ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN THỨ NHẤT NĂM HỌC 2015 – 2016 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút m TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ 2x có đồ thị (C ) x 1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Tìm đồ thị (C ) điểm M cho tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận (C ) nhỏ Câu (1 điểm) Tính giá trị biểu thức P sin x.cos3x cos x biết cos2x , x ;0 Cho hàm số y VN co Câu (2 điểm) Giải phương trình: log ( x 1) log ( x 2) log (3 x 2) Câu (1 điểm) Tìm hệ số x5 khai triển (2 x x )10 (với x ) TH Một đoàn tàu có toa chở khách đỗ sân ga Biết toa có chỗ trống Có vị khách từ sân ga lên tàu, người độc lập với nhau, chọn ngẫu nhiên toa Tính xác suất để toa có vị khách nói ( x 1)ln x Câu (1 điểm) Tìm nguyên hàm dx x Câu (1 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vuông ABCD có điểm w MA A(4;-1;5) điểm B(-2;7;5) Tìm tọa độ điểm C, D biết tâm hình vuông thuộc mp(Oxy) Câu (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, hình chiếu S lên mặt phẳng (ABCD) trung điểm AD, góc đường thẳng SB mặt đáy 60 Gọi M trung điểm DC Tính thể tích khối chóp S.ABM khoảng cách hai đường thẳng SA BM Câu (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;2), 3 tâm đường tròn ngoại tiếp I ;2 , tâm đường tròn nội tiếp K(2,1) Tìm tọa độ đỉnh B biết 2 xB Giải bất phương trình x x 3x ww Câu (1 điểm) Câu (1 điểm) Cho x, y, z số không âm thỏa mãn x y z Tìm giá trị nhỏ P x3 y z x y z -HẾT -Chú ý: Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên:…………………………………………………SBD:………………………………… www.MATHVN.com TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ FB.com/mathvn.com ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN THỨ NHẤT NĂM HỌC 2015 – 2016 ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN: TOÁN Câu Ý 1 (2điểm) y= Điểm Nội dung 2x + x +1 TXĐ: R\{-1} y' = > ∀x ≠ −1 ( x + 1)2 Hàm số đồng biến khoảng (–∞;-1) (-1;+∞) 2x +1 2x +1 = −∞; lim = +∞ ⇒ đường tiệm cận đứng đồ thị x =- Giới hạn: lim x →−1+ x + x →−1− x + 2x +1 2x +1 = 2; lim = ⇒ đường tiệm cận ngang đồ thị y = lim x →+∞ x + x →−∞ x + bảng biến thiên x -∞ -1 +∞ y’ + + y +∞ 0,25 0,25 2 0,25 -∞ y 0,25 O -5 x -2 Gọi điểm M a;2 − thuộc đồ thị (C) a +1 Đề Thi Thử Đại Học 2016 Đầy Đủ Các Môn: www.DeThiThuDaiHoc.com 0,25 www.MATHVN.com Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng ∆1 : x = −1 d ( M ; ∆1 ) = a + FB.com/mathvn.com Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang ∆ : y = d ( M ; ∆ ) = a +1 ≥2 Suy d ( M ; ∆1 ) + d ( M ; ∆ ) = a + + a +1 Dấu xảy a = a = -2 Vậy tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận nhỏ M(0;1) M(-2;3) (1điểm) 16 π Vì cos2x = ⇒ sin 2 x = mà x ∈ − ;0 ⇒ sin x < 25 Suy sin x = − sin x − sin x cos2x + 18 P = sin x.cos3x + cos x = + = 2 25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Điều kiện: x > Phương trình ⇔ log ( x − 1) + log ( x + 2) = log (3 x − 2) 0,25 ⇔ log ( x − 1)( x + 2) = log (3x − 2) x = (l ) ⇔ ( x − 1)( x + 2) = (3x − 2) ⇔ x − x = ⇔ x = (tm) Vậy phương trình có nghiệm x = (1điểm) khai triển (2 x − i 10 ) = ∑ C (2 x ) 10 x3 i =0 0,25 10 − i i 10 5i 10 − 10 i 10−i i 2 ( 1) − = C − x ∑ 10 x i =0 Hệ số x C10 ( −1) = 11520 2 0,25 0,25 Vì vị khách có lựa chọn lên ba toa tàu , Suy số cách