Ebook Cơ học công trình- Phần 1

GS.TS LỂU THỌ TRÌNH - TS Đỗ VĂN BÌNH Cơ HỌC CỔNG TRÌNH DÀNH CHO CÁC NGÀNH KIÊN TRÚC - VÂT LiỆU XÂY DƯNG - KỶ THUÂT MỐI TRƯỞNG NHÀ XUẤT BẢN XÁY DựNG HÀ NÔI-2010 L Ờ I TựA Cơ học công trinh m ột p h ầ n kiến thức sở' ctối với kỹ s thuộc ngành có liên quan đến kỹ th u ậ t xây dựng, Môm học b ố trí chương trinh đào tạo trường đại học vá cao đẳng có chuyên ngành: Kiến trúc; Vật liệu xăy dựng; Kỹ thuật m.ôi trường Cơ học công trinh m ôn học kết hỢp ba n ô n học: Cơ học sở (phần T ĩn h học), toán Sức bểm vật liệu Cơ học kết cảu Cơ học công trinh trang bị cho sinh ưién, kỹ' sư, cán kỹ th u ậ t nhữ ng kiến thức cần thiết đ ể kiểm tra độ hển, độ c:ứ?ig, độ ổn đ ịn h công tr in h đưỢc c h ế tạo từ th a n h hệ b iến dạng, c h ịu tác d ụ n g nguyên nhân bên tải trọng Đ ề đ p ứ ng yêu cầu học tập, sách biên soạn :áiC nội d u n g b ả n n h ằ m p h ụ c vụ thiết thực cho sin h viên đại học thuộc chuyên ngành: Kiến trúc; Vật liệu xăy dựng; K ỹ th u ậ t niỏi trườỉĩg Ngoài p h ấ n trìn h bày nội dung lý thuyết, m ỗi chương củng giới thiệu m ột s ố tập chọn lọc hèm theo đáp án Chúng chân th n h cảm- ƠĨI quan tâm uà nhữ n g ý kiến đóng góp bạn đọc đồng nghiệp Mọi đóng góp xin gửi Phòng Biên tập tiách Khoa học kỹ thuật, N h x u ĩ b ả n X ả y dựng, Lé Đ i H anh, Ha Nội, BT: Ỏ4.ỈÌ9741954, T ác giả M Ở ĐẨU ĐỐI TƯỢNG CỦA MÔN HỌC c HỌC CÔNG TRÌNH Cơ học công trình môn học sở trình bày phương pháp nghiên cứu đối tượng kết cấu dạng vạt rắn theo hướng kỹ thuật Vật rắn đề cập Cơ học công trình bao gồm: ♦ V ật rá n tuyệt đôi - hệ đặc biệt, khoảng cách hai điểm vật thể không đổi Vật rắn tuyệt đối đối tượng nghiên cứu Cơ học sở ♦ Vật r ắ n biến d n g - hệ, khoảng cách hai điểm vật thể có khả thay đổi chịu tác dụng nguyên nhân bên Vật rắn biến dạng đối tượng nghiên cứu môn học Cư học vật rắn biến dạng như: Lý thuyết đàn hồi, Lý thuyết dẻo, Sức bền Vật liệu, Cơ học kết c ấ u Về hình dạng, đối tượng nghiên cứu Cơ học vật rắn biến dạng thường có dạng sau: ♦ Tluinli — vật thể có kích thước lớn nhiều so với hai kích thước lại Thanh gọi thẳng trục đường thẳng (ví dụ: dám cầu; cột nhà ) Thanh gọi cong trục đường cong (ví dụ: vòm, móc cẩu )♦ Tấm, vỏ — vật thể có hai kích thước lớn nhiểu so với kích thước thứ ba Tấm vỏ có hai mặt đối diện với kích thước lớn gọi hai mặt bên Mặt trung gian vỏ mặt cách hai mặt bên Nếu mặt trung gian niặt phẳng gọi (ví dụ: sàn nhà bètông) Nếu mặt trung gian mặt cong gọi vỏ (ví dụ; mái vòm) ♦ Khối — vật thể có ba kích thước với độ lớn xấp xỉ Trong tài liệu giới hạn nghiên cứu hệ NGOẠI LỰC Ngoại lực tác nhân tác động công trình, thể dạng tải trọng phàn lực T ải trọ n g : Tải trọng ngoại lực clìii dộno tác động irên cỏna tiình, 2.1 thường thể dạng sau Ị 11: * Lực tập trung, mô tả vectơ F : cùa vcctơ bieii thị diếni đặt lực; hưr'mg (phương chiều) vectơ biêu thị hưóng lực; dộ dài vectơ biểu thị cưòfng độ hay trị số lực; iịiá vcctơ biểu thị đường tác dụng lực Trong hệ đơn vị SI, đon vị đo cúa lục N (Newton) * M ômen tập trunẹ n^ảu lực: • M ômen tập trung mô tả mômen lực điếm điếm đặi mômen tập trung biểu thị đường tên cong hình la vectơ mômen M với đưòng tên hai nét, có phương vuông góc với mặt tác dụng mômen tập trung, có chiều chiều tiến mờ nút chai quay theo chiểu mômen tập trung, Mõmen lực F đặt lại điểm A điểm o mômen nằm mặt phắng o F có giá trị tích cỉia cường độ lực F với cánh tay đòn d lực F dối với điểm o (hìnli ỉb) • Ngẫu lực cặp gồm hai lực có giá trị nhau, imựơc chiều nám hai