi cỏc thy cụ giỏo ng nghip Nhm giỳp hc sinh vt qua khú khn, tr ngi ú v ngy cng yờu thớch mụn toỏn hn tụi mnh dn chn ti Hng dn hc sinh tớnh th tớch a din II Mc ớch ca ti * Nhm giỳp cỏc em hc sinh cú c phng phỏp phự hp gii bi toỏn tớnh th tớch a din, trỏnh nhng sai sút ph bin hc phn ny * Gúp phn i mi phng phỏp ging dy ly hc sinh lm trung tõm, phỏt huy tớnh ch ng, tớch cc, sỏng to ca hc sinh * Giỳp cỏc em cú nim am mờ hc toỏn, bi dng kh nng t hc , t suy lun, phỏt trin t tng tng, phỏt huy tớnh sỏng to, nhm phỏt trin t toỏn hc cho hc sinh * L ti liu cho cho hc sinh v cỏc ng nghip tham kho III Nhim v ca ti * a h thng lớ thuyt v cỏc cụng thc cú liờn quan n bi toỏn tớnh th tớch a din * Cỏc phng phỏp tớnh th tớch a din * Mt s sai lm m hc sinh thng mc phi * a mt s bi tham kho IV i tng nghiờn cu i tng nghiờn cu: Hc sinh lp 12A, 12B Nm hc 2012 - 2013 ca Trng THPT Lờ Vn Linh V Phng phỏp nghiờn cu: - Qua nghiờn cu ti liu: c k sỏch giỏo khoa, sỏch tham kho cú liờn quan - Qua kinh nghim ging dy ti trng THPT Lờ Vn Linh - iu tra tỡnh hỡnh hc sinh lm bi - Dựng phng phỏp kim nghim hc sinh thụng qua vic kim tra - Qua trao i v hc hi cỏc thy cụ giỏo trng v ng nghip B GII QUYT VN I.C s lớ lun: Khỏi nim a din: Khi a din l phn khụng gian c gii hn bi mt hỡnh a din, k c hỡnh a din ú Khỏi nim v th tớch a din: Th tớch a din (H) l mt s thc dng, kớ hiu V(H) v tha cỏc tớnh cht sau: +) Nu (H) l lp phng cú cnh bng thỡ V(H) = +) Nu hai a din (H1) v (H2) bng thỡ V( H1 ) = V( H ) +) Nu a din (H) c phõn chia thnh hai a din (H1) v (H2) thỡ V(H) = V( H1 ) + V( H ) * Chỳ ý: Khi lp phng cú cnh bng c gi l lp phng n v Cỏc cụng thc tớnh th tớch a din: 3.1 Th tớch lng tr: Th tớch lng tr cú din tớch ỏy B v chiu cao h l: V = Bh * Chỳ ý:1, Trong trng hp c bit nu a din l hp ch nht hoc lp phng thỡ: +) Th tớch hp ch nht cú ba kớch thc a, b, c l: V = abc +) Th tớch lp phng cú cnh bng a la: V= a3 2, B: Din tớch ỏy, h: chiu cao( l khong cỏch gia hai ỏy) 3.2 Th tớch chúp: Th tớch chúp cú din tớch ỏy B v chiu cao h l: V = Bh * Chỳ ý: B: din tớch ỏy, h: chiu cao( l khong cỏch t nh ti ỏy) Cỏc kin thc cú liờn quan 4.1 Gúc gia hai ng thng khụng gian a v b: L gúc gia hai ng thng a v b cựng i qua mt im v ln lt song sng vi a v b Chỳ ý: xỏc nh gúc gia hai ng thng a v b ta cú th ly im O thuc mt hai ng thng ú ri v mt ng thng song song vi ng thng cũn li 4.2 Gúc gia ng thng v mt phng: Gúc gia ng thng d v mt phng () l gúc gia d v hỡnh chiu d ca nú trờn () Chỳ ý: * Nu d vuụng gúc vi mp() thỡ ta núi rng gúc gia d v () bng 900 * Nu d khụng vuụng gúc vi () v ct () ti im O thỡ ta xỏc nh gúc gia d v () nh sau: +) Ta ly mt im A tựy ý trờn d khỏc vi im O +) Xỏc nh hỡnh chiu vuụng gúc ca A lờn () l im H +) Khi ú gúc gia d v () l v = AOH 4.3 Gúc gia hai mt phng: L gúc gia hai ng thng ln lt vuụng gúc vi hai mt phng ú Chỳ ý: Cỏch xỏc nh gúc gia hai mt phng ct () v () +) Xỏc nh giao tuyn c ca hai mt phng +) Chn im I trờn giao tuyn c , t im I ta dng () ng thng a v () ng thng b cựng vuụng gúc vi c +) Khi ú gúc gia hai mt phng l gúc gia hai ng thng a v b 4.4 Khong cỏch: +) Khong cỏch t mt im O n mt ng thng a l di on OH( H l hỡnh chiu vuụng gúc ca O lờn a) +) Khong cỏch t mt im O n mt mt phng () l di on OH ( ú H l hỡnh chiu vuụng gúc ca O lờn () Chỳ ý: Cỏch tỡm im H : Chn mp() cha O, vuụng gúc vi () v ct () theo giao tuyn d Trong () t