skkn dat giai a tinh

PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI. a. Cơ sở lí luận. Dạy toán là một hoạt động nghiên cứu về toán học của học sinh và giáo viên bao gồm day khái niệm, dạy định lý, giải toán..., trong đó giải toán là công việc quan trọng. Bởi giải toán là quá trình suy luận nhằm khám phá ra quan hệ lôgic giữa cái đã cho và cái chưa biết (giữa giả thiết và kết luận). Mỗi bài toán có thể có nhiều cách giải, mỗi cách giải là một định hướng suy luận riêng nên khi đứng trước một bài toán học sinh thường không biết bắt đầu từ đâu? phải làm như thế nào? Quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi nếu bắt đầu từ bài toán khó, rất khó dạy đối với thầy và khó học đối với trò. Mặt khác chúng ta không thể dạy hết cho học sinh tất cả các bài tập cũng như các em không thể làm hết các bài tập đó. Vì vậy để tạo mối liên hệ giữa các bài tập, khi hướng dẫn cho học sinh giải một bài toán, giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh biết khai thác, mở rộng kết quả những bài toán đơn giản và khai thác bài toán gốc để xây dựng các bài toán mới liên quan. Điều này giúp học sinh rèn luyện tư duy lôgic óc, sáng tạo, tự tìm tòi, suy nghĩ ra những bài toán mới và có những cách giải hay. Ngoài ra còn tạo điều kiện cho giáo viên và học sinh không nhất thiết phải mua nhiều tài liệu bởi trên thực tế có rất nhiều đầu sách có nội dung gần giống nhau. Mặt khác muốn học giỏi toán thì yêu cầu học sinh cần nắm chắc kiến thức và đứng trước một bài toán phải có cách nhìn,cách tiếp cận, đánh giá và giải quyết các vấn đề của bài toán một cách triệt để chứ không đơn thuần là giải cho xong. Bởi việc tìm ra lời giải của bài toán nhiều khi không phải là khó nhất là những bài toán ở sách giáo khoa. Vì thế, đối với học sinh nhất là học sinh khá giỏi thường mang tâm lý xem nhẹ bài toán ở sách giáo khoa, nhưng thực ra đằng sau mỗi bài toán có bao nhiêu điều hấp dẫn, lý thú. Quá trình này phải bắt đầu từ các bài toán đơn giản đến phức tạp để rèn luyện năng lực tư duy cho học sinh. Như nhà toán học Đề Các đã nói: “Mỗi vấn đề mà tôi giải quyết đều sẽ trở thành ví dụ mẫu mực dùng để giải quyết vấn đề khác”. Từ đó giúp các em có cơ sở khoa học khi phân tích, định hướng tìm lời giải cho các bài toán khác và đặc biệt là củng cố cho các em lòng tin vào khả năng giải toán của mình. Để rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh, ngoài việc trang bị tốt hệ thống kiến thức cơ bản và rèn luyện kỹ năng giải bài tập,Nhiệm vụ của người thầy ngoài việc cung cấp kiến thức, rèn luyện kỹ năng cho học sinh còn có một nhiêm vụ quan trọng đó là rèn luyện năng lực tư duy cho học sinh trong quá trình giảng dạy của mình. Nếu người thầy chỉ dừng lại khi giải xong bài toán thì không thể khơi dậy học sinh óc tò mò, tính sáng và sự tìm tòi khám phá những điều lý thú ẩn sau mỗi bài toán, như thế không thể phát triển được năng lực tư duy của học sinh và làm cho tiết học trở nên nhạt nhẽo và nhàm chán.Nếu sau mỗi bài toán, người thầy hướng dẫn học sinh khai thác sâu các kết quả. Từ đó tìm ra được chuỗi bài toán từ dễ đến khó thì không những rèn luyện được năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh mà còn gây hứng thú làm cho giờ học trở nên hấp dẫn hơn, giúp cho kiến thức của học sinh có tính hệ thống, được mở rộng và sâu hơn. Trong quá trình giảng dạy ở cũng như bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi nhận thấy biện pháp tốt và rất hữu hiệu để bồi dưỡng năng lực tư duy theo định hướng đổi mới phương pháp dạy học của Bộ Giáo Dục và Đào tạo: Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm chung của từng lớp học, môn học ...”(Trích “Một số vấn đề đổi mới phương pháp dạy học ở trường THCS Bộ Giáo dục và Đào tạo ).b. Cơ sở thực tiễn. Trong những năm học gần đây, chúng ta đều thấy rằng việc đổi mới phương pháp dạy học đã mang lại được một số hiệu quả nhất định. Trong quá trình giảng dạy, người giáo viên đã biết cách sử dụng các phương pháp dạy học mới nhằm phát huy tính tích cực chủ động, năng lực tư duy, óc sáng tạo cho học sinh. Qua thực tiễn và nghiên cứu tôi nhận thấy rằng việc dạy học theo định hướng khai thác và phát triển bài toán là một cách làm hay, phù hợp với xu thế chung, góp phần vào việc đổi mới phương pháp dạy học, rèn luyện kiến thức, kĩ năng, óc sáng tạo và bồi dưỡng năng lực tư duy cho học sinh và ngoài ra còn gây hứng thú, ham thích học toán cho các em. Tuy nhiên, trong thực tế giảng dạy của các giáo viên và trong các đề tài đã có trước đây, thường mới chỉ chú trọng đến việc khai thác và phát triển một bài toán hình học mà chưa thực sự quan tâm đến đại số nói chung và bất đẳng thức nói riêng. Trong chương trình toán THCS, bất đẳng thức là một nội dung khó và quan trọng, nó thường có mặt trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT, thi học sinh giỏi các cấp và trong cả các đề thi tuyển sinh ĐH, CĐ sau này. Nhưng tâm lí chung của các học sinh là đều có cảm giác “sợ” và “ngại va chạm” đối với dạng toán này. Thực chất đó là do: Các em chưa nắm chắc được các bất đẳng thức cơ bản, các tính chất của bất đẳng thức. Chưa biết kết nối, xâu chuỗi các bất đẳng thức với nhau thành một hệ thống. Chưa có kĩ năng quy lạ về quen, đưa nặng về nhẹ, chuyển đổi các bài toán phức tạp cồng kềnh thành những bài toán đơn giản hơn. Chưa biết cách biến đổi từ một bài toán gốc để đưa ra các bài toán mới, tổng quát hóa, đặc biệt hóa, ... Chưa thực sự yêu thích môn học. Vậy nguyên nhân chủ yếu của thực trạng đó là gì? Thứ nhất, các bài toán về bất đẳng thức quá đa dạng và phức tạp và nó không có một phương pháp chung nào để giải. Thứ hai, một số giáo viên chưa thực sự có kiến thức tổng hợp về bất đẳng thức và chưa đào sâu nghiên cứu kĩ về nội dung này. Thứ ba, khi dạy về Đại số nói chung và bất đẳng thức nói riêng, các giáo viên thường mới chỉ dạy theo cách phân dạng hoặc dạy các bài tập một cách rời rạc, riêng lẻ mà chưa biết khai thác, phát triển một bài toán gốc rồi xâu chuỗi tạo thành một hệ thống bài tập có lôgíc chặt chẽ với nhau. Thứ tư, chưa rèn cho học sinh các kĩ năng cần thiết như quy lạ về quen, tổng quát hóa, đặc biệt hóa,... Thứ năm, trong quá trình giảng dạy chưa tạo được hứng thú, yêu thích học toán cho học sinh. Để góp phần khắc phục tình trạng trên và phát huy được tối đa năng lực tư duy của học sinh, tạo niềm say mê, yêu thích học toán, nhất là nội dung bất đẳng thức. Tôi xin được đưa ra đề tài: “Kinh nghiệm phát triển năng lực cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển một bài toán bất đẳng thức” để đồng nghiệp tham khảo, bổ sung và góp ý.2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU. Nghiên cứu và đề xuất một số giải pháp về kinh nghiệm phát triển năng lực tư duy, óc sáng tạo và tạo hứng thú học toán cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển một bài toán bất đẳng thức.3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU. Xác định cơ sở lí luận và thực tiễn của vấn đề phát triển năng lực tư duy, óc sáng tạo và tạo hứng thú học toán cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển một bài toán. Phân tích thực trạng của quá trình dạy học nhằm mục tiêu phát triển năng lực tư duy, óc sáng tạo và tạo hứng thú học toán cho học sinh THCS. Đề xuất một số giải pháp thông qua việc khai thác và phát triển một bài toán bất đẳng thức nhằm mục tiêu phát triển năng lực tư duy, óc sáng tạo và tạo hứng thú học toán cho học sinh THCS.4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU. Phương pháp lí luận: Căn cứ vào chủ trương, chính sách của Đảng và Nhà nước, của Bộ Giáo dục và Đào tạo về công tác “Đổi mới phương pháp dạy học nhằm mục tiêu phát triển năng lực tư duy, tính tích cực, tự giác, tính chủ động sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm chung của từng lớp học, môn học…”(Trích “Một số vấn đề đổi mới phương pháp dạy học ở trường THCS Bộ Giáo dục và Đào tạo ). Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: quan sát, điều tra, tổng hợp kinh nghiệm về vấn đề “Kinh nghiệm phát triển năng lực tư duy, óc sáng tạo và tạo hứng thú học toán cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển một bài toán”5. ĐIỂM MỚI CỦA ĐỀ TÀI. Đề tài đề cập đến một nội dung quan trọng nhưng nhiều giáo viên chưa thực khai thác và thực hiện. Đề tài đã đưa ra giải pháp có tính hệ thống, logic, khoa học để dạy học nhằm phát triển năng lực tư duy, óc sáng tạo và tạo hứng thú học toán cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển một bài toán. Các giải pháp đề tài đưa ra đã được trải nghiệm qua thực tế và được điều chỉnh phù hợp theo đối tượng học sinh từng năm học nên có tính hợp lí, dễ dàng thực hiện. 6. CẤU TRÚC CỦA ĐỀ TÀI.Phần I: Đặt vấn đề1. Lí do chọn đề tài2. Mục đích nghiên cứu3. Nhiệm vụ nghiên cứu4. Phương pháp nghiên cứu5. Điểm mới của đề tàiPhần II: Nội dungPhần III: Kết luận1. Hiệu quả của đề tài.2. Nhận định về áp dụng sáng kiến kinh nghiệm và khả năng mở rộng đề tài.3. Bài học kinh nghiệm và đề xuất. PHẦN II: NỘI DUNG Hệ thống các bất đẳng thức rất phong phú và đa dạng, tuy nhiên không phải mọi bài toán đặt ra đều có ý nghĩa thực sự, ta chỉ nên quan tâm nhiều hơn đến các bất đẳng thức sẽ để lại cho những ý nghĩa nhất định. Chúng ta cùng bắt đầu từ bài toán cơ bản trong chương trình THCS nhưng nó lại là cơ sở cho nhiều bài toán khó sau này:Bài 1: Với a, b là các số không âm, chứng minh rằng: () (Đề thi HSG huyện Đô Lương lớp 8 năm học 2011 – 2012)Hướng dẫn: Đối với bài toán này, học sinh cũng sẽ dễ dàng thực hiện theo nhiều cách. Cách chứng minh bất đẳng thức quen thuộc nhất đối với học sinh THCS là biến đổi tương đương: Cách 1: Bất đẳng thức đúng với mọi a, b không âm.Đẳng thức xảy ra a = b.Cách 2: Ngoài cách làm trên thì đối với học sinh lớp 8 ta có thể chứng minh được bài toán bằng cách sử dụng bất đẳng thức quen thuộc: Ta có: Đẳng thức xảy ra a = b.Cách 3: Ta có . Để xuất hiện hạng tử a2b và ab2 ở vế phải và ta thấy bất đẳng thức trên xảy ra dấu bằng khi a = b. Bởi vậy, ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy bằng cách sau:Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: Đẳng thức xảy ra a = b.Nhận xét: Như vậy ở bài toán trên ta đã chứng minh được , với suy nghĩ tích cực giáo viên có thể tự hướng dẫn học sinh tự đặt ra câu hỏi: Bài toán có gì đặc biệt? Liệu bài toán có thể phát triển được nữa hay không? Có thể tổng quát hóa được bài toán đó hay không? Từ kết quả bài toán học sinh có thể suy nghĩ để tổng quát hóa bài toán theo các định hướng là: tổng quát hóa theo hướng tăng bậc hoặc tổng quát hóa theo hướng tăng số số hạng hay mạnh hơn nữa là tổng quát hóa cả về nâng bậc và số số hạng. Để làm được điều đó, trước hết ta cần hướng dẫn cho học sinh cách mò mẫm và dự đoán có chủ đích: Hướng thứ nhất: Tổng quát hóa theo cách tăng dần số mũ và giữ nguyên số số hạng:Nhận xét 1: Ta đã có: , vấn đề đặt ra là nếu vế trái là (n>2) thì liệu ta sẽ có được kết quả như thế nào? Với n = 3 ta đã có kết quả ở trên Với n = 4, làm tương tự như cách 3 bài toán 1 thì ta nhận thấy: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 4 số không âm, ta có: Cộng từng vế các bất đẳng thức cùng chiều, ta được: Đẳng thức xảy ra a = b. Vậy ta có bài toán:Bài 2: Với a, b là các số không âm, chứng minh rằng: Với n = 5, ta tiếp tục biến đổi theo định hướng như trên: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 5 số không âm, ta có: Cộng từng vế các bất đẳng thức cùng chiều, ta được: Đẳng thức xảy ra a = b. Ta có bài toán 3:Bài 3: Với a, b là các số không âm, chứng minh rằng: Với n = 6Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 6 số không âm, ta có: Cộng từng vế các bất đẳng thức cùng chiều, ta được: Đẳng thức xảy ra a = b.Nên ta có bài toán 4 như sau:Bài 4: Với a, b là các số không âm, chứng minh rằng: Tương tự, với n = 7, n = 8, ta chứng minh được các bất đẳng thức sau:Bài 5: Với a, b là các số không âm, chứng minh rằng: Bài 6: Với a, b là các số không âm, chứng minh rằng: Từ các kết quả trên hướng chúng ta con đường đi đến các tổng quát thật sáng sủa. Với n là một số chẵn, đặt n = 2k (k N, k>1), thì ta có:Áp dụng bất đẳng thức Canchy cho 2k số hạng sau: Cộng từng vế các bất đẳng thức cùng chiều, ta có: Từ đó ta có tổng quát 1:Tổng quát 1:Bài 7: Với a, b là các số không âm, k là số tự nhiên. Chứng minh rằng: Với n là một số lẻ, đặt n = 2k+1 (k N, k>1), thì ta có: Cộng từng vế các bất đẳng thức cùng chiều, ta có: Từ đó ta có tổng quát 2:Tổng quát 2:Bài 8: Với a, b là các số không âm, k là số tự nhiên. Chứng minh rằng: Hướng thứ hai: Tổng quát hóa theo cách tăng số số hạng và tăng số mũ Sử dụng cách làm tương tự như trên, ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho bốn số không âm ta có: Cộng từng vế các bất đẳng thức cùng chiều, ta được: Từ đó ta có bài toán mới sau:Bài 9: Cho a, b, c là các số không âm. Chứng minh rằng: Tương tự ta cũng dễ dàng chứng minh được bài toán sau:Bài 10: Cho a, b, c là các số không âm. Chứng minh rằng: Nhận xét: Với định hướng như trên lại làm ta có thêm ý tưởng mới đó là đi tìm bài toán tổng quát của các bất đẳng thức đó:Với cách làm tương tự, ta thấy:Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho (n+1) số không âm ta có: Cộng từng vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được: Vậy từ đó ta có bài toán tổng quát:Tổng quát 3:Bài 11: Cho là các số không âm. Chứng minh rằng: Nhận xét: Ở bài toán tổng quát 3, bậc của từng hạng tử lớn hơn số hạng tử là 1 đơn vị. Vậy tổng quát hơn nếu cho bậc của từng hạng tử là n, số hạng tử là m (m, n N, n m) thì ta có được bất đẳng thức như thế nào?Áp dụng bất đẳng thức cauchy, ta có Tương tự: ….. Cộng từng vế các bất đẳng thức cùng chiều ta có: Vậy từ nhận xét trên ta có bài toán tổng quát cho tất cả các trường hợp trên.Tổng quát 4:Bài 12: Cho là các số không âm, với mọi n m (m, n N). Chứng minh rằng: Nhận xét: Như vậy ta đã tìm được bài toán tổng quát của bài toán 1, nếu thay mỗi giá trị của n, m và phát triển thì ta có thể có được nhiều bài toán hay và khó nữa. Đối với học sinh khá giỏi thì bài toán 1 không có gì là quá khó, học sinh có thể tự làm mà không cần đến sự gợi ý của giáo viên. Nhưng cùng nhìn lại bài toán đó chúng ta thấy còn thêm nhiều vấn đề mà các em có thể khám phá. Biến đổi một chút ta có: Với a, b là các số dương, chúng ta thấy vế phải của bất đẳng thức là tích của các thừa số: a, b, (a + b) ( a và b có vai trò như nhau). Bởi vậy, ta thử chia hai vế của bất đẳng thức () cho thừa số b, ta được: Tương tự, với a, b, c dương thì: Cộng từng vế các bất đẳng thức cùng chiều, ta được: Từ đó ta có bài toán mới:Bài 13: Với ba số a, b, c dương, chứng minh rằng: (Đề thi vào lớp 10 – ĐHKHTN – ĐHQG Hà Nội 1996 – 1997)Hướng dẫn: Cách thứ nhất chúng ta có thể gợi mở cho học sinh làm với định hướng như trên:Cách 1: Với a, b dương nên ta có: Tương tự, với a, b, c dương thì: Cộng từng vế các bất đẳng thức cùng chiều, ta được: (đpcm)Cách 2: Chúng ta có thể nhớ lại bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức dạng Vậy liệu ta có thể áp dụng được vào bài toán này hay không?Biến đổi một chút để đưa về dạng: , , Ta có: Mặt khác: Từ (1) và (2) ta suy ra: (đpcm)Dấu đẳng thức xảy ra a = b = c.Nhận xét: Từ kết quả bài toán trên, nếu ta cho thêm điều kiện: abc = 1, thì ta lại có thêm bài toán mới:Bài 14: Với ba số a, b, c dương và abc = 1. Chứng minh rằng: Ngoài ra, để tạo bài toán khó hơn ta cũng có thể cho abc bằng một giá trị bất kỳVí dụ: cho abc = 2 ta có bài toán:Bài 15: Với 3 số dương a, b, c và abc = 2. Chứng minh rằng: Hay cho abc = k (k > 0), ta được bài toán khó hơn mà học sinh mới gặp rất khó tìm ra cách giải.Bài 16: Với 3 số dương a, b, c và abc = k (k > 0). Chứng minh rằng: Nhận xét: Cũng từ bài toán 1, với điều kiện a, b > 0 ta có thể chia hai vế của bất đẳng thức cho tích a.b, ta được: Tương tự, với a, b, c > 0, ta có: Cộng từng vế các bất đẳng thức cùng chiều ta có: + + 2(a + b + c). Dấu bằng xảy ra khi a = b = cTừ đó ta có bài toán:Bài 17: Với a, b, c là các số dương, chứng minh rằng: Hướng dẫn: Tương tự: Cộng từng vế các bất đẳng thức cùng chiều ta có: Dấu bằng xảy ra khi a = b = c Nhận xét: Từ bài toán trên chúng ta nhận thấy rằng có thể sử dụng bất đẳng thức tổng quát 3 áp dụng cho 4 số dương a, b, c, d để tạo ra bài toán mới khó hơn bằng cách làm tương tự:a4 + b4 + c4 abc(a + b + c) a + b + cb4 + c4 + d4 bcd(b + c + d) b + c + dc4 + d4 + a4 cda(c + d + a) c + d + ad4 + a4 + b4 dab(d + a + b) d + a + bCộng vế với vế, ta được Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = d.Ta có bài toán sau:Bài 18: Cho 4 số dương a, b, c, d. Chứng minh Nhận xét: Với cách làm tương tự và dựa vào bài toán tổng quát 3, ta có bài toán tổng quát hơn:Với n số dương a1, a2, a3, …., an. Chứng minh: (n – 1)(a1 + a2 + ... + an)Chứng minh: a1.a2 ... an1(a1 + a2 + ... + an1) a1 + a2 + ... + an1 a2.a3 ... an(a2 + a3 + ... + an) a2 + a3 + ... + an….. an.a1 ... an2(an + a1 + ... + an2) an + a1 + ... + an2Cộng từng vế của các bất đẳng thức trên, ta được điều cần chứng minh (n – 1)(a1 + a2 + ... + an)Dấu bằng xảy ra khi a1=a2= … =an.Nhận xét: Ta dễ dàng chứng minh được bất đẳng thức 2(a + b + c) và kết hợp với bài toán 17, ta có được bất đẳng thức chặt hơn như sau: Bài 19: Với a, b, c là các số dương, chứng minh rằng: Nhận xét: Với 4 số dương a, b, c, d ta có: Mà 3.