MỘT số BIỆN PHÁP GIÚP học SINH TIỂU học GIẢI các bài toán tính nhanh MỘT số BIỆN PHÁP GIÚP học SINH TIỂU học GIẢI các bài toán tính nhanh MỘT số BIỆN PHÁP GIÚP học SINH TIỂU học GIẢI các bài toán tính nhanh MỘT số BIỆN PHÁP GIÚP học SINH TIỂU học GIẢI các bài toán tính nhanh
Trang 1MỘT SỐ BIỆN PHÁP GIÚP HỌC SINH TIỂU HỌC GIẢI CÁC BÀI
TOÁN TINH NHANH
1 Biện pháp 1: Giúp học sinh hiểu “tính nhanh” là gì? Muốn tính nhanh ta phải làm gì?
Mục tiêu: Học sinh biết tính nhanh là gì? Và làm thế nào để làm được bài toán
dạng tính nhanh?
- Tính nhanh là gì?
Tính nhanh là dạng tính toán đòi hỏi phải vận dụng toàn bộ các hiểu biết về số học của mình Huy động tối đa “sức nhớ” của bộ não để tìm ra kết quả bài toán một cách nhanh nhất Như vậy khả năng tính nhanh là khả năng lựa chọn và thực hiện cách tính tối ưu trong nhiều cách tính có thể có của một phép tính hoặc dãy tính
- Muốn tính nhanh được chúng ta phải làm gì?
Muốn tính nhanh ta phải vận dụng một cách linh hoạt và khéo léo tính chất của các phép tính, nắm vững cấu tạo thập phân của số và nhớ được (ở mức độ thuộc lòng) kết quả nhiều phép tính đặc biệt
Muốn tính nhanh ta phải thực hiện “trong óc” những phép biến đổi khác nhau để đưa phép tính hoặc dãy tính về một dạng mới đơn giản và dễ dàng thực hiện hơn
- Tác dụng của tính nhanh: Thông qua “tính nhanh” học sinh sẽ được rèn luyện nhiều về mặt tư duy, trí thông minh, óc sáng tạo và khéo léo
2 Biện pháp 2: Nhận dạng các bài toán “ tính nhanh”
Mục tiêu: Để giải đúng và nhanh các bài toán học sinh phải phân biệt được dạng
toán
a Dạng thứ nhất: “ Tính nhanh” dựa vào tính chất của phép tính đã học
* Tính chất giao hoán
a + b = b + a và a x b = b x a
Trang 2* Tính chất kết hợp
(a + b) + c = a +(b + c) và ( a x b) x c = a x( b x c)
* Nhân với 1 và chia cho 1
a x 1 = 1 x a = a; a : a = 1 và a: 1 = a ( a? 0)
* Cộng và nhân với 0
a + 0 = a và a x 0 = 0
* Nhân một số với 1 tổng, nhân một số với 1 hiệu
a x (b + c) = a x b + a x c
a x (b- c) = a x b - a x c
* Một tổng, một hiệu chia cho 1 số
( a + b) : c = a : c + b : c ( a - b) : c = a : c - b : c (c > 0)
* Một số trừ đi một tổng
a - ( b + c) = a - b - c
b Dạng thứ hai: “ Tính nhanh” dựa vào quy luật đặc biệt của cặp số hoặc dãy
số
c Dạng thứ ba: “ Tính nhanh” dựa vào các quy tắc nhân, chia nhẩm như:
- Nhân chia nhẩm với 10; 100; 1000……
- Nhân nhẩm với 11
- Nhân nhẩm với 0,1; 0,01; 0,001……
- Nhân nhẩm với 0,25; 0,5……
d Dạng thứ tư: “ Tính nhanh” kết hợp nhiều dạng khác nhau
Sau khi phân dạng bài toán, học sinh xác định các phương pháp để giải toán
3 Biện pháp 3: Hướng dẫn học sinh vận dụng kiến thức, áp dụng vào giải
các bài tập theo từng dạng cụ thể
Trang 3Bước 1: Đọc đề và nắm yêu cầu đề bài
Bước 2: Nhận dạng và lựa chọn những kiến thức đã biết để áp dụng vào giải tính Bước 3: Tiến hành giải bằng cách tính tối ưu
Bước 4: Kiểm tra lại kết quả sau khi thực hiện
a Dạng thứ nhất
Bài toán 1: Tính nhanh: 131 + 85 + 115 + 469 (SGK Toán 4)
Khi gặp bài toán này thì nhiều học sinh đã thực hiện theo thứ tự phép tính, không biết vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học nên vẫn được kết quả đúng nhưng lại sai
so với yêu cầu của bài Ta hướng dẫn học sinh như sau:
Bước 1: Học sinh đọc kĩ đề và xác định yêu cầu của đề bài là gì? (tính nhanh) Bước 2: Xác định dạng toán và lựa chọn những kiến thức đã học để giải toán
Đây là dãy tính có nhiều số hạng mà 2 số hạng khác nhau có thể tạo thành những số tròn trăm, tròn nghìn Do đó với bài toán này ta phải sử dụng tính chất giao hoán và tính chất kết hợp của phép cộng để giải
Bước 3: Lựa chọn phương pháp tối ưu để thực hiện giải bài toán
Hướng dẫn giải: Để tính nhanh dược dãy tính trên chúng ta phải làm gì?