đường tác dụng song song không trùng Mômen r.gẫu lựe điểm xác định biểu thị trường hợp mômen tập trung Mômen ngẫu lực điểm mặt phẳng ngẫu lực (trên hình Ic minh họa điều tìm inómen củ;i ngẫu lực điểm /j a) b) M V Mòmen 0; M = F.d Mómen đổi với 0),' M = F.di-F.d2=F.d * Định lý chuyển lực son^ soní> Khi chuyến song song lực f 't c dụng vật rắn tuyệt đối từ điểm A đến điểino tác dụng lực không thay đổi thêm vào mômen mômen lực đặt A điểm o Để minh họa điều nêu trên, hình trình bày cách chuyến trạng thái chịu lực a) sang trạng thái chịu lực c) a) ^ b) c) * ^ F Hình M = Fd 0^ T " Đối với hệ ìực tập hợp n lưc ( / | Ạ - p],) tác động vật rắn tuyệt đối, áp dụng định Iv chu)cn lưc sone sornt: đổ quy đổi hệ lực điếm ta đươc: • Tổng hình học lực quy lu dicm R ’ = ĩ Fị , gọi Ắ=l vecrơchính hệ lực Vectơ inol bat oiẻn • Tổng mònicn lưc lliànli phán đỏ5i với điểm = X soi nìámctì cliiiilì cua hộỊ' lực Mômen thay Ẳ=l đổi theo điểm lấy mỏmen Giữa mòmen đlối với điểm điểm ()', ta có liên hệ: I) + õ ĩỉx R' • Lực pììủìì hò, bao òni dariiỉ sau: • Lực th ể tích: phân bố toàn bô tích vật thế, ví dụ trọng lượng thân cùa vật thể Lực tích đirơc biểu Ithị theo cường độ trọng lượng đơn vị lích với doìi \ i thường dùing N/cm-^ hay kN/m-^ Thường gạp trone toán klioi, • Lực hc niặi: phân bố diện tích phần biể mặt vật thể Lực bề mặt biểu thị theo cường độ giá trị cua lưc đơn vị diện tích vói đơn vị thườna dùng N/cm- hay kN/ni- Thường gãp toán tấm, vỏ • Lực phán h ổ ilìco c/iicii (lùi, đươc biểu thị thc-o cường độ giá trị lực đơn vị chiếu dài với ciơii vi thườn*: ilùng N/cm hay kN/m Thường gặp toán vể • Mómeii phân hó\ bao gồm dạng sau: • M ỏmen phún h ổ theo niậ!: phán bố diiệntích phần bề mặt vật thê Mômen phân bố theo bé niãt đirơc biciu thị cường độ giá trị mômen đơn vị diện tích VỚI đơn vi thucmg dùng N.cin/cm- hay kN.m/m- Tliường gặp toán tâm, Viò • Mómen phân hô theo chiền dùi, bicti tl iị theo cường độ giá trị mỏmen đơn vị chiều dài với đon vị thường dùng N.cm/cni hay kN.m/m Thưòng gặp toán vc 2.2 P h ả n lực: Trong thực tế, vật thể bị ràng buộc với ràng buộc với Trái đất liên kết Ví dụ, AB nối với Trái đất A liên kết ngàm hình 3, liên kết ngàm không cho phép tiết diện A xoay chuyển dịch tịnh tiến nên ngàm phát sinh thành phần phản lực: mômen M, lực ngang H lực đứng (xem chi tiết liên kết phản lực irong chương 1) Phản H lực ngoại lực bị động phát sinh liên kết công trình chịu tải trọng ^ (ií: — \Jí / ^ s Hình Khi nghiên cứu ngoại lực ta phép xem vật th ể cứng tuyệt đối nên áp dụng tiên đề Tĩnh học sau [ 11: ỉ ) Điều kiện cần đủ đ ể vật rắn cân hâìĩí^ tác dụng lực hai lực phải trực đối (cùng dường tác dụng, u^ược chiêu, có giá íri nhau) 2) Tác dựng m ột hệ ì ực vật rắn không dổi ìiến thêm bớt hai lực cán Từ tiên đề ta dễ dàng suy phép biến đổi tương đương; Tác dụng lực không đổi trượt lực đường tác dụng lực 3) H lực đặt điểm tương đương với mộl lực dặt điểm đố vá xác định bằiìíỊ đường chéo hình hình /lành vẽ theo hai lực đ ã cho (Quy tắc hình bình hành lực) Ngược lại, phân tích lực đặt điếm đồng quy đặt A theo quy tắc hình bình hành lực A thành hai lực 4) Các lực hai vật rắn túc dụng lổn có cìuìịi dưcmg tác dụiií},ngược chiều có trị sô'bằng (Ngiívén /v râc diiin’ vâ phản tác 5) Vật rắn có liền kết xem vật rắn tự cân thay tác dụng liên kết bâng phản lực liên kếí tương ứìiíỊ Để tìm lực chưa biết, ta vận dụng điều kiện cân dạng tổng hình chiếu số trục tổng mỏmen số điểm, số trục, cụ thể sau; T rư n g hợp hệ lực không gian: * Nếu lực