( ) 3 Ta đề xuất bài toán sau:Bài toán 20: Với 4 số dương a, b, c, d. Chứng minh: 3 Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = dNhận xét: Với cách làm tương tự, ta lại tổng quát hóa cho bài toán dạng này: Bài toán 21Với n số dương a1, a2, a3, …., an. Chứng minh: (n1)( )Hướng dẫn:Ta có: (n – 1)(a1 + a2 + ... + an)= (n1)( ) (n1)( )Như vậy, qua các phép biến đổi tương đương chúng ta sáng tạo ra được các bài toán mới và từ đó ta tìm cách đi tổng quát dạng toán đó. Điều này giúp học sinh rất dễ nhận dạng của một bài tập bất kì dù cho bài toán đó có số mũ lớn, hay cồng kềnh đi nữa.Nhận xét: Ta thấy bất đẳng thức () là một bất đẳng thức khá đẹp và học sinh cũng dễ nhớ. Nếu áp dụng bất đẳng thức () cho lần lượt các cặp số a, b, c dương ta có: Cộng từng vế của các bất đẳng thức cùng chiều ta được: Dấu “=” xảy ra a = b = c. Ta có tiếp bài 22:Bài 22: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: Thật vậy: Áp dụng bất đẳng thức () cho lần lượt các cặp số a, b, c ta có: Cộng từng vế của các bất đẳng thức cùng chiều ta được: Dấu “=“xảy ra a = b = c.Nhận xét: Như vậy, ở trên chúng ta đã thử chia 2 vế của bất đẳng thức () cho các thừa số ở vế phải và được các bài toán hay và còn đưa được về dạng tổng quát. Bây giờ ta sẽ hướng học sinh khai thác theo định hướng khác: Nhận thấy rằng nếu ta nhân 3 vào hai vế của bất đẳng thức thì ta có và lúc này nếu ta thêm vào vế phải tổng a3 + b3 thì ta có được hằng đẳng thức (a + b)3 Tương tự, với a, b, c 0 ta có: Cộng từng vế các bất đẳng thức cùng chiều, ta có: Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = cTừ đó ta có bài toán mới:Bài 23: Với a, b, c là các số dương, chứng minh rằng: Hướng dẫn:Nhìn vào bài tập này thì có thể học sinh sẽ cảm thấy khó định hướng cách chứng minh nhưng nếu đặt nó vào chuỗi bài toán thì học sinh sẽ dễ dàng biết cách sử dụng các bất đẳng thức đã có để chứng minh một cách dễ dàng.Theo định hướng như trên:Cách 1: Tương tự, với a, b, c 0 ta có: Cộng từng vế các bất đẳng thức cùng chiều, ta có: Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = cNgoài cách làm trên thì học sinh có thể biến đổi theo cách khác nhưng việc làm này có vẻ không tự nhiên và còn dài dòng.Cách 2: Ta có: Suy ra: Dấu “=” xảy ra a = bLý luận tương tự, ta được: Cộng từng vế của các bất đẳng thức cùng chiều ta có: Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = cCách3: (Bất đẳng thức luôn đúng)Dấu đẳng thức xảy ra a = b =c.Nhận xét: Nếu ta áp dụng bất đẳng thức cauchy cho hai số dương của vế phải ở bài 23 thì ta lại có:Sử dụng tính bắc cầu ta có bất đẳng thức mới chặt hơn: Bài 24: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: Hướng dẫn: Từ bài toán 23 ta thấy: mà => Dấu “ = “ xảy ra khi a = b = c.Nhận xét:Bây giờ nếu ta cho abc = 1, và với điều kiện a, b, c > 0 thì khi đó ta có: Như vậy ta có được bài toán mới cũng rất hay.Bài 25: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng: Nhận xét: Để sáng tạo ra bài 23, ta đã nhân 2 vế của bất đẳng thức với 3 và cộng thêm tổng để xuất hiện hằng đẳng thức , còn nếu ta cộng vào hai vế của bất đẳng thức () với tích abc thì khi kết quả thu được sẽ như thế nào?Ta thấy: Tương tự : Suy ra: Ta có bài toán sau:Bài 26: Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh rằng: (Đề thi TS vào lớp 10 tỉnh Hải Dương năm 2010 – 2011)Hướng dẫn: Đây là một bài toán khó, nếu vừa gặp bài tập này học sinh sẽ khó tìm được định hướng lời giải. Tuy nhiên, khi các em đã nắm được bất đẳng thức thì việc suy nghĩ để làm xuất hiện a3 + b3 + abc rất đơn giản bằng cách cộng vào hai vế của bất đẳng thức trên với tích abc, ta có: Tương tự ta có: Suy ra: Nhận xét: Khi đã giải quyết được bài toán 26 thì việc đưa ra bài toán tương tự với 4 số dương a, b, c, d không còn là khó khăn nữa. Bài 27: Với 4 số dương a, b, c, d. Chứng minh Chứng minh:a4 + b4 + c4 abc(a + b + c) a4 + b4 + c4 + abcd abc(a + b + c+d) = b4 + c4 + d4 bcd(b + c + d) b4 + c4 + d4 + abcd bcd(a + b + c+d) = c4 + d4 + a4 cda(c + d + a) c4 + d4 + a4 + abcd cda(a + b + c + d) = d4 + a4 + b4 dab(d + a + b) d4 + a4 + b4 + abcd dab(a + b + c + d) = Cộng từng vế của các bất đẳng thức trên ta chứng minh được bài toán Nhận xét: Tương tự ta cũng sẽ đưa được bài toán tổng quát hơn với n số dương a1, a2, a3, . . ., anBài 28: Với n số dương a1, a2, a3 . . . an Chứng minh:Ta có: …….. Cộng vế với vế ta có điều cần chứng minh Nhận xét: Đặc biệt hóa bài toán 26 trong trường hợp abc = 1, ta có bài toán mới:Bài 29: Cho a, b, c là ba số dương và abc = 1. Chứng minh rằng: ( ĐH Thủy Lợi năm 1999)Nhận xét: Từ bài 29, thay đổi hình thức của bài toán trên bằng bài toán tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức ta có bài toán hay:Bài 30: Cho x, y, z là ba số dương và xyz = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: (Đề thi HSG tỉnh Nghệ An Bảng A năm học 2009 – 2010)Thoạt đầu nhìn vào bài toán thì học sinh chưa thể có định hướng ngay để giải được nó. Nhưng nếu dựa vào những mắt xích trên thì việc giải bài toán đó sẽ không còn khó khăn nữa.Nhận xét: Từ một bất đẳng thức cho trước ta có khá nhiều cách biến đổi để tạo ra một bất đẳng thức mới và phương pháp đổi biến là một ví dụ. Việc thay đổi biến số bằng các hàm số đơn giản đã làm bài tập trở nên khó hơn vì đã che dấu đi bản chất thật của bài toán. Kĩ thuật đổi biến càng khó thì vấn đề càng khó được tìm ra.Giờ nếu tiếp tục ta thử đặt ta lại có bài toán mới: Bài 31: Cho x, y, z là các số thực dương và xyz = 1. Chứng minh rằng: Đây là một bài toán nhìn rất gọn gàng và đẹp, nhưng lại không cho ta ý tưởng ngay để giải được bài toán. Vì việc đổi biến đã làm che dấu đi bản chất của bài toán. Nhưng nếu ta đặt x = a3, y = b3, z = c3 thì ta sẽ đưa được về bài toán 29. Nhận xét: Với a, b, c là các số dương, nếu cộng vào hai vế của bất phương trình () với thì ta có: mà Tương tự ta có: Cộng từng vế các bất đẳng thức cùng chiều ta có: Từ đó ta có bài toán mới:Bài 32: Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh rằng: Hướng dẫn:Cách 1: Mà Tương tự ta có: Cộng từng vế các bất đẳng thức cùng chiều ta có: Cách 2: Tuy nhiên nhìn vào bài toán ta dễ dàng có suy nghĩ tách biểu thức để sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: Tương tự: Cộng từng vế ba bất đẳng thức cùng chiều, ta có kết quả cần chứng minh.Đẳng thức xảy ra a = b = cNhận xét: Từ kết quả bài toán trên nếu ta cho a + b + c = 3, khi đó ta có bài toán mới:Bài 33: Cho a, b, c là các số thực dương và a + b + c = 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: (Đề thi HSG tỉnh Nghệ An năm học 2011 – 2012)Hướng dẫn:Ta có: mà Tương tự ta có: Cộng từng vế các bất đẳng thức cùng chiều ta có: Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1Vậy giá trị nhỏ nhất của tại a = b = c = 1.Nhận xét: Với a, b > 0, ta có: Lý luận tương tự ta có:Cộng từng vế các bất đẳng thức cùng chiều ta có: Ta có bài toán 34:Bài 34: Cho a, b, c là các số thực dương.Chứng minh rằng: Bằng các cách biến đổi ta có thể tìm ra được nhiều bài toán mới rất hay, ví dụ như:Bài 35: Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh rằng: Bài 36: Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh rằng: Bài 37: Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh rằng: Bài 38: Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh rằng: (Đề thi olympic toán canađa năm 2002) Với bài toán ban đầu chúng ta đã tìm ra được bài toán tổng quát, và cứ mỗi giá trị của n, m thì ta có được nhiều bài toán mới và hay, và nhờ vào bài toán tổng quát ta cũng có thể giải được nhiều bài toán khó mà nếu mày mò theo cách khác thì sẽ rất phức tạp và có thể sẽ bế tắc. Ví dụ như ta có thể vận dụng bài toán 2:Với a, b là các số không âm, chứng minh rằng: ()để giải được nhiều bài toán hay trong các đề toán thi học sinh giỏi cũng như thi vào THPT chuyên chọn:Bài 39: Cho hai số dương a, b. Chứng minh rằng . Hướng dẫn:Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với . Đây chính là bất đẳng thức () cho hai số dương và nên ta được điều phải chứng minh.Bài 40: Chứng minh rằng . Trong đó a, b, c là ba số thực không âm.Hướng dẫn:Áp dụng bất đẳng thức () ta có a4 + b4 ≥ a3b + ab3 b4 + c4 ≥ b3c + bc3 a4 + c4 ≥ a3c + ac3Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta đ¬ược: 2(a4 + b4 + c4) ≥ a3(b + c) + b3(a + c) + c3(a + b). (1) Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm ta có a3(b + c) + b3(a + c) + c3(a + b) (2)Từ (1), (2) suy ra điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.Bài 41: Cho ba số d¬ương a, b, c. Chứng minh rằng: Hướng dẫn: Ở bài toán này chưa thể áp dụng ngay dạng của bất đẳng thức () nên ta có thể đưa về dạng đó như thế nào?