Giao hoán và kết hợp các số hạng 131+ 469; 85 + 115 lại với nhau để được số tròn trăm
131 + 85 +115 + 469 = (131 + 469) + ( 85 + 115) = 600 + 200 = 800
Bước 4: Kiểm tra kết quả sau khi làm bài
Bài tập tự luyện Bài 1: Tính bằng cách thuận tiện nhất
a 96 + 78 + 4 b 799 + 285 + 1
Trang 4Bài 2: Tính bằng cách thuận tiện nhất
a
17
5 17
19 17
Hướng dẫn: Đối với bài 2 thì kết hợp phân số (hoặc số thập phân) để được số
tự nhiên
Bài 3: Tính bằng cách thuận tiện nhất
a 98 + 3 + 97 + 2 b 364 + 136 + 219 + 181
96 + 399 + 1 + 4 178 + 277 + 123 + 422
Bài 4: Tính bằng cách thuận tiện nhất
Bài toán 2: Tính bằng cách hợp lý nhất
0,18 x 1230 + 0,9 x 1567 x 2 + 3 x 5310 x 0,6 Nhận xét: ở bài toán 2 kiến thức đã được nâng cao hơn ở bài toán 1, đó là biểu thức kết hợp hai phép tính
Bước 1: Bài toán yêu cầu chúng ta làm gì? (Tính bằng cách hợp lý nhất - tính
nhanh)
Bước 2: Xác định dạng toán và lựa chọn những kiến thức đã biết để giải toán
? Muốn tính nhanh chúng ta phải làm như thế nào?
? Hãy xác định cách tính đặc biệt trong biểu thức này? (ở đây học sinh phải phát hiện được các kết quả của phép nhân bằng cách tính nhẩm)
0,9 x 2 = 1,8 0,6 x 3 = 1,8 0,18 x 10 = 1,8
Để có 0,18 x 10= 1, 8 ta đã lấy 10 ở đâu ra? (tách số 1230 thành 2 thừa sốt: 1230= 123 x 10)
? Đến đây chúng ta nên vận dụng tính chất nào để tính? (Nhân 1 số với 1 tổng)
Bước 3: Thực hành tính
Trang 50,18 x 1230 + 0,9 x 1567 x 2 + 3 x 5310 x 0,6
= ( 0,18 x 10) x 123 + (0,9 x 2) x 156 + (3 x 0,6) x 5310
= 1,8 x 123 + 1,8 x 1567 + 1,8 x 5310
= 1,8 x (123 + 1567 +5310)
= 1,8 x 7000
= 12600
Bước 4: Kiểm tra lại kết quả sau khi thực hiện xong phép tính
Một số bài tập tương tự:
Bài 1:
Tính bằng cách thuận tiện nhất:
137 x 3 + 137 x 7 428 x 12 – 428 x 2
94 x 12 + 94 x 88 537 x 39 – 537 x 29 Bài 2: Tính bằng cách thuận tiện nhất
302 x 16 + 302 x 4 769 x 85 – 769 x 75 Bài 3:
Tính bằng cách thuận tiện nhất:
a 9,3 x 6,7 + 9,3 x 3,3 b 7,8 x 0,35 + 0,35 x 2,2
Lưu ý:
- Vận dụng các tính chất của phép tính để tính nhanh, không hoàn toàn dựa theo thứ tự thực hiện phép tính
- Nếu những bài toán không cụ thể thì có thể linh hoạt tách một số thành các số hạng (hoặc các thừa số) mà khi ghép với các số hạng (thừa số) khác của biểu thức cho
ta kết quả “đặc biệt” vận dụng cho bài toán
b Dạng thứ hai : Tính nhanh dựa vào quy luật của cặp số hoặc dãy số đặc biệt
* Các cặp số có kết quả đặc biệt
Trang 625 x 4 = 100 a x 111 = aaa
