Luật hợp thành...88 Nhận xét: Khi có sự thay đổi đối tượng trong phạm vi nhỏ thì bộ điều khiển PID mờ vẫn điều chỉnh hệ thống khá tốt.. Đáp ứng của hệ thống với bộ điều khiển PID mờ ....
Trang 1NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN
Chữ kí của giáo viên hướng dẫn
Trang 2Hưng Yên, ngày tháng năm 2009
Trang 3NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ CỦA GIÁO VIÊN PHẢN BIỆN
Chữ kí của giáo viên phản biện
Trang 4Hưng Yên, ngày tháng năm 2009
Trang 5LỜI NÓI ĐẦU
Trong sự nghiệp giáo dục của nước ta hiện nay, mục tiêu là giáo dục và đào tạo ra những con người có đủ đức đủ tài, có văn hóa, có kỹ năng kỹ xảo nghề nghiệp và có thái độ ứng xử tốt, phục vụ tốt cho sự nghiệp công nghiệp hóa hiện đại hóa - xây dựng nước nhà Để đạt được mục đích đó thì thế hệ trẻ, đặc biệt là sinh viên phải luôn chủ động tìm hiểu nghiên cứu và ứng dụng những thành tựu khoa học mới, cùng những nhu cầu, ứng dụng thực tế cấp thiết của nền công nghiệp nước nhà
Là những sinh viên năm cuối, được làm đồ án tốt nghiệp là cơ hội cho chúng em tìm hiểu thêm về kiến thức thực tế, củng cố những kiến thức đã học, nhóm chúng em
đã được nghiên cứu về đề tài: “ Nghiên cứu, khảo sát và so sánh các luật điều khiển cho mô hình điều khiển nhiệt độ bằng Matlab và Simulink ”.
Đề tài của chúng em được chia ra thành 4 chương:
– Chương 1: Giới thiệu chung về lò nhiệt
– Chương 2: Điều khiển ổn định nhiệt độ lò nhiệt bằng bộ điều khiển PID
– Chương 3: Điều khiển ổn định nhiệt độ lò nhiệt bằng luật điều khiển mờ
– Chương 4: Kết luận và kiến nghị
Nhờ có sự hướng dẫn tận tình của cô giáo ThS Nguyễn Thị Luyến, cùng các thầy
cô trong khoa đã tạo điều kiện giúp đỡ để chúng em hoàn thành đồ án này Tuy nhiên, do trình độ còn hạn chế nên không tránh khỏi những thiếu sót Chúng em rất mong được sự chỉ bảo tận tình của các thầy cô và các bạn
Chúng em xin chân thành cảm ơn!
Trang 6MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU 5
MỤC LỤC 6
CHƯƠNG 1 GIỚI THIỆU CHUNG VỀ LÒ NHIỆT 15
1.1 Cấu tạo lò nhiệt .15
1.1.1 Vỏ lò 15
1.1.2 Lớp lót 16
1.1.3 Dây nung 17
1.2 Nguyên lý làm việc của lò nhiệt 18
1.2.1 Nguyên lý làm việc 18
1.2.2 Tổn thất nhiệt trong lò 19
1.3 Các đặc điểm của lò nhiệt 19
1.4 Các yêu cầu cơ bản về lò nhiệt 19
1.5 Các phương pháp điều chỉnh lò nhiệt 20
1.5.1 Phương pháp dùng máy biến áp .20
1.5.2 Phương pháp dùng rơle 20
1.5.3 Phương pháp dùng rơle kết hợp với Thysistor .20
1.5.4 Phương pháp dùng hai Thysistor mắc song song ngược 20
1.5.5 Phương pháp dùng triac 21
1.6 Nhận dạng đối tượng 21
1.6.1 Phương pháp lý thuyết 21
1.6.2 Phương pháp thực nghiệm chủ động 21
CHƯƠNG 2: ĐIỀU KHIỂN NHIỆT ĐỘ LÒ NHIỆT BẰNG BỘ ĐIỀU KHIỂN PID 26
2.1 Luật điều khiển PID 26
2.2 Các phương pháp tổng hợp tham số của bộ PID 29
Trang 72.2.1 Phương pháp Ziegler – Nichols 31
2.2.1.1 Phương pháp Ziegler – Nichols thứ nhất 31
2.2.1.2 Phương pháp Ziegler – Nichols thứ hai 33
2.2.2 Phương pháp Chien – Hrones – Reswick 34
2.2.3 Phương pháp tổng T của Kuhn 36
2.2.4 Phương pháp tối ưu độ lớn 38
2.2.5 Phương pháp tối ưu đối xứng 43
2.2.6 Phương pháp Halman: 50
2.2.7 Phương pháp dự báo Smith: 50
2.2.8 Phương pháp tối ưu theo sai lệch bám 51
2.3 Thiết kế bộ PID kinh điển điều khiển đối tượng lò nhiệt 53
2.3.1 Khảo sát đối tượng khi chưa có bộ điều khiển 53
2.3.2 Phương pháp Ziegler-Nichols thứ nhất 54
2.3.3 Phương pháp Ziegler – Nichols thứ hai 55
2.3.4 Phương pháp Chien – Hrones – Reswick 57
2.3.5 Phương pháp tổng T của Kuhn 58
2.3.6 Phương pháp Halman 59
2.3.7 Phương pháp dự báo Smith 60
61
CHƯƠNG 3 ĐIỀU KHIỂN NHIỆT ĐỘ LÒ NHIỆT BẰNG LUẬT ĐIỀU KHIỂN MỜ 66
A TỔNG QUAN VỀ BỘ ĐIỀU KHIỂN MỜ 66
3.1 Mở đầu 66
3.2 Khái niệm về tập mờ 67
3.2.1 Khái niệm cơ bản 67
Trang 867
3.2.3 Độ cao, miền xác định và miền tin cậy của tập mờ 68
3.2.4 Biến ngôn ngữ 68
3.2.5 Các phép toán trên tập mờ 70
3.3 Luật hợp thành 70
3.3.1 Mệnh đề hợp thành 70
3.3.2 Luật hợp thành mờ 71
3.3.3 Thuật toán thực hiện luật hợp thành cho hệ SISO 73
3.3.4 Thuật toán thực hiện luật hợp thành cho hệ MISO 74
74
3.3.5 Thuật toán xác định luật hợp thành kép max- Min, max- PROD 75
3.3.6 Thuật toán xác định luật hợp thành sum - MIN và sum-PROD 76
3.4 Các phương pháp giải mờ (rõ hoá) 77
