K THI TRUNG HC PH THễNG QUC GIA NM 2016 S GIO DC V O TO NG THP Mụn thi: TON Thi gian lm bi: 180 phỳt, khụng k thi gian phỏt n v : THPT Lai Vung T Toỏn THI TH ( thi gm 01 trang) Cõu 1: (1 im) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C ) ca hm s y = x + x Cõu 2: (1 im) Tỡm cỏc giỏ tr ca tham s m hm s y = x + 2(m + 2) x + m(m 4) cú nht mt cc tr Cõu 3: (1 im) a) Tỡm s phc z tho z + (2 + 3i) z = 9i x2 x + e b) Gii bt phng trỡnh: ữ > 1 I = Cõu 4: (1 im) Tớnh tớch phõn x + x ữdx Cõu 5: (1 im) Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho cỏc im A(1;1;2), B(1;2;1) v mt cu ( S ) : x + y + z x + z + = Vit phng trỡnh mt phng (P) qua A ng thi vuụng gúc vi AB v chng minh mt phng (P) tip xỳc vi mt cu (S) Cõu 6: (1 im) a) Gii phng trỡnh cos x tan x + = trờn hp cỏc s thc b) K nim ngy thnh lp on 26 thỏng 03, on niờn t chc cuc thi Dõn v Trng ti chia ngu nhiờn bn hc sinh An, Bỡnh, Hnh, Phỳc, Vui, Ti, Khe, p lm nhúm mi nhúm bn thi mụn kộo co Tớnh xỏc sut bn An, Bỡnh cựng thuc mt nhúm? Cõu 7: (1 im) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ABCD l hỡnh vuụng cnh 2a, Hỡnh chiu vuụng gúc ca S lờn mt phng (ABCD) l trung im H ca AB, cnh SC to vi mt phng (ABCD) mt gúc 60o Tớnh theo a th tớch chúp S.ABCD v khong cỏch gia hai ng thng AB,SC Cõu 8: (1 im) Trong mt phng vi h ta Oxy, cho tam giỏc ABC cú C(4; 5), phng trỡnh ng cao AD: x + 2y = 0, ng trung tuyn BB 1: 8x y = Tỡm ta cỏc im A, B 4 x y x + y = Cõu 9: (1 im) Gii h phng trỡnh: trờn hp cỏc s thc x y = Cõu 10: (1 im) Cho ba s thc x, y, z tho x + y + z > Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P = x + y + 16 z ( x + y + z) Ht S GIO DC V O TO NG THP K THI TRUNG HC PH THễNG QUC GIA 2016 P N THANG IM n v : THPT Lai Vung Mụn thi: TON HDC THI TH (Gm cú 04 trang) Cõu (1,0 im) ỏp ỏn im Kho sỏt s bin thiờn v v th (C ) ca hm s y = x + x Tp xỏc nh: D = Ă + S bin thiờn: - Chiu bin thiờn: y ' = x + 16 x = x ( x ) ; y ' = x = hoc x = Hm s nghch bin trờn ( 2; ) v ( 2;+ Ơ Cc i ti ) ,ng bin trờn ( ; ) v ( 0; ) x = ; yC = y ( ) = 12 , cc tiu ti x = ; yCT = y ( ) = 0,25 y = v - Gii hn: xlim - Bng bin thiờn: x - Ơ + y' y - 12 0,25 lim y = x + - - Ơ 0 + - 12 +Ơ 0,25 +Ơ th: 0,25 (1,0 im) Tỡm cỏc giỏ tr ca tham s m hm s y = x + 2(m + 2) x + m(m 4) cú nht mt cc tr Tp xỏc nh: D = Ă y / = x + 4( m + 2) x = x ( x (m + 2)) hm s cú mt cc tr cn phng trỡnh y / = cú nghim nht x = / y = x( x ( m + 2)) = x = m + y / = cú nghim nht m + hay m Vy m tho a) Tỡm s phc z tho z + (2 + 3i) z = 9i t z = a + bi , ( a, b ẻ Ă ) Ta cú: z + ( + 3i ) z = 1- 9i ( a + bi ) + ( + 3i ) ( a - bi ) = 1- 9i ( 3a + 3b) + ( 3a - b ) i = 1- 9i (*) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (1,0 im ỡù ùù a = - 13 ỡù 3a + 3b = ù 13 ùớ + i (*) ùớù Vy z = ù a b =9 ùù b = ùợ ùùợ 0,25 x2 x + e b) Gii bt phng trỡnh: ữ > x 3x + e e ữ > x x + < (do < ) 3 x x + < < x < Vy nghim bt phng trỡnh x (1;2) (1,0 im Tớnh tớch phõn I = x + 0,25 ữdx x2 1 x dx I = x + ữdx = xdx + x x2 0 1 0,25 0,25 0,25 I1 = xdx = x = 1 I2 = x x2 dx t t = x tdt = xdx