Áp dụng bất đẳng thức () ta có Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta đ¬ợc Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có (1) và áp dụng kết quả Bài 1 ta được: Mà (2)Từ (1), (2) suy ra: Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Bài 42: Chứng minh rằng: trong đó x, y, z là ba số thực d¬ương. Hướng dẫn:Áp dụng bất đẳng thức () ta có T¬ương tự: , . Cộng vế với vế các bất đẳng thức ta đ¬ược điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z. Bài 43: Cho a, b, c là ba số thực dương. Chứng minh rằng: Hướng dẫn:Áp dụng bất đẳng thức: a5 + b5 + c5 ≥ abc(a2 + b2 + c2) Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số d¬ương ta có Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Nhận xét : Từ bài toán 6, (a, b là các số dương), nếu giáo viên biết hướng dẫn học sinh nhìn nhận khai thác bài toán cơ bản trên thì ta lại có một bài toán mới.Bài 44: Cho a, b, c là ba số dương và abc = 1. Chứng minh rằng: (Đề thi toán quốc tế lần thứ 37 năm 1996)Hướng dẫn:Ta có: Do đó: ( thay abc = 1)Lí luận tương tự: Cộng các bất đẳng thức cùng chiều, ta được: Dấu “=“xảy ra a =b =c = 1. Các bài tập t¬ương tự: Bài 45: Cho ba số d¬ương a, b, c. Chứng minh rằng: . Bài 46: Cho a, b, c là ba số d¬ương và a2 + b2 + c2 = 3. Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 ≥ a + b + c. Bài 47: Cho a, b, c, d là những số thực d¬ơng. Chứng minh rằng Bài 48: . Cho a1, a2,………,an là các số thực d¬ương (n ≥ 3, n Î N). Chứng minh rằng: Bất đẳng thức ở bài toán 1 là một bất đẳng thức quen thuộc và dễ chứng minh. Nhưng các bất đẳng thức được phát triển từ nó thì không phải học sinh nào cũng đễ dàng tìm ra lời giải. Rất nhiều bài tập trên được xuất hiện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi và thi vào THPT, bởi vậy nếu các em chưa được định hướng thì sẽ rất khó khăn khi gặp các dạng bài tập này. Trong thực tế giảng dạy tôi chỉ áp dụng khi bồi dưỡng học sinh giỏi và các em rất hào hứng với dạng bài tập như vậy, các em tự tin hơn khi gặp các bài tập về bất đẳng thức và các bài tập liên quan. Mặc dù đây là loại toán rất rộng và khó nhưng tôi vẫn muốn đưa ra để thử sức các em nhằm phát huy hết tiềm lực mà các em vốn có, ngoài ra nó còn giúp ích các em rất nhiều khi vào các bậc học cao hơn. Như vậy từ một bài toán đơn giản ban đầu ta đã sáng tạo ra được nhiều bài toán mới với nhiều góc độ khác nhau giúp học sinh phát triển được tư duy sáng tạo và các em biết nhìn nhận một bài toán theo nhiều định hướng mới mẻ. Tất nhiên ta còn có thể phát triển bài toán trên theo nhiều định hướng khác nữa nhưng do thời gian có hạn trong phạm vi đề tài này tôi chỉ xin nêu ra một số định hướng như trên. Rất mong được bạn bè đồng nghiệp góp ý và bổ sung để đề tài được phát triển hơn. PHẦN III. KẾT LUẬN1. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI:Sau khi nghiên cứu và áp dụng đề tài tôi nhận thấy học sinh đạt được những hiệu quả rất đáng khích lệ : Học sinh có ý thức hơn, cẩn thận hơn,trình bày lời giải bài toán khoa học chặt chẽ hơn.Học sinh rất hứng thú về đề tài của tôi, các em đã nắm được hệ thống kiến thức về bất đẳng thức một cách vững chắc.Không còn cảm thấy sợ khi gặp khi 1 bài toán về bất đẳn thức nữa.Các em đã có định hướng suy nghĩ khi tìm tòi sáng tạo cái mới Biết cách chuyển một bài toán khó đưa về các bài toán đơn giản (Bài toán gốc) để giải và đó chính là “chìa khóa” cho các em làm được rất nhiều bài toán khác.Cách suy nghĩ, định hướng trong học toán đã có sự thay đổi một cách tích cực.Các em đã có phương pháp học tập một cách chủ động tích cực sáng tạo.Tạo được sự hứng thú niềm say mê học toán cho các em2. NHẬN ĐỊNH VỀ CÁCH ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM VÀ KHẢ NĂNG MỞ RỘNG ĐỀ TÀI: SKKN được áp dụng cho đối tượng là học sinh khá giỏi ở cấp THCS và có thể cả học sinh THPT Có thể được thực hiện trong quá trình dạy thêm, bồi dưỡng học sinh giỏi, ôn yhi vào lớp 10 THPT Khi tiến hành áp dụng đề tài chúng ta nên hướng dẫn học sinh giải bài toán gốc theo nhiều cách nhìn nhận để mở rộng bài toán, tổng quát hóa, đặc biệt hóa, lật ngược vấn đề, ...... Từ bài toán gốc sáng tạo ra các bài toán mới theo nhiều hướng khác nhau như quá trình biến đổi tương đương, đổi biến. Hướng dẫn cho học sinh cách quy lạ về quen biết biến đổi 1 bất đẳng thức cồng kềnh phức tạp về 1 bất đẳng thức đơn giản hơn, quen thuộc hơn. Các bất đẳng thức rất đa dạng và phương pháp nhìn có vẻ khó nhưng thực chất nếu ta biết hướng đi đề tài có thể được áp dụng trong dạy học bất đẳng thức nói riêng và cả bộ môn toán nói chung 3. BÀI HỌC KINH NGHIỆM VÀ ĐỀ XUẤT: 1. Giáo viên cung cấp kiến thức vững chắc cho học sinh2. Khi giải các bài toán (Bài toán gốc) thường giải theo nhiều cách khác nhau3. Nhìn nhận bài toán gốc theo nhiều góc độ khác nhau: tổng quát hóa, đặc biệt hóa, xét tính tương tự, lật ngược vấn đề để sáng tạo bài toán đó thành nhiều bài toán khó hơn.4. Rèn luyện cho học sinh khi gặp bài toán thì có thói quen nghiên cứu bàiốân chứ không đơn thuần là giải quyết yêu cầu của bài toán.5 Giúp học sinh biết cách khi gặp một bài toán khó nên tìm cách đưa nó về các bài toán gốc bằng cách biến đổi tương đương hoặc là đổi biến.Và một lời khuyên như nhà toán học G.Pôlya đã nói “Giải bài toán là một nghệ thuật được thực hành giống như bơi lội, trượt tuyết hay chơi đàn vậy. Có thể học được nghệ thuật đó, chỉ cần bắt chước theo những mẫu mực đúng đắn và thường xuyên thực hành. Nhưng xin nhớ rằng: Nếu bạn muốn tập bơi thì hãy mạnh dạn nhảy xuống nước, còn nếu bạn muốn học giỏi toán thì hãy bắt tay vào giải đi” Bằng những kinh nghiệm rút ra sau nhiều năm giảng dạy cũng như bồi dưỡng học sinh giỏi, cùng với sự giúp đỡ tận tình của tổ chuyên môn, của ban Giám Hiệu nhà trường và Phòng giáo dục tôi đã hoàn thành đề tài “Kinh nghiệm phát triển năng lực tư duy, óc sáng tạo và tạo hứng thú học toán cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển một bài toán” cho học sinh lớp 8, 9 . Trên đây là một ví dụ minh hoạ cho phương pháp dạy học rèn luyện năng lực tư duy của học sinh thông qua việc khai thác một bài toán và bản thân cũng đã rút ra một số kinh nghiệm để thực hiện phương pháp này. Tuy nhiên cách trình bày đề tài không tránh khỏi những thiếu sót rất mong các cấp chuyên môn các đồng nghiệp góp ý, bổ sung để đề tài được hoàn thiện hơn.Tôi xin chân thành cảm ơn TÀI LIỆU THAM KHẢO1.Giải bằng nhiều cách các bài toán bất đẳng thức Tác giả: Nguyễn Đức Tấn2.23 Chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp Tác giả: Nguyễn Văn Vịnh 3.Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số Tác giả: Phạm Trọng Thư4.Tuyển chọn bài thi học sinh giỏi toán THCSTác giả: Lê Hồng Đức5.Sáng tạo bất đẳng thứcTác giả: Phạm Kim Hùng . . . MỤC LỤCPHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ11. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.1a. Cơ sở lí luận.1b. Cơ sở thực tiễn.22. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.33. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU.34. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.35. ĐIỂM MỚI CỦA ĐỀ TÀI.46. CẤU TRÚC CỦA ĐỀ TÀI.4PHẦN II: NỘI DUNG5PHẦN III. KẾT LUẬN321. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI:322. NHẬN ĐỊNH VỀ CÁCH ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM VÀ KHẢ NĂNG MỞ RỘNG ĐỀ TÀI:323. BÀI HỌC KINH NGHIỆM VÀ ĐỀ XUẤT:33TÀI LIỆU THAM KHẢO34MỤC LỤC35

Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014 PHN I T VN Lí DO CHN TI a C s lớ lun Dy toỏn l mt hot ng nghiờn cu v toỏn hc ca hc sinh v giỏo viờn bao gm day khỏi nim, dy nh lý, gii toỏn , ú gii toỏn l cụng vic quan trng Bi gii toỏn l quỏ trỡnh suy lun nhm khỏm phỏ quan h lụgic gia cỏi ó cho v cỏi cha bit (gia gi thit v kt lun) Mi bi toỏn cú th cú nhiu cỏch gii, mi cỏch gii l mt nh hng suy lun riờng nờn ng trc mt bi toỏn hc sinh thng khụng bit bt u t õu? phi lm nh th no? Quỏ trỡnh bi dng hc sinh gii nu bt u t bi toỏn khú, rt khú dy i vi thy v khú hc i vi trũ Mt khỏc chỳng ta khụng th dy ht cho hc sinh tt c cỏc bi cng nh cỏc em khụng th lm ht cỏc bi ú Vỡ vy to mi liờn h gia cỏc bi tp, hng dn cho hc sinh gii mt bi toỏn, giỏo viờn cn hng dn cho hc sinh bit khai thỏc, m rng kt qu nhng bi toỏn n gin v khai thỏc bi toỏn gc xõy dng cỏc bi toỏn mi liờn quan iu ny giỳp hc sinh rốn luyn t lụgic úc, sỏng to, t tỡm tũi, suy ngh nhng bi toỏn mi v cú nhng cỏch gii hay Ngoi cũn to iu kin cho giỏo viờn v hc sinh khụng nht thit phi mua nhiu ti liu bi trờn thc t cú rt nhiu u sỏch cú ni dung gn ging Mt khỏc mun hc gii toỏn thỡ yờu cu hc sinh cn nm chc kin thc v ng trc mt bi toỏn phi cú cỏch nhỡn,cỏch tip cn, ỏnh giỏ v gii quyt cỏc ca bi toỏn mt cỏch trit ch khụng n thun l gii cho xong Bi vic tỡm li gii ca bi toỏn nhiu khụng phi l khú nht l nhng bi toỏn sỏch giỏo khoa Vỡ th, i vi hc sinh nht l hc sinh khỏ gii thng mang tõm lý xem nh bi toỏn sỏch giỏo khoa, nhng thc ng sau mi bi toỏn cú bao nhiờu iu hp dn, lý thỳ Quỏ trỡnh ny phi bt u t cỏc bi toỏn n gin n phc rốn luyn nng lc t cho hc sinh Nh nh toỏn hc Cỏc ó núi: Mi m tụi gii quyt u s tr thnh vớ d mu mc dựng gii quyt khỏc T ú giỳp cỏc em cú c s khoa hc phõn tớch, nh hng tỡm li gii cho cỏc bi toỏn khỏc v c bit l cng c cho cỏc em lũng tin vo kh nng gii toỏn ca mỡnh rốn luyn k nng gii toỏn cho hc sinh, ngoi vic trang b tt h thng kin thc c bn v rốn luyn k nng gii bi tp,Nhim v ca ngi thy ngoi vic cung cp kin thc, rốn luyn k nng cho hc sinh cũn cú mt nhiờm v quan trng ú l rốn luyn nng lc t cho hc sinh quỏ trỡnh ging dy ca mỡnh Nu ngi thy ch dng li gii xong bi toỏn thỡ khụng th dy hc sinh úc tũ mũ, tớnh sỏng v s tỡm tũi khỏm phỏ nhng iu lý thỳ n sau mi bi toỏn, nh th khụng th phỏt trin c nng lc t ca hc sinh v lm cho tit hc tr nờn nht nho v nhm chỏn Nu sau mi bi toỏn, ngi thy hng dn hc sinh khai thỏc sõu cỏc kt qu T ú tỡm c chui bi toỏn t d n khú thỡ khụng nhng rốn luyn Kinh nghiệm phát triển lực cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển toán bất đẳng thức Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014 c nng lc t sỏng to cho hc sinh m cũn gõy hng thỳ lm cho gi hc tr nờn hp dn hn, giỳp cho kin thc ca hc sinh cú tớnh h thng, c m rng v sõu hn Trong quỏ trỡnh ging dy cng nh bi dng hc sinh gii, tụi nhn thy bin phỏp tt v rt hu hiu bi dng nng lc t theo nh hng i mi phng phỏp dy hc ca B Giỏo Dc v o to: "Phng phỏp giỏo dc ph thụng phi phỏt huy tớnh tớch cc, t giỏc, ch ng, sỏng to ca hc sinh, phự hp vi c im chung ca tng lp hc, mụn hc (Trớch Mt s i mi phng phỏp dy hc trng THCS"- B Giỏo dc v o to ) b C s thc tin Trong nhng nm hc gn õy, chỳng ta u thy rng vic i mi phng phỏp dy hc ó mang li c mt s hiu qu nht nh Trong quỏ trỡnh ging dy, ngi giỏo viờn ó bit cỏch s dng cỏc phng phỏp dy hc mi nhm phỏt huy tớnh tớch cc ch ng, nng lc t duy, úc sỏng to cho hc sinh Qua thc tin v nghiờn cu tụi nhn thy rng vic dy hc theo nh hng khai thỏc v phỏt trin bi toỏn l mt cỏch lm hay, phự hp vi xu th chung, gúp phn vo vic i mi phng phỏp dy hc, rốn luyn kin thc, k nng, úc sỏng to v bi dng nng lc t cho hc sinh v ngoi cũn gõy hng thỳ, ham thớch hc toỏn cho cỏc em Tuy nhiờn, thc t ging dy ca cỏc giỏo viờn v cỏc ti ó cú trc õy, thng mi ch chỳ trng n vic khai thỏc v phỏt trin mt bi toỏn hỡnh hc m cha thc s quan tõm n i s núi chung v bt ng thc núi riờng Trong chng trỡnh toỏn THCS, bt ng thc l mt ni dung khú v quan trng, nú thng cú mt cỏc thi tuyn sinh vo lp 10 THPT, thi hc sinh gii cỏc cp v c cỏc thi tuyn sinh H, C sau ny Nhng tõm lớ chung ca cỏc hc sinh l u cú cm giỏc s v ngi va chm i vi dng toỏn ny Thc cht ú l do: - Cỏc em cha nm chc c cỏc bt ng thc c bn, cỏc tớnh cht ca bt ng thc - Cha bit kt ni, xõu chui cỏc bt ng thc vi thnh mt h thng - Cha cú k nng quy l v quen, a nng v nh, chuyn i cỏc bi toỏn phc cng knh thnh nhng bi toỏn n gin hn - Cha bit cỏch bin i t mt bi toỏn gc a cỏc bi toỏn mi, tng quỏt húa, c bit húa, - Cha thc s yờu thớch mụn hc Vy nguyờn nhõn ch yu ca thc trng ú l gỡ? Kinh nghiệm phát triển lực cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển toán bất đẳng thức Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014 - Th nht, cỏc bi toỏn v bt ng thc quỏ a dng v phc v nú khụng cú mt phng phỏp chung no gii - Th hai, mt s giỏo viờn cha thc s cú kin thc tng hp v bt ng thc v cha o sõu nghiờn cu k v ni dung ny - Th ba, dy v i s núi chung v bt ng thc núi riờng, cỏc giỏo viờn thng mi ch dy theo cỏch phõn dng hoc dy cỏc bi mt cỏch ri rc, riờng l m cha bit khai thỏc, phỏt trin mt bi toỏn gc ri xõu chui to thnh mt h thng bi cú lụgớc cht ch vi - Th t, cha rốn cho hc sinh cỏc k nng cn thit nh quy l v quen, tng quỏt húa, c bit húa, - Th nm, quỏ trỡnh ging dy cha to c hng thỳ, yờu thớch hc toỏn cho hc sinh gúp phn khc phc tỡnh trng trờn v phỏt huy c ti a nng lc t ca hc sinh, to nim say mờ, yờu thớch hc toỏn, nht l ni dung bt ng thc Tụi xin c a ti: Kinh nghim phỏt trin nng lc cho hc sinh thụng qua vic khai thỏc, phỏt trin mt bi toỏn bt ng thc ng nghip tham kho, b sung v gúp ý MC CH NGHIấN CU Nghiờn cu v xut mt s gii phỏp v kinh nghim phỏt trin nng lc t duy, úc sỏng to v to hng thỳ hc toỏn cho hc sinh thụng qua vic khai thỏc, phỏt trin mt bi toỏn bt ng thc NHIM V NGHIấN CU - Xỏc nh c s lớ lun v thc tin ca phỏt trin nng lc t duy, úc sỏng to v to hng thỳ hc toỏn cho hc sinh thụng qua vic khai thỏc, phỏt trin mt bi toỏn - Phõn tớch thc trng ca quỏ trỡnh dy hc nhm mc tiờu phỏt trin nng lc t duy, úc sỏng to v to hng thỳ hc toỏn cho hc sinh THCS - xut mt s gii phỏp thụng qua vic khai thỏc v phỏt trin mt bi toỏn bt ng thc nhm mc tiờu phỏt trin nng lc t duy, úc sỏng to v to hng thỳ hc toỏn cho hc sinh THCS PHNG PHP NGHIấN CU - Phng phỏp lớ lun: Cn c vo ch trng, chớnh sỏch ca ng v Nh nc, ca B Giỏo dc v o to v cụng tỏc i mi phng phỏp dy hc nhm mc tiờu phỏt trin nng lc t duy, tớnh tớch cc, t giỏc, tớnh ch ng sỏng to ca hc sinh, phự hp vi c im chung ca tng lp hc, mụn hc(Trớch Kinh nghiệm phát triển lực cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển toán bất đẳng thức Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014 Mt s i mi phng phỏp dy hc trng THCS"- B Giỏo dc v o to ) - Phng phỏp nghiờn cu thc tin: quan sỏt, iu tra, tng hp kinh nghim v Kinh nghim phỏt trin nng lc t duy, úc sỏng to v to hng thỳ hc toỏn cho hc sinh thụng qua vic khai thỏc, phỏt trin mt bi toỏn IM MI CA TI - ti cp n mt ni dung quan trng nhng nhiu giỏo viờn cha thc khai thỏc v thc hin - ti ó a gii phỏp cú tớnh h thng, logic, khoa hc dy hc nhm phỏt trin nng lc t duy, úc sỏng to v to hng thỳ hc toỏn cho hc sinh thụng qua vic khai thỏc, phỏt trin mt bi toỏn - Cỏc gii phỏp ti a ó c tri nghim qua thc t v c iu chnh phự hp theo i tng hc sinh tng nm hc nờn cú tớnh hp lớ, d dng thc hin CU TRC CA TI Phn I: t Lớ chn ti Mc ớch nghiờn cu Nhim v nghiờn cu Phng phỏp nghiờn cu im mi ca ti Phn II: Ni dung Phn III: Kt lun Hiu qu ca ti Nhn nh v ỏp dng sỏng kin kinh nghim v kh nng m rng ti Bi hc kinh nghim v xut PHN II: NI DUNG Kinh nghiệm phát triển lực cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển toán bất đẳng thức Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014 H thng cỏc bt ng thc rt phong phỳ v a dng, nhiờn khụng phi mi bi toỏn t u cú ý ngha thc s, ta ch nờn quan tõm nhiu hn n cỏc bt ng thc s li cho nhng ý ngha nht nh Chỳng ta cựng bt u t bi toỏn c bn chng trỡnh THCS nhng nú li l c s cho nhiu bi toỏn khú sau ny: Bi 1: Vi a, b l cỏc s khụng õm, chng minh rng: a + b3 ab(a + b) (*) ( thi HSG huyn ụ Lng- lp nm hc 2011 2012) Hng dn: i vi bi toỏn ny, hc sinh cng s d dng thc hin theo nhiu cỏch Cỏch chng minh bt ng thc quen thuc nht i vi hc sinh THCS l bin i tng ng: Cỏch 1: a + b3 ab(a + b) (a + b)(a ab + b ) ab(a + b) (a + b)(a 2ab + b ) (a + b)(a b) Bt ng thc ỳng vi mi a, b khụng õm ng thc xy a = b Cỏch 2: Ngoi cỏch lm trờn thỡ i vi hc sinh lp ta cú th chng minh c bi toỏn bng cỏch s dng bt ng thc quen thuc: a + b 2ab Ta cú: a + b 2ab a ab + b ab (a + b)(a ab + b ) ab(a + b) a + b3 ab(a + b) ng thc xy a = b Cỏch 3: Ta cú ab(a + b) = a 2b + ab xut hin hng t a2b v ab2 v phi v ta thy bt ng thc trờn xy du bng a = b Bi vy, ta cú th s dng bt ng thc Cauchy bng cỏch sau: p dng bt ng thc Cauchy ta cú: Kinh nghiệm phát triển lực cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển toán bất đẳng thức Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014 a + a + b3 3a 2b a + b3 + b3 3ab 3(a + b3 ) 3ab(a + b) a + b3 ab( a + b) ng thc xy a = b Nhn xột: Nh vy bi toỏn trờn ta ó chng minh c a + b3 ab(a + b) , vi suy ngh tớch cc giỏo viờn cú th t hng dn hc sinh t t cõu hi: Bi toỏn cú gỡ c bit? Liu bi toỏn cú th phỏt trin c na hay khụng? Cú th tng quỏt húa c bi toỏn ú hay khụng? T kt qu bi toỏn hc sinh cú th suy ngh tng quỏt húa bi toỏn theo cỏc nh hng l: tng quỏt húa theo hng tng bc hoc tng quỏt húa theo hng tng s s hng hay mnh hn na l tng quỏt húa c v nõng bc v s s hng lm c iu ú, trc ht ta cn hng dn cho hc sinh cỏch mũ mm v d oỏn cú ch ớch: Hng th nht: Tng quỏt húa theo cỏch tng dn s m v gi nguyờn s s hng: Nhn xột 1: Ta ó cú: a3 + b3 ab(a + b) , t l nu v trỏi l a n + b n (n>2) thỡ liu ta s cú c kt qu nh th no? - Vi n = ta ó cú kt qu trờn - Vi n = 4, lm tng t nh cỏch bi toỏn thỡ ta nhn thy: p