3.4.1 Phương pháp cực đại 77
3.4.2 Phương pháp điểm trọng tâm 80
3.5 Các khâu điều khiển mờ 81
3.6 Nguyên lý điều khiển và phương pháp tổng hợp bộ điều khiển mờ 82
3.6.1 Nguyên lý và cấu trúc của một hệ thống điều khiển 82
3.6.2 Trình tự thiết kế bộ điều khiển mờ 84
3.7 Phân loại các bộ điều khiển mờ 84
B THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN PID MỜ CHO ĐỐI TƯỢNG LÒ NHIỆT .85
3.8 Cơ sở lí thuyết 85
3.8.1 Sơ đồ điều khiển và mô hình toán học của bộ PID mờ 85
3.8.2 Luật chỉnh định PID .86
Trang 93.9.2 Các biến ngôn ngữ 87
3.9.3 Luật hợp thành 88
Nhận xét: Khi có sự thay đổi đối tượng trong phạm vi nhỏ thì bộ điều khiển PID mờ vẫn điều chỉnh hệ thống khá tốt Đây chính là một ưu điểm nổi bật của bộ điều khiển PID mờ so với bộ điều khiển PID kinh điển 110
C THIẾT KẾ BỘ PI MỜ ĐIỀU KHIỂN ĐỐI TƯỢNG 111
3.10 Thiết kế bộ điều khiển PI mờ 111
3.10.1 Xác định thông số của bộ điều khiển bằng phương pháp tối ưu độ lớn111 3.10.2 Thiết kế bộ điều khiển PI mờ với Kr = const, thay đổi Ti 111
3.10.3 Thiết kế bộ điều khiển PI mờ giữ nguyên Ti=const, thay đổi Kr 122
D ƯU ĐIỂM CỦA BỘ ĐIỀU KHIỂN MỜ 132
CHƯƠNG 4: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 143
4.1 Các kết quả đã thực hiện được trong đề tài 143
4.2 Hướng phát triển của đề tài 143
4.3 Kiến nghị 144
Trang 10DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 1.1 Mặt cắt ngang của lò nhiệt 15
Hình 1.2 Nguyên lý hoạt động 18
của lò nhiệt 18
Hì nh 1.3 Đườ ng đặ c tí nh gầ n đú ng củ a đố i tượ ng 22
Hình 1.4 Giao diện thu thập dữ liệu lò nhiệt 24
Hình 2.1 Sơ đồ khối bộ điều khiển PID 26
Hình 2.2 Sơ đồ khối bộ điều khiển P 27
Hình 2.3 Sơ đồ khối bộ điều khiển PD 27
Hình 2.4 Sơ đồ khối bộ điều khiển PI 28
Hình 2.5 Sơ đồ khối bộ điều khiển PID 28
Hình 2.6 Sơ đồ nguyên lý điều khiển với bộ điều khiển PID 29
Hình 2.7 Nhiệm vụ của bộ điều khiển PID 31
Hình 2.8 Xác định tham số của bộ PID theo Ziegler – Nichols thứ nhất
32
Hình 2.9 Xác định hằng số tới hạn 33
Hình 2.10 Đáp ứng quá độ của đối tượng 34
Hình 2.11 Quan hệ giữa diện tích và tổng hằng số thời gian 37
Hình 2.12 Sơ đồ khối hệ thống điều khiển kín 38
Hình 2.13 Thiết kế bộ điều khiển PID theo phương pháp tối ưu đối xứng 43
Hình 2.14.Giảm độ quá điều chỉnh bằng bộ tiền xử lý 49
Hình 2.15 Sơ đồ khối hệ thống điều khiển PID theo phương pháp dự báo Smith 51
Hình 2.16 Sơ đồ khối hệ thống điều khiển PID theo phương pháp sai lệch bám 51
Hình 2.17 Đáp ứng của đối tượng khi chưa có bộ điều khiển 53
Hình 2.18 Đáp ứng của hệ thống với bộ PID theo Ziegler-Nichols thứ nhất 54
Hình 2.19 Đáp ứng của hệ thống khi tại giá trị Kth 55
Hình 2.20 Đáp ứng của hệ thống với bộ điều khiển PID 56
Trang 11theo Ziegler – Nichols thứ hai 56
Hình 2.21 Đáp ứng của hệ thống với bộ PID theo Chien – Hrones – Reswick 57
Hình 2.22 Đáp ứng của hệ thống với bộ PID theo phương pháp tổng T
58
Hình 2.23 Đáp ứng của hệ thống với bộ PID theo Halman 59
Hình 2.24 Đáp ứng của hệ thống với bộ PID theo dự báo Smith 60
Hình 2.25 Đáp ứng của hệ thống với bộ PID theo Chien – Hrones – Reswick 62
khi có nhiễu đầu tác động vào đầu vào 62
Hình 2.26 Đáp ứng của hệ thống với bộ PID theo Chien – Hrones – Reswick 63
khi có nhiễu tác động vào đối tượng 63
Nhận xét: Khi có nhiễu tác động vào đối tượng thì hệ thống dao động mạnh xung quanh giá trị ổn định Hay nói cách khác, bộ điều khiển không còn điều khiển được hệ thống 63
Hình 2.27 Đáp ứng của hệ thống với bộ PID theo Chien – Hrones – Reswick 64
khi có nhiễu tác động vào bộ điều khiển 64
Hình 3.1 Miền xác định và miền tin cậy của một tập mờ 68
Hình 3.2 Ví dụ minh họa hàm thuộc 69
Hình 3.3.Bộ điều khiển mờ với quy tắc Max-Min 72
Hình 3.4 Giá trị rõ y’ không phụ thuộc vào đáp ứng vào 78
của luật điều khiển quyết định 78
Hình 3.5 Giá trị rõ y’phụ thuộc vào đáp ứng vào 79
của luật điều khiển quyết định 79
Hình 3.6 Giá trị rõ y’ phụ thuộc tuyến tính với đáp ứng vào 79
của luật điều khiển quyết định 79
Hình 3.7 Giá trị rõ y’ là hoành độ của điểm trọng tâm 80
Hình 3.8 Xác định giá trị rõ theo phương pháp điểm trọng tâm khi miền giá trị của tập mờ không liên thông 81
Hình 3.9 Cấu trúc bên trong của bộ điều khiển mờ 81
Trang 12Hình 3.10 Mạch điều khiển với bộ điều khiển mờ 82
Hình 3.11 Sơ đồ điều khiển của bộ PID mờ 85
