4 dang toan so phuc dh

Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam SỐ PHỨC: BỐN DẠNG TOÁN TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC Bài viết nho nhỏ nhằm đem lại cho em học sinh cách nhìn tường minh dạng toán Số phức đề thi tuyển sinh Toán Số phức loại toán dễ lấy điểm nắm kiến thức số phức rèn luyện kỹ giải toán thông qua dạng toán Dạng 1: Tổng hợp kỹ cộng, trừ, nhân, chia số phức Dạng toán chủ yếu kiểm tra khả tính toán thí sinh, kết hợp với số kiến thức khác Môđun Số phức, Số phức liên hợp, phần thực phần ảo Số phức … VD1: Tìm phần ảo số phức z, biết : z    i  1  2i  (ĐH-A-cơ bản-2010) Giải: Ta có z    i  1  2i   1  2i 1  2i    2i Suy z   2i Phần ảo số phức z :  1  3i  VD2: Cho số phức z thỏa mãn : z  1 i Tìm môđun số phức z  iz (ĐH-A-nâng cao-2010) Giải: 1  3i  Ta có z  1 i    3i   3i    3i  1 i   3i   3i 8  1 i 1 i 8 1  i  8 1  i    4  4i 1  i 1  i  Suy z  4  4i Nên ta có z  iz  4  4i  i  4  4i   8  8i www.DeThiThuDaiHoc.com Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Vậy z  iz  82  82   1 i  VD3: Tìm phần thực phần ảo số phức z     i   (ĐH-B-nâng cao-2011) Giải:    3i  3   i   3i  3i  Ta có z      i 2i 1  i       3i   3i 8  2  2i 2  2i 8  2  2i  8    2i 2  2i Vậy số phức z có phần thực phần ảo VD4: Cho số phức z thỏa mãn   i  z  1  2i    8i Tìm môđun số phức 1 i w  z 1 i (ĐH-D-cơ bản-2012) Giải: Ta có   i  z  1  2i  1  2i 1  i    8i   8i    i  z  1 i 1  i 1  i  3  i    7i   i   7i z   8i    i  z   7i  z  2i 15  10i  z   2i z  2  i z  Nên ta có w  z   i   2i   i   3i Vậy w  32  42  www.DeThiThuDaiHoc.com Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Dạng 2: Tìm số phức thỏa mãn một vài điều kiện Những toán dạng thường cho điều kiện có chứa z, z , z …Để giải toán dạng này, thông thường đặt z  x  yi,  x, y   dựa theo điều kiện toán ta xác định x, y Từ ta tìm z yêu cầu khác toán * Lưu ý: Việc giải toán dạng thường quy việc giải phương trình, hệ phương trình Mà thành lập phương trình, hệ phương trình cách áp x  x ' ( hai số phức nhau) y  y' dụng tính chất sau: x  yi  x ' y ' i   VD1: Tìm tất số phức z, biết : z  z  z (ĐH-A-cơ bản-2011) Giải: Gọi z  x  yi,  x, y   Ta có z2  z  z   x  yi    x2  y    x  yi  2 y  x   x2  y  x2  y  x   x2  y2  2xyi  x2  y2  x  yi    y (2 x  1)  2 xy   y 1 1   x x    x      y    y  y    2 Vậy z  z  1 1  i z   i 2 2 VD2: Cho số phức z thỏa mãn     i Tính môđun số phức w   z  z z i z 1 www.DeThiThuDaiHoc.com Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam (ĐH-A-nâng cao-2012) Giải: Gọi z  x  yi,  x, y   Ta có     i   x  yi  i    i z i z 1 x  yi    x  yi  i    x  yi  1  i   5x  1  y  i   x  1  y    x  1  y  i  3x  y  x  5x   x  1  y    x  y y     y   x   y         Do z   i Suy w   z  z    i  1  i    3i Vậy w   3i  22  32  13 VD3: Tìm số phức z thỏa mãn: z  z số ảo (ĐH-D-cơ bản-2010) Giải: Gọi z  x  yi,  x, y   Ta có z  x2  y z  x2  y2  2xyi Từ yêu cầu  x2  y   x  y   x   toán