bài tạp toán 2

TNG CC K THUT TRNG S QUAN K THUT QUN S BI TP TON CAO CP TP TP H CH MINH - 2010 TNG CC K THUT TRNG S QUAN K THUT QUN S BI TP TON CAO CP TP (Dựng cho i tng s quan k thut, cao ng k thut) TP H CH MINH - 2010 Trng S quan K thut Quõn s mong c bn c gúp ý kin phờ bỡnh (Quyt nh ban hnh s: /Q-SQKTQS ngy thỏng nm 2010) TC GI Ch biờn: i ỳy, C nhõn Trn Hoi Nhõn Tham gia biờn son: Thiu tỏ CN, C nhõn Phm Th Kim Hu Trung ỳy, C nhõn on V Ngc Hin Trung ỳy, C nhõn T Minh Trung MC LC Ni dung Trang Li núi u Chng I: HM S Đ1 Khỏi nim hm s Đ2 Gii hn hm s Đ3 Hm s liờn tc 3 20 45 Chng II: PHẫP TNH VI PHN CA HM S Đ1 o hm v vi phõn ca hm s Đ2 o hm v vi phõn cp cao Đ3 ng dng ca phộp tớnh vi phõn Đ4 Cc tr ca hm nhiu bin 54 54 70 76 84 B B B Chng III: PHẫP TNH TCH PHN CA HM S Đ1 Nguyờn hm v tớch phõn bt nh Đ2 Tớch phõn xỏc nh Đ3 Tớch phõn kộp Đ4 Tớch phõn ng 92 92 101 114 130 Chng IV: PHNG TRèNH VI PHN Đ1 Phng trỡnh vi phõn cp Đ2 Phng trỡnh vi phõn cp 141 141 156 Gi ý v ỏp s 172 Ti liu tham kho 217 LI NểI U Cun sỏch Bi Toỏn cao cp phn Gii tớch c biờn son theo sỏt chng trỡnh Toỏn cao cp dnh cho hc viờn v sinh viờn ca trng SQKT Quõn s, nhm mc ớch nõng cao cht lng o to, giỳp hc viờn thun li hn vic hc v nghiờn cu mụn Toỏn ti nh trng Ni dung cỏc chng mc c trỡnh by theo ỳng phõn phi chng trỡnh mi nht ó c nh trng thụng qua Giỏo trỡnh gm chng : Chng I : Hm s Chng II : Phộp tớnh vi phõn ca hm s Chng III : Phộp tớnh tớch phõn ca hm s Chng IV : Phng trỡnh vi phõn mi chng cú phn túm tt lý thuyt ch yu, cỏc bi gii sn chi tit v cui cựng l cỏc bi ngh cú gi ý v ỏp ỏn phn bi tp, cỏc tỏc gi ó sp xp t mc d, trung bỡnh n khú v c gng a hu ht cỏc dng bi tng ng vi mi phn Tuy nhiờn cỏc phng phỏp gii õy khụng phi l nht v cng khụng phi l phng phỏp chung cho phộp gii cỏc tt c cỏc bi toỏn khỏc m ch l phng tin tham kho h tr cho vic hc v nghiờn cu Thụng qua cun giỏo trỡnh ny tỏc gi hy vng minh c mt phn cỏc phng phỏp ch yu ca Toỏn hc v gi ý bn c cú iu kin tip thu c nhng k nng cn thit cho vic t hc v nghiờn cu mụn Toỏn Vic biờn son sỏch ny l kt qu ca cụng trỡnh su tp, chn lc v sỏng to ca cỏc tỏc gi sau nhiu nm ging dy cho hc viờn v sinh viờn Mc dự ó cú nhiu c gng biờn son nhng chc chn khụng th trỏnh nhng thiu sút Rt mong c s úng gúp ca cỏc ng nghip ni dung ngy cng hon thin hn Mi gúp ý