O dng ng thng vuụng gúc vi d ti H Khi ú H l hỡnh chiu vuụng gúc ca O lờn () +) Khong cỏch gia ng thng a v mt phng () song song l khong cỏch t mt im bt kỡ ca a n mt phng () +) Khong cỏch gia hai mt phng song song l khong cỏch t mt im bt kỡ ca mt phng ny n mt phng +) Khong cỏch gia hai ng thng chộo a v b l di on MN ( M a, N b, MN a, MN b) Chỳ ý: Khong cỏch gia hai ng thng chộo bng khong cỏch gia mt hai ng thng ú n mt phng song song vi nú v cha ng thng cũn li, bng khong cỏch gia hai mt phng song song ln lt cha hai ng thng ú II.Thc trng ca : +) Cõu hỡnh hc khụng gian cú cỏc thi v thng l khú i vi hc sinh mc dự õy cha phi l cõu khú thi +) Hc sinh cú tõm lớ chung l ngi hc hỡnh, c bit l hỡnh hc khụng tng hp ú phi núi n phn tớnh th tớch a din +) i vi hc sinh Trng THPT Lờ Vn Linh thỡ cht lng u vo thp hn so vi mt s trng ca huyn Dn n nhiu khú khn cho giỏo viờn dy hc phn ny +) Thc t thi gian hc chớnh khúa dnh cho phn ny rt ớt, vi chng trỡnh chun hỡnh hc 12 ch phõn phi cú tit lớ thuyt v tit bi Sỏch giỏo khoa mi ch nờu cụng thc tớnh th tớch, nờu mt vớ d v a mt s bi +) Hc sinh khụng nm vng lớ thuyt, thi gian luyn ớt Chớnh vỡ th nờn gp bi toỏn tớnh th tớch a din a s hc sinh rt lỳng tỳng lm bi, cha phõn loi v nh hng c cỏch gii, hoc mc phi mt s sai lm Dn n kt qu thi kim tra lp trng, thi i hc rt thp III Gii phỏp v t chc thc hin Dng 1: Tớnh trc tip Tớnh ng cao v din tớch ỏy Sau ú ỏp dng cụng thc tớnh th tớch a din p dng cụng thc: +) Th tớch ca chúp c tớnh theo cụng thc : V = B.h ú : B l din tớch ỏy, h l chiu cao ca hỡnh chúp( tc l khong cỏch t nh ca hỡnh chúp ti mt phng ỏy) +) Th tớch ca lng tr l: V = B h ú : B l din tớch ỏy, h l chiu cao ca hỡnh lng tr ( l khong cỏch gia ỏy) Vic ỏp dng cụng thc thụng thng yờu cu: a) Xỏc nh ng cao ( cú th bi toỏn cho sn ng cao, hoc cú th phi dng, hoc cú phi k ng cao ph,) b)Tớnh di ng cao v din tớch mt ỏy * xỏc nh ng cao ta lu ý : Hỡnh chúp u cú chõn ng cao trựng vi tõm ca ỏy nờn chiều cao hình chóp khoảng cách từ đỉnh đến tâm đáy Hỡnh chúp cú cỏc cnh bờn bng thỡ chõn ng cao trựng vi tõm ng trũn ngoi tip mt ỏy Hỡnh chúp cú cnh bờn vuụng gúc vi ỏy thỡ chiu cao ca hỡnh chúp l di cnh bờn ú Hỡnh chúp cú cỏc mt bờn cựng to vi ỏy nhng gúc bng thỡ chõn ng cao chớnh l tõm ng trũn ni tip mt ỏy Hỡnh chúp cú mt mt bờn vuụng gúc vi ỏy thỡ chõn ng cao nm trờn giao tuyn ca mt phng ú v ỏy Hỡnh chúp cú hai mt bờn cựng vuụng gúc vi ỏy thỡ ng cao nm trờn giao tuyn ca hai mp ú Hỡnh lng tr : chiu cao l khong cỏch t nh ti mt ỏy cũn li nờn tng t nh hỡnh chúp * tớnh di ng cao ta thng ỏp dng: Cỏc h thc lng tam giỏc: nh lớ Cosin, Sin, c bit l cỏc h thc lng tam giỏc vuụng Da vo nh lớ Talets, * tớnh din tớch mt ỏy cn lu ý: ỏy l mt cỏc hỡnh sau thỡ din tớch c tớnh nh sau: +) ABC vuụng ti A thỡ S = AB AC = AH BC ( AH l ng cao) , +) ABC u cnh a thỡ S = , +) ABCD l hỡnh vuụng cnh a thỡ S = a2, +) ABCD l hỡnh ch nht cnh a, b thỡ S = a.b, +) ABCD l hỡnh thoi thỡ S = AC BD , Sau õy l mt s hỡnh v minh cho cỏc hỡnh c bit: Hỡnh chúp tam giỏc u S A C H Hỡnh chúp t giỏc u S B D C H A B S Hình chóp có mặt bên (SBC) vuông góc với mặt đáy B Hình chóp có hai mặt bên kề (SAC) (SAB) vuông góc với đáy SA đờng cao C H S A C A B Vớ d 1: Cho hỡnh chúp S.ABC, ỏy ABC l tam giỏc vuụng cú cnh huyn BC=2a , gúc Cỏc cnh bờn ca hỡnh chúp hp vi ỏy nhng gúc bng v bng Tớnh th tớchca chúp * Phõn