đặt vào hệ hệ lực quy điểm o thường sử dụng phưong trình hình chiếu lên ba trục X ,Y ,Z : j ỵ = 0; u = 0; 2 ^ X, Y, z ba trục khóng uian íniiẻn không song song đồng phắno * Nếu lực dặt vào hộ lìệ lực hất kỳ ta c:ó thể sử dụng dạng điều kiện sau: 1) Ba phương trình hình chiếu lên ba trục X Y, z ba phương trình m ôm en ba trục ,v, V, : ; X=Ớ; 2y = 0; 12 = 0: , = 0: ĨM y = ; IM z = X, Y, z ba trục không gian miễn không song song đồng phẳng, trục lấy mòmen X, y, : không thiết phải trùng với trục chiếu X, Y, z , có thê lấy miẻn chúng không song song phắng 2) Sáu phương trình cân mômen sáu trục; I M 1=0: I M 2=0; lẦđ.ỉ^O 3U=0: I M 5=0: I M 6=0, âó ỉ ,2 , 3, 4, 5, sáu trục chọn tùy ý VỚI điều kiện: * Sáu trục không cắt đường thẳng * Trong số sáu trục ba trục song song * Trong số sáu trục có ba IILIC quy điểm ba trục cò n lại không song song Trường hợp hệ lực phẳng (trong mạl phána ,v, y): * Nếu lực đặt vào phán hệ hệ lực CỈỒIIÍỊ quy điểm thường s dụng điều kiện sau: Ĩ X= ( K = X Y hai trục chiêu bát kỳ không song song với * Nếu lực đặt vào phần hệ hệ lực snníỊ soiĩịỊ, sử dụng hai dạng điều kiện; a) B ( ^ 0- IM a = 0, trục chiến kliôníị diừ/c Yuỏnịị góc \'ớ/ phương cùa lực song song b) IM a = (h I M b = 0, AB không song SOHÍỊ với phương lực song song * Nếu lực đặt b a dạng điều kiện: vàophần hệ hệ lực hất kỳ\ sử dụng a) D ( ^ \ I Y = \IM a = 0, trục chiếu X Y klìôníỉ soiìi^ song với b) U = 0; I M a = 0: I M b = , A B klìóin> dược ììằm ÍỈIÍỪÌÌỈỊ tliắiìi^ vtiôní> ÍỊÓC với trục X c) E M a = 0: X M b = 0\ i M c = 0, A B c klìõití’ dược cùììỊị nằm m ột đườnịị thẳng Nhất thiết phải ý đến'điều kiện hạn chế dạng điều kiện càn bằng, không phưcfng trình càn không độc lập với nliaii xảy triràig hợp phương trình cân vãn thỏa mãn hệ kliòim cân Trong toán cụ thế, la cần vận dụng linh hoạt phương trình càn để xác định lực chưa biết KHÁI NIỆM VỂ CHUYỂN VỊ VÀ BIÊN DẠNG 3.1 C h uv ẻn vị Khi chịu tác độnc cua nguvcn nhân bên tiii trọne, phần tử cua kết cấu nói cliLing có thay đổi vị trí Sự chuyên dời vị In' cua phần tử gọi tắt chiivển vị phần tử Chuyến vị phần lủ bao gồm; c h u yển vị thẳníị (còn gọi chuyến vị đường) chiíyển vị íịói' Gọi A cliuycn vị ihắng cúa pliần tử từ trạng thái chưa chịu lực đến trạns thái chÌLi lực Trong loáii khóng ízian, cluiyén vị A thường đirọc phân tích thành thành phần theo hệ tọa (.lộ Descaries vLiỏiig góc kv hiỘLi sau: • chuyến vị thẳng theo phương ,v; lí = Av: • chuyến vị thẳng theo phương y: V = Aỵ; • chuyển vị thẳng theo phươiig z; H' = Az Gọi cls chiều dài đoạn thẳng ngắn (được xem vô vung bé) gắn phần tử xét tương ứng với trạng thái chưa chịu lực, sau chịu lực đoạn có chiều dài ds' Góc tạo tliành hai đoạn d s' ds chuyển vị góc phần tử Chuyên vị góc thường phân tích thành ba thành phần ba mặt XV,■vr TA' cúa hệ tọa độ Descartes VLiôiig góc ký hiệu sau: 10 • chuyến vị góc mặt vv; y íẠv Ọy-: • chuyển vị góc mặl yr; • chuyển vị góc mặt :.v Trong toán phẳng, hệ tái trọng nằm tronc mặt phắii2 xOy (hình 4) thành phần chuyển vị cua phần tư k bao gồm; • chuyển vị thẳns theo nhương -V: ii - A\' - x'ị; -Xk ; c h u y ể n vị t h ẳ n g t h e o p h n e v: V = ả \ ' - yV - Vk ; • • chuyển vị góc: H in h (P= A a = - a 3.2 Biến d ạn g Dưới tác động ciia nguyên nhàn bên nsoài: • Khi chuyến vị ciia phần tử vật rắn vật rắn cứng tuyệt đối • Khi chuyển vị phần tử vật ràn khác ihl vật rắn vật thê biến dạng Xét phân tố hình hộp vô cùnc bé vậi rân có kích thước d \x d \x d z hệ tọa độ Descartes vuông góc (hình 5) Biến