xin gi v B mụn Toỏn - Khoa KHCB CC TC GI Chng I B HM S B Đ1 KHI NIM HM S 1.1 Túm tt lý thuyt: 1.1.1 Khỏi nim hm s mt bin: a nh ngha: nh x: f : XR x YR y f (x) c gi l hm s mt bin X c gi l xỏc nh ca hm f v thng c ký hiu l Df , xX gi l bin s, y = f(x) Y c gi l hm s ca bin x, y cũn c gi l nh ca x qua f Tp giỏ tr ca hm f c ký hiu l Rf v c xỏc nh bi: Rf = yY / xX y = f(x) Vi E X, ta gi f(E) = f(x) / xE l nh ca E qua f D thy f(X) = Rf Y * Chỳ ý: - Nu hm s y = f(x) cho di dng cụng thc, thỡ xỏc nh Df ca hm s c hiu l tt c cỏc giỏ tr ca bin xR biu thc f(x) cú ngha - Trong h trc ta Oxy, hp cỏc im M(x, f(x)) (xDf) to thnh th ca hm y = f(x) b Tớnh cht: - Hm b chn: Hm y = f(x) c gi l: + B chn trờn nu M R f(x) M , x Df = X + B chn di nu m R f(x) M , x Df = X + B chn nu M, m R m f(x) M , x Df = X - Hm chn, hm l: Hm y = f(x) c gi l: + Hm chn nu xDx thỡ -xDx v f(-x) = f(x) + Hm l nu xDx thỡ -xDx v f(-x) = -f(x) Dỏng iu th: th hm chn l ng cong i xng qua trc Oy th hm l l ng cong i xng qua gc to - Hm tun hon: Hm y = f(x) c gi l hm tun hon nu T > tha: + x Dx thỡ x T Dx + x Dx thỡ f(x + T) = f(x) S dng To nh nht tha hai iu kin trờn c gi l chu k ca hm tun hon f(x) Dỏng iu th: th hm tun hon l nhng on cong c lp i lp li sau chu k To Do ú, v th hm tun hon, ta ch cn v chu k, v tnh tin phn th v c dc theo trc Ox mt on kTo (kZ) - Hm n iu tng, n iu gim: Hm y = f(x) c gi l: + Hm n iu tng ngt (khụng ngt) trờn A Dx nu x1, x2 A, x1 < x2 thỡ f(x1) < f(x2) (f(x1) f(x2)) + Hm n iu gim ngt (khụng ngt) trờn A Dx nu x1, x2 A, x1 < x2 thỡ f(x1) > f(x2) (f(x1) f(x2)) Hm n iu tng cũn c gi l hm ng bin, n iu gim cũn c gi l hm nghch bin Dỏng iu th: th hm ng bin l ng cong cú hng i lờn t trỏi qua phi th hm nghch bin l ng cong cú hng i xung t trỏi qua phi c Hm ngc, hm hp: - Hm ngc: Nu ỏnh x: f : XR x YR y f (x) l mt song ỏnh, thỡ tn ti ỏnh x ngc f-1, xỏc nh bi: f : YR XR y f(x) x f (y) nh x ngc ny cũn c gi l hm ngc ca hm f * Chỳ ý: - Thụng thng, ta quen gi x l bin, y l hm s nờn ỏnh x ngc x = f-1(y) c vit dng y = f-1(x) - Do hai im M (x, y) v N (y,x) i xng qua ng y = x, nờn th ca hm y = f(x) v hm ngc y = f-1(x) l hai ng cong i xng qua ng thng y = x (l ng phõn giỏc gúc phn t th I v III) - Hm hp: Xột hai ỏnh x: f : XR ZR g : ZR YR v x y f(x) x y g(x) nh x hp ca g vi f ký hiu l g f c xỏc nh