tớch: Bi toỏn ny rt ngn gn, gi thit ca bi toỏn ớt , nhiờn gi thit th khú xỏc nh hn, ũi hi hc sinh phi cú k nng xỏc nh gúc gia ng thng v mt phng Yờu cu ca bi toỏn tớnh th tớch ca chúp tam giỏc: Hc sinh phi xỏc nh ng cao, tớnh din tớch tam giỏc ỏy, ỏp dng ỳng cụng thc Li gii: Trc ht gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca S xung mp(ABC), hỡnh chúp ó cho ã ã ã S = nờn t cú cỏc cnh bờn hp vi ỏy nhng gúc bng SAH = SBH = SCH ú suy rng HA=HB=HC, tc l chõn ng cao H phi trựng vi tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC Mt khỏc ABC l tam giỏc vuụng ti A, nờn H chớnh l trung im ca cnh huyn BC C H B A Da vo hỡnh v ny ta cú BC=2a, 1 SH = a.tan V = SH S ABC = (a tan ).(a sin ); 3 a tan sin Do ú: V = S *Nhn xột: bi ny hc sinh rt d mc phi sai lm sau : J K SH mp(ABC) ( hỡnh v), C ã ã ã ta cú: SAH = SBH = SCH = , nh vy nhỡn vo hỡnh v hc sinh khụng tớnh c SH, khụng nh H I K v c im H Hỡnh v trờn sai hc sinh khụng dng A ht cỏc iu ó cho gi thit ( cỏc cnh bờn to vi ỏy mt gúc bng v ỏy l tam giỏc vuụng ) Do ú nú khụng gi ý mt s liờn h no cú th giỳp chỳng ta thc hin c vic tớnh toỏn Chỳ ý: Nu cỏc cnh bờn to vi ỏy cỏc gúc bng thỡ chõn ng cao chớnh l tõm ng trũn ngoi tip a giỏc ỏy Vớ d 2: Cho hỡnh chúp S.ABCD, ỏy ABCD l hỡnh thoi vi cỏc ng chộo AC=4a, BD=2a, ng cao SO=h=2a ca hỡnh chúp cú chõn O l giao im ca AC v BD Mt phng qua A v vuụng gúc vi SC ct SB, SC, SD ln lt ti B', C', D' Khi ú hóy tớnh th tớch ca S AB'C'D' * Phõn tớch: Bi toỏn ny cỏc gi thit u xỏc nh c trờn hỡnh, nhiờn gi thit cui cựng ũi hi hc sinh phi xỏc nh cỏc im B, C, D cho ỳng, V hỡnh thỡ phi v ỏy l hỡnh bỡnh hnh, ly tõm O, t O dng ng vuụng gúc vi mt ỏy, trờn ng thng ú ly S, ni S vi cỏc nh õy l bi toỏn tớnh th tớch ca chúp t giỏc, v hỡnh xong thỡ cú th gi ý cho hc sinh nhiu cỏch tớnh nhiờn la chn cỏch no cho n gin nht Sau phõn tớch ta chn cỏch tớnh trc tip, xỏc nh h v B * Li gii : Do SC v ỏy l ABCD (ABCD) nờn ng cao ca hỡnh chúp S AB'C'D' l SC SAC cõn cú ng cao SO = 2a ca SC => SC = = => SAC u Vy C' l trung im = 2a B Tớnh din tớch ỏy : T giỏc ABCD cú AC nờn S = dt(AB'C'D')= BD AC '.B ' D ' AC' l ng cao tam giỏc u SAC cnh 4a nờn AC= 2a Gi K l giao im ca cỏc ng chộo, ta cú: S C' D' D K C B' O A B Mt khỏc K l trc tõm ca SAC nờn K l trng tõm ca tam giỏc SAC TA cú (ABCD) SC, BD SC => DB // BD SK 4a = BD = SO 3 4a Vy dt(AB'C'D')= AC '.B ' D ' = Do ú: B'D' =BD 8a 3 Vy th tớch ca chúp cn tớnh l: V = = *Nhn xột: bi ny hc sinh thng mc phi mt s sai lm sau: V hỡnh sai, thng l hc sinh ly im B, C, D tựy ý vỡ khụng nm chc gi thit ca bi toỏn VS ABCD SA SB SC SD = ' ' ' ' Th l hc sinh s s dng cụng thc : VS A'B'C 'D' SA SB SC SD Tớnh th tớch ca chúp S.ABCD , cỏc t s trờn , t ú hc sinh suy th tớch ca chúp S.ABCD Nhng sai lm trờn õy l thiu mt s hiu bit cn thit vic v mt s hỡnh quen thuc, v hc sinh khụng nm vng lớ thuyt Cụng thc trờn ch ỳng i vi chúp tam giỏc, ú hc sinh li ỏp dng i vi chúp t giỏc Bi ny hc sinh mun s dng cụng thc ny phi chia chúp thnh chúp tam giỏc Vớ d 3: ( thi i hc A - 2010) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh vuụng cnh a Gi M, N ln lt l trung im ca cỏc cnh AB, AD; H l giao im ca CN v MD Bit SH vuụng gúc vi mp(ABCD) v SH = Tớnh th tớch chúp S.CDMN * Phõn tớch: Ga thit v kt lun ca bi toỏn rt c th v d xỏc nh Ch lu ý hc sinh v hỡnh: v ỏy l hỡnh bỡnh hnh, ly M, N, xỏc nh giao