dạng phân tố bao gồin thành phần biến dạns dài biên danc góc • Biến d ạn g dài dx+Adx aj b) -Yxydx/2 T - -r ■D ■õ > -• _ y - dx Hình Xiỉí biến dụng dùi ĩlìco plìươỉỉiỊ ,v (hình 5a): Sau phân tố chuyến vị, chiều dài dx Iheo phương A bị dãn có chiều dài iTìới (cL\- + Acỉx) Hiệu cúa hai chiểu dài (cl\ + Acl.x) - d x = Á dx lù hiếiĩ dợỉìg dùi ĩnyệt đổi theo phưotìg X phán íổ Tý số M x í cỉx biến dựng dùi ĩy đổi t h e o p h n q X củư p h n íố Cũng phân tích tương tự biến dạng dài theo phưoTig V phương z ta có b iểu thức biên dạng d i tỷ đ ố i theo p h n g Cíic trực tọa độ A', y va z sau: Biêh dang dài tỷ dối theo phương x: £ = dx Biến dang dài tỷ dổi theo phương v; € - (1) dy Biến dang dài tỷ đối theo phương z: s, = dz ♦ Biến d n g góc, biến d ạn g trư ọ t Xét thành phần biến dạng góc hai mặt vuông góc với trục A (liình 5b): Sau phân tố chuyển vị, mặt phân tố bị trượt, hai mặt vuông góc với trục X hình thành góc Ỵỵy Góc Ỵỵy biến dụnịị íịóc tuyệt đối phán tố Độ trượt Ỵxydx/2 biến dạng trượt phàn tố Cũng phân tích tương tự biến dạng góc mặt vuông góc với trục y phương z ta có biểu thức biến cẨợnỉỊ trirợl mặt vuông góc với trục tọa độ X, V z sau: - ^xy= -ĩxy-> ^yz= Ỷ y^' _ ^ ^ v = - r - v (2) Trong phạm vi toán phảng, hệ tải trọng nằm mật phẳng xOy phân tố vô bé vật rắn với kích thước d x X d y có thành phần biến dạng sau: Biến dang dài tỷ đối theo phương x: dx Biển dang dài tỷ đối rlieo phương v; (3) cỉy Biến dạng trượt: NỘI Lực VÀ ÚNG SUẤT 4.1 Đ ịnh nghĩa Giữa phần tử vật chất vật rắn tồn lực tương tác trạng thái ban đầu chưa có tác động ngoại lực, lực tươiig tác bảo đảm cho vật rắn cân hình dạng xác định Khi có tác động 12 d) Tạo trạng thái "k" xác định lực dọc Nịi^ thanh, ghi vào cột thứ năm e) Tính giá trị [Nịi^Nim /,] /(EA)i cho cách nhân số liệu bốn cột: thứ hai, thứ ba, thứ tư thứ năm với Ghi kết phép nhân vào cột thứ sáu cộng kết chuyển vị cần tìm Kết quả: Akm - — (2 + ) (chuyển vi hướng xuống) EA Bảng 7.3 Thanh h / (E A )i Njm 1-2 dV / 1/EA -?4~2 - V I/ P dV 2/2E A 2-3 d 1/EA -p - l P d /E A 3-4 dV / 1/EA - p Vĩ - 4212 P dV 2/2E A 4-5 d 1/EA p 1/2 Pd / 2EA 5-1 d 1/EA p /2 Pd / 2EA 5-2 dV / 1/EA V I/ 5-3 dV / 1/EA V2 / ^ //(Njm l\ / (EA)i (EA)ị ‘ EA (2 + 2) 7.6.3 Trường hợp hệ tĩnh định chịu chuyển vị cưỡng Khi liên kết tựa chuyển vị cưỡng bức, hệ tĩnh định không phát sinh nội lực, công thức chuyển vị có dạng: (7.26) V í dụ 7,6 [6 ] Tìm chuyển vị thẳng đứng đầu tự ngàm chịu chuyển vị cưỡng theo phương ngang a, theo phương đứng b xoay thuận chiều kim đồng hồ góc ẹ (hình 7.17a) Để tìm chuyển vị ta tạo trạng thái "k" (hình 7.17b) đặt lực Pk = đầu tự do, có phưcíng thẳng đứng Tiếp tìm phản lực 190 Rji^ liên kết có chuyển vị cưữim aj/t>) p,=1 Pk = ỉ gây Giá trị phản lực ghi hình 17b "m" Áp dụng công thức (7.26), đồng thời ý tích số Rjị^ dưofng phản lực liên kết j trạng thái "k" H ình 7.17 chiều với chuyển vị cưõng liên kết j trạng thái "m", ta được; A z = - ( O a ~ l.b - l ụ ) = b + l ọ 7.6.4 Trường hợp hệ tĩnh định chịu thay đổi nhiệt độ Sự thay đổi nhiệt độ gây nội lực hiệ siêu tĩnh m không gây nội lực hệ tĩnh định Do ta xác định chuyển vị hệ tĩnh định theo công thức sau: a (7.27) Trong trường hợp khi: ♦ N hiệt độ thay đổi theo chiều d.