PHẠM NGỌC THUYẾT 01649836618 BÀI TẬP SỐ PHỨC Định nghĩa số phức Số phức z biểu thức có dạng z = a + bi, a b số thực, i số thỏa mãn i² = –1 a phần thực; b phần ảo; i đơn vị ảo Tập hợp số phức kí hiệu C Đặt biệt: Số phức z = a có phần ảo coi số thực Số phức z = bi có phần thực gọi số ảo Số phức z = vừa số thực, vừa số ảo Số phức Hai số phức a = a + bi z’ = a’ + b’i phần thực phần ảo chúng tương ứng a a ' a bi a ' b 'i b b ' Biểu diễn hình học số phức Số phức z = a + bi biểu diễn điểm M(a; b) mặt phẳng Oxy Mô đun số phức Môđun số phức z = a + bi số thực không âm kí hiệu z = a +b2 Số phức liên hợp Số phức liên hợp số phức z = a + bi số phức z a bi Cộng, trừ, nhân, chia số phức Cho hai số phức z = a + bi z’ = a’ + b’i Cộng hai số phức: (a + bi) + (a’ + b’i) = (a + a’) + (b + b’)i Trừ hai số phức: (a + bi) – (a’ + b’i) = (a – a’) + (b – b’)i Nhân hai số phức: (a + bi)(a’ + b’i) = (aa’ – bb’) + (ab’ + a’b)i Chia hai số phức: a bi aa ' bb ' ab ' a 'b i a ' b 'i a '2 b '2 a '2 b '2 Căn bậc hai số thực âm Căn bậc hai số thực a < i a Phương trình bậc hai với hệ số thực Cho phương trình bậc hai ax² + bx + c = với hệ số thực a, b, c a ≠ Khi Δ < phương trình có hai nghiệm phức: x1,2 b i Δ 2a Dạng lượng giác số phức z = r(cos φ + i sin φ) (r > 0) dạng lượng giác số phức z = a + bi, z ≠ a cos φ r Trong r a b2 mô đun z; φ acgumen z thỏa sin φ b r Nhân chia số phức dạng lượng giác Nếu z = r(cos φ + i sin φ), z ' r ' cos φ ' i sin φ ' * z.z ' r.r ' cos φ φ ' i sin φ φ ' * z r cos φ φ ' i sin φ φ ' z' r' Công thức Moivre: n số nguyên dương r cos φ i sin φ r n cos nφ i sin nφ n Căn bậc hai số phức dạng lượng giác Căn bậc hai số phức z = r(cos φ + i sin φ) (r > 0) φ φ φ φ r cos i sin r cos i sin 2 2 PHẠM NGỌC THUYẾT 01649836618 Bài tập Bài 1: Tìm mô đun số phức z = + 4i + (1 – i)³ Bài 2: Cho hai số phức z1 5i ; z i Tính z z1 z2 z2 Bài 3: Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình: z² + 2x + 10 = Tính giá trị biểu thức A = z1 z 2 Bài 4: Tìm số phức z thỏa mãn hai điều kiện: z i 10 z.z 25 z z2 z Bài 6: Giải phương trình: z 2z (1 5i)2 Bài 5: Cho số phức z = – 3i Tìm Bài 7: Tìm bậc hai số phức z 3 i 2 Bài 8: Tìm bậc hai số phức: z = 21 – 20i Bài 9: Giải phương trình: z² – 2(2 + i)z + (7 + 4i) = Bài 10: Giải phương trình tập C: z 2z3 z 2z Bài 11: Giải phương trình tập C: 2z 2z3 z 2z Z1 Z2 3i 2 Z1 Z2 4i Bài 12: Giải hệ phương trình sau tập số phức: Bài 13: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện sau: z 4i Bài 14: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: z i z z 2i Bài 15: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện sau: z 5i Bài 16: Viết số phức sau dạng đại số: z ( i)9 (1 i)5 Bài 17: Viết dạng lượng giác số