im H, T H dng ng thng vuụng gúc vi ỏy trờn ú ly im S, ni S vi cỏc nh Yờu cu: õy l bi toỏn tớnh th tớch chúp t giỏc, cn xỏc nh chiu cao v ỏy S * Li gii: Do SH (ABCD) , suy SH l chiu cao ca hỡnh cúp S.CDMN SCDMN = SABCD SAMN SBCM = a2 - A M Vy V = N D H B C Vớ d 4: Cho lng tr tam giỏc u ABCA'B'C' cú cnh ỏy bng a, ng chộo BC' ca mt bờn (BCC'B') hp vi mt bờn (BAA'B') mt gúc Tớnh th tớch lng tr *Phõn tớch: Bi toỏn n gin, gi thit ớt, nhiờn xỏc nh gi thit th hc sinh phi cú k nng xỏc nh gúc gia ng v mt phng Yờu cu ca bi toỏn: õy l bi toỏn tớnh th tớch lng tr tam giỏc u, ỏy l tam giỏc u, chiu cao l di cnh A' C' bờn, t ú ta cú li gii sau I *Li gii : Xỏc nh c gúc gia ng thng BC v ((BAA'B') Theo nh ngha gúc gia ng thng v mt phng ta phi tỡm gúc gia ng thng vi hỡnh chiu ca nú trờn B' A C B mt phng v vic u tiờn l phi xỏc nh hỡnh chiu ca BC' trờn mt phng (BAA'B') xỏc nh hỡnh chiu ca BC' trờn mt phng (BAA'B') ta xỏc nh hỡnh chiu ca im C' lờn mt phng (BAA'B') Ta ý n trung im I ca cnh A'B' Lng tr ABC.A'B'C' l lng tr u nờn BB' mp(A'B'C') => BB' IC' (1) Tam giỏc A'B'C' l tam giỏc u nờn A'B' IC' (2) T (1) v (2) ta suy : IC' mp(BAA'B') hay I l chõn ng vuụng gúc k t C' n mp(BAA'B'), ngha l BI l hỡnh chiu ca BC' trờn mp(BAA'B') Vy ã ' BI = , t ú ta cú: C C 'I = a C 'I a ; BC ' = = sin 2sin a a2 BB ' = BC ' B ' C ' = a = (3 4sin ) ữ ữ 4sin sin a 4sin Suy ra: BB ' = 2sin a 3sin Thay vo ta c: V = sin 2 *Nhn xột: Hc sinh thng mc phi sai lm sau: Xỏc nh gúc gia ng thng BC v (BAA'B'), vỡ th dn n tớnh toỏn sai, c th : Ni BA' Gúc gia ng chộo BC' vi mt bờn (BAA'B') l gúc Cã ' BA ' Vy ta cú: Cã ' BA ' = A' a C' B' C A B Xột ABC ta cú: BC ' a = sin A ' sin Vỡ BC ' = BA ' A ' BC ' cõn 10 (1800 ) a sin A ' a = = T ú suy ra: BC ' = sin sin 2sin 2 a a a2 = (1 4sin ) 2 Vy CC' =BC' -BC = 4sin 2 4sin 2 a CC ' = sin Suy : 2sin 2 a a V= sin Vy 2sin ; 2 a a V= sin ỏp s: 2sin a sin Nhn xột : Sai lm chớnh ca li gii trờn õy l vic xỏc nh gúc gia ng thng BC' vi mt phng (BAA'B') khụng ỳng khc phc sai lm ny thỡ yờu cu hc sinh nhc li cỏc bc tỡm gúc gia ng thng v mt phng *Lu ý: Nu lng tr ng thỡ chiu cao ca hỡnh chúp l di cnh bờn, Nu hp ch nht cú kớch thc a, b, c thỡ V = a.b.c Nu lp phng cnh a thỡ V = a3 Vớ d 5: Cho hỡnh hp ABCD.A'B'C'D' cú mt u l nhng hỡnh thoi v cnh u bng a, hỡnh thoi cú gúc nh A bng 600 Tớnh th tớch hỡnh hp * Phõn tớch :Bi toỏn ny gi thit xỏc nh n gin, Yờu cu bi toỏn tớnh th tớch hp: lng tr ny cú ỏy l hỡnh thoi, cũn li phi xỏc nh chiu cao ca hỡnh hp T gi thit ca bi toỏn, phõn tớch d oỏn, xỏc nh ỳng chõn ng vuụng gúc * Li gii : 1) K A'H mp(ABCD), d thy rng cỏc tam giỏc AA'D, AAB, ADB v BAD u nờn t din A'ABD l t din u, ú H trựng vi tõm ca tam giỏc D' u ABD C' A' B' D C O 11 H A B HA = 2a a AO = = 3 a 6a A ' H = A ' A HA = a ữ ữ = Suy 2 h = A' H = a Vy V = h.S ABCD = 2 a a a3 = * Nhn xột: bi ny hc sinh thng v hỡnh sai, xỏc nh chõn ng vuụng gúc H sai v trớ v dn n khụng nh hng c cỏch tớnh on AH Vớ d 6: ( thi i hc B - 2010) Cho hỡnh lng tr tam giỏc u ABC.ABC cú AB= a, gúc gia hai mt phng (ABC) v (ABC) bng 600 Gi G l trng tõm tam giỏc ABC Tớnh th tớch lng tr ó cho v tớnh bỏn kớnh mt cu ngoi tip t din GABC theo a Phõn tớch: GT ca bi toỏn yờu cu hc xỏc nh ỳng gúc gia mt phng: Xỏc nh giao tuyn ca mp, chn ng thng nm mp ln lt vuụng gúc vi giao tuyn ti im trờn giao tuyn , t ú suy gúc gia mp Yờu cu