SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NĂM HỌC 2015 – 2016 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu (7,0 điểm) a) Giải phương trình x − 5x + + x + = x − + x + 4x − 1 x − ÷ y + ÷ = y x b) Giải hệ phương trình 2x y + xy − 4xy = 2x − y Câu (2,0 điểm) 2 Cho a,b số nguyên dương thỏa mãn a + b Mab a + b2 × Tính giá trị biểu thức A = 2ab Câu (2,0 điểm) 3(a + b + c) Cho a,b,c số thực Chứng minh (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ Câu (7,0 điểm) Cho đường tròn (O;R) có BC dây cố định (BC < 2R) ; E điểm cung nhỏ BC Gọi A điểm di động cung lớn BC AB < AC (A khác B) Trên đoạn AC lấy điểm D khác C cho ED = EC Tia BD cắt đường tròn (O;R) điểm thứ hai F a) Chứng minh D trực tâm tam giác AEF b) Gọi H trực tâm tam giác DEC; DH cắt BC N Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDN cắt đường tròn (O;R) điểm thứ hai M Chứng minh đường thẳng DM qua điểm cố định Câu (2,0 điểm) Cho tập hợp A gồm 21 phần tử số nguyên khác thỏa mãn tổng 11 phần tử lớn tổng 10 phần tử lại Biết số 101 102 thuộc A Tìm tất phần tử A HẾT Họ tên thí sinh Lê Quang Quân Số báo danh .0020161 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀOTẠO NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NĂM HỌC 2015 – 2016 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: TOÁN ( Hướng dẫn chấm gồm 03 trang) Câu Câu 7,0đ Nội dung Điểm ĐKXĐ: x ≥ 0,5 x − 5x + + x + = x − + x + 4x − a 3,0đ ⇔ (x − 1)(x − 4) + x + − x − − (x − 1)(x + 5) = ⇔ x −1 ⇔ ( ( ) ( ) x −4 − x+5 −2 x −1 − )( x −4 − x+5 = ) 0,5 0,5 x −4 − x +5 = x−4 = x+5 ⇔ x − = 0,5 x − = x + ⇔ x −1 = 0,5 ⇔ x = (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm x = 0,5 b ĐKXĐ: x ≠ 0; y ≠ 4,0đ 0,5 1 (1) x − ÷ y + ÷ = y x 2 2x y + xy − 4xy = 2x − y (2) Phương trình (2) ⇔ 2x + y − = − y x 1 ⇔ 2(x − ) + (y + ) = (3) y x a = x − y Đặt Kết hợp với (1) và(3) ta có hệ b = y + x a − 2a + = a(4 − 2a) = a = ⇔ ⇔ ⇔ b = − 2a b = b = − 2a x − =1 xy − = y a = y ⇔ Với ta có xy + = 2x b = y + = x 0,5 ab = 2a + b = 0,5 0,5 0,5 Câu Nội dung Điểm y = 2x − y = 2x − ⇔ ⇔ x(2x − 2) + = 2x 2x − 4x + = 2+ 2− x = x = ⇔ 2 (thỏa mãn) y = y = − 2+ 2− Vậy hệ cho có nghiệm (x;y) ( ; 2) ( ; − 2) 2 Ký hiệu (x;y) ước chung lớn hai số nguyên x y Gọi d = (a;b) => a = da1 ; b = db1 , với (a1 ; b1 ) = ⇒ a + b = d (a12 + b12 ) ab = d a1b1 Câu 2,0 đ 1,0 0,5 ⇒ d (a12 + b12 )Md 2a1b1 ⇒ a12 + b12 Ma1b1 0,5 ⇒ a Mb1 ⇒ a1 ×a1 Mb1 mà (a1 ; b1 ) = ⇒ a1 Mb1 Tương tự b1 Ma1 suy a1 = b1 = 0,5 ⇒A = Câu 2,0 đ 0,5 d (a12 + b12 ) = 2d a1b1 0,5 Đặt x = a 2, y = b 2, z = c Ta cần chứng minh (x + 2)(y + 2)(z + 2) ≥ 3(x + y + z) 0,5 Ta có (x + 2)(y + 2) = (x + 1)(y + 1) + x + y + = x y + + 2x + 2y + 0,5 ⇒ (x + 2)(y + 2) ≥ 2xy + x + y + ⇒ (x + 2)(y + 2)(z + 2) ≥ (x + y) + = (x + y) + 2 (x + y) z + + 2(x + y) + 2z 4(x + y)z + 2(x + y) + 2z = 3(x + y + z) 2 3(a + b + c) ⇒ (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ Dấu đẳng thức xảy a = b = c = ≥ Câu 7,0 đ K A F O D H B N M E C 0,5 0,5 Câu Nội dung · · Tứ giác ABEC nội tiếp suy ABE + ACE = 180o 0,5 · · · · · · nên ABE Kết hợp với BAE => ABE = ADE = ADE = DAE 0,5 Mặt khác EB = EC = ED nên AE trung trực đoạn BD 0,5 · · · · Kết hợp với ABD (cùng chắn cung AF) ADB (đối đỉnh) = DCF = FDC · · Suy FDC = FCD ⇒ tam giác FDC cân F => FD = FC Kết hợp với ED = EC => EF trung trực DC => DC ⊥ EF (2) 0,5 0,5 0,5 Từ (1) (2) suy D trực tâm tam giác AEF 0,5 Kẻ đường kính EK (O;R).Khi điểm K cố định · · Tứ giác BDNM nội tiếp nên BMD = BND 1· · · = 90o − BAC (3) => BMD = 90o − BCE · · Tứ giác ABMK nội tiếp nên BMK = 1800 − BAK 0,5 1· · · · = BAE + EAK = 90o + BAC Mà BAK 1· · · · ⇒ BMK = 90o − BAC (4) Từ (3) (4) suy BMD = BMK Suy ba điểm M, D, K thẳng hàng Do MD qua điểm K cố định 0,5 Giả sử A = { a1 ;a ;a 3; ;a 21} với a1 ;a ;a 3; ;a 21 ∈ Z a1 < a < a < < a 21 Câu 2,0 đ 0,5 · · · · Mà EDC ADE = ACE + EDC = 180o a · · = ADB 4,0đ => AE ⊥ BF (1) AB = AD => ABD b 3,0đ Điểm Theo giả thiết ta có a1 + a + a + + a11 > a12 + a13 + + a 21 ⇔ a1 > a12 − a + a13 − a + + a 21 − a11 (1) Mặt khác với x; y ∈ Z x < y y ≥ x + => a12 − a ≥ 10, a13 − a ≥ 10, , a 21 − a11 ≥ 10 (2) Nên từ (1) suy a1 > 10+10+ +10 = 100 => a1 =101 (vì 101 ∈ A) => 101 > a12 − a + a13 − a + + a 21 − a11 ≥ 100 => a12 − a + a13 − a + + a 21 − a11 = 100 Kết hợp với (2) => a12 − a = a13 − a = = a 21 − a11 = 10 (3) ⇒ 10 = a12 − a = (a12 − a11 ) + (a11 − a10 ) + + (a − a ) ≥ 10 ⇒ a12 − a11 = a11 − a10 = = a − a = (4) Ta có a1 =101 mà 102 ∈ A => a =102 Kết hợp với (3) (4) suy A = { 101;102;103; ;121} Lưu ý: - Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa - Điểm thi tổng điểm thành phần, không làm tròn 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5