BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA 2016 ĐỀ THI ĐỀ XUẤT Môn thi: TOÁN ( Đề thi gồm trang) Thời gian làm 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = Câu (1,0 điểm) Tìm giá trị tham số m để hàm số y = f ( x) = trị lớn đoạn [-1;3] Câu (1,0 điểm) a) Giải phương trình 52 x +1 − 6.5 x 2x + x −1 x − mx + m x + 4m − đạt giá +1 = b) Tìm môdun số phức z = + 2i − ( + 3i ) Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ e + 3ln x ln x dx x Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A ( 1; 2;3) mặt phẳng (P) có phương trình: x + y − z + = Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A tiếp xúc với mp (P) tìm tọa độ tiếp điểm mp (P) mặt cầu (S) Câu (1,0 điểm) 3sin α − cos α a) Cho tan α = Tính A = 5sin α + cos3 α b) Từ chữ số 1;2;3;4;5 lập số tự nhiên có năm chữ số, chữ số có mặt ba lần, chữ số lại có mặt không lần Trong số tự nhiên nói trên, chọn ngẫu nhiên số, tìm xác suất để số chọn chia hết cho Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = 8a, tam giác ABC cạnh 4a; M, N trung điểm cạnh SB BC Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (AMN) Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ đ ộ Oxy cho điểm C(2;-5 ) đường thẳng 5 ∆ : x − y + = Tìm ∆ hai điểm A B đối xứng qua I 2; ÷sao cho diện tích tam giác 2 ABC bằng15 1 + x + y + = ( x + y ) + x + y x +1 Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình 1 x +3 y + ÷ = 4 2 Câu 10 (1,0 điểm) Cho x, y, z ba số dương có tổng Tìm giá trị lớn biểu thức sau: P = 1− x + 1− y + 1− z HẾT Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA 2016 ĐỀ THI ĐỀ XUẤT ĐÁPÁN – THANG ĐIỂM Môn thi: TOÁN ( Đáp án gồm trang) Câu Đáp án • Tập xác định: D = ¡ • Sự biến thiên Chiều biến thiên: y ' = - −3 ( x − 1)2 Điểm 0,25 < ∀x ≠ Hàm số nghịch biến khoảng (−∞;1) (1; +∞) Hàm số cực trị • Giới hạn tiệm cận lim y = 2; x →±∞ 0,25 lim− y = −∞; lim+ y = +∞ x →1 x →1 Tiệm cận ngang: y=2, tiệm cận đứng: x=1 Bảng biến thiên: x -∞ y' y +∞ (1,0 điểm) -∞ +∞ - 0,25 0,25 Đồ thị Hàm số xác định liên tục [-1;3] y ' = x − 2mx + m = ( x − m ) y'≥ (1,0 điểm) ∀x ∈ [−1;3] nên hàm số đồng biến [-1;3] Suy giá trị lớnn max f ( x) = f (3) [ −1;3] ⇔ 3m − 5m + = ⇔ m = 1; m = Vậy: m = 1; m = thỏa YCBT 3 0,25 0,25 0,25 0,25 (1,0 điểm) 5 x = 2x x a) pt ⇔ 5.5 − 6.5 + = ⇔ x 5 = 0,25 x = ⇔ x = −1 0,25 Vậy: x=0; x=-1 nghiệm phương trình b) z = + 2i − ( + 3i ) = 13 − 4i 0,25 z = 132 + (−4) = 185 0,25 ln x dx x Đổi cận: x = ⇒ t = 1; x = e ⇒ t = Đặt t = + 3ln x ⇒ tdt = (1,0 điểm) t3 I = ∫ t dt = = 0,25 0,25 0,25 0,25 Mặt cầu (S) có tâm A ( 1; 2;3) bán kính R=d(A;(P))= 0,25 Phương trình (S): ( x − 1) + ( y − 2) + ( z − 3) = Tiếp điểm M hình chiếu vuông góc A lên mp(P) Gọi d đường thẳng qua A(1;2;3) vuông góc với mp(P) 0,25 x = 1+ t y = +t z = − 4t 0,25 (1,0 điểm) Phương trình tham số d: M=d∩(P) ⇒M(1+t;2+t;3-4t)∈ (P) ⇒t = 5 Vậy M ; ; ÷ 3 3 (3tan x − 2)(1 + tan x) a) A = tan x + (3.3 − 2)(1 + 32 ) 70 = = 5.33 + 139 b) Gọi a1a2 a3a4 a5 số tự nhiên cần tìm, a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ∈ { 1; 2;3; 4;5} (1,0 điểm) không gian mẫu có n(Ω)= C53 C42 = 10.12 = 120 phần tử Gọi A biến cố: “số chọn chia hết cho 3” 3 ⇒n(A)= C5 2!+ C5 2! = 40 40 = Xác suất biến cố A là: P( A) = 120 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 S M C A H N B Ta có: AN = AB − BN = 2a (1,0 điểm) Diện tích tam giác ABC là: S ∆ABC = BC AN = 4a 0,25 Thể tích hình chóp S.ABC là: 1 VS ABC = S ∆ABC SA = 4a 3.8a 3 (1,0 điểm) (1,0 điểm) 32a 3 (đvtt) = 1 Mặt khác, SB = SC = 5a ⇒ MN = SC = 5a ; AM = SB = 5a 2 Gọi H trung điểm AN MH ⊥ AN , ⇒ MH = AM − AH = a 17 1 Diện tích tam giác AMN S ∆AMN = AN MH = 2a 3.a 17 = a 51 2 Vậy khoảng cách từ B đến (AMN) là: 3V 8a 3 8a 8a 17 d ( B, ( AMN )) = B AMN = = = S∆AMN 17 a 51 17 3a + 16 − 3a ) ⇒ B (4 − a; ) Gọi A(a; 4 Khi diện tích tam giác ABC S ABC = AB.d (C ; ∆) = AB 2 a = − 3a +Theo giả thiết ta có AB = ⇔ (4 − 2a) + ÷ = 25 ⇔ a = Vậy hai điểm cần tìm A(0;1) B(4;4) A(4;4) B(0;1) 1 + x + y + = ( x + y ) + x + y ( 1) x +3 y x +1 + ÷ = ( 2) 4 2 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ( 1) ⇔ x + y − x + y + = −9 ( x + y ) + ⇔ 3( x + y ) − x + y + x + y +1 = −9 ( x + y ) + 1 ⇔ ( ( x + y ) − 1) + ( x + y ) + 1÷= ⇔ x + y = x + y + x + y +1 ÷ 0,25 0,25 ( 2) ⇔ x +1 x +1 1 + ÷ 2 = ⇔ t − 2t + = , ( t = x +1 t = > ) ⇔ −1 + t= ( ) x = log − − x = −1 −1 + ⇒ Với t = ⇔ , Với t = y = y = − log − 4 Vậy hệ pt có hai nghiệm: −1; ÷; log ( − 1) − 2; − log ( − 1) ÷ 3 + Áp dụng BĐT AM-GM, ta có 1− x + = − 3x ( 1− x) ≤ + Tương tự, ta thu 2 − 3x − y − z + + =2 ( 1− x) + ( 1− y ) + ( 1− z ) ≤ 3 6 + Suy P ≤ ( 10 (1,0 điểm) + Dấu xảy x = y = z = HẾT 0,25 ) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25