* Các dãy số có quy luật đặc biệt
Cách tìm quy luật của dãy số
Bước 1: Quan sát số đầu (hoặc số cuối) ; kết hợp các kĩ năng nhân, chia, cộng, trừ để tìm mối quan hệ chung (quy luật giữa các số)
Bước 2: Thử dùng mối quan hệ chung đó để tìm ra các số còn lại
- Nếu trùng giữa các số cuối (số đầu) của đề toán thì kết luận quy luật của dãy
số
- Nếu không trùng với các số cuối (số đầu ) của đề toán thì phải tìm lại
Các quy luật dãy số thường gặp
- Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng trước nó cộng hoặc trừ với một số tự nhiên
Ví dụ: 1; 3; 5; 7; 9……; 15
- Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng trước nó nhân (hoặc chiah) với một số tự nhiên khác 0
Ví dụ: 2; 4; 8; 16; 32; …
- Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 3) bằng tổng hai số hạng đứng trước nó
Ví dụ: 1; 3; 4; 7; 11; 18;…
Đối với dãy số có quy luật sau:
Trang 7Số bất kì = số liền trước nó + a (a là khoảng cách) thì:
+ Số các số hạng = (số hạng cuối - số hạng đầu) : khoảng cách a + 1
(Với dãy số tăng dần) + Số các số hạng = (số hạng đầu – số hạng cuối) : khoảng cách a + 1
(Với dãy số giảm dần) + Tổng dãy số = (số đầu + số cuối) x (số các số hạng: 2) + Số hạng thứ n = số đầu + khoảng cách a x (n – 1)
(Với dãy số tăng dần) + Số hạng thứ n = số đầu – khoảng cách a x ( n- 1)
Lưu ý: Với dãy số tự nhiên ta có thể nhận ngay ra khoảng cách của dãy số
Nhưng với dãy số thập phân có nhiều dãy số chưa phát hiện ngay được khoảng cách giữa các số thì chúng ta cần phải phân đoạn và thử từng đoạn số xem khoảng cách có giống nhau hay không?
Ví dụ: Tính tổng
0,1 + 1,2 + 0,3 + 0,4 +…+ 0,8 + 0,9 + 0,10 + 0,11 + 0,12 + 0,13 +…+ 0,19
Nhận xét: Dãy số gồm 2 đoạn số hạng có khoảng cách riêng biệt:
- Từ 0,1+ 0,2 + 0,3 + 0,4 + ….+ 0, 9 là đoạn số cách đều 0, 1 nên khoảng cách
của đoạn này là 0,1
- Từ 0,10 + 0,11 + 0,12 + 0,13 + 0,14+…+ 0, 19 là đoạn số cách đều khoảng cách 0,01 (vì 0,11- 0,10= 0,12- 0,11= 0,13- 0,12= ….= 0,19- 0,18= 0,01) Do đó với dạng toán này phải tính tổng của 2 đoạn số rồi cộng lại
Bài toán 1: Tính tổng
1 + 2 + 3 +… + 10 (Toán 4)
Bước 1: Xác định đề
Trang 8? Bài toán yêu cầu chúng ta làm gì? (tính tổng dãy số)
Bước 2: Xác định dạng toán và lựa chọn kiến thức đã học để giải
? Hãy nhận xét về dãy số trên?
? Tìm quy luật của dãy số đó?
Đây là dãy số tăng dần và cách đều, ta áp dụng quy luật của dãy cách đều để giải
Bước 3: Lựa chọn phương pháp
? Hãy nhận xét về dãy số trên?