phức z 3i Bài 18: Viết dạng lượng giác tính: (1 + i)2014 Bài 19: Tìm dạng lượng giác số phức sau: z 1 i 3 i Bài 20: Tìm phần thực phần ảo số phức: z Bài 21: Cho số phức z = a + bi a, b a z z 2 z2 z b zz 6i 2008 5 sin isin 2009 Các số sau số thực hay số ảo Bài 22: Tìm phần thực phần ảo số phức z = 2014i2013 + 2013i2014 Bài 23: Giải phương trình sau tập hợp số phức: z2 1 2i z 8i Bài 24: Tính z + z z z với a) z = + 3i b) z = –5 + 3i Bài 25: Tìm phần thực phần ảo số phức sau PHẠM NGỌC THUYẾT 01649836618 a) (1 + i)² – (1 – i)² b) (2 + i)3 – (3 – i)3 c) i i 1 i i Bài 26: Tính 1 i c) a bi b) a bi i tan x a) i tan x i 1 d) 1 i 5 (1 i) Bài 27: Tính n i 3 1 i a) (với n số nguyên dương) b) n 2 1 i 2 1 i 3 2 3 i , tính Bài 28: Giả sử z a) A= (a + b)(a + bz)(a + bz²) b) B = (a + bz + cz²)³ + (a + bz² + cz)³ Bài 29: Giải hệ phương trình sau với x, y, z số phức i x 2i y 6i 2i x 3i y 4i i x (2 i)y (3 2i)x (3 2i)y a) b) Bài 30: Tìm phức mà số liên hợp với a) Bình phương b) Lập phương Bài 31: Cho số phức z = x + iy (x, y thuộc R) Tìm phần thực phần ảo số sau a) z2 – 2z + 4i b) zi iz Bài 32: Giải phương trình sau a) 2i 1 3i z 1 i 2i b) [(2 i)z i] iz 1 0 2i 2k 1 Bài 33: Giả sử z k i i với k số nguyên dương Tính zk + zk+1 Bài 34: Thực phép tính 2k a) (2 i)3 (2 i)3 (2 i) (2 i) b) (2 – i)6 Bài 35: Cho hai số phức z = a + bi z’ = a’ + b’i Với điều kiện a, b, a’, b’ tổng z + z’ số thực? số ảo? Bài 36: Với điều kiện a, b z³ số thực? số ảo? Bài 37: Xác định tập điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn a) z = a + ai, a số thực b) số ảo zi Bài 38: Xác định tập điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn a) z2 số thực âm b) z i z i Bài 39: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z = x + yi với x, y thuộc R thỏa mãn a) z x y x 0, y b) Bài 40: Chứng minh a) Bình phương hai số phức liên hợp liên hợp b) Lập phương hai số phức liên hợp liên hợp c) Lũy thừa bậc n số phức liên hợp liên hợp Bài 41: Cho z = a + bi Chứng minh z a b Khi đẳng thức xảy Bài 42: Biết số phức biểu diễn ba đỉnh hình bình hành mặt phẳng phức, tìm số biểu diễn đỉnh lại PHẠM NGỌC THUYẾT 01649836618 Bài 43: Xác định tập hợp điểm M mặt phẳng phức biểu diễn số phức z = x + yi (x, y số thực) thỏa mãn điều kiện z z 0 Bài 44: A, B, C, D bốn điểm mặt phẳng phức biểu diễn số: + 2i, + i , + – i, – 2i Chứng minh ABCD tứ giác nội tiếp đường tròn Hỏi tâm đường tròn biểu diễn số phức nào? Bài 45: Tìm bậc hai a) + 4i b) 2i Bài 46: Tìm bậc hai a) –8 + 6i b) –8 – 6i Bài 47: Gọi z bậc hai + i, z’ bậc hai – i Tính z + z’ Bài 48: Tìm số phức z cho z³ = –i Bài 49: Tìm số phức z cho z4 = –1 Bài 50: Cho z = a + bi có bậc hai m ni Tìm bậc hai –a – bi a – bi Bài 51: Giải phương trình