giải chi tiết 20 đề ôn cuối kì

-1- ĐỀ 11: Câu 1: Vẽ khối  giới hạn x  y  z  y , y  x  z Câu 2: Trên mặt phẳng x  y  z  tìm điểm cho tổng khoảng cách từ điểm hai mặt phẳng x  3z   y  3z   nhỏ Xét hệ: x  y     x  3z    (x,y,z)=(3,-1,1)  y  3z    Điểm (3,-1,1) thuộc mặt phẳng nên tổng khoảng cách từ điểm tới hai mặt x  3z   y  3z   khoảng cách nhỏ  (3n  1)! Câu 3: : Khảo sát hội tụ chuỗi số  3 n 1   n  Bài giải: an1 3n(3n  1)(3n  2)   27 n   , chuỗi phân kỳ an (n  1) (5)n ( x  2) n Câu 4: Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa  n n 1 (2n  1) n   Bài giải:  (5)n ( x  2) n Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa  n =  n n 1 n 1 (2n  1) n   lim n | n |  lim n  n Điều kiện cần để chuỗi hội tụ 5( x  2)2 5( x  2)2  3 5( x  2)2 3 n  (1)n hội tụ tuyệt đối (2n  1) n  miền hội tụ: 2  3  x  2  5 Câu 5: Tính tích phân kép I   hạn 1  x  1,0  y  y  x dxdy , D miền phẳng giới D y f(x)=0 f(x)=2 x(t)=-1 , y(t)=t x(t)=1 , y(t)=t f(x)=x^2 f(x)=1 1.5 0.5 x -1 -0.5 0.5 Bài giải: Chia D thành phần: D1 phần y  x (phía Pparrabol) D2 phần y  x (phía Parabol)  I   y  x dxdy   x  ydxdy   dx  y  x dy   dx  x  ydy   1 1 D1 D2 x2 2 x2 2 Ta làm giảm nhẹ toán cách nhận xét D đối xứng qua oy hàm f(x,y) chẵn theo biến x nên I lần tích phân nửa bên phải miền D làm tương tự Câu 6: Tính tích phân bội ba I    y  z dxdydz , V vật thể giới V hạn z  x  y , x  y  4, z   x  y Bài giải:: 2 2 D : x2  y  -30    2  x  r cos    Đổi sang toạ độ trụ:  y  r sin   V 0  r  z  z  2  r  z   r 2 I  2 r 2  d  dr  0 r r (r sin   z )dz  24 Câu 7: Tính tích phân mặt loại hai I   (2 x  y)dydz , với S phần mặt z  x  y bị cắt S mặt z  , phía theo hướng trục Oz Bài giải: Cách 1: DOyz :  z 4 z  y2 2  y   y  z  Chia S làm phần: S1: phía trước mp(0yz) x  z  y pháp vecto tạo với ox góc tù S2: phía trước mp(0yz) x   z  y pháp vecto tạo với ox góc nhọn Do ta có: I    (2 z  y  y )dydz   (2 z  y  y )dydz D D    dy  2 y2   2 z  y  y dz   dy  2 y2  2  z  y  y dz  16 Các em làm đơn giản toán từ đầu cách: Nhận xét S đối xứng qua oyz hàm x(y,z)=y chẵn theo x x(y,z)=2x lẻ theo x nên ta có:  ydydz  S  xdydz  2 xdydz S với S1 nửa mặt S phía trước S1 Khi đó: I  2  z  y dydz  16 D Cách 2: Dùng pháp véc tơ đơn vị đưa tích phân đường loại Cách 3: Thêm vào phần mặt z=4 dùng công thức O-G -4- Cách nhanh hay cách Các em tự làm cách sau (dể đừng lo) ĐỀ 12 Câu 1: Tính f x' (1,1) hàm f ( x, y)    x2  y biểu diễn hình học đạo hàm riêng hệ số góc tiếp tuyến Bài giải: f x (1,1)   f 'x (1,1)   Mặt phẳng y=1 cắt f ( x, y ) tạo thành