ài đoạn ♦ Vật liệu đoạn nhau, nghĩa or = const đoạn ♦ Chiều cao /ỉ = const tìmg đoạn Ta đưa đại lượng tem , iỉlm-Uni): cc k dấu tích phân A t = Y j U 2,n Z a ĩ^^^^ịw ,^d s ds NỊ ds lấn lư(;ft llà diên tích phân tô' biểu Ta thấy tích số đồ m ôm en uốn lực dọc nên; M ^ ds = Q (M i^) - diên tích biểu dồ môưien uôVi đoạn trạng th i’T ịN ị d s = í ị N ) - diện tích biểu đổ lực dọc đoạn trạng thái "k" Công thức có dạng: (7.28) 19Ỉ V í dụ 7.7 [6] Xác định chuyển vỊ ngang điểm c nhiệt độ khung biến đổi + í khung biến đổi -2 / (hình 4.30a) Tiết diện hình chữ nhật có chiều cao h = const Để áp dụng công thức (7.28) ta cần chuẩn bị số liệu sau: • ỵác định giá trị tcm (t2m-tlm)- Nếu đặt người quan sát đứng bên khung giá trị cho tất bằng: tcm = ị ( t l + t2) = ị (~ t + a) bì t2m - t]m = +/ - ( ~ t) = + 3t cj p}l c N T • Tạo trạng thái "k" v ẽ biểu đồ nội lực Biểu đồ M;.như hình 7.18b Biểu đồ Nj^ hình 7.18c Áp dụng công thức (7.28): a tl Kết m ang dấu cộng chứng tỏ chuyển vị hướng theo chiều lực Pk (hướng bên phải) 7.7 CÁ CH T ÍN H CÁC T ÍC H PHÂN TRO N G CÔNG THỨC CH U Y ỂN VỊ T H E O CÁ C H "N H ÂN BIỂU Đ ổ " Đối với hệ gồm thẳng (dầm, khung, dàn) ta tính tích phân công thức chuyển vị đơn giản so với cách lấy tích phân trực tiếp Cách tính gọi cách "nhân biểu đồ" A N V êrêxaghin đề xuất vào năm 1925 Các tích phân công thức chuyển vị (7.23) đư a dạng tích phân T tích hai hàm (p(s)\ầ (s) sau: 192 Aì 7'= (7.29) (pi s ì.0< s hls Ch ắng hạn: l\đ "*^ Ị m ị — — cỉs = El SỊ '' '' (p{s).0ịs)ds I r o iií i dó V/ >.s;= Mị (p(s) = M iìl EI T r o ii i’ IníờnịỊ h ợ p hệ íịồm Iilìữiự^ tlhinli lìiáìĩ;^ vù m ộ t t r o n g h a i h m luhìiỊ s ố bậc ị>iả sử (pisì lừ hủn:ỉ S 'I lioúc hực (s) cố bậc hấl k \, ta có thê tinh íicìì phán T có (iạnỵ í 29) nãníỉ cách lấy diện lích ũự) cíu i h iểii đ c ó h ụ c h ấ t k ỳ nìiáìi với ỈUÌIÍ^ du V, , bậc Iiliấr lấv ỉìoùnh ílộ lưí/Híị ứng vo'i (;• (/ hiểii đ ổ lả ìiầniị sô h o ặ c lan: ( Iiii diện tích Í2(P (7.30) T = Nghĩa là: Thật vậy, giả sử khoáng (Sj, s:) hàm (p(sj có dạng hình 7.19a,b Kéo dài đường llìáng (p(s) tới klii cất dưòìig chuẩn u gọi a góc nghiêng đường Iháne (Ms) \ ới đưừim chuẩn Từ hình vẽ có: • (p(s) ^ (s - S o ) í s o ĩ : phân tố biểu đồ (ỈJ(s) (phần gạch chéo hình 19a) Tliay vào (7.19), ta được: T= rs'T (p{s).(ì>is)(ỉs = {s -s ,.).íg íỉL Ì Vì tí;a không dổi khoang { S j , S 2) , nén: T = ỉga ] is - s ^ ,) d Q ■V Tích phân vế phải biểu thức trcn mômen tĩnh Siì diện tích khoáng (.V/, S}) lấy (ruc (/ Truc u qua điểm u vuòng góc với đường chuẩn Mặt khác, ta biết niỏmen tĩnh Su diện lích nhân với khoảng cách từ tâm diộii tích đến trục í/ 193 Do đó: (s - s ^ ).d O = S [ /= (Sc~ So) ^ , Từ hình 14b ta thấy: tg a ịSc-So) = » Vậy T= nên T =tga(Sc-So) Ũ \(p (s).0 (s)d s= Q yụ, ĐÓ điểu cần chứng minh Cách tính tích phân T trình bày gọi cách 'nhân biểụ đồ" theo Vêrêxagỉiin Ta quy ước ký hiệu phép "nlìân" biểu đồ sau: T= ](p(s).0(s)ds= {(p)(0) Với cách ký hiệu vậy, ta viết lại công thức :huyển trường hợp hệ chịu tải trọng sau: Ak,, = ( M^,) (M ,J + ( /V^ ) iN ,J + ( Ổ , ) i Q J (7 ) vị cho (7.32) Đồng thời cần lưu ý là: ♦ Các đại lượng IIEI, Ỉ/E A , V ỈGA ĩuy không viết troníị (732) cấn hiểu ngẩm tồn tại, tính ta phải ĩhêm đại lưcng vào ♦ Tronẹ (7.32) khỏrỉíỊ viết dấu ĩổng ỉĩhiừỉq cilng cầr hiểu phủi ”nhân” biểu đồ ĩronq ĩấĩ đoạn ĩhanh hệ công đại s ố kết quà Các ch ú ý k h i n h n biểu đồ: 1) Tung độ yọ bắt buộc phủi lấy biểu dồ có bậc hẻ lìưiì lỉoặ: bâng bậc một, diệtì tích lấy hiểu ảồ bấí kỳ 2) Nếu diện tích vả tung dộ yẹ cùn^ dấu kếĩ nlìảỉì rnaĩg dấu dương ngược lại 3) Trong khoảng ịsỊ, S2Ì biểu đồ lấy tung dộ plìải lủ đoại thẳng trơn tru (nếu đ n g th ẳ n g g ã y kh ú c ĩ g a th a y đ ổ i ta k iò n g th ể đưa dấu tích phân phép biến đổi chứng minh cách