bậc hai sau tập hợp số phức C: a) z2 – z + = b) 2z2 – 5z + = (Tốt nghiệp THPT 2006) Bài 52: Giải phương trình sau tập số phức a) z2 + z + = b) z2 z Bài 53: Giải phương trình x2 + 3ix + = Bài 54: Giải phương trình C: a) z z b) (z2 + z)2 + 4(z2 + z) – 12 = Bài 55: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm z1 = – 3i z2 = i Bài 56: Giải phương trình tập C: a) x4 – 3x2 + = b) x4 – 30x2 + 289 = Bài 57: Giải phương trình C: x3 + = Bài 58: Cho phương trình 3z4 – 5z3 + 3z2 + 4z – = a) Chứng tỏ + i nghiệm phương trình b) Tìm nghiệm lại Bài 59: Giải phương trình sau C: z4 + = biểu diễn tập nghiệm mặt phẳng phức Bài 60: Viết dạng đại số số phức a) cos i.sin 4 3 3 b) cos i.sin Bài 61: Biểu diễn số phức sau dạng lượng giác: b) i a) –1 + i Bài 63: Tìm số phức z thỏa : (1 – z)(1 + 2i) + (1 – iz)(3 – 4i) = + 7i Viết số phức z dạng lượng giác Bài 64: Tìm acgumen số phức a) z = sin icos b) z = sin i cos với (0 < φ < π/2) Bài 65: Viết dạng lượng giác số phức: a) i tan b) cos i sin (φ ≠ k2π, k số nguyên) Bài 66: Khi môđun tổng hai số phức hiệu môđun hai số Bài 67: Tìm hệ thức liên hệ hai acgumen số phức z1, z2 trường hợp sau: a) z1z2 = k, k < b) z1z2 = –i c) z1 = –3z2 Bài 68: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện: z 1 z z PHẠM NGỌC THUYẾT 01649836618 Bài 69: Viết số phức z1 z2 dạng lượng giác tính z1z2 a) z1 i ; z2 = + i z1 biết z2 b) z1 i ; z2 = – i Bài 70: Tìm vị trí điểm biểu diễn số phức có agumen Bài 71: Tính a) cos i sin 75 75 25 12 1 3 b) i 2 c) (1 + i)16 Bài 72: Tính a) cos i sin i5 3i 3 10 1 i b) c) z 2000 1 z 2000 z biết z Bài 73: Viết dạng lượng giác bậc hai số phức a) 1 i b) i c) i Bài 74: Tìm nghiệm phức phương trình: z4 – = i 7i n Bài 75: Với n nguyên dương số phức: số thực, số ảo 3i Bài 76: Chứng minh 1 3 a) C1n C4n C7n 2n 2cos n 2 ; 1 3 b) C2n C5n C8n 2n 2cos n 4 Bài 77: Phân tích thừa số phức biểu thức sau a) a² + b) 4a² + 9b² Bài 78: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện 2 a) z 2i b) 1 i z 1 i z c) log z i d) z z 26 Bài 79: Cho số phức z = a + bi Một hình vuông tâm gốc tọa độ O, cạnh song song với trục tọa độ có độ dài Hãy xác định điều kiện a b để điểm biểu diễn z: a) Nằm hình vuông b) Nằm đường chéo hình vuông Bài 80: Xác định tập hợp điểm M mphẳng phức biểu diễn số phức (1 i 3)z mà z Bài 81: Xác định tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện sau: a) 2i 2z 2z 1 b) 2iz z Bài 82: Giải phương trình a) z2 – (3 – i)z + (4 – 3i) = b) 3ix2 – 2x – 4+ i = Bài 83: Tìm số phức B để pt bậc hai z2 + Bz + 3i = có tổng bình phương hai nghiệm Bài 84: Tìm điều kiện cần đủ số thực p, q để phương trình: z4 + pz2 + q = a) Chỉ có nghiệm thực b) Không có nghiệm thực c) Có nghiệm thực nghiệm không