Hình 3.12 Luật chỉnh định PID 86
Hình 3.13 Các biến ngôn ngữ vào /ra 88
Hình 3.14 Thiết lập dải ET cho chỉnh định Kp 89
Hình 3.15 Thiết lập dải DET cho chỉnh định Kp 90
Hình 3.16 Thiết lập dải Kp 90
Hình 3.17 Bốn chín luật hợp thành chỉnh định Kp 93
Hình 3.18 Đường đặc tính đầu ra của bộ điều khiển PID mờ 93
chỉnh định Kp 93
Hình 3.19 Đường đặc tuyến ra của bộ điều khiển PID mờ 94
chỉnh định Kp 94
Hình 3.20 Thiết lập dải ET cho chỉnh định KD 94
Hình 3.21 Thiết lập dải DET cho chỉnh định KD 95
Hình 3.22 Thiết lập dải KD 95
Hình 3.23 Bốn chín luật hợp thành cho chỉnh định KD 98
Hình 3.24 Đường đặc tuyến đầu ra của bộ điều khiển PID mờ 98
chỉnh định KD 98
Hình 3.25 Đường đặc tính đầu ra của bộ điều khiển mờ PID 99
chỉnh định KD 99
Hình 3.26 Thiết lập dải ET cho chỉnh định KI 99
Hình 3.27 Thiết lập dải DET cho chỉnh định KI 100
Hình 3.28 Thiết lập dải KI 100
Hình 3.29 Bốn chín luật hợp thành cho chỉnh định KI 103
Hình 3.30 Đặc tính ra của bộ điều khiển PID mờ 103
chỉnh định KI 103
Hình 3.31 Đặc tuyến ra của bộ điều khiển PID mờ 104
chỉnh định KI 104
Hình 3.32 Đáp ứng của hệ thống với bộ điều khiển PID mờ 105
Hình 3.33 Đáp ứng của hệ thống với bộ PID mờ 106
khi có nhiễu tác động vào bộ điều khiển 106
Hình 3.34 Đáp ứng của hệ thống với bộ PID mờ 107
Trang 13khi có nhiễu tác động vào đối tượng 107
Hình 3.35 Đáp ứng của hệ thống với bộ PID Mờ 108
khi có nhiễu tác động vào đầu vào 108
Hình 3.36 Đáp ứng của hệ thống với bộ PID mờ 110
khi không xác định chính xác đối tượng 110
Hình 3.37 Sơ đồ khối bộ điều khiển PI mờ chỉnh định Ti 111
Hình 3.38 Thiết lập dải ET cho bộ điều khiển PI mờ chỉnh định Ti 112
Hình 3.39 Thiết lập dải DET cho bộ điều khiển PI mờ chỉnh định Ti 112
Hình 3.40 Thiết lập dải Ti cho bộ điều khiển PI mờ chỉnh định Ti 113
Hình 3.41 Bốn chín luật hợp thành chỉnh định Ti 116
Hình 3.42 Đường đặc tính đầu ra của bộ điều khiển PI mờ 116
chỉnh định Ti 116
Hình 3.43 Đặc tuyến đầu ra của bộ điều khiển PI mờ 117
chỉnh định Ti 117
Hình 3.44 Tín hiệu ra của hệ thống với bộ điều khiển 118
PI mờ chỉnh định Ti 118
Hình 3.45 Đáp ứng của hệ thống với bộ PI mờ chỉnh định Ti 119
khi có nhiễu tác động vào bộ điều khiển 119
Hình 3.46 Đáp ứng của hệ thống với bộ PI mờ chỉnh định Ti 120
khi có nhiễu tác động vào đối tượng 120
Hình3.47 Đáp ứng của hệ thống với bộ PI mờ chỉnh định Ti 121
khi có nhiễu tác động vào đầu vào 121
Hình 3.48 Sơ đồ khối bộ mờ chỉnh định KR 122
Hình 3.49 Thiết lập dải ET cho chỉnh định KR 122
Hình 3.50 Thiết lập dải DET cho chỉnh định KR 123
Hình 3.51 Thiết lập dải Kr cho bộ điều khiển PI mờ chỉnh định KR 123
Hình 3.52 Bốn chín luật hợp thành của bộ điều khiển PI mờ chỉnh định KR 126
Hình 3.53 Đường đặc tính đầu ra của bộ điều khiển PI mờ 127
chỉnh định KR 127
Hình 3.54 Đặc tuyến đầu ra của bộ điều khiển PI mờ 127
chỉnh định KR 127
Trang 14Hình 3.55 Tín hiệu ra của hệ thống với bộ điều khiển PI mờ 128
chỉnh định KR 128
Hình 3.56 Tín hiệu ra của hệ thống với bộ điều khiển PI mờ 129
chỉnh định KR khi có nhiễu tác động vào bộ điều khiển 129
Hình 3.57 Tín hiệu ra của hệ thống với bộ điều khiển PI mờ 130
chỉnh định KR khi có nhiễu tác động vào đầu vào 130
Hình 3.58 Tín hiệu ra của hệ thống với bộ điều khiển PI mờ chỉnh định KR khi có nhiễu tác động vào đối tượng 131
Trang 15CHƯƠNG 1 GIỚI THIỆU CHUNG VỀ LÒ NHIỆT
1.1 Cấu tạo lò nhiệt
Thông thường lò nhiệt cấu tạo bởi ba phần chính là: Vỏ lò, lớp lót, dây nung
+ Đối với các lò nung làm việc với khí bảo vệ, sự cần thiết của vỏ lò là phải hoàn toàn kín Đối với lò bình thường, sự kín của vỏ lò là để giảm tổn thất nhiệt và tránh được sự lùa của không khí vào lò
+ Khung vỏ lò thường cứng, chắc, đủ để chịu được trọng tải của lớp lót, tải lò và các chi tiết cơ khí gắn trên vỏ lò
Vỏ lò sấy có hai dạng cơ bản: Dạng chữ nhật và dạng hình tròn
+ Vỏ lò chữ nhật thường dùng trong các buồng lò băng tải, lò liên tục, lò đáy bước và
lò đáy rung
+ Vỏ lò tròn được dùng trong các lò giếng và lò chụp Vỏ lò tròn chịu được tác dụng bên trong tốt hơn vỏ lò hình chữ nhật cùng một lượng thép làm vỏ lò Khi làm vỏ lò tròn người ta thường chọn độ dầy tương ứng của tấm thép so với đường kính vỏ lò như sau:
Trang 16- Chịu được nhiệt độ cực đại của lò nhiệt.