ca bi toỏn: yờu cu th nht thỡ hc sinh cn phi xỏc nh c ng cao ca lng tr Yờu cu th thỡ hc sinh phi nh c cỏch xỏc nh tõm mt cu ngoi tip hỡnh chúp tam giỏc: xỏc nh trc ca ng trũn ngoi tip tam giỏc ỏy, xỏc nh trung trc ca cnh bờn, ct ti õu thỡ ú l tõm mt cu ngoi tip t din Tớnh bỏn kớnh l khong cỏch t nh ti tõm Li gii:+) Th tớch lng tr: (ABC) v (ABC) cú giao tuyn l BC A Gi D l trung im ca BC, ta cú: BC AD , C theo nh lớ ng vuụng gúc , suy BC AD B Suy gúc gia mp ny l gúc ADAbng 600 Ta cú V = AA SABC , G E A SABC = , AA = AD tan = C D H B 12 Vy V = +) Bỏn kớnh mt cu ngoi tip t din GABC Gi H l trng tõm tam giỏc ABC, suy ra: GH // AA Suy GH (ABC), suy GH l trc ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC Gi E l trung im ca AG Trung trc ca AG ct GH ti I, suy I l tõm ng trũn ngoi tip t din GABC Ta cú R = GI = GH = , AH = , , GA2 = GH2 + AH2 = Do ú R = , , Vớ d 7: ( thi HSG 12 tnh Thanh húa) Cho hỡnh lng tr ng ABC A ' B ' C ' cú ỏy ABC l tam giỏc cõn ti C, cnh ỏy AB bng 2a v ãABC bng 300 Tớnh th tớch ca lng tr ABC A ' B ' C ', bit khong cỏch gia hai ng thng AB v CB ' bng a Li gii: Vn quan trng l xỏc nh khong cỏch gia ng thng chộo Ta chn mp( ABC) cha BC v song song vi AB, bõy gi ta xỏc nh khong cỏch t AB n mp ny A' C' N B' H C A M B Gi M, N ln lt l trung im ca AB v A'B' K MH CN ( H CN ) Tam giỏc CAB cõn ti C suy AB CM Mt khỏc AB CC AB (CMNC ') A ' B ' (CMNC ') A ' B ' MH 13 MH CN MH (CA ' B ') MH A ' B ' AB / /(CA ' B ') d ( AB , CB ') = d (M , (CA ' B ') = MH Ta cú: Nh vy Tam giỏc BMC vuụng ti M, suy CM = BM tan 30 = a Tam giỏc CMN vuụng ti M, cú MH l ng cao 1 = + = 2+ MN = a 2 MH MC MN a a MN a a3 T ú VABC A ' B 'C ' = S ABC MN = 2a .a = 3 Dng 2: Tớnh giỏn tip: Ngha l ta s dng phõn chia lp ghộp a din, a v bi toỏn ỏp dng tớnh th tớch theo cụng thc n gin hn hoc dựng bi toỏn tớnh t l th tớch hai t din(chúp tam giỏc), Đối với hình chóp tam giác công thức dng ta áp dụng cách tính sau: +) Nếu hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi vuông góc V = +) Nếu hình chóp ABCD có cạnh đối diện lần lợt a, b , góc cạnh , khoảng cách đờng thẳng h thể tích khối chóp ABCD : V= +) Cho hỡnh chúp SABC Trờn cỏc on thng SA, SB, SC ly ln lt ba im A1, B1, C1 khỏc vi S thỡ VS A1B1C1 VS ABC = SA1 SB1 SC1 SA SB SC 14 ( Ta cú th k cỏc ng cao tng ng nh hỡnh v chng minh) A A1 B B1 H E S C1 C Nh việc tính tỉ số tính thể tích hình dễ áp dụng công thức ta suy thể hình lại +) Tứ diện ABCD có AB = a; S1, S2 diện tích mặt chung cạnh AB, góc mặt phẳng (ABC) (ABD) Khi thể tích khối chóp V= Vớ d 8: Cho hỡnh chúp S.ABC cú SA=a,SB=2a,SC=3a v BSA=600, ASC=1200, CSB=900 Hóy tớnh th tớch chúp S.ABC Li gii: Nhn xột cỏc mt õy khụng cú cỏc lu ý gỡ c bit nờn vic xỏc nh ng cao l khú nhng ta thy cỏc gúc nh S l rt quen thuc Vy ta cú li gii sau: C C1 A S B1 B Trờn SB ly B1 cho SB1=a, Trờn SC ly C1 cho SC1=a, Tớnh th tớch chúp S A B1C1 : A B1C1 cú A C1 = a , B1C1 = a , A B1 = a Vy A B1C1 vuụng Cú S= B1A B1C1= a2 2 15 Gi E l trung im ca AC1 Suy SE ( A B1C1 ) Do ú SE chớnh l ng cao ca chúp S A B1C1 a a3 , VSAB1C1 = SE.S = a Ta cú VSAB1C1 = 12 12 SA SB SC a3 Tớnh th tớch chúp S.ABC : Ta cú VSABC = SA SB SC VSAB1C1 = 1 SE = Vớ d : Cho lng tr tam giỏc ABC.A1B1C1 cú ỏy l tam giỏc u cnh a A1A =2a v A1A to vi mp(ABC) mt gúc 600 Tớnh th tớch t din A1B1CA Li gii : Gi th tớch lng tr ABC.A1B1C1 l VLT Ta