thực Bài 85: Định a để phươnh trình z3 – az2 + 3az + 37 = có nghiệm –1 Tính nghiệm z1 z2 lại C Vẽ điểm A, M, N biểu diễn cho –1, z1, z2 Tính chất tam giác AMN PHẠM NGỌC THUYẾT 01649836618 Bài 86: Chứng minh số phức z ≠ –1 mà mô đun 1, đặt dạng: z = t số thực Bài 87: Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z biết acgumen ti , ti zi zi Bài 88: Xét điểm mặt phẳng biểu diễn số + i, + i để chứng minh tan a = 1/2, tan b = 1/3 với < a, b < π/2 a + b = Bài 89: Tính 1 a) 1 i 20 i b) 24 Bài 90: Gọi z1, z2 hai nghiệm phức phương trình z² – 2z + 10 = Tính giá trị biểu thức 2 A z1 z 2 3i 1 i Bài 91: Tính mô đun số phức z , biết: z 1 2i 2 Bài 92: Cho số phức z = + i Tính mô đun số phức z10 i i i3 i i5 Bài 93: Với i đơn vị ảo i 1 Chứng minh i i5 Bài 94: Chứng minh 1 i 40 2020 1 1048576 Bài 95: Xác định mô đun số phức z, biết: z i 2i 1 i Bài 96: Xác định mô đun số phức z, biết z 1 i 2 Bài 97: Cho hai số phức z1 = – 4i z2 = – 6i Tính giá trị A z1 z1 z z 2 SỐ PHỨC TRONG CÁC ĐỀ THI Bài Giải phương trình 2x² – 5x + = tập số phức (TN THPT 2006) Bài Giải phương trình x² – 4x + = tập số phức (TN THPT 2007 – Lần I) Bài Giải phương trình x² – 6x + 25 = tập số phức (TN THPT 2007 – Lần II) Bài Tìm giá trị biểu thức sau: P (1 3i)2 (1 3i)2 (TN THPT 2008 – Lần I) Bài Giải phương trình x² – 2x + = tập số phức (TN THPT 2008 – Lần II) Bài Giải phương trình 8z² – 4z + = tập số phức (TN THPT 2009 – Cơ Bản) Bài Giải phương trình 2z² – iz + = tập số phức (TN THPT 2009 – Nâng Cao) Bài Giải phương trình 2z² + 6z + = tập số phức (TN 2010 – GDTX) Bài Cho hai số phức z1 = + 2i, z2 = – 3i Xác định phần thực phần ảo số z1 – 2z2 (TN THPT 2010 – Cơ Bản) Bài 10 Cho hai số phức z1 = + 5i, z2 = – 4i Xác định phần thực phần ảo số phức z1z2 (TN THPT 2010 – Nâng Cao) Bài 11 a Gọi z1, z2 hai nghiệm phức phương trình z² + 2z + 10 = Tính giá trị biểu thức sau: A | z1 |2 | z |2 (DH A 2009) PHẠM NGỌC THUYẾT 01649836618 b Cho z1, z2 nghiệm phức phương trình 2z² – 4z + 11 = Tính giá trị biểu thức sau: A z1 z 2 z1 z2 2 Bài 12 Tìm số phức z thỏa mãn | z (2 i) | 10 z.z 25 (DH B 2009 – CB) Bài 13 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện | z (3 4i) | (DH D 2009) Bài 14 Cho số phức z thỏ mãn: (1 i)2 (2 i)z i (1 2i)z Xác định phần thực phần ảo z (CĐ 2009 – CB) Bài 15 Giải phương trình 4z 7i z 2i tập số phức (CĐ 2009 – NC) z i Bài 16 Tìm phần ảo số phức z, biết: z ( i)2 (1 2i) (DH A 2010 – CB) Bài 17 Cho số phức z thỏa mãn: z (1 3i)3 Tìm môđun z iz (DH A 2010 – NC) 1 i Bài 18 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện | z i | | (1 i)z | (DH B 2010 – CB) Bài 19 Tìm số phức z thoả mãn điều kiện | z | z2 số ảo (DH D 2010) Bài 20 Cho số phức z thỏ mãn: (2 3i)z (4 