nhân) Trong trường hợp biểu đồ bậc nlĩất (p(s) ki dường ĩhẳng gãy :húc ta cần chia khoảng (sị, S2Ì thành nhiều đoạn đ ể áp dụng cách nhân :ồi cộng kết với Chẳng hạn trường hợp hình 7.20, chia kioảng cần nhân biểu đồ thành hai đoạn để thực phép nhân, ta có; T = ũ yj Ũ yi • Biểu đổ lấy diện tích không bị điều kiện hạn chế 194 hP4 , ^ Y4 y5 V6 H inh 721 4) Theo tính chất tích phân tổng mội hiệu tổng hiệu tích phân, biểu đồ lấy diện tích lù lỉìỉìlì phức tạp ta cỏ thể chia ĩlìànlĩ nhiều hình đơn giản đ ể áp dụng riêng biệt cách nììán cho hình cộng kết với Cấn hiểu hình đơn giản lủ hình dễ tim diện tích trọng tâm Ví dụ trường hợp hình 7.21 ta chia biểu đồ thành hình đơn giản sau: Trong khoảng ah ta chia biểu đổ có dạng parabol thành mảnh parabol tam giác, khoảng bc cd ta chia thành hình chữ nhật tam giác hai hình tam giác Khi đó: T = Q| y I + ÍỈ Ỵ2 + ^3 Ỵ3 + ^4 y4 + ^5 ys Ỵó ■ bì 3) H in h 7.22 Trường hợp nhân hai biểu đồ có dạng hình ihang bên đường chuẩn hình 7.22a, ta xem diện tích hlnh thang tổng diện tích hai tam giác vầ Do đó: ỉ = — a I yỊ ^ ~ h I v-> 2 Từ hình 7.22a ta dể dàng tìm được: ' yị - — c Do đó: ứ / T = “ ị 2ac +2b d + a d -^bc ] (7.33) 195 Đối với trường hợp nhàn hai biểu đổ có clạnu hình thang khác với daiìịỉ uèn hình 7.22a, la vẩn áp dụng công thức (7.33) với ý: ĩícli cùa ỈIÌỊIỈ^ cập hai tung độ cúc sỏ liạnq cùa (7.33) nuiiì^ dấu dươỉìĩị klỉi liai luní^ độ dó hên dường chiicíìì, matìg dấu ám h Íiiiìíĩ itọ (lo (> hai bẽiì đườn^ chiiân Chẳng hạn, nhân hai hình thang xoắn hình 7.22b, (a có: ĩ=-í-2ac-2í)đ+aơ+.bc 5) Biểii cíổ đoi xứĩìg nhản với biểu đồ phản xứỉì^ cho kểí bắn^ klỉòniĩ (theo tính chất tích phân) Trên hình 7.23 cung cấp số liệu diện tích vị trí trọng tâm số hình thường gặp 3) Tiếp tuyến song song với đường chuàn ỵ Parabol bảc Q = 2aƯ3 'a Zi = 51/8 «'C = 31/8 b) Parabol bâc ^Zi Tiếptuyen / ^ = ^1/3 Zi = 1/4 ^ Z2~ 3Ư4 r , / - > c) Parabol bậc d) Q = 2al/3 Zi = 1/2 Parabolbậcn = 1/2 n = al/(n+1) Zi = l/(n+2) h - (n+1) l/(n+2) V í d ụ 7.8 [6 ] X ác định độ võng đầu tự dầm xét ví dụ 7.1 (hình 7.24a) "k" biểu đồ Mị^ vẽ hình 7.24c Biểu đồ M có dạng đưòìig thẳng nên áp dụng phép "nhân biểu đồ" Khi nhân ta xem biểu đồ M,„ hiệu hai hình: hình tam giác hình parabol (chú ý đường chuẩn không tiếp xúc với đường cong đầu tự do) 196 Ta có: Ak,„= {M ,.){M ,n) = El iL iíl 24 E I (chuyển vị hướng xuống) Ví dụ 7.9 Ị6 | Tim chuyến vị thẳng đứng A khung hình 7.25a B ểu đồ Mm vẽ hình 7.25b Trạng thái "k" biểu đồ M/, vẽ hình 7.25c Khi nhân biểu đồ cần ý độ cứng có giá trị khác Iihaii Vì hai biểu đồ đéu có dạng đường thẳng nên ta lấy diện tích tung (ỉộ \V: biểu đồ a) b) 4m c) ế El 3kN E Pị^-I :Mm 2EI Mk (kNm) D /777777 /77^7T /TTTTTT '12 Hình 7.25 Ki't nhân biếu đồ: • AB: mômen uốn Mị không nên kết không • Trong thmih BC: • Vrong CD: N iư vậy: EI^ ỉ « = — EI - I Ổ - - 6 2EÌ ~> Atii - 48 36 12 EI Eì E1 Ịố £/ Kct m ang dấu trừ chứng tỏ chuyển vị hướng ngược chiểu Pk tức hưiTní xuống Trong tính toán ta dùng đơn vị lực kN, đơn vị chiềi dài ni nên độ cứng E í phải lấy theo (kN/m2)xm'^ = kNm2, chuyển vị tìm tính theo mét 7.8 ( ÁCH TÌM M Ộ T TẬP H Ợ P CHƯYẾN v ị Gjì sử xét hệ chịu tác dụng nguyên nhân điểm xác định /, 2, hệ có chuyển vị thẳng đứng A i, Ả 7, /\j (hnh 1.26ả) Yêu cầu xác định tập họfp chuyển vị 97 A* = a â i + h  - c ầ ỉ với a, b, c sô' cho trước Để xác định A* ta thực sau: ♦ Xác định chuyển vị Aj, Á 2, ầ Các trạng thái ki, kz, kì tương ứng vẽ hình 7.26b, c, d Đ ể trình bằy đơn giản ta xét ảnh hưẻfng