bi: gf : XR x YR y (g f)(x) g f(x) d Cỏc hm s cp: - Hm s cp c bn: + Hm lu tha: y = x, R + Hm m: y = ax , < a + Hm lụgarit: y = logax , < a 1, x > + Hm lng giỏc: y = sinx (xR) y = cosx (xR) y = tgx x R \ k y = cotgx (xR\k) + Hm lng giỏc ngc: y 2 y = arccosx , x , y y = arcsinx , x , y 2 y = arccotgx , x , y y = arctgx , x , , arctgx + arccotgx = 2 xy arctgx arctgy = arctg (xy 1) xy Trong ú: arcsinx + arccosx = arctgx = arcsin x x , x + Hm Hyperbole: ex e x e x e x y shx , y chx 2 shx y thx , y cothx chx thx 1 Trong ú: ch x sh x , th x , coth x 2 ch x sh x ch(x y) chx.chy shx.shy , ch2x ch x sh x sh(x y) shx.chy chx.shy , sh2x 2chx.shx - Hm s cp: L hm s c to thnh t mt s hu hn cỏc phộp toỏn i s (cng, tr, nhõn, chia, ly lu tha, ly khai cn) v cỏc phộp ly hm hp i vi cỏc hm s cp c bn v cỏc hng s * Chỳ ý: Tt c cỏc hm s thng gp u l hm s cp 1.1.2 Khỏi nim hm s nhiu bin: a nh ngha: - nh ngha 1: Trong Rn , mt phn t x Rn l mt b s thc (x1, , xn) Ta cng cú th xem (x1, , xn) l ta ca mt im M mt h trc ta no ú v vit M = (x1, , xn) Ta gi khong cỏch gia hai im M = (x1, , xn) v N = (y1, , yn) l d (M, N) v xỏc nh bi: n d(M, N) = (x i yi ) i - nh ngha 2: nh x: f : D Rn R M (x1 , , x n ) f(M) f(x1, , x n ) c gi l hm n bin xỏc nh trờn D Vi n = ta gi l hm hai bin v thng ký hiu hm z = f(x,y) Vi n = ta gi l hm bin v thng ký hiu l u = f(x,y,z) b Min xỏc nh, giỏ tr ca hm nhiu bin: - nh ngha 1: Nu hm bin cho dng cụng thc z = f(x,y) thỡ xỏc nh Df ca hm s l tt c cỏc b (x,y) biu thc f(x,y) cú ngha - nh ngha 2: Tp giỏ tr Rf ca hm z = f(x,y) l tt c cỏc giỏ tr hm s thu c (x,y) thay i xỏc nh Df ca hm R f z R : (x, y) D f , f (x, y) z 1.2 Bi ỏp dng: Bi 1: Tỡm xỏc nh ca cỏc hm s sau: y x x2 x y sin x y lg lg(x 5x) y arcsin y arcsin 2x x 2x x y arcsin(1 x) lg(lg x) Bi gii x x x Hm s y xỏc nh x x x x x Vy xỏc nh ca hm s l: Df (0, 1) (1, ) x x Hm s y xỏc nh sin x 2k x (2k 1) , k 0,1,2, 4k 2 x (2k 1) 2 , k 0,1,2, Vy xỏc nh ca hm s l: Df k 0,1,2, 4k 22 , (2k 1) 2 lg(x 5x) x 5x 10 Hm s y xỏc nh x 5x x 5x 56 56 x 2 x x Phng trỡnh ca AB: x y a hay y a x , x a , y' a xyds xyds x(a x) Ta cú: AB BA a dx x(a x)dx (1) Phng trỡnh ca DA: x y a hay y x a , x a , y' a xyds x(x a) DA Do ú: dx x(x a)dx 0 xyds AB xyds xyds , tng t xyds xyds AB I1 = Vy a DA BC CD ũ xyds = C I ds 2 x y C , C l on