dng bt ng thc Cauchy cho s khụng õm, ta cú: a + a + a + b 4a 3b a + b4 + b + b 4ab3 Cng tng v cỏc bt ng thc cựng chiu, ta c: 4(a + b ) 4ab(a + b ) (a + b ) ab(a + b ) ng thc xy a = b Vy ta cú bi toỏn: Bi 2: Vi a, b l cỏc s khụng õm, chng minh rng: a + b ab(a + b ) - Vi n = 5, ta tip tc bin i theo nh hng nh trờn: p dng bt ng thc Cauchy cho s khụng õm, ta cú: Kinh nghiệm phát triển lực cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển toán bất đẳng thức Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014 a + a5 + a5 + b5 + b5 5a3b2 a + a5 + b5 + b5 + b5 5a 2b3 Cng tng v cỏc bt ng thc cựng chiu, ta c: 5( a + b5 ) 5a 2b (a + b) a + b a 2b ( a + b ) ng thc xy a = b Ta cú bi toỏn 3: Bi 3: Vi a, b l cỏc s khụng õm, chng minh rng: a + b5 a 2b (a + b) - Vi n = p dng bt ng thc Cauchy cho s khụng õm, ta cú: a + a + a + a + b + b 6a 4b a + a + b + b + b + b 6a 2b Cng tng v cỏc bt ng thc cựng chiu, ta c: 6(a + b ) 6a 2b (a + b ) a + b6 a 2b (a + b ) ng thc xy a = b Nờn ta cú bi toỏn nh sau: Bi 4: Vi a, b l cỏc s khụng õm, chng minh rng: a + b a 2b ( a + b ) - Tng t, vi n = 7, n = 8, ta chng minh c cỏc bt ng thc sau: Bi 5: Vi a, b l cỏc s khụng õm, chng minh rng: a + b a 3b3 (a + b) Bi 6: Vi a, b l cỏc s khụng õm, chng minh rng: a + b8 a b ( a + b ) T cỏc kt qu trờn hng chỳng ta ng i n cỏc tng quỏt tht sỏng sa - Vi n l mt s chn, t n = 2k (k N, k>1), thỡ ta cú: - p dng bt ng thc Canchy cho 2k s hng sau: Kinh nghiệm phát triển lực cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển toán bất đẳng thức Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014 a12 k44+2 + a432 k + b12 k4+2 + b32 k 2k a k +1b k k +1so hang k so hang a1 44+2 + a43 + b1 4+2 + b32 k 2k a k 1b k +1 2k 2k k so hang 2k k +1 so hang Cng tng v cỏc bt ng thc cựng chiu, ta cú: 2k (a k + b 2k ) 2k (a k +1.b k + a k 1.b k +1 ) a k + b k (a k +1.b k + a k 1.b k +1 ) a k + b k a k 1.b k (a + b ) T ú ta cú tng quỏt 1: Tng quỏt 1: Bi 7: Vi a, b l cỏc s khụng õm, k l s t nhiờn Chng minh rng: a k + b2 k a k 1.b k (a + b2 ) - Vi n l mt s l, t n = 2k+1 (k N, k>1), thỡ ta cú: k +1 k +1 a12 k4+14+2 + a43 + b12 k4+14+2 + b43 (2k + 1).a k +1b k k +1so hang k +1 k so hang k +1 k +1 a1 4+2 + a43 + b1 4+2 + b43 (2k + 1).a k b k +1 k so hang k +1 k +1so hang Cng tng v cỏc bt ng thc cựng chiu, ta cú: (2k + 1).(a k +1 + b k +1 ) (2k + 1).(a k +1.b k + a k b k +1 ) a k +1 + b k +1 (a k +1.b k + a k b k +1 ) a k +1 + b k +1 a k b k (a + b) T ú ta cú tng quỏt 2: Tng quỏt 2: Bi 8: Vi a, b l cỏc s khụng õm, k l s t nhiờn Chng minh rng: a k +1 + b k +1 a k bk (a + b) * Hng th hai: Tng quỏt húa theo cỏch tng s s hng v tng s m S dng cỏch lm tng t nh trờn, ta ỏp dng bt ng thc Cauchy cho bn s khụng õm ta cú: a + a + b4 + c 4a 2bc a + b + b + c 4ab c a + b + c + c 4abc Cng tng v cỏc bt ng thc cựng chiu, ta c: Kinh nghiệm phát triển lực cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển toán bất đẳng thức Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014 4(a + b + c ) 4abc (a + b + c ) a + b + c abc(a + b + c) T ú ta cú bi toỏn mi sau: Bi 9: Cho a, b, c l cỏc s khụng õm Chng minh rng: a + b + c abc(a + b + c) Tng t ta cng d dng chng minh c bi toỏn sau: Bi 10: Cho a, b, c l cỏc s khụng õm Chng minh rng: a + b5 + c5 + d abcd (a + b + c + d ) Nhn xột: Vi nh hng nh trờn li lm ta cú thờm ý tng mi ú l i tỡm bi toỏn tng quỏt ca cỏc bt ng thc ú: Vi cỏch lm tng t, ta thy: p dng bt ng thc Cauchy cho (n+1) s khụng õm ta cú: a1n +1 + a1n +1 + a2 n +1 + + an n +1 (n + 1)a12 a2 an a1n +1 + a2 n +1 + a2 n +1 + + an n +1 (n + 1)a1a2 an a1n +1 + a2 n +1 + + an n +1 + an n +1 (n + 1)a1a2 an Cng tng v cỏc bt ng thc cựng chiu ta c: (n + 1)(a1n +1 + a2 n +1 + a3n+1 + + an n +1 ) (n + 1)a1a2 an (a1 + a2 + + an ) a1n +1 + a2 n+1 + a3n +1 + + an n +1 a1a2 an (a1 + a2 + + an ) Vy t ú ta cú bi toỏn tng quỏt: Tng quỏt 3: Bi 11: Cho a1 , a2 , , an l cỏc s khụng õm Chng minh rng: a1n +1 + a2 n +1 + a3n +1 + + an n +1 a1a2 an (a1 + a2 + + an ) Nhn xột: bi toỏn tng quỏt 3, bc ca tng hng t ln hn s hng t l n v Vy tng quỏt hn nu cho bc ca tng hng t l n, s hng t l m (m, n N, n m) thỡ ta cú c bt ng thc nh th no? p dng bt ng thc cauchy, ta cú a1n + + a1n + a2 n + a3 n + + am n n n ( a1n m ) a2 n am n 42 43 n n m +1 (n m + 1) a1n + a2 n + a3n + + am n na1n m +1.a2 am Kinh nghiệm phát triển lực cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển toán bất đẳng thức Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014 Tng t: a1n + (n m + 1)a2 n + a3 n + + am n na1a2 n m +1.a3 am a1n + a2 n + a3n + + (n m + 1)am n na1.a3 am n m +1 Cng tng v cỏc bt ng thc cựng chiu ta cú: n(a1n + a2 n + + am n ) na1a2 am (a1n m + a2n m + + am n m ) a1n + a2 n + + am n a1a2 am (a1n m + a2 n m + + am n m ) Vy t nhn xột trờn ta cú bi toỏn tng quỏt cho tt c cỏc trng hp trờn Tng quỏt 4: Bi 12: Cho a1 , a2 , , am l cỏc s khụng õm, vi mi n m (m, n N) Chng minh rng: a1n + a2 n + a3n + + am n a1a2 am (a1n m + a2 n m + + an n m ) Nhn xột: Nh vy ta ó tỡm c bi toỏn tng quỏt ca bi toỏn 1, nu thay mi giỏ tr ca n, m v phỏt trin thỡ ta cú th cú c nhiu bi toỏn hay v khú na i vi hc sinh khỏ gii thỡ bi toỏn khụng cú gỡ l quỏ khú, hc sinh cú th t lm m khụng cn n s gi ý ca giỏo viờn Nhng cựng nhỡn li bi toỏn ú chỳng ta thy cũn thờm nhiu m cỏc em cú th khỏm phỏ Bin i mt chỳt ta cú: Vi a, b l cỏc s dng, chỳng ta thy v phi ca bt ng thc l tớch ca cỏc tha s: a, b, (a + b) ( a v b cú vai trũ nh nhau) Bi vy, ta th chia hai v ca bt ng thc (*) cho tha s b, ta c: a + b3 ab(a + b) a3 +b a (a + b) b a3 +b a + ab b Tng t, vi a, b, c dng thỡ: b3 2 + c b + bc c c3 + a c + ac a Cng tng v cỏc bt ng thc cựng chiu, ta c: a b3 c + + ab + bc + ca b c a Kinh nghiệm phát triển lực cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển toán bất đẳng thức 10 Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014 b4 + c4 + d4 bcd(b + c + d) b4 + c4 + d4 + abcd bcd(a + b + c+d) 1 a = b + c + d + abcd bcd (a + b + c + d ) abcd (a + b + c + d ) 4 c4 + d4 + a4 cda(c + d + a) c4 + d4 + a4 + abcd cda(a + b + c + d) 1 b = c + d + a + abcd cda (a + b + c + d ) abcd (a + b + c + d ) 4 d4 + a4 + b4 dab(d + a + b) d4 + a4 + b4 + abcd dab(a + b + c + d) 1 c = d + a + b + abcd dab(a + b + c + d ) abcd (a + b + c + d ) 4 Cng tng v ca cỏc bt ng thc trờn ta chng minh c bi toỏn 1 1 + 4 + + 4 4 4 a + b + c + abcd b + c + d + abcd c + d + a + abcd d + a + b + abcd abcd 4 Nhn xột: Tng t ta cng s a c bi toỏn tng quỏt hn vi n s dng a 1, a2, a3, , an Bi 28: Vi n s dng a1, a2, a3 an 1 1 + n + + n n n n a + a + + a n + a1 an a + + a n + a1 an a n + + a n + a1 an a1.a2 an n n Chng minh: Ta cú: a1n + a2n + + ann1 a1.a2 an1 (a1 + a2 + + an ) a1n + + ann1 + a1.a2 an a1.a2 an (a1 + a2 + + an ) a + + a n n n + a1 an an = a1 an (a1 + + an ) a1 an (a1 + + an ) a2n + a3n + + ann a2 a3 an (a2 + a3 + + an ) a2n + a3n + + ann + a1.a2 an a2 a3 an (a1 + a2 + + an ) 1 a1 = n a + a + + a n + a1 an a2 a3 an ( a1 + a2 + + an ) a2 an (a1 + + an ) n n ann + a1n + + ann an a1 an (an + a1 + + an ) ann + a1n + + ann2 + a1 an an a1 an (an + a1 + + an ) an 1 = n a + a + + an + a1.a2 an an a1.an (a1 + a2 + + an ) a1.a2 an (a1 + a2 + + an ) n n n Kinh nghiệm phát triển lực cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển toán bất đẳng thức 21 Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014 Cng v vi v ta cú iu cn chng minh 1 1 + n + + n n n n a + a + + a n + a1 an a + + a n + a1 an a n + + a n + a1 an a1.a2 an n n Nhn xột: c bit húa bi toỏn 26 trng hp abc = 1, ta cú bi toỏn mi: Bi 29: Cho a, b, c l ba s dng v abc = Chng minh rng: 1 + 3 + 3 a + b + b + c + c + a3 + ( H Thy Li nm 1999) Nhn xột: T bi 29, thay i hỡnh thc ca bi toỏn trờn bng bi toỏn tỡm giỏ tr ln nht nh nht ca biu thc ta cú bi toỏn hay: Bi 30: Cho x, y, z l ba s dng v xyz = Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc: A= 1 + 3 + 3 x + y + y + z + z + x3 + ( thi HSG tnh Ngh An - Bng A nm hc 2009 2010) Thot u nhỡn vo bi toỏn thỡ hc sinh cha th cú nh hng gii c nú Nhng nu da vo nhng mt xớch trờn thỡ vic gii bi toỏn ú s khụng cũn khú khn na Nhn xột: T mt bt ng thc cho trc ta cú khỏ nhiu cỏch bin i to mt bt ng thc mi v phng phỏp i bin l mt vớ d Vic thay i bin s bng cỏc hm s n gin ó lm bi tr nờn khú hn vỡ ó che du i bn cht tht ca bi toỏn K thut i bin cng khú thỡ cng khú c tỡm Gi nu tip tc ta th t x = a3 , y = b3 , z = c3 ta li cú bi toỏn mi: Bi 31: Cho x, y, z l cỏc s thc dng v xyz = Chng minh rng: 1 + + x + y +1 y + z +1 z + x +1 õy l mt bi toỏn nhỡn rt gn gng v p, nhng li khụng cho ta ý tng gii c bi toỏn Vỡ vic i bin ó lm che du i bn cht ca bi toỏn Nhng nu ta t x = a3, y = b3, z = c3 thỡ ta s a c v bi toỏn 29 Nhn xột: Vi a, b, c l cỏc s dng, nu cng vo hai v ca bt phng trỡnh (*) vi (b3 ) thỡ ta cú: a + b3 ab(a + b) a + b3 a 2b + ab a a 2b + ab b3 Kinh nghiệm phát triển lực cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển toán bất đẳng thức 22 Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014 2a a3 + a 2b + ab b3 2a 2a3 + 2ab a 2b b3 (a + ab 2a 2b) 2a (2a b)( a + b ) a (a b) m a(a b)2 2a (2a b)(a + b ) a3 2a b b = a 2 a +b 2 Tng t ta cú: b3 c b 2 b +c c a c 2 a +c Cng tng v cỏc bt ng thc cựng chiu ta cú: a3 b3 c3 a +b+c + + 2 2 2 a +b b +c c +a T ú ta cú bi toỏn mi: Bi 32: Cho a, b, c l ba s dng Chng minh rng: a3 b3 c3 a +b+c + + 2 2 2 a +b b +c c +a Hng dn: Cỏch 1: a + b3 ab(a + b) a + b3 a 2b + ab a a 2b + ab b3 2a a3 + a 2b + ab b3 2a 2a3 + 2ab a 2b b3 (a + ab 2a 2b) 2a (2a b)( a + b ) a (a b) M a (a b) 2a (2a b)(a + b ) a3 2a b b = a 2 a +b 2 Tng t ta cú: b3 c c3 a b ; c 2 2 b +c a +c Kinh nghiệm phát triển lực cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển toán bất đẳng thức 23 Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014 Cng tng v cỏc bt ng thc cựng chiu ta cú: a3 b3 c3 a +b+c + + 2 2 2 a +b b +c c +a Cỏch 2: Tuy nhiờn nhỡn vo bi toỏn ta d dng cú suy ngh tỏch biu thc a3 a + b2 s dng bt ng thc Cauchy, ta cú: a3 a (a + b ) ab ab ab b = =a a =a 2 2 a +b a +b a +b 2ab Tng t: b3 c b 2 b +c c a c 2 a +c Cng tng v ba bt ng thc cựng chiu, ta cú kt qu cn chng minh ng thc xy a = b = c Nhn xột: T kt qu bi toỏn trờn nu ta cho a + b + c = 3, ú ta cú bi toỏn mi: Bi 33: Cho a, b, c l cỏc s thc dng v a + b + c = Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: P= a3 b3 c3 + + a + b2 b2 + c c + a ( thi HSG tnh Ngh An nm hc 2011 2012) Hng dn: Ta cú: a + b3 ab(a + b) a + b3 a 2b + ab a a 2b + ab b3 2a a3 + a 2b + ab b3 2a 2a3 + 2ab a 2b b3 (a + ab 2a 2b) 2a (2a b)( a + b ) a (a b) m a(a b)2 2a (2a b)(a + b ) Kinh nghiệm phát triển lực cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển toán bất đẳng thức 24 Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014 a3 2a b b = a 2 a +b 2 Tng t ta cú: b3 c b 2 b +c c a c 2 a +c Cng tng v cỏc bt ng thc cựng chiu ta cú: a3 b3 c3 a+b+c P= + 2+ 2 a +b b +c c +a P Du bng xy a = b = c = Vy giỏ tr nh nht ca P = ti a = b = c = Nhn xột: Vi a, b > 0, ta cú: a + b3 ab(a + b) a ab(a + b) b3 a a 2b + ab b3 3a 2a3 + 2a 2b + 2ab2 a 2b ab b3 3a (a + ab + b )(2a b) a3 2a b 2 a + ab + b Lý lun tng t ta cú: b3 2b c 2 b + bc + c 3 c 2c a 2 a + ac + c Cng tng v cỏc bt ng thc cựng chiu ta cú: a3 b3 c3 a+b+c + + 2 2 2 a + ab + b b + bc + c c + ca + a Ta cú bi toỏn 34: Bi 34: Cho a, b, c l cỏc s thc dng Chng minh rng: a3 b3 c3 a+b+c + + 2 2 2 a + ab + b b + bc + c c + ca + a Bng cỏc cỏch bin i ta cú th tỡm c nhiu bi toỏn mi rt hay, vớ d nh: Kinh nghiệm phát triển lực cho học sinh thông qua việc khai 25 thác, phát triển toán bất đẳng thức Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014 Bi 35: Cho a, b, c l ba s dng Chng minh rng: a2 b2 c2 a+b+c + + b + 3c c + 3a a + 3b Bi 36: Cho a, b, c l ba s dng Chng minh rng: a3 b3 c3 a + b2 + c + + a + ab + b b + bc + c c + ca + a a+b+c Bi 37: Cho a, b, c l ba s dng Chng minh rng: a b3 c 3(a + b + c ) + + bc ca ab a +b+c Bi 38: Cho a, b, c l ba s dng Chng minh rng: a b3 c + + a+b+c bc ca ab ( thi olympic toỏn canaa nm 2002) Vi bi toỏn ban u chỳng ta ó tỡm c bi toỏn tng quỏt, v c mi giỏ tr ca n, m thỡ ta cú c nhiu bi toỏn mi v hay, v nh vo bi toỏn tng quỏt ta cng cú th gii c nhiu bi toỏn khú m nu my mũ theo cỏch khỏc thỡ s rt phc v cú th s b tc Vớ d nh ta cú th dng bi toỏn 2: Vi a, b l cỏc s khụng õm, chng minh rng: a + b ab(a + b ) (**) gii c nhiu bi toỏn hay cỏc toỏn thi hc sinh gii cng nh thi vo THPT chuyờn chn: Bi 39: Cho hai s dng a, b Chng minh rng a a b + b b a a +b Hng dn: Bt ng thc cn chng minh tng ng vi a + b a b (a + b) õy chớnh l bt ng thc (**) cho hai s dng chng minh a v b nờn ta c iu phi Bi 40: Chng minh rng a + b + c a bc + b ac + c ab Trong ú a, b, c l ba s thc khụng õm Hng dn: Kinh nghiệm phát triển lực cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển toán bất đẳng thức 26 Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014 p dng bt ng thc (**) ta cú a4 + b4 a3b + ab3 b4 + c4 b3c + bc3 a4 + c4 a3c + ac3 Cng v vi v cỏc bt ng thc trờn ta c: 2(a4 + b4 + c4) a3(b + c) + b3(a + c) + c3(a + b) (1) Mt khỏc ỏp dng bt ng thc Cụ si cho hai s khụng õm ta cú a3(b + c) + b3(a + c) + c3(a + b) 2a bc + 2b ac + 2c ab (2) T (1), (2) suy iu phi chng minh ng thc xy v ch a = b = c Bi 41: Cho ba s dng a, b, c Chng minh rng: 2 a b c a b c + + + + b c a b c a Hng dn: bi toỏn ny cha th ỏp dng dng ca bt ng thc (**) nờn ta cú th a v dng ú nh th no? a +1 p dng bt ng thc (**) ta cú b a a + b b b b b +1 + c c c c a +1 c c + a a Cng v vi v cỏc bt ng thc trờn ta c 2 a b c + + +3 b c a 3 a b c a b c + + + + + b c a b c a Mt khỏc ỏp dng bt ng thc Cụsi ta cú 3 a b c + + b c a 2 a b c a b c ữ + ữ + ữ + + ữ ữ ữ ữ ữ ữ (1) b c a b c a v ỏp dng kt qu Bi ta c: Kinh nghiệm phát triển lực cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển toán bất đẳng thức 27 Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014 a a a a a +1 = + ữ + ữ ữ ữ b b b b b b b b b b + + = + ữ ữ ữ ữ c c c c c c c c c c + + = + ữ ữ ữ ữ a a a a a 3 a b c a b c a b c + + +3 + + + + + ữ ữ ữ ữ ữ ữ b c a b c a b c a M a b c + + b c a 3 a b c a b c ữ ữ + c ữ ữ + a ữ ữ b+c+a b 2 (2) a b c a b c T (1), (2) suy ra: + + + + b c a b c a ng thc xy v ch a = b = c Bi 42: Chng minh rng: x 16 + y 16 y 16 + z 16 z 16 + x 16 + 12 + 12 x4 + y4 + z4 12 12 12 12 x +x y +y y +y z +z z +z x +x ú x, y, z l ba s thc dng Hng dn: p dng bt ng thc (**) ta cú (x ) + ( y ) 4 4 x12 y + x y 12 x16 + y 16 x12 y + y 12 x + x16 x16 + y 16 x ( x12 + x y + y 12 ) x16 + y 16 12 x4 12 x +x y +y Tng t: y 16 + z 16 z 16 + x16 y , 12 z4 12 12 12 y +y z +z z +z x +x Cng v vi v cỏc bt ng thc ta c iu phi chng minh ng thc xy v ch x = y = z Kinh nghiệm phát triển lực cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển toán bất đẳng thức 28 Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014 Bi 43: Cho a, b, c l ba s thc dng Chng minh rng: (a 1 + b + c ) + + 3(a + b + c ) a b c Hng dn: p dng bt ng thc: a5 + b5 + c5 abc(a2 + b2 + c2) Mt khỏc ỏp dng bt ng thc Cauchy cho ba s dng ta cú 1 + 3+ 3 abc a b c 1 ( a5 + b5 + c5 ) + + ữ 3(a + b + c ) a b c ng thc xy v ch a = b = c Nhn xột : T bi toỏn 6, a + b5 a 2b (a + b) (a, b l cỏc s dng), nu giỏo viờn bit hng dn hc sinh nhỡn nhn khai thỏc bi toỏn c bn trờn thỡ ta li cú mt bi toỏn mi Bi 44: Cho a, b, c l ba s dng v abc = Chng minh rng: ab bc ca + 5 + 5 a + b + ab b + c + bc c + a + ca ( thi toỏn quc t ln th 37 nm 1996) Hng dn: Ta cú: a + b a b ( a + b) a + b5 + ab a 2b (a + b) + ab 1 5 2 a + b + ab a b (a + b) + ab Do ú: ab ab c2 abc c ì = = ( thay abc = 1) 5 2 2 2 a + b + ab ab + a b (a + b) c a b c (a + b) + abc a +b +c Lớ lun tng t: bc a b + c + bc a + b + c ac b 5 a + c + ac a + b + c Cng cỏc bt ng thc cựng chiu, ta c: Kinh nghiệm phát triển lực cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển toán bất đẳng thức 29 Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014 ab bc ac c a b + 5 + 5 + + =1 a + b + ab b + c + bc a + c + ac a + b + c a + b + c a + b + c Du =xy a =b =c = Cỏc bi tng t: Bi 45: Cho ba s dng a, b, c Chng minh rng: a + b + c abc ( a + b + c ) Bi 46: Cho a, b, c l ba s dng v a2 + b2 + c2 = Chng minh rng: a3 + b3 + c3 a + b + c Bi 47: Cho a, b, c, d l nhng s thc dng Chng minh rng a2 b2 c2 d a b c d + + + + + + b2 c2 d a2 b c d a Bi 48: Cho a1, a2,,an l cỏc s thc dng (n 3, n N) Chng minh rng: (a n a + a + + a n 1 n a + + a n a1 + a3 + + a n n n + a + + a n n + n + + n + + + a1 a2 an an n a1 a ) Bt ng thc bi toỏn l mt bt ng thc quen thuc v d chng minh Nhng cỏc bt ng thc c phỏt trin t nú thỡ khụng phi hc sinh no cng dng tỡm li gii Rt nhiu bi trờn c xut hin nhiu cỏc kỡ thi hc sinh gii v thi vo THPT, bi vy nu cỏc em cha c nh hng thỡ s rt khú khn gp cỏc dng bi ny Trong thc t ging dy tụi ch ỏp dng bi dng hc sinh gii v cỏc em rt ho hng vi dng bi nh vy, cỏc em t tin hn gp cỏc bi v bt ng thc v cỏc bi liờn quan Mc dự õy l loi toỏn rt rng v khú nhng tụi mun a th sc cỏc em nhm phỏt huy ht tim lc m cỏc em cú, ngoi nú cũn giỳp ớch cỏc em rt nhiu vo cỏc bc hc cao hn Nh vy t mt bi toỏn n gin ban u ta ó sỏng to c nhiu bi toỏn mi vi nhiu gúc khỏc giỳp hc sinh phỏt trin c t sỏng to v cỏc em bit nhỡn nhn mt bi toỏn theo nhiu nh hng mi m Tt nhiờn ta cũn cú th phỏt trin bi toỏn trờn theo nhiu nh hng khỏc na nhng thi gian cú hn phm vi