Khóa học CHINH PHỤC PT HỆ PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 PHƯƠNG PHÁP TỔNG SỐ HẠNG KHÔNG ÂM GIẢI PT Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN Ví dụ 1: Giải phương trình 3x + x + = ( x + x ) x + +2 x Lời giải Điều kiện: x + + ≥ 0, x ≠ x Phương trình cho tương đương 1 1 x + + = ( x + 1) x + + ⇔ ( x + 1) − ( x + 1) x + + + x + + + x − x + = x x x x x + − x2 + + = ⇔ x + − x + + + ( x − 1) = ⇔ ⇔ x =1 x x x −1 = Vậy phương trình cho có tập nghiệm S = {1} Ví dụ 2: Giải phương trình x − 11x + + Điều kiện: x ≥ Phương trình cho tương đương x2 − x+2 2x x+2 x2 = ( x − 3) x − + x+2 Lời giải + + x − 12 x + − ( x − 3) 2x x+2 ( x x − + ( x − 1) = ⇔ − 1 + x − − x − x+2 ) =0 x x −1 = =1 x = x + ⇔ x+2 ⇔ x+2 ⇔ ⇔x=2 2 x − − x − = 2 x − = x − 2 x − = x − Vậy phương trình cho có tập nghiệm S = {2} Ví dụ 3: Giải phương trình x − x + x + = x 3x + + x x − x + Lời giải ĐK: x ∈ ℝ (*) Ta có VT (1) = x + ( x − x + 1) + x = x + ( x − 1) + x ≥ ) ( ⇒ VP (1) ≥ ⇒ x x + + x − x + ≥ ⇒ x ≥ Khi (1) thành x − x + 3x + = x 3x + + x x − x + ⇔ 10 x − x + = x 3x + + x x − x + ⇔ x − x x + + ( x + 1) + x − x x − x + + ( x − x + 1) = ( ) ( ⇔ x − 3x + + x − x − x + ) =0 Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học CHINH PHỤC PT HỆ PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ( ⇔ x − 3x + ) ( = x − 2x2 − 2x + ) Facebook: Lyhung95 =0 x ≥ x ≥ 2 x = x + ⇔ ⇔ 4 x = x + ⇔ x2 = ⇔ x = 2 x = x − x + x = x − x + ( x − 1) = Thử lại x = thỏa mãn phương trình cho Đ/s: x = 1 Ví dụ 4: Giải phương trình ( x − 3) x + x = ( x − 1) x + + x − 11 2 Lời giải: Điều kiện: x ≥ Phương trình cho tương đương với: ( ( x ∈ ℝ) ) pt ⇔ ( x − 3) x + x = ( x − 1) x + + x − 22 ⇔ x − x + x x − x = ( x − 1) x + + x − 22 ⇔ x − x − ( x − 1) x + + x x − 12 x + 22 = ( ) ⇔ x − x + − ( x − 1) x + + x + 1 + x x − x − 12 x + 20 = ( ) ( ⇔ x − − 2x + + x + ( ( )( x −2 ) =0 ( ∗) ) x −1 − 2x + ≥ Vì x ≥ ⇒ x + > ⇒ nên phương trình ( ∗) trở thành: x +5 x −2 ≥0 x − = x + x − − 2x + = x − = ⇔ ⇔ x = x = Vậy phương trình cho có nghiệm x = )( ) Ví dụ 5: Giải phương trình x − x + = ( x − 1) x + + x3 + x − x + ( x ∈ ℝ) PHÂN TÍCH CASIO Sử dụng SHIFT SOLVE với x = ta nghiệm x ≃ 3.302774567 BẢNG GIÁ TRỊ Kiểm tra điều kiện nghiệm kép với TABLE (Mode 7) X F(X ) Xét F ( X ) = X − X + − ( X − 1) X + + X + X − X + 3.1 0.0228 Nhập giá trị 3.2 5.919.10 −3 • Start ? START = 3.1 3.3 4.346.10 −6 • End ? END = 3.4 5.366.10 −3 • Step ? STEP = 0.1 3.5 0.0222 Qua bảng