biến dạng uốn (nếu xét thêm ảnh hưởng khác nội dung thay đổi) viết ^pm1 ^pm27 ị I a) ; b) I^ Ị A i= ; ZÌ2 = {Mị,^ }(M,^) ; I „ Ị Pkrll /7 ^ ^ D ^77 Aj = ^ ^k2='lỶ c) d) "m" công thức chuyển vị dạng nhân biểu đồ Ta có: /TỈSSr ♦ Lân lượt nhân chuyển vị Aj, A 2, As vừa tìm dược với — X " ‘=' s ố a, b, - c, thực phép cộng ta xác định được: M e) ) (a) ầ* = a Aị + h A - c A ị ^ Hình 7.26 (b> Cách làm tốn thời gian phải nhân biểu đồ nhiều lần Do đó, cần đặt vấn đề tìm nhóm lực F* đặt trạng thái "k” để cho p* sinh công chuyên vi A* cần xác định Nói khác tìm nhóim lực p* cho nhân biểu đồ chúng gây với biểu đổ M,rì ta ;sẽ tìm chuyển vị A*: A* = {Mi^ ){M,n) ('C) Nếu thay (a) vào (b), ta = [ af So sánh (c) với (d) ta thấy: 198 ) - c ịM ^ ^ } MM,n) (d) Vì tưng độ biểu thị nội lực lỷ lệ bậc nhấit v/ới giá trị lực tác dụng nên theo nguyên lý cộng tác dụng đồng thời xiuấit phát từ điều kiện trên, ta thấy nhóm lực p * nhóm lực h inh 7.26e Như vậy, nêìí trạn^ thái "m" ta muôn tim nr.ộl tập hợp chuyển vị: , = Ế /', i=l P-34) íhì trạng thái "k" cần đặt nhóm lực p* ịịổm rì l ực lực thứ i có vị trí phương chuyển vị Aị giá Irị bang hệ s ố Oị Tiếp áp dụng vông thức chuyển vị thường lệ: (7.35) Dưới ta áp dụng kết luận vừa tìm cho số trưòíng hợp thường gặp thực tế tính toán 7.8.1 Chuyên vị thảng tương đôi Chuyển vị thẳng tương đối hai diểm theo phương X hiệu sỏ' \ hình chiếu khoảng cách hai ' điểm theo phương X lúc sau vù trước hiến dạng B A Ãg Hinh 27 V í dụ cần xét chuyển vị tương đối hai điểni A vằ B theo phương thẳng đứng hệ hình 7.27 Ta thấy hình chiếu khoảng cách RÌửa hai điêrn A B theo phưcmg X trước biến dạng bang khòng, sau biễn dạng lầ Aa - àiỉDo đó, chuyển vị tương đối A ab = íức ]à hiệu hai chuyển vỊ tuyệt đối chiều hai điểm A /) theo phươiig xét Như vậy, ta phát biểu cách tạo trang thái "k" cần xác định chuyển vị thẳng tương đối sau; M uốn tìm chuyển vị thẳng tương đổi liai điểm nàù theo phương X hất kỳ thi trạníỊ thái "k" ta cần đặt nhóm lực F* dạng hai lực ngược chiều nhơn đơn vị hai điểm đơng xéi hướng theo phương X V í dụ 7.10 [6 J Tìm chuyển vị thẳng tươno đối hai điểm A va c theo phương nối liền hai điểm (hình 7.28a) 199 Trạng thái "m" biểu đồ M,n vẽ hình 7.28b Trạng thái ”Ả" \à biếu đổ Mị vẽ hình 7.28c Ta có: b) a) cj B c CT3 A D _ /TT^TT ỉ ũ42 ^ ỉ a _^ ' ^ —4 — — Pa + ——^ a.Pa 2 Eỉ 2 P c r\ I2 E Ỉ Kết m ang dấu dương chứng tò chuyển vị thẳng tương đối hai điểm hướng theo chiều nhóm lực p* {A c tiến gần với nhau) 7.8.2 C h u y ển vị góc tương đối Chuyển vị góc tương đổi hai tiết diệu hiệu góc hợp hai tiết diện ìúc sau trước biến dạng Ví dụ, xét chuyển vị góc tương đối hai tiết diện A Vã B hệ hình 7.29 _ ' 1Ị ^ ^ r ii Góc hợp thành hai tiết diện A B hay nói khác phưcíng tiếp tuyến diện A B trước biến không sau biến dạng góc hợp hai tiết dạng Và ạ>A- (PB- b) ị - ọ— ^ /7^77 H inh 7.30 Do đó, góc xoay tương đối giưa tiết diện A vầ B (PA-B = (PA ~ [...]... (hình 17 ); ♦ dàn không gian (phần dưới hình 18 a); aj c) đ) ♦ khung không gian (phần dưới hình 18 b); ♦ bản (hình 18 c); ♦ vỏ (hình 18 d, e, f) B P hán loại theo cách tín h công trình Khi tính toán công trình, nói chung ta phải sử dụng các điều kiện sau: ♦ Điều kiện cán bằng tĩnh học ♦ Điêu kiện dộng học hay còn gọi là điều kiện hình học, điều kiện liên tục về biến dạng (biểu thị sự tưofng quan hình học. .. >0 (1. 3) Công thức này có ý nghĩa tương tự như (1. 2) và là trường hợp đặc biệt của (1. 