x = t = 2; x = t = I = tdt = t 0,25 I = I1 + I = (1,0 im Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho cỏc im A(1;1;2), B(1;2;1) v mt cu ( S ) : x + y + z x + z + = Vit phng trỡnh mt phng (P) qua A ng thi vuụng gúc vi AB v chng minh mt phng (P) tip xỳc vi mt cu (S) r uuur Mt phng (P) qua A(1;1;2) v cú vec t phỏp tuyn n = AB = (0;1; 1) ( P) : y z + = (S) cú tõm I (2;0; 1) v R = d ( I ;( P )) = 0,25 +1+1 a) Gii phng trỡnh: ( ) = = R Vy (P) tip xỳc vi mt cu (S) cos x 0,25 0,25 0,25 0,25 tan x + = (1) (1) + tan x tan x + = tan x tan x + = (2) +k k Z Võy phng trỡnh cú nghim x = + k k Z 0,25 (2) t anx = x = 0,25 b) Nhõn ngy 26/03 on niờn t chc cuc thi Dõn v Trng ti chia ngu nhiờn bn hc sinh An, Bỡnh, Hnh, Phỳc, Vui, Ti, Khe, p lm nhúm mi nhúm bn thi kộo co Tớnh xỏc sut bn An, Bỡnh cựng thuc mt nhúm? S phn t khụng gian mu = C8 (1,0 Gi A l bin c An, Bỡnh cựng thuc nhúm ú A = C 0,25 0,25 im (1,0 im Vy P ( A) = A = C62 = C84 14 Cho hỡnh chúp S.ABCD, ABCD l hỡnh vuụng cnh 2a, hỡnh chiu vuụng gúc ca S lờn mp(ABCD) l trung im H ca AB, cnh SC to vi mt phng (ABCD) mt gúc 60 o Tớnh theo a th tớch chúp S.ABCD v khong cỏch gia hai ng thng AB,SC 0,25 Gi H l trung im AB, ta cú SH ^ (ABCD) ã HC l hỡnh chiu ca SC lờn (ABCD) ị SCH = 60o + ABCD l hỡnh vuụng nờn SABCD = 4a , HC = HB2 + BC2 = a Tam giỏc SHC vuụng ti H cú SH = HC.tan 60o = a 15 4a 15 + VS.ABCD = SABCD SH = 3 Ta cú AB // CD nờn AB // (SCD) Suy d(AB,SC) = d(AB,(SCD)) = d(H,(SCD)) + K HI ^ CD suy SI ^ CD K HK ^ SI nờn HK ^ (SCD) ị d(H,(SCD))=HK Tam giỏc SHI vuụng ti H 1 1 19 285a = + 2= + 2= ị HK = 2 2 HK HS HI 15a 4a 60a 19 285a + Vy d(AB,SC) = 19 (1,0 im 0,25 0,25 0,25 Trong mt phng Oxy, cho tam giỏc ABC cú C(4; 5), phng trỡnh ng cao AD: x + 2y = 0, ng trung tuyn BB1: 8x y = Tỡm ta cỏc im A, B A B1 0,25 B D C Vỡ BC AD nờn phng trỡnh BC: 2x y + = Vỡ B = BC BB1 nờn ta B l nghim h phng trỡnh x y = x = Suy B ( 1;5 ) x y + = y = a Do A AD nờn A(2 2a; a) Do ú B1 a 1; ữ 0,25 0,25 Vỡ B1 BB1 nờn ta cú: 8(a 1) (1,0 im 10 (1,0 im a5 = a = A(4; 1) 0,25 4 x y x + y = (1) Gii h phng trỡnh: 2 (2) x y = t x + y = a, x y = b T phng trỡnh (2) ca h, ta cú: ab = nờn a 0, b a+b a b x= ,y = 2( x y ) x + y = 2(a + b ) a 8b 2 Do ú, phng trỡnh (1) ca h ó cho tng ng vi: 2(a + b ) a 8b = Ta cú h mi l: a = 16 2 2(a + b ) a 8b = 2a + a = (2a 1)(a ) = b = a a a ab = ab = ab = a = b = Xột hai trng hp: 1 - Nu a = 2, b = thỡ x = , y = Nu a = , b = thỡ x = , y = 2 4 Vy h ó cho cú hai nghim l: ( x, y ) = , ữ ( x, y ) = , ữ 2 4 Cho x, y, z tho x+y+z > Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P = Trc ht ta cú: x3 + y ( x + y) 0,25 0,25 ( x + y + z) 3 ( x + y) 4P a + 64 z 3 ( a z) = a + 64 z 3 0,25 = ( t ) + 64t z (vi t = , t ) a Xột hm s f(t) = (1 t)3 + 64t3 vi t [ 0;1] Cú f '(t ) = 64t ( t ) , f '(t ) = t = [ 0;1] Lp bng bin thiờn 0,25 x + y + 16 z x + y) Vỡ x3 + y ( 3( x x y y x + y ) ( x y ) ( x + y ) (ỳng x, y > ) t x + y + z = a Khi ú 0,25 0,25 0,25 64 Minf ( t ) = GTNN ca P l 16 t c x = y = 4z > 81 t[ 0;1] 81 0,25