thng ni 0(0,0) n A(1,2) Phng trỡnh ng thng OA l y 2x,0 x 1, y' Do ú: I2 C ln ds x y2 5x 5x 1 22 dx x 2x ln d 5x 5x x a(t sin t) I3 y 2ds , C l cung: y a(1 cos t) t C x a(t sin t) x ' a(1 cos t) Ta cú: y a(1 cos t) y' a sin t ds x '2 y'2 dt a (1 cos t) a sin t dt 2a sin 2 I3 y ds C a (1 cos t) 2a sin t dt 203 t dt (theo (1)) Vỡ t t t sin 2 nờn 2 t t t I3 8a sin dt 8a sin dt sin dt 16a sin 5udu sin 5udu 2 0 (trong tớch phõn th nht: u t t , th hai: u ) 2 2 4.2 256 5 a 32a sin udu, sin u du cos udu sin 5udu 32a 5.3 15 0 x a(cos t t sin t) I x y ds , C l cung: y a(sin t t cos t) t C x a(cos t t sin t) x ' a( sin t sin t t cos t) at cos t Ta cú : y a(sin t t cos t) y' a(cos t cos t t sin t) at sin t ds x '2 y '2 dt a t cos t a t sin tdt a t dt I4 2 x y ds C a a cos t t sin t a sin t t cos t a t dt 2 a2 t tdt 32 I5 (x y)ds , C l cung r a cos , C 4 C l 1/2 bờn phi ca ng Lemniscate Ta cú: r a cos 2rr ' 2a sin r ' a sin r Trong ta cc: a sin 2 a sin 2 a cos 2 a2 ds r r ' d r d d d r r2 r2 2 204 I5 (x y)ds C I6 = ũ (x 43 a2 r(cos sin ) d r a cos d 2a sin a 2 + y ) ds , C l ng: x y a C x a cos3 t C l ng astroide cú phng trỡnh tham s l: y a sin t t x ' 3a cos t sin t y ' 3a sin t cos t ds x '2 y'2 dt 9a cos t sin t 9a sin t cos t dt 3a sin t cos t dt Vỡ lý i xng nờn: 2 I6 [(a cos t) 43 43 (a sin t) ]3a sin t cos tdt 12a 73 12a cos t sin t sin t t cos t dt 1 73 cos t sin t 4a x t cos t y t sin t I7 zds , C l cung: z t C t t C l ng inh c nún trũn xoay: x y z x t cos t x ' cos t t sin t Ta cú: y t sin t y' sin t t cos t z t z ' ds x '2 y'2 z '2 dt t0 cos t t sin t sin t t cos t dt I7 zds t t dt t C 32 t0 t 02 205 32 23 t dt 2 x y a I8 zds , C l cung t im 0(0,0,0) n im y ax C A(a , a , a 2) C l giao ca mt nún x y z v mt tr y ax , a phng trỡnh ca C v phng trỡnh tham s, t x t , y at z t at t a 0(0,0,0) A(0,0,a 2) x ' a y ' t 2t a z ' t at a 2t a 8t 9at 2a dt dt ds 4t t at t at C a 8t 9at 2a a I8 zds t at 2 t at dt a 8t 9at 2a dt 9a 17 9a 2t 32 a d 2t 4 9a 17 9a 2 8t 9at 2a 8t 9at 2a 32 a ln 2t 2t 4 a2 25 38 100 38 72 17 ln 17 256 I9 = ũ C x y2 z2 a 2y + z ds , C l ng: x y 2 C l ng trũn ln trờn mt cu x y z a v mt phng x y qua gc ta 206 a phng trỡnh C v tham s: a x cos t a cos t thỡ t , ta cú c ng trũn t y z a sin t a x ' sin t a2 a2 a y ' sin t ds sin t sin