- Có độ bền nhiệt đủ lớn khi làm việc
- Có độ bền cơ học khi xếp vật nung và đặt thiết bị vận chuyển trong các điều kiện làm việc đặc biệt
- Đảm bảo khả năng gắn dây cung bền và chắc chắn
- Có đủ độ bền hoá học; khi làm việc chịu được tác dụng của khí quyển và vật nung
- Đảm bảo khả năng tổn thất nhiệt cực tiểu Điều này đặc biệt quan trọng trong
Trang 17− Ổn định về tính chất vật lí trong điều kiện làm việc xác định.
− Phần cách nhiệt có thể xây bằng gạch chịu lửa hay điền đầy bằng xỉ, bông, bột amiang
- Chịu được nhiệt độ cao (ít bị oxi hoá ở điều kiện nhiệt độ cao)
- Sức bền cơ học cao (không bị biến dạng ở nhiệt độ cao)
- Điện trở suất lớn
- Hệ số nhiệt điện trở phải nhỏ để khi nhiệt độ thay đổi thì điện trở của dây vẫn ổn định
- Các tính chất dẫn điện phải ổn định hay ít thay đổi
- Các kích thước phải ít thay đổi khi sử dụng
- Dễ gia công, dễ hàn, ép khuôn
- Dây nung kim loại là hợp kim Crôm - nhôm hay Crôm - Niken Thường chế tạo loại tròn hoặc loại băng
- Dây nung phi kim loại: Phổ biến là cácbon – silic (SiC) hay disilic-molipden (MoSi2), graphit và than …
- Dây nung có thể bố trí trên nóc và dưới đáy lò sấy, trên thực tế có thể có nhiều cách bố trí dây nung khác nhau, tuỳ theo yêu cầu kĩ thuật của từng loại lò sấy
Trang 181.2 Nguyên lý làm việc của lò nhiệt
1.2.1 Nguyên lý làm việc
Là dựa trên cơ sở khi có dòng điện
đi qua một dây dẫn hoặc vật dẫn, thì ở
đó sẽ toả ra một lượng nhiệt theo định
luật Junlenxơ:
Q=I2.R.t
Hình 1.2 Nguyên lý hoạt động
của lò nhiệt
Trong đó : Q: Nhiệt lượng tính bằng Jun (J)
I : Cường độ dòng điện Ampe (A)
R : Điện trở ôm (Ω)
t : Thời gian giây (s)
Như vậy R có thể đóng các vai trò sau:
Vật nung: Trường hợp này gọi là nung trực tiếp, ít gặp trong công nghiệp, thường
chỉ dùng khi mà vật nung công suất dạng đơn giản như thiết diện chữ nhật hoặc tròn
Dây nung: Khi dây nung được đốt nóng, nó sẽ truyền nhiệt cho vật nung bằng bức
xạ, đối lưu dẫn nhiệt hay phức tạp hơn, gọi là nung gián tiếp Trường hợp này thường gặp nhiều trong thực tế công nghiệp cho nên nói tới lò nhiệt không thể không đề cập tới vật liệu làm dây nung, bộ phận phát nhiệt của lò
Trang 191.2.2 Tổn thất nhiệt trong lò
Tổn hao nhiệt trong lò là do các nguyên nhân sau đây :
- Do trao đổi nhiệt đối lưu của không khí trong và ngoài lò khi lò không kín
- Do trao đổi nhiệt bức xạ của vỏ lò với môi trường xung quanh
- Do tổn hao nhiệt khi mở cửa lò sấy, khi thay đổi vật nung trong lò
Chính các sự tổn hao này làm cho nhiệt độ trong lò không được ổn định, việc ổn định nhiệt độ lò về bản chất chính là điều chỉnh công suất cung cấp nhiệt cho lò Lò sấy của đồ án này hoạt động ở nhiệt độ 0 - 1000C tức là ở nhiệt độ trung bình, do đó trao đổi nhiệt trong lò chủ yếu là trao đổi nhiệt đối lưu