đồ thị C1 Tiếp tuyến C1 điểm M(1,1,  ) có hệ số góc là: f 'x (1,1)   Câu 2: Tìm gtln, gtnn f ( x, y )  x3  y  3xy miền  x  2, 1  y  Bài giải: f 'x ( x, y )  x  y =0 f ' y ( x, y)  y  3x =0  x=y=1 x=0 => f ( y)  y3 , y [1, 2]  max  8,  1 ; x=2 => f ( y)  y3  y  8, y [1, 2]  max  13,  f '( x)  3x  vô nghiệm y=-1 => f ( x)  x3   3x ; y=2 => f ( x)  x3   x, x  (0, 2) ; f '( x)  3x  => x   f   2,   Max f=13 đạt (2,-1), f =-1 đạt (0,-1) (1)n n n 1 n   Câu 3: Khảo sát hội tụ chuỗi số:  -5- Bài giải: lim | un |  => chuỗi phân kỳ theo điều kiện cần n   Câu 4: Tìm bán kính hội tụ chuỗi luỹ thừa  n 1 (2n  1)( x  3)n 3n3  n  ln n Bài giải: lim n un  x  n  Để chuỗi hội tụ => x   =>  x  (1) n (2n  1) x=2 => un  3n3  n ln n (2n  1) x=4 => un  3n  n ln n 2 x4 3 (1) n hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz 3n1/2 ln n phân kỳ theo tiêu chuẩn tích phân 3n ln n 1/2 Câu 5:Tính tích phân kép I   max  x, y dxdy D miền phẳng giới hạn D  x  4,  y  Bài giải: Trên miền D1 max(x,y)=y, miền D2 max(x,y)=x Do I   max  x, y dxdy   ydxdy   xdxdy D D1 4 x x 0   dx  ydy   dx  xdy  D2 128 -6- Câu 6: Tính tích phân bội ba I   xdxdydz , V vật thể giới hạn V x  y  z  0, x  y  z  Bài giải: 0    2  y  r cos    Đổi sang toạ độ trụ  z  r sin   V 0  r  2 2 x  x  2 I  d  dr 0  2   r  z  r r2  rxdx    2 r 7 12 Câu 7: Tính tích phân mặt loại hai I   x3dydz  y 3dxdz  z 3dxdy với S mặt phía S vật thể giới hạn x  z  y ,  y  Bài giải: Áp dụng công thức O-G: 2 I   x3dydz  y 3dxdz  z 3dxdy  3 ( x  y  z )dxdydz S V  z  r cos  0    2   Đổi sang toạ độ trụ:  x  r sin   V 0  r  y  y r  y    2 1 2   d  rdr  (r  y )d y   d  (r  r  )rdr   3 10 0 r 0 Các em đổi sang toạ độ cầu để tính tích phân ĐỀ 13 Câu 1: Tính f y' (0,1) hàm f ( x, y )   x  y biểu diễn hình học đạo hàm riêng hệ số góc tiếp tuyến Tương tự câu đề 12 Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ z  ( x  y )e xy miền 2  x  y  Bài giải -7- uv   x  2  u  Đặt   v  R y  u v  z  ue u2 u v2 u2  v2  ue e m in f  f  2   2e [-2,1]  Xét f  u   ue   max f  f 1  e  [-2,1] Vậy max z =2e đạt (u,v)=(1,0) hay (x,y)=(1/2,1/2) max z =-4e4 đạt (u,v)=(-2,0) hay (x,y)=(-1,-1)  Câu 3: Khảo sát hội tụ chuỗi số  n 1 (1) n n  (1)n Bài giải 1: Có em giải sau: (1) n n  (1)n (1) n n (1)n hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz n Các em nhận xét xem hay sai? Bài giải 2: un  -8- un  Có:  Vì n  1   1 n n   1 n  n   1 n n 1    1 n hội tụ theo tiêu chuẩn leinitz  1  n 1 n2 n Câu 4: Tìm chuỗi Taylor f ( x)  Bài giải f ( x)  n  n 1 n 1 n   n  phân kỳ chuỗi