Bài tập xác suất thống kê

BÀI TẬP XÁC SUẤT & THỐNG KÊ GV: Thầy Đặng Quang Phúc Biên soạn: Hồ Hoàng Huy & Trần Dương Anh Tài* *tranduonganhtai@gmail.com Ngày 19 tháng năm 2016 ĐẠI SỐ BIẾN CỐ Bài 1: Bắn viên đạn vào bia Gọi Ai biến cố viên đạn thứ i trúng bia (i=1,2,3), A biến cố có viên trúng bia, B biến cố có viên trúng bia, C biến cố viên không trúng Hãy biểu diễn A, B, C, A ∪ B, B\C qua Ai Ai Bài 2: Kiểm tra chất lượng lô hàng Gọi A biến cố có sản phẩm hỏng, B biến cố có từ sản phẩm trở lên hỏng Hãy nêu ý nghĩa A, A\ B, B XÁC SUẤT Bài 3: Một hộp có bi trắng, bi đen Rút ngẫu nhiên lúc bi Tìm xác suất để bi rút có: a) bi đen b) bi đen Bài 4: Một hộp có ống thuốc tốt ống chất lượng Lấy ngẫu nhiên không trả lại ống Tìm xác suất để a) ống lấy tốt b) ống lấy có ống tốt Bài 5: Một sắt thẳng bẻ thành khúc cách ngẫu nhiên Tìm xác suất để tạo thành tam giác Biết chiều dài sắt L Bài 6: Mạch điện điểm A, B mắc theo sơ đồ L3 L1 L4 A L2 B L5 Các linh kiện Li hoạt động độc lập xác suất bị hỏng tương ứng 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5 Tìm xác suất để mạch A B ngừng hoạt động Bài 7: Bình A có bi đỏ, bi trắng Bình B có bi đỏ, bi trắng Ta tung xúc xắc, xuất mặt hay lấy bi B bỏ vào A rút bi từ A Nếu xúc xắc ngả mặt khác rút bi từ A bỏ vào B rút bi từ B Tính xác suất để lấy bi lần cuối bi đỏ Bài 8: Xác suất để bắn trúng mục tiêu p=0.8 a) Nếu bắn lần, tìm xác suất để có lần bắn trúng mục tiêu b) Phải bắn lần để xác suất có viên trúng lớn 0.99 Bài 9: Một lọ chứa đồng xu có đồng công đồng thiên vị ngửa Lấy ngẫu nhiên đồng xu tung: Nếu ngửa tung tiếp lần Nếu xấp rút đồng khác tung a) Tính xác suất để mặt ngửa xuất lần b) Nếu đồng xu tung lần, tính xác suất đồng thiên vị Bài 10: Một nhà máy sản xuất bóng đèn Máy I sản xuất 25% số bóng đèn, máy II sản xuất 35% số bóng đèn, máy III sản xuất 40% số bóng đèn Tỉ lệ sản phẩm hỏng máy A,B,C 3%, 2%, 1% a) Lấy ngẫu nhiên bóng đèn Tìm xác suất để gặp bóng xấu b) Khi lấy ngẫu nhiên bóng đèn ta bóng đèn tốt Tìm xác suất để bóng tốt máy B làm Bài 11: Bình A có bi đen, bi trắng Bình B có bi đen, bi trắng Lấy ngẫu nhiên bi từ bình A bỏ vào bình B Lắc B lấy bi từ B bỏ vào A Lắc A lấy bi Tìm xác suất để bi lấy lần sau bi trắng Bài 12: Bắn viên đạn vào mục tiêu, xác suất trúng viên tương ứng 0.2, 0.3 0.5 Nếu có viên trúng mục tiêu bị phá hủy với xác suất 0.4 Nếu có từ viên trúng trở lên mục tiêu chắn bị phá hủy Tìm xác suất để mục tiêu bị phá hủy bắn viên đạn ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Bài 13: Dùng súng để bắn thử loạt đạn xác suất