1.3 Các đặc điểm của lò nhiệt.
- Tạo được nhiệt độ cao
- Thích hợp khi sử dụng trong nhiều yêu cầu khác nhau
1.4 Các yêu cầu cơ bản về lò nhiệt.
- Hợp lí về mặt công nghệ: Cấu tạo của lò nhiệt không những phù hợp với quá trình công nghệ yêu cầu mà còn phải tính đến khả năng sử dụng nó với các quy trình công nghệ khác nếu không làm tăng độ phức tạp trong thiết kế và giá cả không quá cao hơn
- Hiệu quả về kĩ thuật: Là hiệu suất cực đại của kết cấu khi nó có các thông số khác xác định như kích thước, công suất, trọng lượng
- Chắc chắn, tin cậy khi làm việc
- Tiện lợi khi sử dụng
- Rẻ và đơn giản khi chế tạo
- Hình dáng nhỏ gọn, đẹp
Trang 201.5 Các phương pháp điều chỉnh lò nhiệt
1.5.1 Phương pháp dùng máy biến áp
Đây là phương pháp điều chỉnh điện áp theo cấp, nó đòi hỏi biến áp phải có công suất lớn Phương pháp dùng máy biến áp để thay đổi mức điện áp cung cấp cho lò Đây là phương pháp thô sơ, ít dùng trong hệ thống điều khiển tự động
1.5.2 Phương pháp dùng rơle
Phương pháp này có đặc điểm là khống chế mức nhiệt độ, mức điện áp khác nhau Nhưng do rơle chỉ có tác dụng điều khiển ở một số thời điểm nhất định nên điều chỉnh mang tính chất không liên tục Mặt khác, quá trình điều khiển luôn bị dao động, phụ thuộc vào các thời điểm đặt khác nhau, vì thế độ chính xác điều chỉnh không cao, rơle phải đóng ngắt nhiều lần nên độ tin cậy kém Tuy nhiên phương pháp này có ưu điểm: Đơn giản, dễ nối, phù hợp với yêu cầu công nghệ, đòi hỏi độ chính xác không cao
1.5.3 Phương pháp dùng rơle kết hợp với Thysistor
Khi sử dụng phương pháp này thì khả năng điều chỉnh với các phạm vi khác nhau
là tương đối tốt Tuy nhiên phương pháp này không thực hiện được bởi vì khi tiếp điểm của rơle đóng, ta luôn có cả chu kỳ cung cấp cho tải nhưng khi mở nguồn thì cung cấp phía Thysistor bị ngắt, do đó việc cung cấp cho lò chỉ hoàn toàn do Thysistor và như vậy công suất đưa vào cho lò sấy chỉ điều khiển được 1/2 chu kỳ
1.5.4 Phương pháp dùng hai Thysistor mắc song song ngược
Khi có xung điều khiển thì hai Thysistor sẽ lần lượt mở cho dòng đi qua Ta có thể điều khiển cho Thysistor liên tục chuyển từ đóng sang mở tương ứng với công suất của lò thay đổi từ giá trị Min - Max
Phương pháp này cho phép điều chỉnh trong pham vi rộng, đáp ứng yêu cầu điều khiển, độ chính xác điều khiển tương đối cao, độ nhạy và điều chỉnh tương đối lớn,
có khả năng điều chỉnh tương đối liên tục và đều đặn
Trang 211.5.5 Phương pháp dùng triac
Triac có chức năng giống hai Thysistor mắc song song ngược chiều, vì vậy để đơn giản mạch điều khiển công suất ta có thể dùng Triac thay cho hai Thysistor mắc song song ngược
Qua các phương pháp điều khiển lò nhiệt ta thấy phương pháp sử dụng Triac là phù hợp nhất với đề tài đã được giao vì Triac có thể điều khiển liên tục, mạch điều khiển đơn giản hơn
1.6 Nhận dạng đối tượng
1.6.1 Phương pháp lý thuyết
Phương pháp lý thuyết là phương pháp thiết lập mô hình dựa trên các định luật có sẵn về quan hệ vật lý bên trong và quan hệ giao tiếp với môi trường bên ngoài của đối tượng, các quy luật này được miêu tả theo quy luật lý – hóa, quy luật cân bằng… dưới dạng những phương trình toán học
Trong thực tế, người thiết kế thường nhận dạng đối tượng bằng phương pháp thực nghiệm Đối với lò sấy thì có thể dùng hai phương pháp để nhận dạng đối tượng này là phương pháp thực nghiệm và phương pháp lý thuyết Nhưng khi sử dụng phương pháp lý thuyết để xác định hàm truyền của đối tượng thì gặp rất nhiều khó khăn trong việc tổng hợp các khâu động học, và hàm truyền của đối tượng thường không chính xác do hệ thống thường gồm rất nhiều khâu Vì vậy, ta sử dụng phương pháp thực nghiệm sẽ khắc phục được những khó khăn này
1.6.2 Phương pháp thực nghiệm chủ động
Mô hình thực nghiệm của lò sấy
Lò Nhiệt
Trang 22chưa thay đổi ngay, nó phải mất một khoảng thời gian nhất định để biến đổi năng lượng nhiệt thành năng lượng điện và truyền, thời gian này được gọi là thời gian trễ và thời gian này tạo nên khâu trễ của lò.
Nhiệt độ trong lò sẽ tăng dần cho đến khi tỉ lệ với điện áp đặt vào thì lúc này sẽ kết thúc quá trình quá độ Trong quá trình xác lập thì lượng ra là nhiệt độ, luôn tỉ lệ với điện áp đặt vào
ω
Hình 1.3 Đường đặc tính gần đúng của đối tượng
* Tín hiệu vào u(t) = 1(t) là hàm bậc thang đơn vị và theo biến đổi Laplace thì
s
U(S) = 1
Tín hiệu ra của quá trình được mô tả bằng phương trình:
) (
)
y t Trong đó τ là thời gian trễ.
Chuyển phương trình sang dạng toán tử Laplace:
( ) .s. (s)
Trang 23Trong trong đó ( ) ( 1 T )
t
e k
t
f = − − là hàm quá độ của nhiệt độ, được xác
định dựa vào đặc tính gần đúng của đổi tượng Từ đó có ảnh Laplace
)1(1
) (
Ts s k T
s
k s
k
F S
+
=+
−
=
* Vậy tín hiệu ra:
) 1 (
)
(
s T s
k e
k e
s
s T s
k e
1
1
) 1 (
.
.
) (
) ( ) (
Vậy đối tượng là khâu quán tính bậc nhất có trễ
* Cách xác định tham số cho mô hình
Trong đồ án này chúng em lấy đối tượng là mô hình lò nhiệt mà nhóm hai bạn
Nguyễn Thị Hồng và Trịnh Đình Huy (lớp ĐK3K) đã làm trong đồ án tốt nghiệp vào tháng 8 năm 2009.
Sau đây chúng em xin trình bày lại cách xác định tham số cho mô hình mà hai bạn đã làm sử dụng phần mềm LabVIEW
Ta có τ - là thời gian trễ của đối tượng.
Dựa trên (hình 1.3) ta có cách xác định tham số mô hình gần đúng như sau:
1 Kẻ đường tiệm cận với y(t) tại t→ ∞ để có y(∞), sau đó suy ra k =
0
) (
u
y ∞
2 Xác định điểm có tung độ bằng (0,632* y(∞)) của y(t)
3 Hoành độ của điểm vừa xác định đó chính là tham số T cần tìm
Bằng phần mềm LabVIEW giao tiếp với máy tính qua card PCI 1710, ta có giao diện thu thập dữ liệu nhiệt độ từ lò như sau:
Trang 24Hình 1.4 Giao diện thu thập dữ liệu lò nhiệt
Ta có sơ đồ khối thu thập dữ liệu từ lò nhiệt như sau:
Hình 1.5 Sơ đồ khối thu thập dữ liệu lò nhiệt
Từ đặc tính quá độ của đối tượng thu được ở trên, ta thấy đây là khâu quán tính bậc nhất có trễ Từ đây ta đi xác định hàm truyền với mô hình có dạng:
s T
K s
G
.1)(
+
= e− τ S
Trang 25Để xác định được hàm truyền của đối tượng khi biết đường đặc tính trên ta sử dụng phương pháp Ziegler – Nichols thứ nhất:
Ta có τ là khoảng thời gian đầu ra mà h(t) chưa có phản ứng ngay với kích
thích 1(t) tại đầu vào và có giá trị là τ = 50(s).