phân kỳ n2 2x  , x0  tìm miền hội tụ chuỗi x  5x  2x    x  5x  x  x  2 Đăt u=x-1 f ( x)  9      u  u  2( u  1) u  2( u  1) u  2     u    x   n n       7 u       7  x  1 n 0   n 0   n 0 n 0 n n   n      n 1   x  1  n 0  Câu 5: Tính tích phân kép I   xy dxdy , D miền phẳng giới hạn D  x  y  2 Bài giải Vì hàm dấu tích phân hàm chẵn theo x,y miền D đối xứng qua trục ox,oy nên ta cần tính tích phân góc phần thứ I gấp lần lên  2 I   xy dxdy   d  r 3cos sin  dr  D  Câu 6: Tính thể tích vật thể giới hạn x  y  15  xy, z  x  y, z  ( x  0) -9y r(t)=sqrt(sin(2*t)) 0.8 0.6 0.4 0.2 x -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 Bài giải  x  r cos   r  sin  Đổi sang toạ độ trụ:  y  r sin  Các mặt viết lại là:   z  r  cos  sin   z  z     xy nên y>0    0,   2   0     Miền viết lại toạ độ trụ là: V 0  r  sin 2 0  z  r sin   cos      sin 2 r  sin   cos   V   d  rdr  dz   sin   sin   cos  d o o  Vì x>0 x  y  Đặt t  sin   cos  sin 2   t dt  (sin   cos )d    t  1     t 1 1 V  1 1  t  dt Đặt: t  sin u V 2   cos udu   2 - 10 - Câu 7: Tính tích phân mặt loại I   xds với S phần mặt phẳng x  y  z  S nằm hình cầu x  y  z  2 Bài giải Vì có tính đối xứng nên I   xds   yds   zds = S S S 2 ( x  y  z )ds   2ds = S  3 S S Hình cầu có tâm I(0,0,0) 0002 d( I , )   3 S   (22  ( ) )   3 32 Vậy I   ĐỀ 14 Câu 1: Vẽ khối  giới hạn y   x , y   x , z  0, z  x Các em tự vẽ Câu 2: Một hộp (hình hộp chữ nhật, nắp phía trên) làm từ 12m2 bìa carton Tìm thể tích lớn hộp Bài giải Gọi x chiều rộng, y chiều dài, z chiều cao (m) Ta có: 2xz+2yz+xy=12 V=xyz x, y, z  Ta cần tìm MaxV: Cách 1: Xét hàm L  x, y, z   xyz    xz  yz  xy   L'x  yz    z  y    ' x  2z   1/  Ly  xz    z  x      '   y  2z  x  y   Lx  xy    x  y    xz  yz  xy  12  z      xz  yz  xy  12    Hàm có Điểm dừng P(2,2,1) Tính đạo hàm riêng cấp P ta có:  d L  P   dxdy  2dxdz  2dydz Lấy vi phân vế 2xz+2yz+xy=12 P suy ra: dx+dy+2dz=0 - 17  45  Vậy S  14  S1  S   14   ln       Câu 4: Tìm chuỗi lũy thừa hàm f ( x)  ln x   x tìm bán kính hội tụ chuỗi Bài giải (2n  1)!! n x n 1 n 1 n!  f '( x)   1   x2 (2n  1)!! x n 1 C n 1 n 1 n ! 2n   (2n  1)!! x n 1  x   n 1 n 1 n ! 2n    f ( x)  x   (C=0 f(0)=0) Dùng D’Alembert dể dàng suy R=1  x2 y  Câu 5: Tính tích phân kép I       dxdy , D miền phẳng giới hạn D  16  x  0, y  0, x  4sin t , y  3cos t , t  0,  / 2 Bài giải : Dùng toạ độ cực mở rộng:   x2 y  3 I      dxdy   dt  12r 3dr   D  16 0 Câu 6: Tính tích phân đường I   3zdx  xdy  ydz , với C giao mặt phẳng C x  z  mặt cầu x  y  z  theo chiều kim đồng hồ theo