trúng mục tiêu viên đạn p (0 < p < 1) Phép thử kết thúc viên đạn bị trượt Gọi X số viên đạn cần bắn Lập bảng phân phối X trường hợp: a) Số đạn không hạn chế b) Chỉ có n viên đạn Bài 14: Có lô hàng, lô có 10 sản phẩm Lô thứ i có i sản phẩm hỏng (i=1,2,3) Từ lô lấy ngẫu nhiên sản phẩm Gọi X số sản phẩm hỏng sản phẩm lấy Lập bảng phân phối X Bài 15: Một lô hàng gồm 10 sản phẩm có sản phẩm xấu Lấy ngẫu nhiên lúc sản phẩm Gọi X số sản phẩm xấu lấy Tìm luật phân phối X Bài 16: Một thi gồm câu hỏi, câu có cách trả lời có cách Muốn đạt sinh phải trả lời câu a) Tính xác suất để thí sinh mà lại đạt b) Tính xác suất đạt thí sinh biết trả lời câu đầu Bài 17: Một kĩ thuật viên theo dõi 12 máy tự động Xác suất để máy cần điều chỉnh 0.2 Coi máy hoạt động độc lập Gọi X số máy cần điều chỉnh làm việc Tìm xác suất để có từ đến máy cần điều chỉnh Bài 18: Trong 1000 sinh viên, xác suất để có sinh viên có ngày tháng năm sinh cho bao nhiêu? Biết năm có 365 ngày Bài 19: Biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối:    ,x <  0 F ( x ) = ( x − 2)2 , ≤ x ≤    1 ,x > a) Tìm hàm mật độ f X ( x ) b) Tìm P[1 ≤ x ≤ 2.6] Bài 20: Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ:  0 f X (x) =  a( x − 2)(4 − x ) ,x < 2∨x > ,2 ≤ x ≤ a) Tìm a b) Tìm hàm phân phối FX ( x ) Bài 21: Cho f (x) =     0 ,x ≤ 0∨x ≥ ax2     a (2 − x )2 ,0 < x ≤ ,1 < x < a) Tìm a để f ( x ) hàm mật độ b) Tìm hàm phân phối F(x) tương ứng Bài 22: Cho X ∈ N (0, 1) Tìm P[0 < X < 1.42], P[1.37 < X < 2.01], P[ X > 1.13] Bài 23: Cho X ∈ N (13, 16) Tìm P[ X < 20], P[ X > 10], P[5 < X < 21] VECTOR NGẪU NHIÊN Bài 24: Cho bảng phân phối đồng thời (X,Y) Y X 10 15 20 a 2a a 3a 2a 4a 2a 5a a) Xác định số a b) Tìm phân phối lề X Y Bài 25: Cho biến ngẫu nhiên X1 , X2 độc lập 0.2 X1 P 0.3 0.5 X2 P 0.4 0.6 a) Lập bảng phân phối đồng thời ( X1 , X2 ) b) Lập bảng phân phối Y = X1 + X2 , Z = X1 X2 Bài 26: Vector ngẫu nhiên có hàm mật độ f X,Y ( x, y) = A (16 + x2 )(25 + y2 ) , với ( x, y) ∈ R2 a) Xác định A √ b) Tìm P[4 < X < 3; < Y < 5] c) Tìm hàm mật độ lề f X ( x ), f Y (y) Bài 27: Vector ngẫu nhiên ( X, Y ) có hàm mật độ đồng thời    √A ,0 < x ≤ y ≤ xy f X,Y ( x, y) =  0 , lại a) Tìm A b) Tìm f X ( x ), f Y (y) Suy X, Y không độc lập Bài 28: X,Y độc lập có luật phân phối Biết f X ( x ) = exp(−2x ).I [ x > 0] Tìm hàm mật độ Z = X + Y Bài 29: X,Y độc lập có luật phân phối Biết f X ( x ) = exp(− x ).I [ x > 0] Tìm hàm mật độ Z = X/Y T = X + Y Bài 30: X, Y độc lập phân phối [0,2] a) Tìm FX ( x ) b) Tìm hàm mật độ Z = Min( X, Y ) ĐẶC TRƯNG SỐ Bài 31: Trong 13 