Nhận xét: 2-1 = 3- 2 = 4 – 3 = … = 10- 9 = 1
Vậy dãy số trên là dãy số cách đều có khoảng cách là 1
Số các số hạng là: ( 10 – 1) : 1 + 1 = 10 (số)
Vậy tổng của dãy số đó là: ( 1 + 10) x (10 : 2) = 55
Bước 4: Kiểm tra lại
Bài tập tương tự :
Tính tổng dãy số sau: 11,13 + 13,15 + 15,17 + 17,19 +….+ 29,31+ 31,33
Bài toán 2: Cho dãy số 1,1; 2,2; 3,3; 4,4…
Hãy tính tổng của 100 số hạng đầu tiên
Nhận xét: Bài toán 2 đã được mở rộng hơn so với bài toán 1 ở chỗ: Bài toán 2 chưa có dãy số đầy đủ, để tính được tổng của bài toán này học sinh phải phát hiện ra quy luật của dãy số, từ đó tìm ra số ở số hạng thứ 100
Bước 1: Đọc và xác định yêu cầu của đề
(Cho dãy số… tính tổng của 100 số hạng đầu tiên)
Bước 2: Xác định dạng toán và lựa chọn kiến thức đã biết để giải
? Để tính được nhanh bài toán này ta phải làm gì? (Tìm số hạng thứ 100)
? Dựa vào đâu để tìm được số hạng thứ 100? (Dựa vào cách tính số hạng thứ n)
Trang 9n= số đầu + khoảng cách x (n – 1) Bước 3: Lựa chọn phương pháp tối ưu để giải
? Hãy tìm khoảng cách của dãy số trên? Nêu quy luật của dãy số
Nhận xét: 2,2 - 1,1 = 3,3 - 2,2 = ……= 1,1
Dãy số trên là dãy số có khoảng cách 1,1
Số hạng thứ 100 của dãy số là:
1,1 + 1,1 x ( 100- 1) = 110
Dãy số trên được viết đầy đủ là:
1,1; 2,2; 3,3….; 108,9; 110
Tổng của dãy số trên là:
( 110 + 1,1) x (100: 2) = 5555
Bước 4: Kiểm tra lại kết quả trong quá trình tính toán xem có bị sai hoặc nhầm không?
c Dạng thứ 3: “ Tính nhanh” dựa vào quy tắc tính nhẩm và các dấu hiệu chia
hết (yêu cầu học sinh phải hiểu và thuộc lòng)
Kiến thức cần ghi nhớ:
* Phép nhân
- Nhân nhẩm với 10; 100; 1000…
- Nhân nhẩm với 11
- Muốn nhân một số với 0, 5 ta lấy số đó chia cho 2
- Muốn nhân một số với 0, 25 ta lấy số đó chia cho 4
- Muốn nhân một số với 0, 4 ta lấy số đó nhân với 10 rồi chia cho 25
- Muốn nhân một số với 2, 5 ta lấy số đó nhân với 10 rồi chia cho 4
- Muốn nhân một số với 0,1; 0,01; 0, 001… ta chia số đó cho 10 ; 100; 1000…
Trang 10- Tích của 2 thừa số không thay đổi nếu ta tăng thừa số này lên bao nhiêu lần và giảm thừa số kia bấy nhiêu lần
* Phép chia
Trong phép chia số thập phân, nếu ta cùng tăng (hoặc cùng giảm) số bị chia và
số chia cùng một số lần thì thương không thay đổi
- Muốn chia một số cho 0, 5 ta nhân số đó với 2
- Muốn chia một số cho 0, 25 ta nhân số đó với 4
- Muốn chia một số cho 0,1; 0,01; 0, 001… ta nhân số đó với 10; 100; 1000…
Hướng dẫn một số bài cụ thể
Bài toán1: Tính nhanh
0,25 x 0,75 x 32 Bước 1: Đọc và xác định yêu cầu đề bài
Bước 2: Xác định dạng toán và kiến thức đã biết để tìm cách giải
- Quy tắc nhân nhẩm với 0,25
- Tính chất giao hoán của phép nhân Bước 3: Lựa chọn phương pháp tối ưu để giải toán
? Em có nhận xét gì về biểu thức trên? (Nếu giao hoán các số 32 và 0,75 thì chúng ta có 0,25 x 32 x 0,75 , mà 0,25 x 32 = 32 : 4; sau đó tách 0,75 thành hai thừa số
là 3 và 0,25 thì bài toán sẽ được tính bằng cách nhanh nhất
Học sinh tự làm bài
0,25 x 0,75 x 32 = ( 0,25 x 32) x 0,75
= 32 : 4 x 0,25 x 3
= 8 x 3 x 0,25
= 24 : 4 = 6 Bước 4: Kiểm tra lại kết quả bài làm
Bài toán 2: Tính nhanh
Trang 11
002 , 0 4200
10 : 20 25 , 0 16 5 , 0 8
,
4
Bước 1: Đọc và xác định yêu cầu đề bài (Tính nhanh)
Bước 2: Xác định dạng toán và vận dụng kiến thức đã biết để tìm cách giải
(Tính nhanh biểu thức dãy số thập phân dưới dạng một phân số)
Bước 3: Lựa chọn phương pháp tối ưu để giải toán
002 , 0 4200
10 : 20 25 , 0 16 5 , 0 8
,
4
=
4 , 8
2 4 : 16 2 : 8 ,
4 (Vận dụng tính chất nhân nhẩm với 0,5; 0,25)
=
4 , 8
2 4 4 ,
2
=
4 , 8
4 , 8 = 1 Bước 4: Kiểm tra lại kết quả
d Dạng thứ 4: Tính nhanh kết hợp nhiều dạng khác nhau
Bài toán 1: Tính bằng cách hợp lý nhất
59 57
5 3 1
30 25
, 0 1 , 0 8 20 5
, 0 50
Bước 1: Đọc đề, xác định yêu cầu của đề: Tính bằng cách hợp lý nhất (tính nhanh)
Bước 2: Xác định dạng toán và lựa chọn những kiến thức đã học để giải toán
? Đây là dạng toán gì? Đây là dạng toán tính nhanh kết hợp nhiều dạng toán được thể hiện dưới dạng phân số
Trang 12? Với bài toán này chúng ta nên vận dụng những kiến thức nào đã học để giải toán?