i)z (1 3i)2 Xác định phần thực phần ảo z (CĐ 2010 – CB) Bài 21 Giải phương trình z² – (1 + i)z + + 3i = tập số phức (CĐ 2010 – NC) Bài 22 Tìm số phức liên hợp tính mô dun số phức z, biết z = + 4i + 2i(1 – 3i) (TN GDTX 2011) Bài 23 Giải phương trình (1 – i)z + (2 – i) = – 5i tập số phức (TN THPT 2011 – CB) Bài 24 Giải phương trình (z – i)² + = tập số phức (TN THPT 2011 – NC) Bài 25 Tìm phần thực phần ảo mô dun số phức z = (2 + 3i)(1 – i) – 4i (TN GDTX 2012) 25i , biết z = – 4i (TN THPT 2012 – CB) z 9i 5i (TN THPT 2012 – NC) Bài 27 Tìm bậc hai số phức z = 1 i Bài 26 Tìm số phức 2z + z Bài 28 Cho số phức z thỏa mãn (1 + 2i)²z + z = 4i – 20 Tìm modun số phức z (CĐ 2011 – CB) Bài 29 Cho số phức z thỏa mãn z² – 2(1 + i)z + 2i = Tìm phần thực phần ảo (CĐ 2011 z – NC) Bài 30 Tìm số phức z biết z 5i (DH B 2011 – CB) z 1 i Bài 31 Tìm phần thực phần ảo số phức z = (DH B 2011 – NC) 1 i Bài 32 Tìm số phức z biết z (2 3i)z 9i (DH D 2011 – CB) Bài 33 Tìm tất số phức z biết z² = z z (DH A 2011 – CB) Bài 34 Tính modun số phức z biết (1 + i)(2z – 1) + ( z + 1)(1 – i) = – 2i (DH A 2011 – NC) PHẠM NGỌC THUYẾT 01649836618 Bài 35 Cho số phức z thỏa mãn (1 – 2i)z – 2i = (3 – i)z Tìm tọa độ điểm biểu diễn số phức z 1 i mặt phẳng Oxy (CĐ 2012 – CB) Bài 36 Gọi z1, z2 hai nghiệm phức phương trình z² – 2z + + 2i = Tính z1 z (CĐ 2012 – NC) Bài 37 Cho số phức z thỏa mãn 5(z i) = – i Tính modun số phức w = + z + z² (DH AA1 z 1 2012 – NC) Bài 38 Gọi z1, z2 hai nghiệm phức phương trình z² – 2i z – = Viết dạng lượng giác z1 z2 (DH B 2012 – NC) Bài 39 Cho số phức z thỏa mãn (2 + i)z + 2(1 2i) = + 8i Tìm modun số phức w = z + + i 1 i (DH D 2012 – CB) Bài 40 Giải phương trình z² + 3(1 + i)z + 5i = tập hợp số phức (DH D 2012 – NC) Bài 41 Tìm số phức liên hợp số phức z biết z = 5i(1 – 2i) + – i (TN GDTX 2013) Bài 42 Cho số phức z thỏa mãn (1 + i)z – – 4i = Tìm số phức liên hợp z (TN 2013 – CB) Bài 43 Giải phương trình z² – (2 + 3i)z + + 3i = tập số phức (TN THPT 2013 – NC) Bài 44 Cho số phức z thỏa mãn (3 + 2i)z + (2 – i)² = + i Tìm phần thực phần ảo số phức w = (1 + z) z (CĐ 2013 – CB) Bài 45 Giải phương trình z² + (2 – 3i)z – – 3i = tập C số phức (CĐ 2013 – NC) Bài 46 Cho số phức z = + i Viết dạng lượng giác z Tìm phần thực phần ảo số phức w = (1 + i)z5 (DH AA1 2013 – NC) Bài 47 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: (1 + i)(z – i) + 2z = 2i Tính modun số phức w= z 2z z2 (DH D 2013 – CB) Bài 48 (A,2014) Cho số phức 𝑧 thỏa mãn điều kiện 𝑧 + (2 + 𝑖)𝑧̅ = + 5𝑖, tìm phần thực phần ảo 𝑧 Bài 49.(B, 2014) Cho số phức 𝑧 thỏa mãn điều kiện 2𝑧 + 3(1 − 𝑖)𝑧̅ = − 9𝑖 Tính môđun 𝑧 Bài 50.(D, 2014) Cho số phức 𝑧 thỏa mãn điều kiện (3𝑧 − 𝑧̅)(1 − 𝑖) − 5𝑧 = 8𝑖 − Tính môđun 𝑧