hướng trục Oz 2 Bài giải Gọi S mặt phần mặt phẳng x+z=2 nằm mặt cầu x2  y  z  Áp dụng O-G: I   3zdx  xdy  ydz   dydz  3dxdz  2dxdy C S 1 , 0, ) 2 3 I  dS   dt ( S )        3  S 2 Pháp véc tơ đơn vị S: n( - 18 - Câu 7: Tính tích phân mặt loại hai I   x3dydz  y 3dzdx , với S mặt nửa S ellipsoid x z  y2   1, 16  z  0 Bài giải x2  y  mặt phẳng Oxy 16     Gọi S mặt E: I   S S E E Trên E (z=0): dz=0    E Áp dụng O-G: I    S  S E  3  x  y  dxdydz V Dùng toạ độ cầu mở rộng:       x   sin  cos     y  1 sin  sin   V 0    2  z  3 cos  0        2 0 I  3 d  d  16  sin  cos    sin  sin  12  sin  d   3 16  sin  cos    sin  sin  12  sin  dxdydz V  408  - 19 -  ĐỀ 17  Câu 1: Cho f ( x, y )  y  ln  x y Tìm Bài giải f f (0, 0), (0, 0) x y f  x,   f  0,  ln  ln f  lim   (0, 0)  x 0 x 0 x x x f  0, y   f  0,  y  ln  ln f lim  lim   (0, 0)  y 0 y 0 y y y lim Câu 2: Tìm cực trị có điều kiện: f ( x, y )  e xy ; x3  y  16 Bài giải Xét: L  x, y   e xy    x3  y   L'x  ye xy  3 x   ' e4 xy  Lx  xe  3 y   x  y  2(   )  3 x  y  16  Vậy có điểm dừng là: P(2,2)  L''xx  y e xy  6 x  ''  A  C  2e xy L  x e   y   yy   B  5e  '' xy  Lxy  1  xy  e 2 d L  P   2dx  2dy 10dxdy Lấy vi phân vế P phương trình x3  y  16 : 12dx  12dy   dy  dx Thế vào ta được: d L  P   14dx2  Vậy P điểm cực tiểu (n  1) n 1   (2n)  Câu 3: Tính tổng  Bài giải Ta có: - 20  ( n  1)   (n  1) n  n  n  n n 1   (2n) n 1 n! n 1 n! n 1 n!  S   n 1  n  1       e  n   n 1 n 1 n! n 1  n  1! n  n!   n  e2 1 n 1 n!  S 1 e Câu 4: Sử dụng khai triển Maclaurint hàm dấu tích phân thành chuỗi, tính   xdx ex 1 Bài giải Câu đạo hàm khó sau lấy tích phân không tính tổng lai Có phương pháp sau khai triển maclaurint, ý tương hay không giải được, em tham khảo nhé:   x xe x n n  n 1 x   xe x   1 e nx    1 xe   x x n 0 n 0 e 1 1 e     1 xdx n  n 1 x   x    1  xe   dx   n 0 n 0  n  1 e 1 n  Tới ta lại gặp vấn đề tính tổng Bài Thầy nghĩ không tính Câu 5:   Tính tích phân  sign x  y  dxdy với D  x  3,  y  Bài giải - 21 y f(x)=0 f(x)=3 3.5 x(t)=0 , y(t)=t A x(t)=3 , y(t)=t f(x)=sqrt(x^2+2) Series 2.5 D2 1.5 D1 0.5 x -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5 -0.5 D1 : x  y    sign( x  y  2)  Trên D1 : x  y    sign( x  y  2)  1     1dxdy    1 dxdy  dt ( D1 )  dt  D2   dt ( D)  2dt ( D2 ) D D1 D2 Với D=9 Và dt ( D2 )   dxdy  D2  dx   dy  x2      ln   ln 2  y    ln   ln       Câu 6: Tính tích phân đường I   y  z dx  z  x dy  x  y dz , với C giao C mặt nón y  z  x mặt cầu x  y  z  ngược chiều kim đồng hồ theo hướng trục Ox Bài giải Nhận xét : mặt nón