t a cos t.dt adt 2 z ' a cos t 2p I9 = ũ 2y + z ds = C ũ 2a cos t + a sin t adt = 2p ũ a dt = 2pa 2 Chỳ ý: Vỡ x y nờn: I9 = ũ 2y + z ds = C ( ũ ds = 2pa ũ x + y + z ds = C ũ C a ds = a ũ ds = a.2pa = 2pa C : di ng trũn bỏn kớnh a) C Bi 3: Tớnh din tớch S ca phn mt tr y x gii hn bi cỏc mt phng z = 0, x=0,z=x,y=6 Tớch phõn ng f (x, y)ds (f 0), v hỡnh hc cú th xem l din tớch phn mt C tr cú ng sinh song song vi trc 0z, ng chun l ng ly tớch phõn C v chiu cao l nhng giỏ tr ca hm di du tớch phõn f Do ú, õy: S zds xds C C 207 C l cung y x t im (0,0) n im (4,6) Ta cú: y ' x,ds x dx 16 9 Do ú: S x x dx x 16 16 32 16 (10 10 1) 27 (vdt) Tớnh di s ca ng x ae t cos t, y ae t sin t,z ae t t im (0,0,0) n im (0,0,a) V hỡnh hc f (x, y)ds f l di cung ng cong C C x ' ae t cos t ae t sin t õy: y ' ae t sin t ae t cos t t z ' ae Do ú: s a 2e [(cos t sin t) (cos t sin t) 1] dt (t , x , y, z 0, x a , y 0, z a) s ae t 3dt a 3e t a 3 Tớnh lng M ca ng x a cos t, y bsin t,0 t nu mt lng (di) ca ng l (x, y) y Theo ý ngha c hc: M (x, y)ds y ds C C x ' a sin t Xột a b : y ' b cos t v i xng, nờn: M b bsin t a sin t b cos t.dt 208 4b 2 2 a sin t b cos t.sin tdt 4b a (a b )cos t d(cos t) 4ab e 2 e cos t.d(ecos t) a b2 (vi e l tõm sai ca Elip) a 4ab ecos t a e2 cos t arcsin(ecos t) 2b b arcsin e e 2 e Tỡm ta trng tõm ca cung ng cht: ( 1) x a(t sin t) y a(1 cos t) (0 t ) õy: M 1ds C 2 x ' y ' dt My t a (1 cos t) a sin t dt 2a sin dt 4a 2 2 1 t a t xG xds a(t sin t)2a sin dt (t sin t)sin dt M 4a 4a 2 C 0 a t t t t 2t cos 4sin sin cos dt 2 20 2 t 4a a t t sin d(sin ) 2a sin 2 M 1 t yG x yds a(t cos t)2a sin dt M 4a 4a C 0 0 a t t a t 4a t t 2cos 2cos 1)d cos cos 2cos 2 2 Tỡm moment quỏn tớnh I z i vi trc 0z ca cung ng cht: ( 1) x a cos t y bsin t z bt (0 t ) 209 Ta cú: I z (x y )ds C õy: ds x '2 y '2 z '2 dt a sin t a cos t b dt a b dt Iz a 2 2 sin t a cos t 2 a b dt a 2 a b dt 2a a b2 Bi 4: Tớnh I = P(x, y)dx Q(x, y)dy vi: C , x (C1 ) x Phng trỡnh ng cong C cú dng y = x , x (C2 ) I= (x y )dx (x y )dy C1 C2 I= (x y )dx (x y )dy 2x dx 2(2 x) dx 2 I = a t sin tdt 2a Bi 5: I = ũ L xdy - ydx x + y2 a Nu ng cong L bao quanh gc ta O(0,0), cỏc hm P(x,y) = Q(x,y) = y , x y2 x khụng liờn tc ti O(0,0), vỡ vy khụng th ỏp dng nh lý Green x y2 trng hp ny nờn ta tớnh trc tip x r cos Dựng