bên, ta nhận thấy nghiệm nằm lân cận giá trị 3.3 3.6 0.0507 đồng thời hàm số F ( X ) có dấu hiệu tiếp xúc với trục hoành Vì 3.7 0.0911 nghiệm x ≃ 3.302774567 nghiệm kép F ( X ) = Đồng thời ta lại có: x3 + x − x + = ( x + 3) ( x − x + ) 3.8 3.9 4.0 0.1435 0.208 0.2849 Thay x ≃ 3.302774567 vào thức ta được: x + ≃ 2.302775405 x + ≃ 3.302774567 − = x − ⇒ x + ≃ 2.510532726 x + ≃ x − x + x − x + = 2.510531957 Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học CHINH PHỤC PT HỆ PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ( Vậy ta tạo đẳng thức để có biểu thức x − − x + ) Facebook: Lyhung95 ) ( x + − x2 − x + Lời giải: Điều kiện: x ≥ −2 Vì x ≥ −2 nên x + > ( x + 3) ( x − x + ) = x3 + x − x + = x + x − x + Khi đó, phương trình cho tương đương với: pt ⇔ x − x + = ( x − 1) x + + x + x − x + ( ) ⇔ x − x + − ( x − 1) x + + x + + x + − x + x − x + + x − x + = + 13 x − = x + =0⇔ ⇔x= 2 x + = x − x + + 13 Vậy phương trình cho có nghiệm x = ( ⇔ x −1− x + ) +( x + − x2 − x + Ví dụ 6: Giải phương trình x + x + 11 = ( ) x + x + + 3x + ) Lời giải: ĐK: x ≥ − Khi PT ⇔ x + x + − x + x + + + x + − x + + = 2 x + x + = ⇔ x + x + − + 3x + − = ⇔ ⇔ x = ( tm ) 3x + = Vậy x = nghiệm PT cho ) ( ( ) Ví dụ 7: Giải phương trình ( x − 1) = x x − − ( x + ) x + + 14 Lời giải: ĐK: x ≥ ( Khi ta có: x − x x − + x − = x + 12 − ( x + ) x + x − 2x −1 ) ( ) ( ) = x + 12 − ( x + ) x + ⇔ x − x − + ( x + 3) x + + x + x + − x + = x = x − =0⇔ ⇔ x = ( tm ) x + = Vậy x = nghiệm PT cho ( ) ⇔ x − 2x −1 + x + ( x+3 −2 ) Ví dụ 8: Giải phương trình x + x + − 2 x − = x − Lời giải: ( ) ĐK: x ≥ Ta có: PT ⇔ x + − ( x + ) + ( x − ) − 2 x − + x − x + = ⇔ ( x − 2) 2 2x2 + + x + ( x − 2) + ( x − 3) − 2 x − + + ( x − ) = 2 x = 2x − −1 + ( x − 2) = ⇔ ⇔ x = ( tm ) x2 + + x + x − = Vậy x = nghiệm PT cho Ví dụ 9: Giải phương trình x + x + = ( x + ) x + + x x + ⇔ + ( ) Điều kiện: x ≥ −2 Phương trình cho tương đương Lời giải Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học CHINH PHỤC PT HỆ PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 x + x + 10 = ( x + ) x + + x x + ⇔ ( x + ) − ( x + ) x + + ( x + ) + x − x x + + ( x + ) = ( ⇔ x+2− x+7 ) + (x − x+2 ) x + − x + = x + = x + ⇔ ⇔ ⇔x=2 x − x + = x + = x Vậy phương trình cho có tập nghiệm S = {2} Ví dụ 10: Giải phương trình x − + = x − + x − x Lời giải ĐK: x ≥ (*) Khi (1) ⇔ x + x − = x x − + x x − ⇔ x2 + x − = x x − + x x − ( ) ( ) ⇔ x2 − x x − + x − + x2 − x x − + x − = ( ) ( ⇔ x − 2x −1 + x − 4x − ) =0 x ≥ x ≥ x = x − ⇔ ⇔ x = x − ⇔ ( x − 1) = ⇔ x = thỏa mãn (*) x = x − x2 = x − ( x − 1)( x − 3) = Đ/s: x = Ví dụ 11: Giải phương trình x + x − = x x − + x x − x + Lời giải x ≥ x ≥ ĐK: ⇔ ⇔ x≥ 4 2 x − x + ≥ x + ( x − 1) ≥ (*) Khi (1) ⇔ x + x − = x x − + x x − x + ) ) ( ( ⇔ x2 − x x − + x − + x2 − x x2 − x + + x2 − x + = ( ⇔ x − 4x − ) +(x − 2 x2 − x + ) =0 x ≥ x = x − ⇔ ⇔ x2 = x − 2 x = x − x + x = 2x − 2x +1 x ≥ ⇔ ( x − 1)( x − 3) = ⇔ x = thỏa mãn (*) ( x − 1) = Đ/s: x = Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học CHINH PHỤC PT HỆ PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Ví dụ 12: Giải phương trình x + x + 14 = ( x + 1) x + + ( x + 3) x + 15 Lời giải ĐK: x ≥ −3 (*) Khi (1) ⇔ x + 10 x + 28 = ( x + 1) x + + ( x + 3) x + 15 2 ⇔ ( x + 1) − ( x + 1) x + + ( x + 3) + ( x + 3) − ( x + 3) x + 15 + ( x + 15) = ( ) +(x +3− x + 15 ) ( ) = (x +3− x + 15 ) ⇔ x +1− x + ⇔ x +1− x + 2 2 =0 =0 x ≥ −1 x + = x + ⇔ ⇔ ( x + 1) = x + x + = x + 15 ( x + 3) = x + 15 x ≥ −1 x ≥ −1 ⇔ x + x − = ⇔ ( x − 1)( x + ) = ⇔ x = thỏa mãn (*) x2 + 5x − = ( x − 1)( x + ) = Đ/s: x = Ví dụ 13: Giải phương trình x3 + 5x + 5x + 1 + = x + x + tập hợp số thực x x Lời giải + ≥ 0; x > x Với điều kiện vế phải không âm, phương trình cho tương đương với Điều kiện x + x + x + 1 x + x + x + + = x + x + x x 2 ⇔ x3 + x + x + ⇔ x2 + − 4x x + 1 + = 4x2 + 4x x + + x + x x x + x + x3 = x 1 ⇔ x + − x + + + x = ⇔ x + − + x = (1) x x x Rõ ràng (1) vô nghiệm x > Kết luận toán vô nghiệm Ví dụ 14: Giải phương trình x2 + +2 = − x2 + ( x ∈ ℝ) x x Lời giải + ≥ 0; x ≠ 0; − x ≥ x x Phương trình cho tương đương với Điều kiện x + Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học CHINH PHỤC PT HỆ PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 2 1 x + + = − x + 1 ⇔ + x + = − x + − x2 + x x x x x ⇔ 1 1 + x2 + = − x2 ⇔ − x2 − − x + + 3x = x x x x − x2 = 2 ⇔ − x − + x = ⇔ x ⇔ x ∈∅ x x = Kết luận phương trình cho vô nghiệm Ví dụ 15: Giải phương trình sau tập hợp số thực x + ( x − x + 1) = x − x + + x ( x ∈ ℝ) Lời giải Điều kiện x thực Với điều kiện vế phải không âm, ta thu x4 + x2 − x + = x2 − x + + x ⇔ x4 + x2 − x + = x2 − x + + x x2 − x + + x2 ⇔ x4 + x2 − x + = x x2 − x + ⇔ x4 + x2 − x + − x x2 − x + + x2 = x = =0⇔ ⇔ x∈∅ x − x + = x Kết luận phương trình cho vô nghiệm Ví dụ 16: Giải phương trình x − x − + = − x ( x ∈ ℝ) x Lời giải Điều kiện ≠ x ≤ Phương trình cho tương đương x3 − x + x − = x − x ⇔ x − x − x − x + + x − x + = ⇔ x4 + ( x2 − x + − x ) ⇔ x2 ( − x ) − 2x − x + + x2 − x + = x − x = ⇔ x − x − + x2 − x + = ⇔ ⇔ x∈∅ x − x + = Kết luận phương trình cho vô nghiệm ( ) Ví dụ 17: Giải phương trình 17 x + − + x = ( x ∈ ℝ ) x Lời giải 17 x + ≥ Điều kiện ⇔ x >0 x x ≠ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 6 6 17 x + ≥ 17 x = 102 ⇒ 17 x + − ≥ 102 − > ⇒ 17 x + − x x x x Lại có x > ⇒ 17 x + − + x > , dẫn đến phương trình cho vô nghiệm x ( Ví dụ 18: Giải phương trình x + 12 + x − = x x − + − x ) ( x ∈ ℝ) Lời giải: Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học CHINH PHỤC PT HỆ PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 ≥ x ≥ Sử dụng máy tính CASIO ta thu nghiệm kép x = 5 2 x − = = x x − = = x x − x − = x + x − − x x − Khi suy ⇒ − x = − x = − x − = 13 − x − − x đẳng thức cần tạo nên phương trình cho tương đương với: Điều kiện: ( ( ( 4x ) ) ) ( ) + x − − x x − + 13 − x − − x + x − = 2 x = x − ⇔ x − 5x − + − 5x − + x − = ⇔ − 5x = ⇔ x = x − = Vậy phương trình cho có nghiệm x = ( ) ( ) Ví dụ 19: Giải phương trình ( ( ) ( ) ( x ∈ ℝ) x + − x + 13 x + − x = x − + Lời giải: ) ( ) Điều kiện: x ≥ Ta có − x − + = ( x − 1) − x − + − x = x − − − x Nên phương trình cho tương đương với: ( ) ( ) ( ) x + − x + 13 x + − x − x + x − − = ( ) ⇔ x x + + 13 x x + − 12 x − 12 x + x − − = ( ) ( ) ⇔ x x + ( x + 13) − 12 ( x + 1) + ( x − − 1) = ⇔ x x + ( x + − 12 x + ) + ( x − − 1) = ⇔ x x + ( x + − 12 x + + ) + ( x − − 1) = ⇔ x x + ( x + − 3) + ( x − − 1) = ( ∗) x x + x + − ≥ ( ) nên phương trình ∗ trở thành: x +1 > ⇒ ( ) ( x − − 1) ≥ ⇔ x x x + + 13 x + − 12 x − 12 + x − − = 2 2 2 Vì x ≥ ⇒ x 2 x + = x +1 − = x −1 −1 = ⇔ ⇔x= 2 x − = Vậy phương trình cho có nghiệm x = ( Ví dụ 20: Giải phương trình x + x + x + = x x + x + + x + x + Lời giải: ( ) ) x2 − x x + + x + = x − x + Điều kiện: x ≥ −1 Ta có 4 x − x 3x + x + + x + x + = x − 3x + x + Khi phương trình cho tương đương với: ( ( x ∈ ℝ) ) Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học CHINH PHỤC PT HỆ PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ) ( ( Facebook: Lyhung95 pt ⇔ x − x3 − x + x + + x − x + + x − x + x + ( ) ( ) =0 ⇔ x ( x − x − 1) − ( x3 − x − 1) + x − x + + x − x + x + ( ⇔ x ( x − x − 1) − ( x + 1) ( x − x − 1) + x − x + ( ⇔ ( x − x − 1) + x − x + ) ( ) + ( 2x − + x − 3x + x + ) ) =0 3x + x + ) =0 =0 x2 − x − = x ≥ 1+ ⇔ x = x + ⇔ ⇔x= x − x −1 = 2 x = x + x + 1+ Vậy phương trình cho có nghiệm x = Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016!