mặt cầu cắt theo đường tròn nằm mp x=4 Gọi S mặt trước hình tròn có biên C  x  y  z  S : x  - 22 Áp dụng công thức Stoke I   y  z dx  z  x dy  x  y dz C         (1  z )dydz  (1  x)dxdz  (1  y)dydx   (1  z ) dydz S S (vì S (x=4): dx=0) 2   d  (1  2r sin  )rdr  2 0 Câu 7: Tính tích phân mặt loại hai I   x3dydz  y 3dzdx  z 3dxdy , với S mặt S vật thể giới hạn  x  y  z  4, y  x  z Bài giải Dùng O-G: I     x  y  z  dxdydz V      z   sin  cos     Đổi sang toạ độ cầu mở rộng:  x   sin  sin   0    2  y   cos 1        2 0  I    d  d  3.  sin  d  93 ĐỀ 18  x y , ( x, y )  (0, 0)  xy Câu 1: Cho f ( x, y)   x  y Tìm  0, ( x, y)  (0, 0)  2 2 f 2 f 2 f 2 f (0, 0), (0, 0), (0, 0), (0, 0) yx xy x y Bài giải  2  - 23 - f 'x  y( x2  y ) 4x2 y3 f ( x, 0)  f (0, 0)  , f x'  0,  lim 0 2 2 x 0 x x y (x  y )  2 f f 'x ( x, 0)  f 'x ( x, 0) 0  (0, 0)  lim x 0 x  x    f (0, 0)  lim f 'x (0, y )  f 'x (0, 0)  1  yx y 0 y f 'y  x( x  y ) y x3 f (0, y )  f (0, 0)  , f y'  0,   lim 0 2 2 y 0 y x y (x  y )  2 f f ' y (0, y )  f y'  0,  0  (0, 0)  lim y 0 y  y  f ' y ( x, 0)  f ' y (0, 0)  f 1  xy (0, 0)  lim x 0 x  Câu 2: Tìm cực trị hàm f ( x, y )  x  y với điều kiện x  y  13 Bài giải Xét: h( x, y )  x  y   ( x  y  13)  h '   2 x      1  x   h ' y   2 y   P1  x  2  P2  x    y  2  y  3   x  y  13 d h  P1   2dx  2dy  h ''x  2 , h '' y  2 , h '' xy  d h  P2   2dx  2dy  Vậy f đạt cực đại P2 cực tiểu P1 (2) n Câu 3: Tính tổng S   n n 1 1   (2n  1) Câu không giải Em can đảm việc  Câu 4: Sử dụng khai triển Maclaurint hàm dấu tích phân thành chuỗi, tính  ln dx 1 x Bài giải Ta có: ln  xn   ln(1  x)   1 x n 1 n - 24  ln  xn  1 dx    dx   1 1 x n 1 n(n  1) n 1 n Câu 5: Tìm diện tích miền phẳng giới hạn x  y  1, y  0, y  x Bài giải y x(t)=cos(t) , y(t)=1/sqrt(3)*sin(t) f(x)=x f(x)=0 0.8 0.6 0.4 0.2 x -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 Trên diện tích cần tìm:  x  r cos       Đổi sang toạ độ cực mở rộng:  y  r sin     0  r   (Để tìm cận  , ta cho x=y suy tan  = r toạ độ cực mở rộng Elip từ đến 1)   S   dxdy   d  D r  dr      Câu 6: Tính tích phân I   x3  ye xy dx  y  xe xy dy , C phần elip C x2 y   từ 16 Bài giải - 25 - Ta có: P Q   1  xy  e xy tích phân không phụ thuộc vào đường đi: y x I   C   AO 3   x3dx   y dy  64   73 OB Câu 7: Tính tích phân mặt loại hai I   ( x  1)3 dydz  ydzdx  zdxdy , với S mặt S nửa mặt cầu x  y  z  x, z  2 Bài giải Gọi S’ mặt hình tròn x  y  x mp Oxy I    S Trên S’(z=0): dz=0     S S ' S' 0 S' Áp Dụng O-G khối V gh S S’: I    S  S S '   3  x  1  8 dxdydz   V I   [3( x  1)   5)]dxdydz với V mặt cầu x  y  z  x, z  V  2  0     d  d   sin  3 sin  cos 2  d  2 86     d   sin   sin  cos 2  d  15   3  - 26 - ĐỀ 19 Câu 1: Vẽ khối  giới hạn z   x , x  y  y, x  y  z  Các em tự vẽ Câu 2: Tìm cực trị hàm f ( x, y, z )  x  y  10 z với điều kiện x  y  z  35 Bài giải Xét L  x, y, z   x  y  10 z    x  y  z   L'x   2 x      1  '  x   Ly   2 y   x  1   P1   P2   '  Lz  10  2 z   y  3 y    z  5  z  2  x  y  z  35 d L  2  dx  dy  dz  d L  P1   d L  P2   Vậy hàm f đạt cực đại P2(1,3,5) cực tiểu P1(-1,-3,-5)  n n  n  ( 1) n Câu 3: Khảo sát hội tụ chuỗi  Bài giải Ta có: n  (1) n n Suy chuỗi phân kỳ n ln(1  3t ) dt tìm bán kính hội tụ chuỗi t x Câu 4:Tìm chuỗi Maclaurint f ( x)   Bài giải Ta có: - 27 - (3t )n1 n 1 n    (1)n x n  t n 1 n 0  ln(1  3t )  t n  (1) n 0  f ( x)   (1) n n 0 3n1 n1 x (n  1)2 R=1/3 theo tiêu chuẩn Cauchy  1 f ( )   (1) n hội tụ tuyệt đối n 0 (n  1) 1 x Vậy bán kính hội tụ 3 Câu 5: Tính diện tích miền phẳng giới hạn x  x  y  x, y  x 3, y  x  Bài giải y x(t)=1+cos(t) , y(t)=sin(t) x(t)=3+3cos(t) , y(t)=3sin(t) f(x)=-x f(x)=x*sqrt(3) 1 D x -1 -2 -3     x  r cos       D Đổi sang toạ độ cực:   y  r sin  2 cos   r  cos    S  D  6cos   d   rdr   2cos 28 2 34 Câu 6: Tính tích phân đường I   y dl , C cung Cycloid C x  a(t  sin t ), y  a (1  cos t ),  t  2 Bài giải - 28 y x(t)=(t-sin(t)) , y(t)=(1-cos(t)) 3.5 2.5 1.5 0.5 x Ta có: xt'2  yt'2  2a sin t 2 t I   y dl   a (1  cost)2 2a sin dt C 256  a 15 Câu 7: Tính tích phân mặt loại hai I   z dxdy , S mặt nửa mặt cầu S  x 1   y  2 2  z  4, z  Bài giải Gọi D:  x  1   y  2  hình chiếu S lên mp Oxy 2   I   z dxdy      x  1   y   dxdy (Pháp vec tơ tạo với Oz góc tù) S D 2 0 I    d    r  rdr  8 - 29 - ĐỀ 20 Câu 1: Tìm vi phân cấp hai hàm z  z ( x, y ) hàm ẩn xác định từ phương trình x  y  z  ez Bài giải Cách 1: x  y  z  ez  x  y  z  ez  1  ' z    x z z  1 e e 1  z'  y ez 1   z ' z  z '   e z x   e  xx ez 1 ez 1   ez ez    z ''yy    d z    ez 1 ez 1   ' ez zy    ez 1        Cách 2: dx  dy  dz  e z dz  dz       dx  dy 2 dx  dy ez 1 d (dx  dy  dz )  d (e z dz ) e z dz e z  dx  dy  ez  d z  e dz  e d z  d z        ez  ez  ez 1  ez 1 z z 2    dx  dy 2 Các em cần hiểu rõ vi phân, Chú ý hàm biến làm cách Câu 2: Tìm cực trị hàm f ( x, y, z )  x  y  3z với hai điều kiện x  y  z  x  y  Bài giải Xét: L  x, y, z   x  y  3z    x  y  z     x  y  - 30 -  L'x     2 x    3   3  '     1/  Ly      y    1/       L'z      P1  x   P2  x  2 x  y  z   y  5 y      x  y  29  z  7  z   d L  x, y, z   2  dx  dy  Lấy vi