BÀI tập số PHỨC CHỌN lọc

PHẠM NGỌC THUYẾT 01649836618 BÀI TẬP SỐ PHỨC Định nghĩa số phức Số phức z biểu thức có dạng z = a + bi, a b số thực, i số thỏa mãn i² = –1 a phần thực; b phần ảo; i đơn vị ảo Tập hợp số phức kí hiệu C Đặt biệt: Số phức z = a có phần ảo coi số thực Số phức z = bi có phần thực gọi số ảo Số phức z = vừa số thực, vừa số ảo Số phức Hai số phức a = a + bi z’ = a’ + b’i phần thực phần ảo chúng tương ứng a  a ' a  bi  a ' b 'i   b  b ' Biểu diễn hình học số phức Số phức z = a + bi biểu diễn điểm M(a; b) mặt phẳng Oxy Mô đun số phức Môđun số phức z = a + bi số thực không âm kí hiệu z = a +b2 Số phức liên hợp Số phức liên hợp số phức z = a + bi số phức z  a  bi Cộng, trừ, nhân, chia số phức Cho hai số phức z = a + bi z’ = a’ + b’i Cộng hai số phức: (a + bi) + (a’ + b’i) = (a + a’) + (b + b’)i Trừ hai số phức: (a + bi) – (a’ + b’i) = (a – a’) + (b – b’)i Nhân hai số phức: (a + bi)(a’ + b’i) = (aa’ – bb’) + (ab’ + a’b)i Chia hai số phức: a  bi aa ' bb ' ab ' a 'b   i a ' b 'i a '2  b '2 a '2  b '2 Căn bậc hai số thực âm Căn bậc hai số thực a < i a Phương trình bậc hai với hệ số thực Cho phương trình bậc hai ax² + bx + c = với hệ số thực a, b, c a ≠ Khi Δ < phương trình có hai nghiệm phức: x1,2  b  i Δ 2a Dạng lượng giác số phức z = r(cos φ + i sin φ) (r > 0) dạng lượng giác số phức z = a + bi, z ≠ a  cos φ    r Trong r  a  b2 mô đun z; φ acgumen z thỏa  sin φ  b  r Nhân chia số phức dạng lượng giác Nếu z = r(cos φ + i sin φ), z '  r '  cos φ ' i sin φ ' * z.z '  r.r ' cos  φ  φ '  i sin  φ  φ '  * z r  cos  φ  φ '  i sin  φ  φ '   z' r'  Công thức Moivre: n số nguyên dương  r  cos φ  i sin φ    r n  cos nφ  i sin nφ  n Căn bậc hai số phức dạng lượng giác Căn bậc hai số phức z = r(cos φ + i sin φ) (r > 0) φ φ φ φ   r  cos  i sin   r  cos  i sin  2 2   PHẠM NGỌC THUYẾT 01649836618 Bài tập Bài 1: Tìm mô đun số phức z = + 4i + (1 – i)³ Bài 2: Cho hai số phức z1   5i ; z   i Tính z z1 z2 z2 Bài 3: Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình: z² + 2x + 10 = Tính giá trị biểu thức A = z1  z 2 Bài 4: Tìm số phức z thỏa mãn hai điều kiện: z    i   10 z.z  25 z  z2 z Bài 6: Giải phương trình: z  2z  (1  5i)2 Bài 5: Cho số phức z = – 3i Tìm Bài 7: Tìm bậc hai số phức z   3 i 2 Bài 8: Tìm bậc hai số phức: z = 21 – 20i Bài 9: Giải phương trình: z² – 2(2 + i)z + (7 + 4i) = Bài 10: Giải phương trình tập C: z  2z3  z  2z   Bài 11: Giải phương trình tập C: 2z  2z3  z  2z    Z1  Z2   3i 2  Z1  Z2   4i Bài 12: Giải hệ phương trình sau tập số phức:  Bài 13: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện sau: z    4i   Bài 14: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: z  i  z  z  2i Bài 15: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện sau: z   5i    Bài 16: Viết số phức sau dạng đại số: z  (  i)9 (1  