Đề và đáp án thi thử môn toán THPT tham khảo thi đại học (3)

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC (THPT QG) NĂM 2016 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1.(2 điểm) Cho hàm số y = x − x + a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) hàm số b) Tìm m để phương trình x − x + = m có ba nghiệm thực phân biệt Câu 2.(1 điểm) a) Giải phương trình: sin x + cos(π − x ) = b) Tính môđun số phức z biết z = − + 2i + i + 1+ i Câu 3.(0,5 điểm) Giải phương trình: log 52 x + log x − = ( )( ) y   x + − y 1− y +1 = Câu 4.(1 điểm) Giải hệ phương trình:  x 2  x + x y + xy = y  π ( ) Câu 5.(1 điểm) Tính tích phân: I = ∫ + cos x dx Câu 6.(1 điểm) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông A,AB=2a,AC=a,AA’ = 3a Tính thể tích khối lăng trụ khoảng cách hai đường thẳng AB’ BC Câu 7.(1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy co hình ch ữ nhật ABCD có đỉnh B thuộc đường tròn x + y = 10 ,đỉnh C thuộc đường thẳng x + y − = Gọi M hình chiếu vuông góc B lên AC Biết  −3 1 điểm N  ;  ,P (1;1) trung điểm AM ,CD đồng thời B có hoành độ dương,C có tung độ  5 âm.Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật Câu 8.(1 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S ) : x + y + z − x − y + z − 15 = 0, mặt phẳng (P): x − y + z + 13 = Tìm tâm bán kính mặt cầu (S ) Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P đồng thời tiếp xúc với (S ) Câu 9.(0,5 điểm) Gọi A tập hợp số tự nhiên có chữ số đôi khác tạo từ chữ số 0,1,2,3,4,5,6 Chọn ngẩu nhiên số từ A Tính xác suất để số chọn có chữ số khác chữ số tổng chữ ố Câu 10.(1 điểm) Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn: log a + log b + log 32 c = Tìm giá trị lớn biểu thức P = 1+ a + 1+ b + 1+ c2 ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC (THPTQG) 2016 Môn: TOÁN (Đáp án – thang điểm gồm trang) Đáp án Câu a (1,0 điểm) (2,0 +) Tập xác định D = R điểm) +) Sự biến thiên: Chiều biến thiên: y ' = x − x, y ' = ⇔ x = ∨ x = Giới hạn: lim y = +∞ , lim y = −∞ x →+∞ Điểm 0,25 0,25 x →−∞ Bảng biến thiên: −∞ +∞ −∞ 0,25 +∞ Hàm số đồng biến khoảng (− ∞;0) (2;+∞ ) ,nghịch biến khoảng (0;2) Hàm số đạt cực đại x = 0, y CĐ = ,hàm số đạt cực tiểu x = 2, y CT = −3 +) Đồ thị Đồ thị hàm số qua điểm (0;1),(1;-1),(2;-3) Đồ thị đối xứng qua điểm I ( 1; -1) 0,25 b (1,0 điểm) Số nghiệm phương trình x − x + = m số giao điểm đồ thị (C ) với đường thẳng y = m Từ đồ thị suy phương trình có nghiệm thực phân biệt − ≺ m ≺ a (0,5 điểm) (1,0 Ta có : sin x + cos(π − x ) = ⇔ sin x cos x − cos x = ⇔ cos x(sin x − 2) = điểm) ( sin x = không xẩy ra) ⇔ cos x = ⇔ x = π + kπ , k ∈ Z 0,5 0,5 0,25 0,25 b (0,5 điểm) Ta có z = − + 2i + i (−1 + 2i) (1 − i ) + i −1 − 3i + i + = + = + 1+ i (1 + i) (1 − i ) 2 0,25 =1 − i z = 12 + (−1) = 0,25 3 (0,5 điểm) (0,5 Đk: x > ,Pt log 52 x + log x − = ⇔ (log x − 1)(log x + ) = điểm) x = log x = (TM ) ⇔ ⇔ x = log = − x  25  0,25 0,25 (1,0 Đk: x ≠ điểm) Ta có x + x y + xy = y ⇔ ( x − y )(x + xy + y ) = ⇔ ( x − y ) ( x + y )2 + y = [ ] ⇔ x = y ≠ ( x + y ) + y = ⇔ x = y = không thỏa mản 2 ( ] )( − x + 1) = , x ∈ (0;1] x )( − x + 1) = ⇔ 3( − x + 1) = ( x + + x ) (*) Với x = y ≠ từ phương trình đầu ta có ( [ x+3 − x Khi x + − Ta thấy x = nghiệm phương trình (*) Với < x < ( ) − x + > ( 0,25 ) x + + x < nên (*) vô nghiệm.Vây (*) có nghiệm x = từ suy hệ có nghiệm (x; y) = (1;1) π π π 2 (1,0 Ta có I = ∫ + cos x dx = ∫ dx + ∫ cos xdx điểm) 0 ( ) π π Trong đó: π 0,25 π π π 2 0 ( ) Xét K = ∫ cos xdx = ∫ cos x cos xdx = ∫ − sin x cos xdx Đặt t = sin x suy dt = cos x.dx , x = ⇒ t = 0, x = ∫ (1 − 2t )  t + t dt =  t − t +  π Vậy I = + 15 Thể tích khối lăng trụ (1,0 = AA S AA AB AC V = ' ' ∆ ABC điểm) = 3a 2a.a = 3a = 0,25 0,25 ∫ dx = x = 0,5 1  =  15 π 0,25 ∫ (1 − t ) dt ⇒ t = K = 2 0,25 0,5 Gọi M M ' chân đường cao hạ từ A A' tam giác ABC , A' B ' C ' ta có B' C ' ⊥ ( AA' M ' M ) nên ( AB'C ') ⊥ ( AA' M ' M ) Trong mp ( AA' M ' M ) hạ MH ⊥ AM ' MH ⊥ ( AB ' C ' ) Khi d ( AB ', BC ) = d ( BC ,( AB 'C ' )) = d (M ,( AB 'C ")) = MH 1 1 1 = + = + + 2 2 MH MM ' AM MM ' AB AC 1 1 49 6 = + + = => MH = a Vậy d ( AB ', BC ) = a => 2 7 MH a 9a 4a 36a mà Gọi Q trung điểm BM PCQN hình bình hành nên NP // CQ,mặt khác Q trực tâm (1,0 tam giác BNC nên CQ ⊥ BN suy BN ⊥ NP điểm) 8 4 Ta có NP =  ;  véctơ pháp tuyến đường thẳng BN nên phương trình đường 5 5 8 2 4 1 thẳng BN  x +  +  x −  = ⇔ x + y + = Tọa 5 5 5 5 độ B nghiệm hệ −9  x=  x 2 x + y + =  y = −1 − x =   ⇔ ⇔ ∨  2  y = −3  y = 13  x + y = 10 5 x + x + =  suy B (1;−3) B có hoành độ dương 0,25 0,25 0,25 0,25 Gọi C (1 − 2c; c ) ta có CB = (2c;−3 − c ) , CP = (2c;1 − c ) CB ⊥ CP nên CP.CB = ⇒ 4c − ( + c )(1 − c ) = ⇔ 5c + 2c − = ⇔ c = −1 ∨ c = C có tung độ âm nên C (3;−1) Suy D(− 1;3) , A(−3;1) Vậy A(−3;1) , B (1;−3) , C (3;−1) , D(− 1;3) 0,25 15 1  +1+ + =3 (1,0 Mặt cầu có tâm I  ;1;−2  bán kính R = 4   điểm) Do Mp (Q ) song song với mp (P ) nên phương trình có dạng x − y + z + D = 0, D ≠ 13 (Q ) tiếp xúc với (S ) nên d ( I ,( Q ) ) = R => 0,25 1−1− + D =3 ⇔ D − = ⇔ D = 13 ∨ D = −5 , D ≠ 13 nên ta lấy D = −5 phương trình cần tìm 2x − y + 2z − = 0,25 0,25 0,25 0,25 Ký hiệu abc số thuộc A 0,25 Ta thấy a có cách chọn (a ≠ 0) ,b có cách chọn (b ≠ a ) tương tự c có cách chọn (0,5 Vậy số phần A 6.6.5 = 180 điểm) Xét số abc có chữ số khác chữ số tổng chữ số từ chữ số cho ta chon số {a; b; c}là {a; b; c} = {1;3;4}và {a; b; c} = {1;2;5} Từ ta tạo 3!= số nên ta có 120,25 s abc có chữ số khác chữ số tổng chữ số Xác suất cần tìm p = 12 = 180 15 10 Từ giả thiết suy a, b, c > a.b.c = , không tính tổng quát ta giả sử a = max {a, b, c} (1,0 ⇒ < bc ≤ điểm) 1 2 + ≤ + ≤ Ta chứng minh (1) (2) + bc + bc + b2 1+ c2 1+ a2 0,25 0,25 1 1 1 + b2 +1 + c2 + + = ) ≤ Với (1) ta có : ( 1+ b2 + b2 + c2 1+ b2 1+ c2 1+ c2 ( = 1+ − ( bc ) ≤ 1+ (1 + b )(1 + c ) hay ( 1+ b 2 + Với (2) ta có 1+ c 1+ a2 )2 ≤ ≤ − ( bc ) (1 + bc ) 2 = )( ) + bc 0,25 1 ⇔ + ≤ 2 + bc + bc 1+ b 1+ c 2 2 => + ≤ + ≤ 1+ a + bc + a + bc 1+ a2 3 + 3a 2a + 3a − 2a + a + ≤ ⇒ − − ≥0⇔ − = 1+ a 1+ a 2(1 + a ) 1+ a 2(1 + a ) + bc + bc ( 2a − + a ) = ≥ đúng, 2(1 + a ) => Suy 1+ a2 + + bc ≤ Cộng (1) (2) theo vế ta có : dấu a = b = c = Vậy giá trị lớn P 0,25 1+ a2 + 1+ b2 + 1+ c2 ≤ 2 - Hết