phân vế phương trình x  y   xdx  ydy  Suy tai P1,2: dy  dx vào ta được: d L  x, y, z     dx  dy   58  dx 25 d L  P1   Vậy f đạt cức đai P2 cực tiểu P1  d L P     2n    Câu 3: Tính tổng n 1 n  n  12 Bài giải 2n    n 1 n  n  12   1   1     n 1  n n        1n 1 ( x  2)2n n 1 n  n 1 Câu 4: Tìm Miền hội tụ chuỗi luỹ thừa  Bài giải Đặt X=(x+2)2   1 n 1 n  n 1 S  n Xn    un X n n 1  n | un |   R   Tại X=1  S   n 1  1 n n  n 1 Vậy miền hội tụ: M(x)=[-3,1] hội tụ theo tiêu chuẩn leinitz - 31 - Câu 5: Tính tích phân kép I   ( x  y )dxdy , D miền phẳng giới hạn D đường astroid x  a cos t , y  a sin t ,  t   / , trục tọa độ Bài giải Đổi biến:  x  ar cos3    y  ar sin  J a cos3  3a cos  sin  a sin  3a sin  cos   3a sin  cos    2 a sin 2   13 I   d  sin 2 ar cos3   ar sin  dr 04     a3  sin 2 cos3   sin  d  Câu 6: Tính tích phân đường loại I   ( x  y)dl , C cung bên phải đường C Lemniscate có phương trình tọa độ cực r  a cos 2 , a  Bài giải y r(t)=2sqrt(cos(2t)) 0.8 0.6 0.4 0.2 x -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 1.6 1.8 2.2 2.4 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8  I  r  cos  sin    r  r '2 d Câu 7: Tính tích phân mặt loại hai I   yzdydz  zxdxdz  xydxdy , với S biên vật S thể giới hạn x  y  z  1, x  0, y  0, z  , định hướng phía Bài giải Mặt S kín nên ta dùng O-G suy tích phân không [...]... hai mặt phẳng z  0, z  3 Bài giải Chia S làm 2 miền: phía trước(S1) và sau mặt(S2) phẳng Oxz 2  y  2 0  z  3 3 2 y I1   dz  dy  0 0 2 4  y2 Miền D là hình chữ nhật:  Tương tự I2=0 Vậy I=0 Thật ra bài này bằng không ngay từ đầu bằng cách nhận xét: S đối xứng qua Oxz và hàm dưới dấu tích phân lẻ theo biến y ĐỀ 15 Câu 1: Cho f  f (3x  y 2 , e xy ) Tính Bài giải f  2 f , x xy - 14... tích phân vẫn không tính tổng lai được Có phương pháp sau không phải là khai triển maclaurint, ý tương hay nhưng vẫn không giải quyết bài này được, các em tham khảo nhé:   x xe x n  nx n  n 1 x x   xe  1 e     1 xe   x x n 0 n 0 e 1 1 e     1 xdx n  n 1 x   x    1  xe   dx   2 n 0 n 0  n  1 0 e 1 0 n  Tới đây ta lại gặp vấn đề về tính tổng Bài...  y  2 2 2  z  4, z  0 2 Bài giải Gọi D:  x  1   y  2  4 là hình chi u của S lên mp Oxy 2 2   I   z 2 dxdy    4   x  1   y  2  dxdy (Pháp vec tơ tạo với Oz góc tù) S D 2 2 0 0 2 I    d   4  r 2  rdr  8 2 - 30 - ĐỀ 20 Câu 1: Tìm vi phân cấp hai của hàm z  z ( x, y ) là hàm ẩn xác định từ phương trình x  y  z  ez Bài giải Cách 1: x  y  z  ez  x  y... h '' xy  0 - 25 Câu này không giải được Em nào can đảm thì cứ việc Câu 4: Sử dụng khai triển Maclaurint của hàm dưới dấu tích phân thành chuỗi, tính 1  ln 0 1 dx 1 x Bài giải Ta có:  xn 1 ln   ln(1  x)   1 x n 1 n n 1 1  x  1 1 dx    dx   1  ln 1 x n 1 n(n  1) 0 0 n 1 n Câu 5: Tìm diện tích miền phẳng giới hạn bởi x 2  3 y 2  1, y  0, y  x Bài giải y x(t)=cos(t) , y(t)=1/sqrt(3)*sin(t)... 