i)5 Bài 17: Viết dạng lượng giác số phức z   3i Bài 18: Viết dạng lượng giác tính: (1 + i)2014 Bài 19: Tìm dạng lượng giác số phức sau: z  1 i 3 i Bài 20: Tìm phần thực phần ảo số phức: z  Bài 21: Cho số phức z = a + bi  a, b  a z   z  2 z2   z  b  zz   6i  2008  5    sin  isin    2009  Các số sau số thực hay số ảo Bài 22: Tìm phần thực phần ảo số phức z = 2014i2013 + 2013i2014 Bài 23: Giải phương trình sau tập hợp số phức: z2  1  2i  z  8i  Bài 24: Tính z + z z z với a) z = + 3i b) z = –5 + 3i Bài 25: Tìm phần thực phần ảo số phức sau PHẠM NGỌC THUYẾT 01649836618 a) (1 + i)² – (1 – i)² b) (2 + i)3 – (3 – i)3 c) i i  1 i i Bài 26: Tính 1 i  c) a  bi b) a  bi  i tan x a)  i tan x  i  1  d) 1  i 5  (1  i) Bài 27: Tính n  i 3 1 i  a) (với n số nguyên dương) b)     n 2  1  i   2 1 i 3     2 3 i , tính Bài 28: Giả sử z    a) A= (a + b)(a + bz)(a + bz²) b) B = (a + bz + cz²)³ + (a + bz² + cz)³ Bài 29: Giải hệ phương trình sau với x, y, z số phức   i  x    2i  y   6i   2i  x    3i  y   4i    i  x  (2  i)y   (3  2i)x  (3  2i)y  a)  b)  Bài 30: Tìm phức mà số liên hợp với a) Bình phương b) Lập phương Bài 31: Cho số phức z = x + iy (x, y thuộc R) Tìm phần thực phần ảo số sau a) z2 – 2z + 4i b) zi iz  Bài 32: Giải phương trình sau a) 2i 1  3i z 1 i 2i b) [(2  i)z   i]  iz   1 0 2i  2k 1 Bài 33: Giả sử z k  i  i với k số nguyên dương Tính zk + zk+1 Bài 34: Thực phép tính 2k a) (2  i)3  (2  i)3 (2  i)  (2  i) b) (2 – i)6 Bài 35: Cho hai số phức z = a + bi z’ = a’ + b’i Với điều kiện a, b, a’, b’ tổng z + z’ số thực? số ảo? Bài 36: Với điều kiện a, b z³ số thực? số ảo? Bài 37: Xác định tập điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn a) z = a + ai, a số thực b) số ảo zi Bài 38: Xác định tập điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn a) z2 số thực âm b) z  i   z  i  Bài 39: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z = x + yi với x, y thuộc R thỏa mãn a)  z  x  y  x  0, y  b)  Bài 40: Chứng minh a) Bình phương hai số phức liên hợp liên hợp b) Lập phương hai số phức liên hợp liên hợp c) Lũy thừa bậc n số phức liên hợp liên hợp Bài 41: Cho z = a + bi Chứng minh z  a  b Khi đẳng thức xảy Bài 42: Biết số phức biểu diễn ba đỉnh hình bình hành mặt phẳng phức, tìm số biểu diễn đỉnh lại PHẠM NGỌC THUYẾT 01649836618 Bài 43: Xác định tập hợp điểm M mặt phẳng phức biểu diễn số phức z = x + yi (x, y  số thực) thỏa mãn điều kiện z  z 0 Bài 44: A, B, C, D bốn điểm mặt phẳng phức biểu diễn số: + 2i, +  i , + – i, – 2i Chứng minh ABCD tứ giác nội tiếp đường tròn Hỏi tâm đường tròn biểu diễn số phức nào? Bài 45: Tìm bậc hai a) + 4i b)  2i Bài 46: Tìm bậc hai a) –8 + 6i b) –8 – 6i Bài 47: Gọi z bậc hai + i, z’ bậc hai – i Tính z + z’ Bài 48: Tìm số phức z cho z³ = –i Bài 49: Tìm số phức z cho z4 = –1 Bài 50: Cho z = a + bi có bậc hai   