chia lng tr thnh chúp CA1B1C1 , B1ABC , A1B1CA C th nh sau: Gi H l hỡnh chiu ca A1 trờn mp(ABC) Khi ú A1H=A1A.sinA1AH=2a.sin600=a M VLT=A1H.SABC= a a 3a = 4 A1 C1 Nhn thy lng tr c chia lm ba chúp: CA1B1C1, B1ABC, A1B1CA B1 +) Khi chúp CA1B1C1 cú VCA B C = VLT 1 C A +) Khi chúp B1ABC cú VB1 ABC = VLT a3 Do ú chúp A1B1CA cú V A1B1 AC = VLT = H K B Lu ý: bi ny hc sinh thng hay mc phi sai lm: Gi thit cho ỏy l tam giỏc u thỡ hc sinh thng nhm l lng tr u v suy ng cao l di cnh bờn Vớ d 10: Cho hp ch nht ABCD.A1B1C1D1 cú AB=a, A1A=c, BC=b Gi E, F ln lt l trung im ca B1C1 v C1D1 Mt phng (FEA) chia hp thnh hai phn Hóy tớnh t s th tớch hai a din ú Li gii: A1 C1 B1 A C H K B 16 A D B C K D1 A1 J H F E B1 C1 I mp(FEA) ct cỏc on thng A1D1, A1B1, B1B, D1D ln lt ti J, I, H, K (hỡnh v) Gi V1,V2 ln lt l th tớch phn di v phn trờn mp (AEF) Ta nhn thy rng hai phn a din cha phi hỡnh quen thuc nhng ghộp thờm hai phn chúp HIEB1 v chúp KFJD1 thỡ phn di l hỡnh chúp AIJA1 IEB1 = EFC1 = FJD1 ( c.g.c ) KD1 JD1 = = AA1 JA1 1 1 a b c abc VHIEB1 = HB1 B1 E.B1 I = = = VKFJD1 3 2 72 1 1 3a 3b 3abc VAA1 JI = AA1 AI JA = c = 3 2 3abc abc 25abc = V1= VAA1JI -2 VHIEB1 = 72 72 V 25 47abc V2= Vhh-V1= vy V = 47 72 HB IB 1 Theo lớ TA-LET AA = IA = V 1 Nhn xột: Qua cỏc vớ d trờn ta thy gii c bi toỏn hỡnh khụng gian ngoi vic hc sinh phi nm vng cỏc phng phỏp, cỏc kin thc cú liờn quan, k nng gii toỏn, thỡ hỡnh v úng vai trũ quan trng, hỡnh v tt giỳp ta nhn c hng gii quyt, phỏt hin c ca bi toỏn Hỡnh v tt l mt hỡnh v m bo c cỏc iu kin sau: 17 - m bo c cỏc quy tc v hỡnh biu din ca mt hỡnh khụng gian ( SGK Hỡnh hc 11 trang 45, ban c bn) - Hỡnh v phi rừ rng, chớnh xỏc, th hin c tớnh thm m - Bit cỏch xỏc nh i tng trờn hỡnh v cho phự hp vi yờu cu ca bi toỏn - Hỡnh v khụng tha cng khụng thiu d kin ca bi - Ngoi cú c mt hỡnh v tt cn phi nm vng cỏc khỏi nim v hỡnh khụng gian nh: hỡnh chúp, hỡnh t din, hỡnh chúp u, hỡnh lng tr, hỡnh hp, hỡnh hp ch nht, hỡnh lp phng, phõn bit c hỡnh a din vi hỡnh a giỏc, t din vi t giỏc Trờn õy l mt vi vớ d m tụi ó phõn tớch , a li gii, nờu nhng sai lm hc sinh thng mc phi gii bi dng ny Mong rng cỏc em s cú c phng phỏp gii ỳng gp bi toỏn ny v trỏnh c nhng sai lm thng gp Hy vng cỏc em s cú nim am mờ v ci tin c phng phỏp hc toỏn c bit l hc hỡnh khụng gian BI TP THAM KHO Sau ó trang b phn phng phỏp nh vy ta cng giỳp hc sinh a cỏch gii mt bi toỏn linh hot bng c hai phng phỏp hc sinh so sỏnh i chiu la chn v a bi mc tng hp Bi 1: Cho lng tr ng ABC.A1B1C1 cú tt c cỏc cnh u bng a a) Hóy tớnh th tớch t din A1BB1C b) Mt phng i qua A1B1v trng tõm tamgiỏc ABC ct AC,BC ln lt ti E,F Hóy tớnh th tớch chúp C.A1B1FE Bi 2: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hcn,AB=a,AD=a ,SA=2a v SA ( ABCD), mt mp i qua A v vuụng gúc vi SC,ct SB,SC,SD ln lt ti H,I,K Hóy tớnh th tớch chúp S.AHIK theo a 18 Bi 3: Cho hai ng thng chộo x v y Ly on thng AB cú di a trt trờn x, on thng CD cú di b trt trờn y CMR VABCD khụng i Bi 4: Cho lng tr ABC.A1B1C1 cú BB1=a Gúc gia ng thng BB1 v mp(ABC) bng 600 Tam giỏc ABC vuụng ti C v gúc BAC bng 600 Hỡnh chiu vuụng gúc ca im B1 lờn mpABC trựng vi trng tõm tam giỏc ABC Tớnh th tớch t din A1ABC theo a Bi : Cho lng tr u ABC.A1B1C1 cú cnh ỏy bng a,khong cỏch t tõm O ca tam giỏc ABC n mpA1BC bng a Hóy tớnh th tớch tr ú Bi 6: Cho lng tr ng ABC.A1B1C1 cú ỏy ABC l tam