K là giá trị giới hạn K = y( ∞ )= 90 – 34 = 56
T là khoảng thời gian cần thiết sau τ để tiếp tuyến của h(t) tại điểm τ = 50(s)
đạt được giá trị K Khi đó T = 410 (s)
Vậy đối tượng lò nhiệt có hàm truyền là:
G s 1 410 S
56)
(
+
Trang 26CHƯƠNG 2: ĐIỀU KHIỂN NHIỆT ĐỘ LÒ NHIỆT BẰNG BỘ ĐIỀU
KHIỂN PID
Tên gọi PID là chữ viết tắt của ba thành phần cơ bản có trong bộ điều khiển gồm: Khâu khuếch đại (P), khâu tích phân (I) và khâu vi phân (D) PID là một bộ điều khiển hoàn hảo gồm ba tính chất sau:
- Phục tùng và thực hiện chính xác nhiệm vụ được giao (khâu tỉ lệ)
- Làm việc có tích lũy kinh nghiệm để thực hiện tốt nhiệm vụ (khâu tích phân)
- Luôn có sáng kiến và phản ứng nhanh nhậy với sự thay đổi tình huống trong quá trình thực hiện nhiệm vụ (khâu vi phân)
2.1 Luật điều khiển PID
Bộ điều khiển PID gồm ba quy luật điều khiển
Ki/s Kp
Hình 2.1 Sơ đồ khối bộ điều khiển PID
- Quy luật điều khiển tỷ lệ
- Quy luật điều khiển tích phân
- Quy luật điều khiển vi phân
Từ các quy luật trên thì ta sẽ có các bộ điều khiển sau: Bộ điều khiển P, I, PI, PD, PID
Trang 27(-)
Hình 2.2 Sơ đồ khối bộ điều khiển P
Điều khiển kiểu tỷ lệ cho phép nhanh chóng đạt giá trị yêu cầu nhưng thường có sai lệch Để giảm sai lệch người ta tăng độ lợi K Nhưng K tăng dẫn đến độ quá điều chỉnh δmax tăng và hệ có thể mất ổn định Trong thực tế, việc dung hợp exl và δmax% nhiều khi khó thỏa mãn, người ta phải lựa chọn kiểu điều khiển khác
Quy luật điều khiển tỷ lệ - vi phân (PD)
Trong một hệ thống mà độ quá điều chỉnh quá lớn thì người ta thường thêm khâu điều khiển vi phân Hệ thống điều khiển PD có sơ đồ như sau:
K
H(S)
G(S)r(t)
Hình 2.3 Sơ đồ khối bộ điều khiển PD
Trong đó tín hiệu tác động: u(t) = Ke(t) +Td
Hàm truyền: W(s) = K(1+Td.s)
Nếu độ quá điều chỉnh tăng thì e(t) giảm, <0 nên u(t) giảm nhiều không cho δmax tăng quá lớn Vì vậy điều khiển PD làm cho độ giảm chấn của hệ thống tăng lên, tức là giảm độ quá điều chỉnh nhưng thời gian trễ lại tăng
Trang 28 Quy luật điều khiển tỷ lệ - tích phân (PI)
Để nâng cao độ chính xác của hệ thống, người ta thêm khâu điều khiển tích phân
K
H(S)
G(S)r(t)
Hình 2.4 Sơ đồ khối bộ điều khiển PI
Trong đó tín hiệu tác động: u(t) = Ke(t) + KI
Hàm truyền: W(s) = K(1+T S
I
1)
Khi nào còn sai lệch, thì tín hiệu tác động còn duy trì để làm giảm sai lệch này Điều khiển PI làm cho hệ hữu sai thành vô sai Loại của hệ thống tăng lên nghĩa là bậc của nó cũng tăng lên do đó độ ổn định của hệ kém đi
Quy luật điều khiển PID
Luật điều khiển PID là thuật tính toán tín hiệu điều khiển từ sai số giữa tín hiệu mong muốn và tín hiệu đo được Tín hiệu là tổng của ba thành phần P (tỷ lệ với sai số), I (tích phân của sai số) và D (vi phân của sai số):
Trang 29Trong đó tín hiệu tác động: u(t) = Ke(t) + Td + Ki
Hàm truyền: W(s) = Kp(1+Td.S +T S
I
1)
Quy luật PID là quy luật hoàn hảo nhất, độ tác động nhanh hơn cả quy luật P, nó đáp ứng được hầu hết các yều cầu về chất lượng của các quá trình công nghệ
2.2 Các phương pháp tổng hợp tham số của bộ PID
Bộ điều khiển PID được dử dụng khá rộng rãi để điều khiển đối tượng SISO theo nguyên lý hồi tiếp
Hình 2.6 Sơ đồ nguyên lý điều khiển với bộ điều khiển PID
Lý do bộ điều khiển PID được sử dụng rộng rãi là tính đơn giản của nó về cả cấu trúc lẫn nguyên lý làm việc Bộ PID có nhiệm vụ đưa sai lệch tĩnh e(t) của hệ thống
về không, sao cho quá trình quá độ thỏa mãn yêu cầu cơ bản về chất lượng:
- Nếu sai lệch e(t) càng lớn thì thông qua thành phần up(t), tín hiêu u(t) càng lớn (vai trò khuếch đại kp)
- Nếu sai lệch e(t) chưa bằng không thì thông qua thành phần uI(t), PID vẫn còn tạo tín hiệu điều chỉnh (vai trò của tích phân TI)
Trang 30- Nếu sự thay đổi của sai lêch e(t) càng lớn thì thông qua thành phần uD(t), phản ứng thích hợp của u(t) sẽ càng nhanh (vai trò của thành phần TD)
Bộ điều khiển PID được mô tả bằng mô hình vào- ra:
dt
t de T d e Ti t e k t u
0
) ( )
(
1 ) ( )
(
Chất lượng hệ thống phụ thuộc vào các tham số kp ,TI, TD Muốn cho hệ thống
có chất lượng như mong muốn thì phải phân tích đối tượng, rồi trên cơ sở đó chọn các tham số cho phù hợp Hiện có nhiều phương pháp xác định tham số kp ,TI, TD cho
bộ điều khiển PID, song tiện ích hơn cả trong ứng dụng đó vẫn là:
- Phương pháp Ziegler – Nichols
- Phương pháp Chien – Hrones – Reswick