m  ni  Tìm bậc hai –a – bi a – bi Bài 51: Giải phương trình bậc hai sau tập hợp số phức C: a) z2 – z + = b) 2z2 – 5z + = (Tốt nghiệp THPT 2006) Bài 52: Giải phương trình sau tập số phức a) z2 + z + = b) z2  z   Bài 53: Giải phương trình x2 + 3ix + = Bài 54: Giải phương trình C: a) z  z  b) (z2 + z)2 + 4(z2 + z) – 12 = Bài 55: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm z1 = – 3i z2 = i Bài 56: Giải phương trình tập C: a) x4 – 3x2 + = b) x4 – 30x2 + 289 = Bài 57: Giải phương trình C: x3 + = Bài 58: Cho phương trình 3z4 – 5z3 + 3z2 + 4z – = a) Chứng tỏ + i nghiệm phương trình b) Tìm nghiệm lại Bài 59: Giải phương trình sau C: z4 + = biểu diễn tập nghiệm mặt phẳng phức Bài 60: Viết dạng đại số số phức a)       cos     i.sin        4 3 3 b)  cos  i.sin    Bài 61: Biểu diễn số phức sau dạng lượng giác: b)   i a) –1 + i Bài 63: Tìm số phức z thỏa : (1 – z)(1 + 2i) + (1 – iz)(3 – 4i) = + 7i Viết số phức z dạng lượng giác Bài 64: Tìm acgumen số phức  a) z =  sin  icos  b) z =  sin   i cos  với (0 < φ < π/2) Bài 65: Viết dạng lượng giác số phức: a)  i tan  b)  cos   i sin  (φ ≠ k2π, k số nguyên) Bài 66: Khi môđun tổng hai số phức hiệu môđun hai số Bài 67: Tìm hệ thức liên hệ hai acgumen số phức z1, z2 trường hợp sau: a) z1z2 = k, k < b) z1z2 = –i c) z1 = –3z2 Bài 68: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện: z   1 z z PHẠM NGỌC THUYẾT 01649836618 Bài 69: Viết số phức z1 z2 dạng lượng giác tính z1z2 a) z1   i ; z2 = + i z1 biết z2 b) z1   i ; z2 = – i Bài 70: Tìm vị trí điểm biểu diễn số phức có agumen  Bài 71: Tính    a)  cos  i sin  75 75   25 12 1 3 b)   i   2 c) (1 + i)16 Bài 72: Tính   a)  cos  i sin  i5  3i 3    10 1 i  b) c)   z 2000  1 z 2000 z biết z   Bài 73: Viết dạng lượng giác bậc hai số phức a) 1 i b) i c)   i Bài 74: Tìm nghiệm phức phương trình: z4 – = i  7i  n Bài 75: Với n nguyên dương số phức:   số thực, số ảo   3i  Bài 76: Chứng minh 1 3 a) C1n  C4n  C7n    2n  2cos  n  2   ;  1 3 b) C2n  C5n  C8n    2n  2cos  n  4     Bài 77: Phân tích thừa số phức biểu thức sau a) a² + b) 4a² + 9b² Bài 78: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện 2 a) z   2i  b) 1  i  z  1  i  z c) log z  i  d) z   z   26 Bài 79: Cho số phức z = a + bi Một hình vuông tâm gốc tọa độ O, cạnh song song với trục tọa độ có độ dài Hãy xác định điều kiện a b để điểm biểu diễn z: a) Nằm hình vuông b) Nằm đường chéo hình vuông Bài 80: Xác định tập hợp điểm M mphẳng phức biểu diễn số phức (1  i 3)z  mà z   Bài 81: Xác định tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện sau: a) 2i  2z  2z 1 b) 2iz   z  Bài 82: Giải phương trình a) z2 – (3 – i)z + (4 – 3i) = b) 3ix2 – 2x – 4+ i = Bài 83: Tìm số phức B để pt bậc hai z2 + Bz + 3i = có tổng bình phương hai nghiệm Bài 84: Tìm điều kiện cần đủ số thực p, q để phương trình: z4 + pz2 + q = a) Chỉ có nghiệm thực b) Không có nghiệm thực c) Có nghiệm thực nghiệm không thực Bài 85: Định a để phươnh trình z3 – az2 + 3az + 37 = có nghiệm –1 Tính nghiệm z1 z2 lại C Vẽ điểm A, M, N biểu diễn cho –1, z1, z2 Tính chất tam giác AMN PHẠM NGỌC THUYẾT 01649836618 Bài 86: Chứng minh số phức z ≠ –1 mà mô đun 1, đặt dạng: z = t số thực Bài 87: Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z biết acgumen  ti ,  ti  zi zi Bài 88: Xét điểm mặt phẳng biểu diễn số + i, + i để chứng minh tan a = 1/2, tan b = 1/3 với < a, b < π/2 a + b =  Bài 89: Tính  1  a)    1 i  20  i  b)      24 Bài 90: Gọi z1, z2 hai nghiệm phức phương trình z² – 2z + 10 = Tính giá trị biểu thức 2 A  z1  z 2  3i   1  i   Bài 91: Tính mô đun số phức z , biết: z  1  2i 2 Bài 92: Cho số phức z = + i Tính mô đun số phức z10   i  i  i3  i  i5  Bài 93: Với i đơn vị ảo i  1 Chứng minh   i  i5   Bài 94: Chứng minh 1  i  40 2020 1  1048576 Bài 95: Xác định mô đun số phức z, biết: z    i     2i   1  i  Bài 96: Xác định mô đun số phức z, biết z   1  i  2 Bài 97: Cho hai số phức z1 = – 4i z2 = – 6i Tính giá trị A  z1  z1 z  z 2 SỐ PHỨC TRONG CÁC ĐỀ THI Bài Giải phương trình 2x² – 5x + = tập số phức (TN THPT 2006) Bài Giải phương trình x² – 4x + = tập số phức (TN THPT 2007 – Lần I) Bài Giải phương trình x² – 6x + 25 = tập số phức (TN THPT 2007 – Lần II) Bài Tìm giá trị biểu thức sau: P  (1  3i)2  (1  3i)2 (TN THPT 2008 – Lần I) Bài Giải phương trình x² – 2x + = tập số phức (TN THPT 2008 – Lần II) Bài Giải phương trình 8z² – 4z + = tập số phức (TN THPT 2009 – Cơ Bản) Bài Giải phương trình 2z² – iz + = tập số phức (TN THPT 2009 – Nâng Cao) Bài Giải phương trình 2z² + 6z + = tập số phức (TN 2010 – GDTX) Bài Cho hai số phức z1 = + 2i, z2 = – 3i Xác định phần thực phần ảo số z1 – 2z2 (TN THPT 2010 – Cơ Bản) Bài 10 Cho hai số phức z1 = + 5i, z2 = – 4i Xác định phần thực phần ảo số phức z1z2 (TN THPT 2010 – Nâng Cao) Bài 11 a Gọi z1, z2 hai nghiệm phức phương trình z² + 2z + 10 = Tính giá trị biểu thức sau: A  | z1 |2  | z |2 (DH A 2009) PHẠM NGỌC THUYẾT 01649836618 b Cho z1, z2 nghiệm phức phương trình 2z² – 4z + 11 = Tính giá trị biểu thức sau: A z1  z 2  z1  z2 2 Bài 12 Tìm số phức z thỏa mãn | z  (2  i) |  10 z.z  25 (DH B 2009 – CB) Bài 13 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện | z  (3  4i) |  (DH D 2009) Bài 14 Cho số phức z thỏ mãn: (1  i)2 (2  i)z   i  (1  2i)z Xác định phần thực phần ảo z (CĐ 2009 – CB) Bài 15 Giải phương trình 4z   7i  z  2i tập số phức (CĐ 2009 – NC) z i Bài 16 Tìm phần ảo số phức z, biết: z  (  i)2 (1  2i) (DH A 2010 – CB) Bài 17 Cho số phức z thỏa mãn: z  (1  3i)3 Tìm môđun z  iz (DH A 2010 – NC) 1 i Bài 18 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện | z  i |  | (1  i)z | (DH B 2010 – CB) Bài 19 Tìm số phức z thoả mãn