ĐỀ MINH HỌA THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu 1(1đ) Cho hàm số y = 2x + Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho x −1 Câu 2: (1đ) Tìm Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = ln ( x + 1) − x đoạn [ 0; 2] Câu (1đ) Tìm mô đun số phức Z biết: 3iz + ( − i ) ( + i ) = 2 Giải phương trình: 5.9 x − x + − = Câu (1 đ) Tính tích phân sau: I = ∫ 3x x +1 dx Câu (1đ) Cho M(1;2;4) ( α ) : x + y + z − = Viết phướng trình mặt phẳng (P) qua M song song với mặt phẳng ( α ) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( α ) Câu (1đ) Giải phương trình: sinx − 3cosx = Tủ lạnh nhà bạn An có 20 trứng, có trứng bị hỏng, mẹ bạn An lấy ngẫu nhiên từ để làm trứng tráng Tính xác suất để trứng mẹ bạn An lấy có bị hỏng Câu 7(1.0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình chữ nhật có AB= a , BC= a Cạnh bên SA vuông góc với mp(ABCD), góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy (ABCD) 600, M trung điểm cạnh SD Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ đỉnh S đến mp(BCM) Câu 8:(1.0 điểm) Trong mặt phẳng chứa hệ trục tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD, gọi M, N trung điểm hai cạnh AB BC; I giao điểm DN AC Tìm tọa độ 1 3 đỉnh C, D hình vuông biết M (−1; − 1) , I 2; − điểm C có tung độ âm Câu (1.0 điểm) Giải hệ phương trình: 2 x + y + − x + y + = x + y + (3x + 2) y + + x = 14 x y Câu 10 (1.0 điểm) Cho ba số thực không âm x, y, z thỏa điều kiện 4( xz + y ) ≥ y + Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= ( ) 2x + 2z + y + ( y − z )(2 x + y ) + (x + y + z) ………………………………… Hết ………………………………… ĐÁP ÁN Câu Ý (1.0đ) Nội dung đáp án Điểm * TXĐ: D = R \ {1} −3 < 0, ∀x ∈ D * y' = ( x − 1) Suy hàm số nghịch biến khoảng (−∞;1), (1;+∞) * Giới hạn – tiệm cận: y = −∞ lim+ y = +∞ - TCĐ: x = xlim →1− x →1 0.25 0.25 y=2 - TCN: y = xlim → ±∞ (1.0đ) * BBT: đúng, đầy đủ * Đồ thị : Đúng, cong trơn tru, đối xứng qua điểm (0 ; -1), (-1/2 ; 0) −1 * y'= x +1 y'= ⇔ − = ⇔ x = ∈ [ 0; 2] x +1 * f (0) = f (2) = ln − Max f ( x) = Min f ( x) = ln − [ 0;2] [ 0;2] 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 (0.5) 0.25 0.25 (0.5) (1.0đ ) x+2 * Pt: 5.9 − − = ⇔ 5.3 − 9.3 − = 3 x = ⇔ x 3 = −1 / (loai ) x * = ⇔ x = log Vậy pt có nghiệm x = log x x 0.25 0.25 * y ' = −2 x + x , 0.25 x = y ' = ⇔ −2 x + x = ⇔ x = (loai ) x = − 0.25 * y (0) = −1, y ( ) = 1, y (−2) = −1, y (1) = / 0.25 = y( ) = , Vậy: [Max −2;1] (1.0đ ) 2x = y (0) = y (−2) = −1 0.25 [ −2;1] * Vì SA ⊥ (ABCD) nên AC hình chiếu S SC mp(ABCD) => góc SC (ABCD) góc SCA = 600 * AC = AB + BC = 4a ⇒ AC = 2a N SA = AC.tan600 = 2a 3 A Vậy VS ABCD = S ABCD SA = 2a B 0.25 H M 0.25 D C * Mp(BCM) cắt SA N => MN // AD // BC Dựng SH ⊥ BN N, ta có: BC ⊥ AB BC ⊥ SA => BC ⊥ (SAB) => BC ⊥ SH, SH ⊥ BN nên SH ⊥ (BCM) => SH = d(S,(BCM)) (1.5đ) (1.0) * BN = BA + AN = 4a ⇒ BN = 2a Hai tam giác vuông NAB NHS đồng dạng nên : AB BN AB.SN a a Vậy : d(S,(BCM)) = = ⇒ SH = = SH SN BN 2 π π * sin x + + sin − x = ⇔ (sin x + cos x) + cos x = 4 2 ⇔ (sin x + cos x) + cos x − sin x = ⇔ (sin x + cos x)( + cos x − sin x) = sin x + cos x = ⇔ sin x − cos x = * sin x + cos x = ⇔ tan x = −1 ⇔ x = − (0.5 π + kπ π > => pt vô nghiệm * sin x − cos x = ⇔ sin x − = 4 * Số khả xảy là: C 20 = 4845 * Số cách lấy trứng mà có trứng bị hỏng 1638 546 = ≈ 0.34 Vậy xác suất cần tính là: P = 4845 1615 * Gọi G tâm hình vuông, K trung điểmA CD, E giao điểm MI CD G Ta có I trọng tâm ∆ BCD ⇒ CI = CG 3M => I trọng tâm ∆ MKC => E trung điểm Của đoạn KC B 0.25 0.25 0.25 0.25 C132 C 72 = 1638 (1.0đ ) 0.25 N 0.25 0.25 0.25 D K I 0.25 E C * Gọi E(x ; y), ta có : 3 = 2( x − 2) x = / MI = 2.IE ⇔ => E(7/2 ; 0) ⇔ y = = 2( y + ) * Gọi K(x ; y), ta có : ( x + 1)( x − ) + ( y + 1) y = MK ⊥ KE MK KE = ⇔ ⇔ 2 MK = 16.KE MK = KE ( x + 1) + ( y + 1) = 16 ( x − ) + y 59 x= x = 59 − 38 17 ⇔ ⇒ K (3;1) K ; 17 17 y = y = − 38 17 * Với K(3 ; 1), E(7/2 ; 0) trung điểm KC => C(4 ; -1) thỏa ycbt Lúc K trung điểm CD nên => D(2 ; 3) 59 − 38 60 38 => C ; (loại) * Với K ; 17 17 17 17 0.25 0.25 0.25 (1.0đ ) 2 x + y + − x + y + = x + y + (3x + 2) y + + x = 14 x y * ĐK : x ≥ 0, y ≥ * Đặt a = x + y + 1, b = x + y + 1, a, b > (1) (2) 0.25 Từ (1) ⇒ 2a + 2b = a + b ⇔ (a − b) = ⇔ a = b ⇒ x + y + = 3x + y + ⇔ x = y * Thay vào (2) : (3x + 2) 3x + + x = 14 x x Vì x = nghiệm (3) nên : 2 (3) ⇔ + + + = 14 x x x (3) 0.25 1 ⇒ = u − 3, u > x x Từ (3) ta có pt : 2u + 4u − 3u − 26 = ⇔ u = (nhận) * u = ⇒ 3+ = ⇔ x =1⇒ y = x Thử lại => hệ có nghiệm (1 ; 3) * Ta có: 4( xz + y ) ≥ y + ⇒ xz ≥ (2 − y ) ⇒ xz ≥ | − y | ≥ − y Đặt u = + (1.0đ ) ⇒ ≤ xz + y ≤ x + y + z ( y − z )(2 x + y ) + 2x + 2z + y + +1−1 * P= (x + y + z) ( = ( + ( ) 0.25 0.25 ( x + y) ( z − y) 2 + + −1 2 ( x + y + z) ( x + y + z) ( x + y + z) 2 x + z ≥ x + z , ∀x, z ≥ (dấu “=” xảy x = z) Vì: nên: 2x + 2z ) + y) (1) 0.25 x+ y+z x + z + y ≥ ( x + y + z ) = 2 0.25 2 ( x + y) ( z − y) 2 x+ y+z (2) + + −1 P ≥ 2 + 2 ( x + y + z ) ( x + y + z ) ( x + y + z ) * Ta có: (a − b) + (a − c) ≥ ⇔ 2a + b + c ≥ 2a (b + c), ∀a, b, c (3) (Dấu “=” xảy a = b = c) Áp dụng (3), từ (2) ta có : x+ y+z x+ y+ z x+ y+z P ≥ + −1 = + −1 x + y + z ( x + y + z) ( x + y + z) * Đặt t = x + y + z, t ≥ (từ (1)) Xét hàm số : f (t ) = t + − 1, t ≥ 2 t t −8 Ta có : f ' (t ) = − = ≥ 0, ∀t ≥ 2 t 2t => hàm số f(t) đồng biến [2;+∞) => minf(t) = f(2) = Vậy minP = 1/2, đạt x = z = y = 0.25 0.25 * Ghi chú: Mọi cách giải khác, đúng, cho điểm tối đa phần tương ứng ……………………………………………… Hết ………………………………………………