giỏc cõn ti A, gúc gia A1A v BC1 bng 300, khong cỏch gia chỳng bng a Gúc gia hai mt bờn qua A1A bng 600 Hóy tớnh th tớch tr Bi Cho lng tr xiờn ABC.A1B1C1 cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng ti A, AB=a, BC=2a Mt bờn (ABB1A1) l hỡnh thoi nm mt phng vuụng gúc vi ỏy v hp vi mt bờn mt gúc Hóy tớnh th tớch lng tr Bi 8: cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD cú cnh ỏy bng a, cnh bờn hp vi ỏy gúc 600, gi M l im i xng vi C qua D, N l trung im SC, mp(BMN) chia S.ABCD thnh hai phn Hóy tớnh t s th tớch ca hai phn ú Bi 9: cho hỡnh hp ch nht ABCD.A1B1C1D1 cú AB=a, BC=2a, A1A=a, M thuc on AD cho AM=3MD Hóy tớnh th tớch t din MAB1C1 19 IV Kim nghim: Khi tin hnh ging dy theo ti trờn thỡ tụi nhn thy a phn cỏc em cú hng thỳ hc hỡnh khụng gian, cú phng phỏp gii bi toỏn tớnh th tớch a din: bit phõn tớch bi, v hỡnh ỳng, bit nh hng tỡm li gii, Kt qu thc nghim: Lp 12E, 12G khụng dy theo ti ny, cỏc lp 12A, 12B tin hnh dy theo cỏc ni dung ca ti Kt qu kim tra ỏnh giỏ sau ụn v kim tra cựng mt ca bn lp 12A , 12B, 12E, 12G nh sau : Lp S s 12A 12B 12E 12G 50 44 47 45 T l trờn Trung bỡnh Trung bỡnh Khỏ gii 15/50 =30% 29/50 = 58% 17/44 =38,6% 25/44 = 56,8% 23/47 =48,9% 2/47 = 4,3% 20/45=44,4% 0/45= 0% ỏnh giỏ Khỏ Khỏ Trung bỡnh Yu Nh vy ta thy rng sau trin khai dy hc sinh theo ti ny thỡ t c kt qu nht nh Tụi mong rng s hc sinh khỏ gii, k c hc sinh trung bỡnh s lm c dng bi ny cỏc kỡ thi C KT LUN V XUT *Qua ti ny tụi ó lm c mt s vic nh sau: +) a mt h thng lý thuyt cú liờn quan n bi toỏn tớnh th tớch a din +) a mt s bi c bn hc sinh luyn +) Hng dn hc sinh cỏch gii quyt bi toỏn tớnh th tớch a din +) Cỏc phng phỏp tớnh th tớch a din +)Khi thc hin xong ti ny bn thõn tụi ó trau ri c nhiu iu b ớch 20 * thc hin ti ny tụi ó tỡm c mt s ti liu vit v phng phỏp tớnh th tớch a din, nghiờn cu li gii cho tng dng toỏn, la chn bi phự hp vi tng ni dung cn phõn tớch *Qua mt s nm ging dy v ỳc kt kinh nghim tụi nhn thy rng dy cho hc sinh hc tt mụn hỡnh hc khụng gian thỡ cn phi giỳp cho hc sinh nm vng h thng lý thuyt: cỏc nh ngha, nh lý, h qu, cỏc phng phỏp chng minh, cỏc phng phỏp tớnh cỏc yu t nh lng Ngoi cn giỳp cho hc sinh bit cỏch t hỡnh nh, k nng v hỡnh Nm vng cỏc yu t trờn s giỳp cho vic ging dy ca giỏo viờn c thun li, hoc sinh tip thu kin thc ngy mt tt hn Vỡ kinh nghim bn thõn cũn ớt nờn ti ny khụng trỏnh nhng thiu sút, tụi rt mong nhn c cỏc ý kin úng gúp ca cỏc cp lónh o v cỏc thy cụ giỏo ti c hon thin hn XC NHN CA TH TRNG N V VN TH Thanh Húa, ngy 01 thỏng nm 2013 Tụi xin cam oan õy l SKKN ca mỡnh vit, khụng chộp ni dung ca ngi khỏc Lờ Th Mnh 21 [...]... ng cao tng ng nh hỡnh v chng minh) A A1 B B1 H E S C1 C Nh vậy nếu việc tính các tỉ số này và tính thể tích của một trong 2 hình dễ hơn thì áp dụng công thức trên ta sẽ suy ra thể của hình còn lại +) Tứ diện ABCD có AB = a; S1, S2 là diện tích của 2 mặt chung cạnh AB, là góc giữa 2 mặt phẳng (ABC) và (ABD) Khi đó thể tích của khối chóp là V= Vớ d 8: Cho hỡnh chúp S.ABC cú SA=a,SB=2a,SC=3a v BSA=600,... khi t din(chúp tam giỏc), Đối với hình chóp tam giác thì ngoài công thức dng 1 ta có thể áp dụng cách tính sau: +) Nếu hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc thì V = +) Nếu hình chóp ABCD có 2 cạnh đối diện lần lợt là a, b , góc giữa 2 cạnh đó bằng , khoảng cách giữa 2 đờng thẳng đó bằng h thì thể