ta cc: y r sin xdy ydx = d I = x y2 (chỳ ý : x, y l hm ca hai bin r, ) d = 210 b Nu ng cong L khụng bao quanh gc ta O(0,0), p dng cụng thc Q P I=0 x y Green, ta cú I = ũ (1- x )ydx + x(1 + y )dy vi L l ng trũn x 2 + y2 = R2 L Cỏch 1: p dng cụng thc Green ta cú: I (x y )dxdy x y2 R x r cos t: y r sin r R R d r 3dr = I= 0 R Cỏch 2: Tớnh trc tip: x R cos t: y R sin I (1 R cos )R sin (R sin ) R cos (1 R sin )(R cos ) d 2 R2 R2 sin d R cos 2d I = R cos 0 (1 cos 4)d R I= I = ũ 2(x + y )ydx + (x + y) dy vi L l chu tuyn ca L tam giỏc cú nh A(1,1) , B(2,2) , C(1,3) Cỏch 1: p dng cụng thc Green ta cú: I= 2 x x (x y)dxdy = dx (x y)dxdy D = (x 4x 4)dx Hỡnh 3.40 211 Cỏch 2: Tớnh trc tip: I= ũ + AB ũ ũ + BC CA ũ = 8x 2dx AB 56 (Phng trỡnh AB l y = x) ũ = (x 4x 4)dx BC ũ = CA (1 y) dy I= 56 (Phng trỡnh BC l y = x) (Phng trỡnh CA l x = 1) Bi 6: I1 = ũ 2(x + y )dx + (x + y) dy vi C l chu vi tam giỏc A(1,1) , B(2,2) , C C(1,3) theo chiu ngc chiu kim ng h Phng trỡnh cỏc cnh ca tam giỏc: AB: y x , x BC: y2 x2 hay y x , x 2 Ta cú: P(x, y) 2(x y ), Q(x, y) (x y) P Q 4y, 2(x y) l cỏc hm liờn tc compact D l tam giỏc y x ABC Vy ỏp dng cụng thc Green ta cú: I1 = ũ C = ũũ D ổ ảQ ảP ửữ ỗỗ - ữ dxdy = ỗố ảx ảy ữứ ũũ 2(x - y)dxdy D 212 x 3x (4 x) (x y)dy 4x dx 2 dx x 3x (4 x)3 2x 6 I = ũ -x ydx + xy dy vi C: x y R theo chiu ngc chiu kim C ng h Ta cú: P(x, y) x y, Q(x, y) xy P Q x , y2 y x ũ -x ydx + xy dy = ũũ (x p dng cụng thc Green: I = C + y )dxdy D vi D l hỡnh trũn: x y R 2 Chuyn sang ta cc: I R R4 R4 d r rdr I3 (e x sin y my)dx (e x cos y m)dy vi C l na trờn ca ng trũn C x y ax t A(a,0) n 0(0,0) Ta cú: I3 = ũ = ũ - OAmO C ũ OA a Trờn OA : y Do ú: 0.dx (e OA x m) 0 p dng cụng thc Green: ũ = OAmO ũũ (e x cos y - e x cos y + m)dxdy = m D D vi D l na trờn hỡnh trũn bỏn kớnh bng Do ú: ũ OAmO ũũ dxdy a pa =m 213 a a 0m Vy: I3 m 8 I = ũ C dx - dy vi C l chu vi hỡnh vuụng A(1,0), B(0,1), C(-1,0), D(0,-1) x+y theo chiu ngc chiu kim ng h (chiu dng) Ta cú: P(x, y) 1 khụng liờn tc ti 0(0,0) thuc hỡnh vuụng , Q(x, y) xy xy nờn khụng ỏp dng cụng thc Green tớnh Ta phi tớnh trc tip nh sau: I = ũ = C ũ + AB ũ + BC ũ + CD ũ DA Phng trỡnh ca AB: x y 1, x 2dx x (1 x) AB Phng trỡnh ca BC: y x dx dy BC Phng trỡnh ca CD: x y 1, x CD Phng trỡnh ca DA: x y 1, dx dy 2dx x (1 x) DA Vy: I