- Phương pháp tổng T của Kuhn
- Phương pháp tối ưu độ lớn và phương pháp tối ưu đối xứng
- Phương pháp tối ưu theo sai lệch bám
- Phương pháp Hamal
- Phương pháp dự báo Smith
Trang 312.2.1 Phương pháp Ziegler – Nichols
2.2.1.1 Phương pháp Ziegler – Nichols thứ nhất
Trong phương pháp thứ nhất, sử dụng mô hình xấp xỉ quán tính bậc nhất có trễ của đối tượng điều khiển
Ts
ke s S
Ls
+
= −
1)( (2.1)
Phương pháp thực nghiệm này có nhiệm vụ xác định các tham số kp ,TI, TD
cho bộ điều khiển PID trên cơ sở xấp xỉ hàm truyền đạt S(s) của đối tượng thành dạng (2.1), để hệ kín nhanh chóng trở về chế dộ xác lập và độ quá điều chỉnh ∆h
không vượt quá giới hạn cho phép (khoảng 40% so với h∞ =limt→∞h(t)), tức là có
Hình 2.7 Nhiệm vụ của bộ điều khiển PID
Ba tham số L (hằng số thời gian trễ), k (hệ số khuếch đại) và T (hằng số thời gian quán tính) của mô hình xấp xỉ (2.1) có thể xác định gần đúng từ đồ thị hàm quá
độ h(t) của đối tượng Nếu đối tượng có hàm quá độ như dạng (hình a) mô tả thì hàm h(t) đó ta đọc được ngay:
1 L là khoảng thời gian đầu ra chưa có phản hồi ngay với kích thích 1(t) tại đầu vào
2 K là giá trị giới hạn h∞ =limt→∞ h(t)
3 Gọi A là khoảng thời gian trễ tức là điểm trên trục hoành có hoành độ bằng L, khi
đó T là khoảng thời gian cần thiết để tiếp tuyến của h(t) tại A đạt được giá trị k
Trường hợp hàm quá độ không có dạng lý tưởng, có dạng (hình b) thì ba tham số
K, T, L của mô hình toán học (2.1) được xác định như sau:
Trang 32+ K là giá trị giới hạn h∞ =limt→∞ h(t)
+ Kẻ tiếp tuyến của h(t) tại điểm uốn của nó Khi đó L là hoành độ giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành và T là khoảng thời gian cần thiết để đường tiếp tuyến đi được từ giá trị 0 tới giá trị k
Hình 2.8 Xác định tham số của bộ PID theo Ziegler – Nichols thứ nhất
Như vậy ta có thể thấy là điều kiện để áp dụng được phương pháp xấp xỉ mô hình bậc nhất có trễ của đối tượng là phải ổn định, không có dao động và ít nhất hàm quá độ của nó phải có dạng hình chữ S
Sau khi đã có các tham số cho mô hình toán học (xấp xỉ (2.1)) của đối tượng, Ziegler – Nichols đã đề nghị sử dụng các tham số kP, TI, TD cho bộ điều khiển như sau:
* Nếu sử dụng cho bộ điều khiển khuếch đại R(s)=k p thì chọn:
Trang 332.2.1.2 Phương pháp Ziegler – Nichols thứ hai
Phương pháp này có đặc điểm là không sử dụng mô hình toán học, ngay cả mô hình xấp xỉ gần đúng (2.1)
K th điều khiểnĐối tượng
Phương pháp Ziegler – Nichols thứ hai này có nội dung như sau:
1 Thay đổi bộ điều khiển PID trong hệ kín (hình vẽ) bằng bộ khuếch đại, sau đó tăng
hệ số khuếch đại lên tới giá trị kth để hệ kín ở chế độ biên giới ổn định, tức là h(t) có dạng dao động điều hòa Xác định chu kì Tth của dao động
2 Xác định tham số của bộ điều khiển như sau:
( thì chọn: k p =0,45k th và T I =0,85T th
c) Nếu sử dụng bộ PID với R s =k p +T I s+T D s
1 1 )
Trang 342.2.2 Phương pháp Chien – Hrones – Reswick
Về nguyên lý, phương pháp này gần giống phương pháp Ziegler – Nichols, song
nó không sử dụng mô hình tham số (2.1) gần đúng dạng quán tính bậc nhất có trễ cho đối tượng, mà thay vào đó là trực tiếp dạng hàm quá độ của nó
Phương pháp này cũng có giả thiết rằng đối tượng là ổn định, hàm quá độ h(t) không dao động và có dạng hình chữ S như hình b, tức là luôn có đạo hàm không âm:
0)
Hình 2.10 Đáp ứng quá độ của đối tượng
Tuy nhiên, phương pháp này thích ứng với những đối tượng bậc cao như quán
ST
k s
S
)1()(
là khoảng thời gian cần thiết để tiếp tuyến đó đi từ 0 đến giá trị xác lập
)(lim h t
h
k= ∞ = t→∞
Từ dạng của đồ thị h(t) đối với các tham số a, b thỏa mãn, Chien – Hrones – Reswick đã đưa ra bốn cách để xác đinh các tham số của bộ điều khiển cho bốn yêu cầu chất lượng:
Trang 351 Yêu cầu tối ưu theo nhiễu (giảm ảnh hưởng nhiễu) và hệ kín không có độ quá điều chỉnh:
Trang 364 Yêu cầu tối ưu theo tín hiệu đặt trước (giảm sai lệch bám) và hệ thống có độ quá điều chỉnh ∆h không vượt quá 20% so với h∞ =limt→∞ h(t):
2.2.3 Phương pháp tổng T của Kuhn
Trước khi nghiên cứu phương pháp tổng T của Kuhn ta xét định lý về điều kiện tồn tại độ quá điều chỉnh:
Định lý 2.1: Xét hệ pha ổn định SISO có hàm truyền đạt (2.1) và k > 0 Nếu tất cả
các điểm không qk (k = 1,…,m) và điểm cực pi (i = 1,…,n) đều là những số thực âm thì không mất tính tổng quát, ta có thể có giả thiết:
m q
q ≥ ≥
>
0 1 và 0> p1 ≥ ≥ p n (2.2) Khi đó ta có:
a) Nếu đồng thời tất cả m bất đẳng thức sau được thỏa mãn:
m
m p q p q p
q1 < 1, 2 < 2 , < (2.3)Thì hàm quá độ h(t) của hệ đơn điệu tăng, nói cách khác, hệ không có độ quá điều chỉnh
b) Nếu có 1 bất đẳng thức trong số m bất đẳng thức (2.3) không được thỏa mãn thì hàm quá độ của hệ sẽ có đúng 1 điểm cực trị và do đó hệ có độ quá điều chỉnh
Phương pháp tổng T của Kuhn cho đối tượng có hàm truyền đạt:
sT m n m
m
t m t
t
e s T s
T s T
s T s
T s T k s
++
+
++
+
=
)1) (
1)(
1(
)1) (
1)(
1()(
2 1
2 1
(m<n) (2.4)
Trang 37Giả thiết hàm quá độ h(t) của nó có dạng hình chữ S, vậy thì (2.4) thỏa mãn định lý 2.1, tức là các hằng số thời gian ở tử số T j t phải được giả thiết là nó nhỏ hơn hằng số thời gian tương ứng với nó ở mẫu số T j t Nói cách khác, nếu như đã có sự sắp xếp:
t m t
t T T
T1 > 2 ≥ ≥ và m
n m
Hình 2.11 Quan hệ giữa diện tích và tổng hằng số thời gian
Gọi A là diện tích bao bởi đường cong h(t) và k=limt→∞ h(t)
Định lý 2.2: Giữa diện tích A và các hằng số thời gian t
i
T , m j
j
m
j T T T
k kT A
Định lý 2.2 chỉ ra rằng T∑ có thể dễ dàng được xác định từ hàm quá độ h(t) dạng hình chữ S và đi từ 0 của đối tượng là ổn định, không dao động, bằng cách ước lượng diện tích A, rồi tính:
Trang 38Phương pháp này gồm 2 bước như sau:
1) Xác định k, T∑ , có thể từ hàm truyền đạt S(s) cho (2.4) nhờ đinh lý 2.2 và công thức 2.5, hoặc bằng thực nghiệm từ hàm quá độ h(t) đi từ 0 và có dạng hình chữ S của đối tượng theo (2.5)
2.2.4 Phương pháp tối ưu độ lớn
Một trong những yêu cầu về chất lượng đối với hệ thống điều khiển kín mô tả bởi hàm truyền đạt G(s):
)7.2(1)(
SR
SR s
G
+
=
R(s) S(s)(-)
e(t) u(t)
Hình 2.12 Sơ đồ khối hệ thống điều khiển kín
Là hệ thống luôn có được đáp ứng y(t) giống như tín hiệu nhận được ở đầu vào )
(t
ω tại mọi tần số, hoặc ít ra thời gian quá độ để y(t) bám được vào ω(t) càng gần càng tốt Nói cách khác, bộ điều khiển lý tưởng R(s) cần phải mang đến cho hệ thống khả năng:
1 ) (jω =
G với mọi ω (2.6) Nhưng trong thực tế, vì nhiều lý do mà yêu cầu thỏa mãn 2.6 khó được đáp ứng Chẳng hạn như vì hệ thống thực tế luôn chứa trong nó bản chất quán tính, tính cưỡng lại lệnh tác động từ bên ngoài Song “tính xấu” đó của hệ thống lại được giảm bớt một cách tự nhiên ở chế độ làm việc có tần số lớn, nên người ta thường đã thỏa
Trang 39mãn với bộ điều khiển R(s) khi nó mang lại cho hệ thống tính chất (2.6) trong một dải tần số rộng thuộc lân cận 0.
Bộ điều khiển R(s) thỏa mãn: G(jω) = 1 trong dải tần số thấp, có độ rộng lớn được gọi là bộ điều khiển tối ưu độ lớn
Phương pháp tối ưu độ lớn được xây dựng chủ yếu chỉ phục vụ việc chọn tham
số bộ diều khiển PID để điều khiển các đối tượng S(s) có hàm truyền đạt dạng:
+ Quán tính bậc nhất:
Ts
k s S
+
=
1)(
+ Quán tính bậc hai: ( ) (1 )(1 )
2
1s T s T
k s
S
++
=
+ Quán tính bậc ba: ( ) (1 )(1 )(1 )
3 2
T
k s
S
++
+
=
Tuy nhiên, với những đối tượng có hàm truyền đạt phức tạp hơn, chẳng hạn như (2.4) ta vẫn có thể sử dụng được các tham số PID theo tối ưu độ lớn bằng cách xấp xỉ chúng về một trong ba dạng cơ bản trên nhờ phương pháp tổng T của Kuhn hoặc phương pháp tổng các hằng số thời gian nhỏ sẽ được trình bày dưới đây
1) Điều khiển đối tượng quán tính bậc nhất:
− Bộ điều khiển là khâu tích phân: R s T k s
I
p
=
)( (2.8)
− Đối tượng là khâu quán tính bậc nhất:
s T
k s S
+
=
1)
Như vậy sẽ có:
* Hàm truyền đạt hệ kín: G s Ts k T s k
R ++
=
)1()
p
I R k
T
T =
* Hàm truyền đạt hệ hở:
R h
T Ts
k s
S s R s G
)1()()()(
+
=
Trang 40Suy ra 2 2 2 2 2 4
2 2
) 2 ( )
(
ωω
ω
T T T
kT T
k
k j
G
R R
2
2)
1(2)
(
n n
n s D s h Ts kTs
k s
G
ωω
ω
++
=++
2
12
T n
ω
Định lý 2.3: Nếu đối tượng điều khiển là khâu quán tính bậc nhất (2.9) thì bộ điều
khiển tích phân (2.8) với tham số k T kT
p
I =2 sẽ là bộ điều khiển tối ưu độ lớn
Tiếp theo ta bàn về trường hợp đối tượng S(s) có dạng:
)1) (
1)(
1()(
2
T
k s
S
n
++
+
Ta chuyển mô hình này về dạng xấp xỉ quán tính bậc nhất (2.9)
Phương pháp sau đây là phương pháp tổng các hằng số thời gian nhỏ Nó được sử dụng chủ yếu cho các hàm truyền S(s) kiểu (2.11) có T1,…,Tn rất nhỏ
Sử dụng công thức khai triển Vieta cho đa thức mẫu số trong (2.11) được:
)(
)
(1)
3 1 2 1 2
+
=
s T T T T s T T
T
k s
1