Các kiến thức cần vận dụng là:
+ Các quy tắc nhân nhẩm với: 0,5 ; 0,25 …
+ Cách tính tổng dãy số theo quy luật của dãy số cách đều
Bước 3: Lựa chọn cách tối ưu để giải
Trước hết phân bài toán thành 2 phần
Phần1: Tính tử số và mẫu số (bằng cách hợp lí nhất)
Phần 2: Thực hiện yêu cầu bài toán
* Tính tử số: Gọi tử số là A ta có:
A = 50 - 0,5 x 20 x 8 x 0,1 x 0,25 - 30
A = 50 - 20 : 2 x 8 : 10 x 1: 4 - 30 (áp dụng quy tắc tính nhẩm¸)
A = 50 - 10 x 8: 10 : 4 - 30 (Thứ tự thực hiện phép tính)
A = 50 - 80 : 10 : 4 – 30
A = 50 - 2 - 30 = 18
* Tính mẫu số: Gọi mẫu số là B ta có:
B = 1 + 3 + 5 +… + 57 + 59
Nhận xét: 3 – 1 = 5 – 3 = … = 59 – 57= 2 Vậy đây là dãy số cách đều có khoảng cách là 2
Số các số hạng của dãy là: (59 – 1) : 2 + 1 = 30 (số )
Tổng của dãy số đó là: ( 59 + 1) : (30 : 2) = 900
Vậy
59 57
5 3 1
30 25 , 0 1 , 0 8 20 5 , 0 50
100
2 900
18
B A
Bước 4: Học sinh kiểm tra lại kết quả
Bài toán 2: Tính nhanh
Trang 1314 28 18 36
42 84 46 92 50 100
99 9 3 3 26 74 9 25 25 , 1 04 , 0 8 , 0
B
A
Ta có:
A= 0,8 x 0,04 x 1,25 x 25+ 9 x 74 +26 x3 x3 -9 x99
A= ( 0,8 x 1,25) x ( 0,04 x 25) + 9 x 74 +26 x9 – 9 x99
A= 1 x 1 + 9 x ( 74 + 26 – 99)
A= 1+ 9 x 1= 10
Mặt khác:
B = 100 – 50 + 92 – 46 + 84- 42 +… + 36 – 18 + 28- 14
B = 50 + 46 + 42 +… + 18 + 14
Nhận xét:
50 – 46 = 46 – 42 = …= 18- 14 = 4
Vậy B là dãy số giảm dần cách đều với khoảng cách là 4
Số các số hạng là: ( 50 – 14) : 4 + 1= 10 (số)
Tổng dãy số B là: ( 50 + 14) x (10 : 2)= 320
Vậy
32
1 320
10
B A
Bước 4: Kiểm tra kết quả và cách tính
Lưu ý: ở dạng toán này học sinh phải biết chia bài toán gốc thành những bài
toán nhỏ, sau đó áp dụng những kiến thức đã học để giải quyết từng bài toán nhỏ
Bài toán 3B: Tính bằng cách nhanh nhất
( 791,81 x 0,25 + 792,81 x 0,75) x ( 11 x 9 – 900 x 0,1 – 9)
Lưu ý: Với dạng toán này sau khi chia bài toán gốc thành nhiều bài toán nhỏ ta nên chọn các biểu thức có phép tình trừ (hoặc chia) xen giữa để tính trước vì những biểu thức này thường có kết quả đặc biệt
Vận dụng các bước để tính bài toán này