Chng IV Đ1 Phng trỡnh vi phõn cp Bi 1: y 2x C.e x C const sin x cos y C C const y x C ln ln x arc tgy C C const 214 C const arctgx arcsin y C C const ln ln x y C C const y x C ln x y x C ln x C const C const Bi 2: y C x2 C const y C.arctgx C const y x C.x C const y x C x2 C const C const y e x C.e 2x y C.x 3x y C const x x arcsin x v y = v y = Đ2 Phng trỡnh vi phõn cp Bi 1: y C1.cos 2x C2 sin 2x y C1.e x C2 e 2x (C1, C2 = hng s) (C1, C2 = hng s) y e 4x C1 cos5x C2 sin 5x y e3x x.C1 C2 y e 3x C1 x.C y C1 C2 x2 (C1, C2 = hng s) (C1, C2 = hng s) (C1, C2 = hng s) (C1, C2 = hng s) Bi 2: y x 2e x e x C1 xC2 (C1, C2 = hng s) y cos 2x x cos x C1.cos x C2 sin x y cos x C1e x C2e5x (C1, C2 = hng s) (C1, C2 = hng s) 215 Bi 3: y x 3x y (x 1) y = x + 1 y x 2 y sec2 x y x (t y = u.x) 216 TI LIU THAM KHO Trn Bỡnh: Bi gii sn Gii tớch I NXB Khoa hc v k thut 2007 Trn Bỡnh: Bi gii sn Gii tớch II & III NXB Khoa hc v k thut 2007 Trn c Long: Bi gii tớch 1: Phộp tớnh vi phõn NXB i hc Quc gia H Ni 2007 Trn c Long: Bi gii tớch 2: Phộp tớnh tớch phõn NXB i hc Quc gia H Ni 2007 Nguyn ỡnh Trớ: Bi Toỏn hc cao cp 2: Phộp tớnh gii tớch mt bin s NXB Giỏo dc 2006 Nguyn ỡnh Trớ: Bi Toỏn hc cao cp 3: Phộp tớnh gii tớch nhiu bin s NXB Giỏo dc 2006 217 [...]... hình chữ nhật (đóng): 2  x  2 ,  1  y  1 y 1 x 2 0 -2 -1 Hình 1.1 2 z xác định  (x 2  y 2  a 2 )(2a 2  x 2  y 2 )  0 2 2 2  x  y  a  0  2 2 2 2a  x  y  0 (1)  2 2 2  x  y  a  0  2 2 2 2a  x  y  0  x 2  y 2  a 2 Hệ (1) vơ nghiệm, hệ (2)   2 2 2  x  y  2a 14 (2) Vậy miền xác định của z là 1 hình vành tròn (đóng) y a 2 a x 0 Hình 1 .2 y  0 y  0 3 z xác...  2  y 0  2  y0  2   2 2   y0  y y 2 2 lim  lim 2  y  y0 y  y0 tg tg 2 2  2x  2  2 lim   x   2x  2  3x  2       y    vì lim 2  lim 1  1 y y0 y y 0   tg tg   2 2   y     2 4    lim 1   x   2x  2  3x  2 2x  2 4(3x  2)  4 2x 2 4   lim 1   x   2x  2  2x  2  4 4 4   x    3x  2  0  lim 1  e  2x  2 ... lim 1 x 0 x 0 x 0 x x x 3 lim 1   2  1  (1  cos x) (1 2sin x)    1  2sin x  cos x    4 lim  lim x x x 0 x 0 sin sin 2 2 1 1 1 2 2x x 2 (1  2sin x)  1 1  cos x 2 2  lim  lim  lim  lim 2 x x x 0 x 0 x 0 x x 0 x sin sin 2 2 2 2 x Vì x  0   0 2 1 x x 1 1 1  sin ~ , (1  2sin x) 2  1 ~ 2sin x ~ 2x , 1  cos x ~ x 2 2 2 2 2 2 29  1  (cos x  1)   1 1  cos x ... y)  4  x 2  1  y 2 2 z  f (x, y)  (x 2  y 2  a 2 )(2a 2  x 2  y 2 ) 3 z  f (x, y)  ysin x 13 (a  0) 4 z  f (x, y)  arcsin y x 5 z  f (x, y)  sin(x 2  y 2 ) 6 u  f (x, y, z)  arcsin x  arcsin y  arcsin z x 2 y2 z2 7 u  f (x, y,z)  1  2  2  2  ln x  ln y  ln z a b c 8 z  f (x, y)  arc tg xy 1  x 2 y2 Bài giải 4  x 2  0  2  x  2 1 z xác định    2   1 y 0... lim  2/ 3 3 2 x 0 x 0 xx x x 1 2 1 2  2 1/3 (1  tg x)  1 ~ tg x ~ x  3 3 2 và x  x 2/ 3 ~ x 2/ 3 Vì x  0  tg x  0   (1  tg 2 x)1/3  1 ~  1 tg 2 x ~  1 x 2  3 3 (1  tg x) nên lim  2 x 0 1/3  1  (1  tg x) 2 x  x 2/ 3 1/3 1 2  1 2 2 2 x    x  x  1 3 3   3  lim  lim 2/ 3  0 x 0 x 0 x x 2/ 3 Bài 4: Tính các giới hạn sau:  x  2 lim x   arcsin  2 x  2 ...  cos x  cos 2x (1  cos 2x)  (1  cos x) 1  cos 2x  lim  lim 1 x 0 x 0 x 0 1  cos x 1  cos x 1  cos x 7 lim 1 1 Vì x  0  1  cos 2x ~ (2x) 2 và 1  cos x ~ x 2 2 2 1 2 (2x) 1  cos 2x  1  lim 2 1  4 1  3 nên lim x 0 1  cos x x 0 1 2 2x 2 8 lim 3 1  tg 2 x  3 1  tg 2 x x  3 x2 x 0 (1  tg 2 x)1/3  1  (1  tg 2 x)1/3  1 (1  tg 2 x)1/3  1  (1  tg 2 x)1/3  1...  2    x  2x  2  2x  2  Vì  nên lim   e6  x   2x  2  4(3x  2)  2x  2  6  xlim  3 1 3 x3 lim(1  2x ) x 0 1 ( 2) 3 2x  )  lim 1  (2x  x 0 3 1 3 2x  ) Vì x  0  2x  0  lim 1  (2x  x 0 3 nên 1 3 x3 lim(1  2x ) x 0 4 3 e  e 2 1 lim(sin x) cos x  x 2  lim 1  (sin x  1) x  2 1 cos x  lim 1  (sin x  1) x  2 1   sin  x  2  sin x  1... của các hàm số sau: 1 z  f (x, y)  1 x  y2 2 z  f (x, y)  1  x 2  y 2 2 3 z  f (x, y)  1 4  x 2  y2  x 2  y2  5 z  f (x, y)  ln  2 2  x y  7 u  f (x, y,z)  4 z  f (x, y)  arcsin x  xy 2 6 z  f (x, y)  x 2  y 2  1  ln(4  x 2  y 2 ) 1 2z 2  6x 2  3y 2  6 19 2 GIỚI HẠN HÀM SỐ 2. 1 Tóm tắt lý thuyết: 2. 1.1 Giới hạn hàm số một biến: a Định nghĩa: Ta có thể định nghĩa giới...  2 (do lim e  1  1)    y0 y0 y0 y y y    x  1 1 nên lim  e x    e 2 x   x    x 2  6 lim   x   2x  1  2x 2x     2x  1   x  2     lim    1  x   2  x    2     2x   3 1  lim   lim 1   x   2  x  1    2 x     2    2x  1 2 x    2  3.2x  3 2  x  1   2    3 1  lim   lim 1   x   2. .. x   2  x  1    2 x     2    2x  1  2 x    2    3    3 3        e x 0 lim 1    x  1 1     2 x  2 x   Vì     2 2       3.2x  3  lim x   1   2 x   2   32     3 nên lim 1   x  1    2 x     2    1 Mặt khác: lim   x   2   x 2  Vậy: lim   x   2x  1  2x 2x 2x  e 3 0 khi x  