để vị khách lên tàu : = 81 Số cách chọn vị khách vị khách ngồi toa C4 = Số cách chọn toa ba toa C3 = Vị khách lại có cách chọn lên toa lại Suy có 2.3.4=24 cách để toa có vị khách 0,25 24 0,25 Vậy xác suất để toa có vị khách là: P = 81 = 27 (1điểm) ∫ ( x + 1)ln x ln x dx = ∫ ln xdx + ∫ dx x x 0,25 ∫ ln xdx = x ln x − ∫ xd ln x = x ln x − ∫ dx = x ln x − x + C ∫ ln x dx = ∫ ln xd ln x = ln x + C2 x Đề Thi Thử Đại Học 2016 Đầy Đủ Các Môn: www.DeThiThuDaiHoc.com 0,25 0,25 www.MATHVN.com Vậy I = x ln x − x + (1điểm) FB.com/mathvn.com ln x + C 0,25 Gọi M(x;y;0) thuộc mặt phẳng Oxy tâm hình vuông uuur MA(4 − x; −1 − y;5) uuur MB(−2 − x;7 − y;5) 0,25 uuuruuur MAMB = Vì ABCD hình vuông nên tam giác MAB vuông cân M ⇔ MA = MB (4 − x)(−2 − x) + (−1 − y )(7 − y ) + 25 = x = ⇔ ⇔ 2 2 (4 − x) + (−1 − y ) + 25 = (−2 − x) + (7 − y ) + 25 y = 0,25 0,25 Vậy M(1;3;0) Vì M trung điểm AC BD nên C(-2;7;-5); D(4;-1;-5) (1 điểm) +) Tính thể tích 0,25 S Gọi H trung điểm AD Vì HB hình chiếu SB lên đáy nên ( SB;( ABCD)) = SBH = 600 0,25 K A B I H E Trong tam giác SBHcó SH = BH tan 60 = VSABM D a 15 a 15 (đvtt) = VSABCD = 12 +) Tính khoảng cách: Dựng hình bình hành ABME Vì BM//(SAE) ⇒ d ( SA, BM ) = d ( M ,( SAE )) = 2d ( D,( SAE )) = 4d ( H ,( SAE )) Kẻ HI ⊥ AE; HK ⊥ SI ,( I ∈ AE, K ∈ SI ) Chứng minh HK ⊥ ( SAE ) ⇒ d ( H ,( SAE )) = HK DE AH a = Vì ∆AHI ∆AED ⇒ HI = AE 1 304 a 15 Trong tam giác SHI có = + = ⇒ HK = 2 2 HK HI SH 15a 19 a 15 Vậy d ( SA, BM ) = 19 Đề Thi Thử Đại Học 2016 Đầy Đủ Các Môn: www.DeThiThuDaiHoc.com C M 0,25 0,25 0,25 www.MATHVN.com (1 điểm) FB.com/mathvn.com Gọi D giao AK với đường tròn (I) Phương trình đường thẳng AK là: x+3y-5=0 Ta có KBD = ( ABC + BAC ) = BKD A K I Nên tam giác KBD cân D B 0,25 C D Gọi D(5-3a,a) thuộc AK Vì D khác A nên a ≠ Ta có a = 2(l ) 3 2 ID = IA ⇔ (5 − 3a − ) + (a − 2) = (−1 − ) + (2 − 2) ⇔ a = 2 7 1 Suy D ; 2 2 2 0,25 Gọi B(x;y) (x>3)ta có hệ 25 ( x − ) + ( y − 2) = 2 IB = IA x + y − 3x − y = ⇔ ⇔ DB = DK 2 x + y − x − y + 10 = ( x − ) + ( y − ) = 2 x = 4; y = 2(tm) x + y − 3x − y = ⇔ ⇔ 5 x = ; y = − (l ) x − y − 10 = 0,25 0,25 Vậy B(4;2) (1điểm) x − x + ≤ 3x − x − 3x + ≤ 3x − − 2x x − 3x + ≤ 0,25 3x − − x x + x 3x − + ( 3x − ) ≤0 (x − 3x + 2) + x + x 3x − + ( 3x − )2 >0 Chứng minh 1 + x + x 3x − + ( 3x − ) x = ⇔ (x − 3x + 2) ≤ ⇔ x ≤ −2 Suy bất phương trình Đề Thi Thử Đại Học 2016 Đầy Đủ Các Môn: www.DeThiThuDaiHoc.com 0,25 0,25 0,25 www.MATHVN.com Vậy tập nghiệm bất phương trình ( −∞; −2] ∪ {1} (1điểm) FB.com/mathvn.com 3 2 Ta có x + y + z − xyz = ( x + y + z )( x + y + z − xy − yz − zx) ⇒ x + y + z = 3xyz + ( x + y + z ) ( x + y + z ) − 3( xy + yz + zx ) Giả sử x =min {x,y,z} suy x ∈ [0; ] = 3xyz + 0,25 27 9( xy + yz + zx) − 27 − ( xy + yz + zx) 1 13 27 215 13 = ( xyz − ) − + xyz + − ( xy + yz + zx) ≥ − ( xy + zx) − yz − x 0,25 64 64 2 Ta có P = x + y + z + x y z = x y z + 3xyz + 3 2 2 2 13 13 y + z 13 Vì x ∈ [0; ] ⇒ − x ≥ ⇒ − yz − x ≥ − − x 2 2 2 215 1 13 Suy P ≥ − x( − x) − − x − x 64 2 4 2 0,25 215 1 13 1 Xét f ( x) = − x( − x) − − x − x , x ∈ 0; 64 2 4 2 2 25 1 Hàm số f(x) nghịch biến 0; ⇒ f ( x ) ≥ f ( ) = 64 2 Vậy GTLN P 25 đạt x = y = z = 64 Chú ý: Thí sinh làm theo cách khác đáp án cho điểm tối đa Đề Thi Thử Đại Học 2016 Đầy Đủ Các Môn: www.DeThiThuDaiHoc.com 0,25