điều kiện | z |  z2 số ảo (DH D 2010) Bài 20 Cho số phức z thỏ mãn: (2  3i)z  (4  i)z  (1  3i)2 Xác định phần thực phần ảo z (CĐ 2010 – CB) Bài 21 Giải phương trình z² – (1 + i)z + + 3i = tập số phức (CĐ 2010 – NC) Bài 22 Tìm số phức liên hợp tính mô dun số phức z, biết z = + 4i + 2i(1 – 3i) (TN GDTX 2011) Bài 23 Giải phương trình (1 – i)z + (2 – i) = – 5i tập số phức (TN THPT 2011 – CB) Bài 24 Giải phương trình (z – i)² + = tập số phức (TN THPT 2011 – NC) Bài 25 Tìm phần thực phần ảo mô dun số phức z = (2 + 3i)(1 – i) – 4i (TN GDTX 2012) 25i , biết z = – 4i (TN THPT 2012 – CB) z  9i  5i (TN THPT 2012 – NC) Bài 27 Tìm bậc hai số phức z = 1 i Bài 26 Tìm số phức 2z + z Bài 28 Cho số phức z thỏa mãn (1 + 2i)²z + z = 4i – 20 Tìm modun số phức z (CĐ 2011 – CB) Bài 29 Cho số phức z thỏa mãn z² – 2(1 + i)z + 2i = Tìm phần thực phần ảo (CĐ 2011 z – NC) Bài 30 Tìm số phức z biết z  5i   (DH B 2011 – CB) z  1 i  Bài 31 Tìm phần thực phần ảo số phức z =   (DH B 2011 – NC)  1 i  Bài 32 Tìm số phức z biết z  (2  3i)z   9i (DH D 2011 – CB) Bài 33 Tìm tất số phức z biết z² = z  z (DH A 2011 – CB) Bài 34 Tính modun số phức z biết (1 + i)(2z – 1) + ( z + 1)(1 – i) = – 2i (DH A 2011 – NC) PHẠM NGỌC THUYẾT 01649836618 Bài 35 Cho số phức z thỏa mãn (1 – 2i)z – 2i = (3 – i)z Tìm tọa độ điểm biểu diễn số phức z 1 i mặt phẳng Oxy (CĐ 2012 – CB) Bài 36 Gọi z1, z2 hai nghiệm phức phương trình z² – 2z + + 2i = Tính z1  z (CĐ 2012 – NC) Bài 37 Cho số phức z thỏa mãn 5(z  i) = – i Tính modun số phức w = + z + z² (DH AA1 z 1 2012 – NC) Bài 38 Gọi z1, z2 hai nghiệm phức phương trình z² – 2i z – = Viết dạng lượng giác z1 z2 (DH B 2012 – NC) Bài 39 Cho số phức z thỏa mãn (2 + i)z + 2(1  2i) = + 8i Tìm modun số phức w = z + + i 1 i (DH D 2012 – CB) Bài 40 Giải phương trình z² + 3(1 + i)z + 5i = tập hợp số phức (DH D 2012 – NC) Bài 41 Tìm số phức liên hợp số phức z biết z = 5i(1 – 2i) + – i (TN GDTX 2013) Bài 42 Cho số phức z thỏa mãn (1 + i)z – – 4i = Tìm số phức liên hợp z (TN 2013 – CB) Bài 43 Giải phương trình z² – (2 + 3i)z + + 3i = tập số phức (TN THPT 2013 – NC) Bài 44 Cho số phức z thỏa mãn (3 + 2i)z + (2 – i)² = + i Tìm phần thực phần ảo số phức w = (1 + z) z (CĐ 2013 – CB) Bài 45 Giải phương trình z² + (2 – 3i)z – – 3i = tập C số phức (CĐ 2013 – NC) Bài 46 Cho số phức z = + i Viết dạng lượng giác z Tìm phần thực phần ảo số phức w = (1 + i)z5 (DH AA1 2013 – NC) Bài 47 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: (1 + i)(z – i) + 2z = 2i Tính modun số phức w= z  2z  z2 (DH D 2013 – CB) Bài 48 (A,2014) Cho số phức 𝑧 thỏa mãn điều kiện 𝑧 + (2 + 𝑖)𝑧̅ = + 5𝑖, tìm phần thực phần ảo 𝑧 Bài 49.(B, 2014) Cho số phức 𝑧 thỏa mãn điều kiện 2𝑧 + 3(1 − 𝑖)𝑧̅ = − 9𝑖 Tính môđun 𝑧 Bài 50.(D, 2014) Cho số phức 𝑧 thỏa mãn điều kiện (3𝑧 − 𝑧̅)(1 − 𝑖) − 5𝑧 = 8𝑖 − Tính môđun 𝑧