phần đại lượng ngẫu nhiên xét số đạn không hạn chế Tìm E( X ) Bài 32: Trong 19 phần đại lượng ngẫu nhiên Tìm E( X ) D ( X ) Bài 33: Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ f (x) =  nx n−1 , ≤ x ≤ 1, n > 0 , lại Tìm E( X ) D ( X ) Bài 34: Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ √ f (x) = π a2 − x2 I [− a < x < a]; a > Tìm E( X ) D ( X ) Bài 35: Cho: a) E( X ) = 1, E(Y ) = −2 Tìm E(2X + 3Y ), E( X − Y ) b) E( X ) = 2, E( X ) = Tìm D (7X − 4), D ( X + 10) , D (− X + 3) Bài 36: X,Y biến ngẫu nhiên CMR: D ( X + Y ) = D ( X ) + D (Y ) + 2Cov( X, Y ) Bài 37: CMR: D X D(X ) + Y D (Y ) = 2(1 + R XY ) MẪU VÀ ƯỚC LƯỢNG Bài 38: X (kg) tiêu loại sản phẩm Điều tra số sản phẩm ta có kết quả: xi ni 50 - 55 55 - 60 10 60 - 65 25 65 - 70 30 70 - 75 18 75 - 80 12 Tìm trung bình mẫu x¯ phương sai mẫu s2 Bài 39: X (gram) tiêu loại sản phẩm Điều tra số sản phẩm, ta có: xi ni 5-7 7-9 - 11 14 11 - 13 19 13 - 15 22 15 - 17 20 17 - 19 15 19 - 21 Tính x¯ s2 Bài 40: Đo đường kính X (mm) chi tiết máy máy tiệm tự động sản xuất, ta có: xi ni 12.00 12.05 12.10 12.15 12.20 10 12.25 12.30 12.35 12.40 Tính trung bình mẫu độ lệch chuẩn s Bài 41: Với số liệu 38, ước lượng: a) trung bình tiêu X với độ tin cậy 95% b) trung bình tiêu X sản phẩm có X < 60kg với độ tin cậy 90% (giả sử X có phân phối chuẩn) Bài 42: Kiểm tra số khuyết tật X loại sản phẩm, ta có: xi ni 20 12 30 40 25 15 a) Tìm số khuyết tật trung bình loại sản phẩm với độ tin cậy 95% b) Nếu gọi sản phẩm loại I loại có không khuyết tật Hãy ước lượng tỉ lệ loai I với độ tin cậy 95% Bài 43: Muốn biết số cá hồ, người ta bắt lên 1000 đánh dấu xong lại thả xuống hồ Sau bắt lên 200 thấy có 60 đánh dấu Hãy ước lượng số cá hồ với độ tin cậy 95% Bài 44: ( X1 , X2 , Xn ) mẫu độc lập X ∝ B(θ) Chứng tỏ: θˆ = Xi ước lượng không chệch, n vững hiệu θ Bài 45: Câu hỏi tương tự 44 với X ∝ P(θ), θ > X¯ = Xi n n−1 2 Bài 46: ( X1 , X2 , Xn ) mẫu độc lập X có P( X ) = Σ CM: E(Sˆ2 ) = Σ n KIỂM ĐỊNH Bài 47: Tỉ lệ phế phẩm nhà máy 10% Sau cải tiến, điều tra 400 sản phẩm có 32 phế phẩm Với mức ý nghĩa α = 0.01, cho kết luận việc cải tiến Bài 48: Trọng lượng bao gạo X tuân theo luật phân phối chuẩn với µ0 = 50kg Nghi ngờ máy đóng bao hoạt động không bình thường, người ta cân 25 bao xi ni 48 - 48.5 48.5 - 49 49 - 49.5 10 49.5 - 50 50 - 50.5 Với α = 1% kết luận nghi ngờ Bài 49: Tuổi thọ bóng đèn X có phân phối chuẩn với µ0 = 2000 độ lệch chuẩn s = 15 Nghi ngờ tuổi thọ bóng đèn thay đổi, người ta thắp 25 bóng thấy tuổi thọ trung bình x¯ = 1990 với α = 5% Hãy kết luận nghi ngờ