tích của khối chóp ABCD là : V= +) Cho hỡnh chúp SABC Trờn cỏc on thng SA, SB, SC ly ln lt ba... Yu Nh vy ta thy rng sau khi trin khai dy hc sinh theo ti ny thỡ t c kt qu nht nh Tụi mong rng s hc sinh khỏ gii, k c hc sinh trung bỡnh s lm c dng bi tp ny trong cỏc kỡ thi C KT LUN V XUT *Qua ti ny tụi ó lm c mt s vic nh sau: +) a ra mt h thng lý thuyt cú liờn quan n bi toỏn tớnh th tớch khi a din +) a ra mt s bi tp c bn hc sinh luyn tp +) Hng dn hc sinh cỏch gii quyt bi toỏn tớnh th tớch khi... v ỳc kt kinh nghim tụi nhn thy rng dy cho hc sinh hc tt mụn hỡnh hc khụng gian thỡ cn phi giỳp cho hc sinh nm vng h thng lý thuyt: cỏc nh ngha, nh lý, h qu, cỏc phng phỏp chng minh, cỏc phng phỏp tớnh cỏc yu t nh lng Ngoi ra cn giỳp cho hc sinh bit cỏch t duy hỡnh nh, k nng v hỡnh Nm vng cỏc yu t trờn s giỳp cho vic ging dy ca giỏo viờn c thun li, hoc sinh tip thu kin thc ngy mt tt hn Vỡ kinh nghim... li gii, nờu nhng sai lm hc sinh thng mc phi khi gii bi tp dng ny Mong rng cỏc em s cú c phng phỏp gii ỳng khi gp bi toỏn ny v trỏnh c nhng sai lm thng gp Hy vng cỏc em s cú nim am mờ v ci tin c phng phỏp hc toỏn c bit l khi hc hỡnh khụng gian BI TP THAM KHO Sau khi ó trang b phn phng phỏp nh vy ta cng giỳp hc sinh a ra cỏch gii mt bi toỏn linh hot bng c hai phng phỏp hc sinh so sỏnh i chiu la chn... A1B1CA B1 1 3 +) Khi chúp CA1B1C1 cú VCA B C = VLT 1 1 1 C A 1 +) Khi chúp B1ABC cú VB1 ABC = VLT 3 1 a3 Do ú khi chúp A1B1CA cú V A1B1 AC = VLT = 3 4 H K B Lu ý: bi ny hc sinh thng hay mc phi sai lm: Gi thit cho ỏy l tam giỏc u thỡ hc sinh thng nhm l lng tr u v suy ra ng cao l di cnh bờn Vớ d 10: Cho khi hp ch nht ABCD.A1B1C1D1 cú AB=a, A1A=c, BC=b Gi E, F ln lt l trung im ca B1C1 v C1D1 Mt phng (FEA)... Xỏc nh giao tuyn ca 2 mp, chn 2 ng thng nm trong 2 mp ln lt vuụng gúc vi giao tuyn ti 1 im trờn giao tuyn , t ú suy ra gúc gia 2 mp Yờu cu ca bi toỏn: yờu cu th nht thỡ hc sinh cn phi xỏc nh c ng cao ca lng tr Yờu cu th 2 thỡ hc sinh phi nh c cỏch xỏc nh tõm mt cu ngoi tip hỡnh chúp tam giỏc: xỏc nh trc ca ng trũn ngoi tip tam giỏc ỏy, xỏc nh trung trc ca 1 cnh bờn, ct nhau ti õu thỡ ú l tõm mt cu... 4 2sin 2 ; 2 2 a 3 a V= 1 4 sin 2 ỏp s: 4 2sin 2 2 a sin Nhn xột : Sai lm chớnh ca li gii trờn õy l vic xỏc nh gúc gia ng thng BC' vi mt phng (BAA'B') khụng ỳng khc phc sai lm ny thỡ yờu cu hc sinh nhc li cỏc bc tỡm gúc gia ng thng v mt phng *Lu ý: Nu lng tr ng thỡ chiu cao ca hỡnh chúp l di cnh bờn, Nu khi hp ch nht cú 3 kớch thc a, b, c thỡ V = a.b.c Nu khi lp phng cnh a thỡ V = a3 Vớ d 5:... A' B' D C O 11 H A B HA = 2 2a 3 a 3 AO = = 3 3 2 3 2 a 3 6a 2 A ' H = A ' A HA = a ữ ữ = 9 Suy ra 3 2 2 h = A' H = a 6 3 2 Vy V = h.S ABCD = 2 2 a 2 3 a 6 a3 2 = 4 3 2 * Nhn xột: bi ny hc sinh thng v hỡnh sai, do xỏc nh chõn ng vuụng gúc H sai v trớ v dn n khụng nh hng c cỏch tớnh on AH Vớ d 6: ( thi i hc khi B - 2010) Cho hỡnh lng tr tam giỏc u ABC.ABC cú AB= a, gúc gia hai mt phng (ABC)... 2 = V1= VAA1JI -2 VHIEB1 = 8 72 72 V 25 47abc 1 V2= Vhh-V1= do vy V = 47 72 2 HB IB 1 1 1 Theo lớ TA-LET AA = IA = 3 V 1 1 Nhn xột: Qua cỏc vớ d trờn ta thy gii c bi toỏn hỡnh khụng gian ngoi vic hc sinh phi nm vng cỏc phng phỏp, cỏc kin thc cú liờn quan, k nng gii toỏn, thỡ hỡnh v úng vai trũ quan trng, hỡnh v tt giỳp ta nhn ra c hng gii quyt, phỏt hin ra c vn ca bi toỏn Hỡnh v tt l mt hỡnh v m