ta có:  2   2  x  y   x  y   y 1 Vậy số phức cần tìm là: 1+ i ; – i ; -1 – i ; -1 + i VD4: Tìm số phức z thỏa mãn: z    i   10 z.z  25 (ĐH-B-cơ bản-2009) Giải: Gọi z  x  yi,  x, y    x    y  1 i  10  Ta z    i   10 có  x  2   y  1 2  10   x  2   y  1  10 (1) www.DeThiThuDaiHoc.com  x  yi    i   10 2 Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Lại có z.z  25   x  yi  x  yi   25  x  y  25 (2) Từ (1) (2) ta có hệ phương 2   x2  y  4x  y  4 x  y  20  y  10  x  x     y  1  10  trình:      2 2 2  x  y  25  x  y  25  x  y  25  x  y  25     y  10  x  2   x  10  x   x   y  10  x   y  10  x  y     x    x   25 5 x  40 x  75    x5     y  Vậy z   4i z  Dạng 3: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện Đường lối để giải dạng toán gần giống cách giải Dạng Chúng ta đặt z  x  yi,  x, y   dựa theo điều kiện toán ta xác định biểu thức thể quan hệ x y Từ đặc điểm biểu thức quan hệ x y ta có kết luận tập hợp điểm cần tìm VD1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: z  i  1  i  z (ĐH-B-cơ bản-2010) Giải: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm biểu diễn số phức z  x  yi,  x, y   M  x; y  Ta có z  i  1  i  z  x  yi  i  1  i  x  yi   x  yi  i  x  y   y  x  i  x   y  1 i  x  y   y  x  i  x2   y  1   x  y    y  x  2  x2  y  y    x   y  1  Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường tròn có phương trình x   y  1  VD2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: z    4i   (ĐH-D-cơ bản-2009) www.DeThiThuDaiHoc.com Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Giải: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm biểu diễn số phức z  x  yi,  x, y   M  x; y  Ta có z    4i    x  yi    4i     x  3   y  4 i    x  3   y   2    x  3   y    2 Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường tròn có phương trình  x  32   y  42  Dạng 4: Giải phương trình với biến số phức Trong đề thi, thường gặp phương trình bậc hai với biến số phức mà cách giải sách giáo khoa hướng dẫn Sau ta xét ví dụ minh họa trích từ đề thi Đại học VD1: Gọi z1, z2 hai nghiệm phương trình z  z  10  Tính giá trị 2 biểu thức A  z1  z2 (ĐH-A-cơ bản-2009) Giải: Xét phương trình z  z  10  , ta có:   36  36i Suy nghiệm phương trình z1  2  6i 2  6i  1  3i ; z2   1  3i 2 Vậy ta có A  z1  z2 2    1   3      2  1    20  2 VD2: Cho số phức z thỏa mãn z  2(1  i) z  2i  Tìm phần thực phần ảo z (CĐ-nâng cao-2011) Giải: Ta có:    2(1  i)  8i  Suy nghiệm phương trình z   i  1 1 i 1     i z  i 1  i 1  i  2 Vậy phần thực 1 1 , phần ảo  z z Cách khác: www.DeThiThuDaiHoc.com Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com Ta có www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam z  2(1  i) z  2i   z  2(1  i) z  (1  i)2    z  (1  i)   z  (1  i)   z  1 i  1 1 i 1     i z  i 1  i 1  i  2 Vậy phần thực 1 1 , phần ảo  z z Bài viết của: Trần Tuấn Anh (Giáo viên Toán) ĐT: 0974.48.48.58 Mail: TranTuanAnh858@gmail.com www.DeThiThuDaiHoc.com