2 sin  dxdydz V  408  5  ĐỀ 17  Câu 1: Cho f ( x, y )  y  ln 3  3 x 2 y Tìm Bài giải f f (0, 0), (0, 0) x y f  x, 0   f  0, 0  ln 3  ln 3 f  lim  0  (0, 0)  0 x 0 x 0 x x x f  0, y   f  0, 0  y  ln 3  ln 3 f lim  lim  1  (0, 0)  1 y 0 y 0 y y y lim - 21 - Câu 2: Tìm cực trị có điều kiện: f ( x, y )  e xy ; x3  y 3  16 Bài giải Xét: L  x, y   e xy ...  Vậy Max V =4 đạt tại (2,2,1) Nhận xét: Không nghi ngờ gì nữa cách 2 hay hơn và gọn hơn cách 1 Nhưng các em nên nhớ đang học GT2 về cực trị và max-min Yêu cầu phải biết vận dụng kiến thức đã học vào những bài toán thực tế Bài này điển hình cho bài tìm max-min cho hàm 3 biến và miền không bị chặn rất hay  1 n 1 n(n  1)(n  2) Câu 3: Tính tổng S   Bài giải 1 11 2 1       n(n  1)(n  2)...  x 2  y dz , với C là giao C của mặt nón y 2  z 2  x và mặt cầu x 2  y 2  z 2  4 ngược chi u kim đồng hồ theo hướng trục Ox Bài giải Nhận xét : mặt nón và mặt cầu cắt nhau theo một đường tròn nằm trong mp x=4 Gọi S là mặt trước của hình tròn có biên là C  x 2  y 2  z 2  4 S : x 2  Áp dụng công thức Stoke I   y 2  z dx  z 2  x dy  x 2  y dz C         (1  2 z )dydz ... đường I   2 y  z 2 dx  2 z  x2 dy  2 x  y 2 dz , với C là C giao của mặt phẳng x  y  z  1 và mặt cầu x2  y 2  z 2  4 ngược chi u kim đồng hồ theo hướng trục Oz Bài giải Chọn S là mặt trên của phần mp x  y  z  1 nằm trong mặt cầu x2  y 2  z 2  4 Áp dụng công thức Stoke:       I   2 y  z 2 dx  2 z  x 2 dy  2 x  y 2 dz C   (2 y  2)dydz  (2 z  2)dxdz  (2 x  2) dxdy S... dưới của  , ta cho x=y suy ra tan  = 3 r trong toạ độ cực mở rộng của Elip luôn đi từ 0 đến 1) - 26  1  0 r  dr  3 3 3 S   dxdy   d  D 3     Câu 6: Tính tích phân I   x3  ye xy dx  y 2  xe xy dy , trong đó C là phần elip C x2 y 2   1 từ 16 9 Bài giải Ta có: P Q   1  xy  e xy do đó tích phân không phụ thuộc vào đường đi: y x I   C   AO 0 3 4 0   x3dx   y 2... bởi x  0, y  0, x  4sin t , y  3cos t , t  0,  / 2 Bài giải : Dùng toạ độ cực mở rộng:  1 2  x2 y 2  3 I      dxdy   dt  12r 3dr  9  2 D  16 0 0 Câu 6: Tính tích phân đường I   3zdx  2 xdy  ydz , với C là giao của mặt phẳng C x  z  2 và mặt cầu x  y  z  4 theo chi u kim đồng hồ theo hướng trục Oz 2 2 2 Bài giải Gọi S là mặt trên của phần mặt phẳng x+z=2 nằm trong mặt