ti ny tụi ch xin nờu mt s nh hng nh trờn Rt mong c bn bố ng nghip gúp ý v b sung ti c phỏt trin hn Kinh nghiệm phát triển lực cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển toán bất đẳng thức 30 Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014 PHN III KT LUN HIU QU CA TI: Sau nghiờn cu v ỏp dng ti tụi nhn thy hc sinh t c nhng hiu qu rt ỏng khớch l : Kinh nghiệm phát triển lực cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển toán bất đẳng thức 31 Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014 - Hc sinh cú ý thc hn, cn thn hn,trỡnh by li gii bi toỏn khoa hc cht ch hn - Hc sinh rt hng thỳ v ti ca tụi, cỏc em ó nm c h thng kin thc v bt ng thc mt cỏch vng chc - Khụng cũn cm thy s gp bi toỏn v bt n thc na - Cỏc em ó cú nh hng suy ngh tỡm tũi sỏng to cỏi mi - Bit cỏch chuyn mt bi toỏn khú a v cỏc bi toỏn n gin (Bi toỏn gc) gii v ú chớnh l chỡa khúa cho cỏc em lm c rt nhiu bi toỏn khỏc - Cỏch suy ngh, nh hng hc toỏn ó cú s thay i mt cỏch tớch cc - Cỏc em ó cú phng phỏp hc mt cỏch ch ng tớch cc sỏng to - To c s hng thỳ nim say mờ hc toỏn cho cỏc em NHN NH V CCH P DNG SNG KIN KINH NGHIM V KH NNG M RNG TI: - SKKN c ỏp dng cho i tng l hc sinh khỏ gii cp THCS v cú th c hc sinh THPT - Cú th c thc hin quỏ trỡnh dy thờm, bi dng hc sinh gii, ụn yhi vo lp 10 THPT - Khi tin hnh ỏp dng ti chỳng ta nờn hng dn hc sinh gii bi toỏn gc theo nhiu cỏch nhỡn nhn m rng bi toỏn, tng quỏt húa, c bit húa, lt ngc , - T bi toỏn gc sỏng to cỏc bi toỏn mi theo nhiu hng khỏc nh quỏ trỡnh bin i tng ng, i bin - Hng dn cho hc sinh cỏch quy l v quen bit bin i bt ng thc cng knh phc v bt ng thc n gin hn, quen thuc hn - Cỏc bt ng thc rt a dng v phng phỏp nhỡn cú v khú nhng thc cht nu ta bit hng i ti cú th c ỏp dng dy hc bt ng thc núi riờng v c b mụn toỏn núi chung BI HC KINH NGHIM V XUT: Giỏo viờn cung cp kin thc vng chc cho hc sinh Khi gii cỏc bi toỏn (Bi toỏn gc) thng gii theo nhiu cỏch khỏc Nhỡn nhn bi toỏn gc theo nhiu gúc khỏc nhau: tng quỏt húa, c bit húa, xột tớnh tng t, lt ngc sỏng to bi toỏn ú thnh nhiu bi toỏn khú hn Kinh nghiệm phát triển lực cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển toán bất đẳng thức 32 Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014 Rốn luyn cho hc sinh gp bi toỏn thỡ cú thúi quen nghiờn cu biõn ch khụng n thun l gii quyt yờu cu ca bi toỏn Giỳp hc sinh bit cỏch gp mt bi toỏn khú nờn tỡm cỏch a nú v cỏc bi toỏn gc bng cỏch bin i tng ng hoc l i bin V mt li khuyờn nh nh toỏn hc G.Pụlya ó núi Gii bi toỏn l mt ngh thut c thc hnh ging nh bi li, trt tuyt hay chi n vy Cú th hc c ngh thut ú, ch cn bt chc theo nhng mu mc ỳng n v thng xuyờn thc hnh Nhng xin nh rng: Nu bn mun bi thỡ hóy mnh dn nhy xung nc, cũn nu bn mun hc gii toỏn thỡ hóy bt tay vo gii i Bng nhng kinh nghim rỳt sau nhiu nm ging dy cng nh bi dng hc sinh gii, cựng vi s giỳp tn tỡnh ca t chuyờn mụn, ca ban Giỏm Hiu nh trng v Phũng giỏo dc tụi ó hon thnh ti Kinh nghim phỏt trin nng lc t duy, úc sỏng to v to hng thỳ hc toỏn cho hc sinh thụng qua vic khai thỏc, phỏt trin mt bi toỏn cho hc sinh lp 8, Trờn õy l mt vớ d minh ho cho phng phỏp dy hc rốn luyn nng lc t ca hc sinh thụng qua vic khai thỏc mt bi toỏn v bn thõn cng ó rỳt mt s kinh nghim thc hin phng phỏp ny Tuy nhiờn cỏch trỡnh by ti khụng trỏnh nhng thiu sút rt mong cỏc cp chuyờn mụn cỏc ng nghip gúp ý, b sung ti c hon thin hn Tụi xin chõn thnh cm n! TI LIU THAM KHO Gii bng nhiu cỏch cỏc bi toỏn bt ng thc Tỏc gi: Nguyn c Tn 23 Chuyờn gii 1001 bi toỏn s cp Tỏc gi: Nguyn Vn Vnh Kinh nghiệm phát triển lực cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển toán bất đẳng thức 33 Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014 Mt s phng phỏp chng minh bt ng thc i s Tỏc gi: Phm Trng Th Tuyn chn bi thi hc sinh gii toỏn THCS Tỏc gi: Lờ Hng c Sỏng to bt ng thc Tỏc gi: Phm Kim Hựng MC LC PHN I T VN 1 Lí DO CHN TI a C s lớ lun b C s thc tin 2 MC CH NGHIấN CU 3 NHIM V NGHIấN CU PHNG PHP NGHIấN CU Kinh nghiệm phát triển lực cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển toán bất đẳng thức 34 Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014 IM MI CA TI .4 CU TRC CA TI Phn I: t PHN II: NI DUNG .31 PHN III KT LUN 31 HIU QU CA TI: 31 NHN NH V CCH P DNG SNG KIN KINH NGHIM V KH NNG M RNG TI: .32 BI HC KINH NGHIM V XUT: 32 TI LIU THAM KHO 33 1.Gii bng nhiu cỏch cỏc bi toỏn bt ng thc 33 Tỏc gi: Nguyn c Tn 33 2.23 Chuyờn gii 1001 bi toỏn s cp 33 MC LC 34 Kinh nghiệm phát triển lực cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển toán bất đẳng thức 35 [...]... a2 , a3 an 1 1 1 1 + n + + n n n n a + a 2 + + a n 1 + a1 an a 2 + + a n + a1 an a n + + a n 2 + a1 an a1 .a2 an n 1 n Chng minh: Ta cú: a1 n + a2 n + + ann1 a1 .a2 an1 (a1 + a2 + + an 1 ) a1 n + + ann1 + a1 .a2 an a1 .a2 an 1 (a1 + a2 + + an ) 1 a + + a n 1 n n 1 + a1 an an 1 = a1 an 1 (a1 + + an ) a1 an (a1 + + an ) a2 n + a3 n + + ann a2 a3 an (a2 + a3 + + an ) a2 n + a3 n + + ann + a1 .a2 ... an ) a2 n + a3 n + + ann + a1 .a2 an a2 a3 an (a1 + a2 + + an ) 1 1 a1 = n a 2 + a 3 + + a n + a1 an a2 a3 an ( a1 + a2 + + an ) a2 an (a1 + + an ) n n ann + a1 n + + ann 2 an a1 an 2 (an + a1 + + an 2 ) ann + a1 n + + ann2 + a1 an an a1 an 2 (an + a1 + + an ) an 1 1 1 = n a + a + + an 2 + a1 .a2 an an a1 .an 2 (a1 + a2 + + an ) a1 .a2 an (a1 + a2 + + an ) n n n 1 Kinh nghiệm phát... ììì+ an 1n a1 .a2 an-1 (a1 + a2 + + an-1) a1 n + a2 n + ììì+ an 1n a1 + a2 + + a1 .a2 an 1 an-1 a2 n + a3 n + ììì+ an n a2 .a3 an (a2 + a3 + + an) a2 n + a3 n + ììì+ an n a2 + a3 + + an a2 a3 an an n + a1 n + ììì+ an 2 n an .a1 an-2(an + a1 + + an-2) an n + a1 n + ììì+ an 2 n an + a1 + + an a1 an 2 an-2 Cng tng v ca cỏc bt ng thc trờn, ta c iu cn chng minh a1 n + a2 n + ììì+ an 1n a2 n + a3 n... + a 4 d 4 + a 4 + b4 + + + 3 ( ab + bc + cd + da ) abc bcd cda dab Du = xy ra khi a = b = c = d Nhn xột: Vi cỏch lm tng t, ta li tng quỏt h a cho bi toỏn dng ny: Bi toỏn 21Vi n s dng a1 , a2 , a3 , ., an Chng minh: a1 n + a2 n + ììì+ an 1n a2 n + a3 n + ììì+ an n a n + a1 n + ììì+ an 2 n + + ììì+ n a1 .a2 an 1 a2 a3 an an a1 an 2 (n-1)( a1 a2 + a2 a3 + + an 1an + an a1 ) Hng dn: Ta cú: a1 n + a2 n + ììì+ an... Chng minh rng: a3 b3 c3 a +b+c + + 2 2 2 2 2 2 a +b b +c c +a 2 Hng dn: Cỏch 1: a 3 + b3 ab (a + b) a 3 + b3 a 2b + ab 2 a 3 a 2b + ab 2 b3 2a 3 a3 + a 2b + ab 2 b3 2a 3 2a3 + 2ab 2 a 2b b3 (a 3 + ab 2 2a 2b) 2a 3 ( 2a b)( a 2 + b 2 ) a (a b) 2 M a (a b) 2 0 2a 3 ( 2a b) (a 2 + b 2 ) a3 2a b b = a 2 2 a +b 2 2 Tng t ta cú: b3 c c3 a b ; c 2 2 2 2 b +c 2 a +c 2 Kinh nghiệm phát... 2014 2a 3 a3 + a 2b + ab 2 b3 2a 3 2a3 + 2ab 2 a 2b b3 (a 3 + ab 2 2a 2b) 2a 3 ( 2a b)( a 2 + b 2 ) a (a b) 2 m a( a b)2 0 2a 3 ( 2a b) (a 2 + b 2 ) a3 2a b b = a 2 2 a +b 2 2 Tng t ta cú: b3 c b 2 2 b +c 2 3 c a c 2 2 a +c 2 Cng tng v cỏc bt ng thc cựng chiu ta cú: a3 b3 c3 a +b+c + + 2 2 2 2 2 2 a +b b +c c +a 2 T ú ta cú bi toỏn mi: Bi 32: Cho a, b, c l ba s dng Chng minh rng: a3 ... dng a, b, c, d Chng minh a 4 + b 4 + c 4 b4 + c 4 + d 4 c 4 + d 4 + a 4 d 4 + a 4 + b4 + + + 3 (a + b + c + d ) abc bcd cda dab Nhn xột: Vi cỏch lm tng t v da vo bi toỏn tng quỏt 3, ta cú bi toỏn tng quỏt hn: Vi n s dng a1 , a2 , a3 , ., an Chng minh: a1 n + a2 n + ììì+ an 1n a2 n + a3 n + ììì+ an n an n + a1 n + ììì+ an 2 n + + ììì+ (n 1) (a1 + a2 + + an) a1 .a2 an 1 a2 a3 an an a1 an 2 Chng minh: a1 n + a2 ... c a c 2 2 a +c 2 Cng tng v cỏc bt ng thc cựng chiu ta cú: a3 b3 c3 a+ b+c P= 2 + 2 2+ 2 2 2 a +b b +c c +a 2 3 P 2 Du bng xy ra khi a = b = c = 1 Vy giỏ tr nh nht ca P = 3 ti a = b = c = 1 2 Nhn xột: Vi a, b > 0, ta cú: a 3 + b3 ab (a + b) a 3 ab (a + b) b3 a 3 a 2b + ab 2 b3 3a 3 2a3 + 2a 2b + 2ab2 a 2b ab 2 b3 3a 3 (a 2 + ab + b 2 )( 2a b) a3 2a b 2 2 a + ab + b 3 Lý lun tng t ta cú:... ììì+ an n a n + a1 n + ììì+ an 2 n + + ììì+ n (n 1) (a1 + a2 + + an) a1 .a2 an 1 a2 a3 an an a1 an 2 Du bng xy ra khi a1 =a2 = =an Nhn xột: Ta d dng chng minh c bt ng thc 2 (a + b + c) 2 ab + 2 bc + 2 ca v kt hp vi bi toỏn 17, ta cú c bt ng thc cht hn nh sau: a 3 + b3 b 3 + c 3 c 3 + a 3 + + 2 ab + 2 bc + 2 ca ab bc ca Bi 19: Vi a, b, c l cỏc s dng, chng minh rng: a 3 + b3 b 3 + c 3 c 3 + a 3 + + 2 ab... ììì+ an 1n a2 n + a3 n + ììì+ an n a n + a1 n + ììì+ an 2 n + + ììì+ n (n 1) (a1 + a2 + + a1 .a2 an 1 a2 a3 an an a1 an 2 an) = (n-1)( a +a a1 + a2 a2 + a3 + + ììì+ n 1 ) 2 2 2 (n-1)( a1 a2 + a2 a3 + + an 1an + an a1 ) Kinh nghiệm phát triển năng lực cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển một bài toán bất đẳng thức 15 Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014 Nh vy, qua cỏc phộp