2) 3 H ệ d à n Dàn là hệ gồm cúc thanh thẳng nối với nhau chỉ hảng các khớp ở hai đầu mỗi thanh 35 Giao điểm của các thanh được gọi là mắí Hệ trên hình 1. 11 là hệ dàn Hệ trên hình 1. 12 không phải là hệ dàn vì thanh 1- 3 không phải chỉ có khófp ở hai đầu Đối với hệ dàn, ta cũng có thể áp dụng công thức (1. 2) hoặc (1. 3^... cân bằng tĩnh học 24 Ví dụ, các hệ trên hình 12 a; 13 a; 14 a và 15 a là lĩnh định * Hệ siêu tĩnh là những hệ khi chịu tài trọng, nếu chỉ sử dụng các điều kiện cân bằng tĩnh học không thôi tliìchưa đủ đê xác định nội lực trong hệ Đối với các hệ này ngoài những diều kiộn càn bằng tĩnh học ta còn phải sử dụng các điều kiện động học và các điều kiện vật lý Những hệ trên hình 12 b; 13 b; 14 b; Ỉ5b và 16 là siêu... dạng phân bố trong công trình khi cho biết hình dạng kích thích thước của các cấu kiện trong công trình và tác động của tải trọng Cơ học công trình giữ một vai trò quan trọng đối với các kỹ sư làm công tác thiết k ế cũng như thi công các công trình xây dimg C ơ học công trình trang bị cho kỹ sư thiết kế những tri thức giúp họ phát hiện được trạng thái phân bố nội lực và biến dạng trong công trình và do... (hình 12 a, b); dàn (hình 13 a, b); khung (hình 14 a, b); vòm (hình 15 a, b); b) /} /77>f7T Hinh 12 3) b) 77r /77Ĩ77T /77Ỉ'TTT Hình 14 ♦ hệ liên hợp (hệ treo trên hình 16 là hệ liên hợp giữa dàn và dây xích) ỉ i i n h 16 2 Hệ k h ô n g gian: khi các cấu kiện của công trình không nằm trong cùng một mặt phẳng hoặc nằm trong cùng một m ặt phẳng nhưng tải trọng tác dụng ngoài mặt phẳng của công trình Hình 17 ... thành hai phần tách biệt A và B (hình 6b) và xét cân bằng của một phần nào đó, chẳng hạn phần A Vì phần A cân bằng trong toàn hệ nèii khi loại bò phần B ta cần thay thế tác dụng của phần B đối với phần A bằng một hệ lực phân bố trên toàn tiết diện bị cắt Hệ lực đó chính là nội lưc Ngược lại, trên tiết diện bị cắt thuộc phần B cũng tồn tại một hệ nội lực tha\’ thế tác dụng của phần A đối với phần B Tlieo... tính toán công trình Ngoài ra, Cơ học công trình còn có nhiệm vụ nghiên cứu dạng hợp lý của các công trình bảo đảm yêu cầu tiết kiệm vật liệu cũng như nghiên cứu các quy luật hình thành công trình bảo đảm cho công trình không bị thay đổi dạng hình học dưới tác động của các nguyên nhân bên ngoài Trong thực tế thường gặp hai loại bài toán: * Bài toán kiểm tra: Ta gặp bài toán này khi đã có sẩn công trình,... Trái Đất thì liên kết hàn được gọi là liên kết ngàm (hình 1. 9d) 1. 2.2 Liên kết phức tạp Liên kết phức tạp là liên kết nối nhiêu m iếng cứng, s ố m iếng cứng lớn hơn hai Trong thực tế ta có thế gặp các liên kết phức tạp dưới dạng khớp phức tạp (hình 1. 1 Oa) hoặc ỉiên kết hàn phức tạp (hình 1. 1 Ob) Để tiên cho viêc nghiên cứu, ta quy ^ , V 4 H ình 1. 10 đối liên kết phức tạp vê các liên kêt đơii giản cùng... hình học của hệ cho ban đầu Ví dụ, với hệ vẽ trên hình 1. 14 ta lần lượt loại bỏ khỏi hệ các bộ đôi (5-4)(5-3); (4-2)(4-3) và (2ỉ)(2-3), hệ còn lại là thanh 1- 3 bất biến hình, do đó hệ cho ban đầu là BBH 2 Cách nối hai m iếng cứ ng th à n h m ột hệ B B H Từ điều kiện cần ta thấy: để nối hai miếng cứng thành hệ BBH thì tối thiểu phải sử dụng ba thanh (hình 1. 15a); một khớp và một thanh (hình 1. 15b),... dụng ba thanh (hình 1. 15a); một khớp và một thanh (hình 1. 15b), hoặc một mối hàn (hình 1. 15c) Sử dụng một mối hàn (hình 1. 15c) để nối hai miếng cứng thì bao giờ cũng được một hệ BBH Nếu sử dụng ba thanh thì điểu kiện bố trí hợp lý là ba liên kết thanh không được đồng quy hoặc song song (hình 1. 15a) bì c) Hình 1. 15 38