PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI Môn: Toán Năm học: 2015 - 2016 Câu 1.(4 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a1 3x( x + 2)(3x + x + 2) + a2 a (b − c) + b2 (c − a ) + c (a − b) a3 x + 81 b) Cho a;b;c ba số đôi khác thỏa mãn: ab + bc + ca = Rút gọn biểu thức: A= a2 b2 c2 + + a + 2bc b + 2ac c + 2ab Câu 2.(4 điểm) 1 1 1 a) Cho x + y + z = Tính A = xyz( + + ) x y z 2 b) Với x, y, Cho : f ( x, y) = x + y + xy + x + 2060 , chứng minh rằng: f (x, y) > 2016 Câu 3: (4 điểm) a) Chứng minh : A = 13 + 23 + 33 + 43 + + 20163 số phương b) Cho a1 , a2 , , a2016 số tự nhiên có tổng chia hết cho Chứng minh rằng: A = a13 + a23 + + a2016 chia hết cho Câu (6 điểm) Cho điểm M di động đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hình vuông AMCD, BMEF a) Chứng minh rằng: AE ⊥ BC b) Gọi H giao điểm AE BC Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng c) Chứng minh đường thẳng DF qua điểm cố định điểm M di động đoạn thẳng AB Câu (2 điểm) Chứng minh rằng: P= Với a,b,c a2 b2 c2 + + + >1 2 a + b + c + a + + c2 HẾT Giám thị coi thi không giải thích thêm - SBD: PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG MÔN: TOÁN Câu Ph ần Câu 5đ a.1 Nội dung Điể m x( x + 2)(3 x + x + 2) + = (3 x + x)(3 x + x + 2) + = (3 x + x) + 2(3x + x) + = (3x + x + 1) a (b − c) + b (c − a ) + c (a − b) = a (b − c) − b (a − c) + c (a − b) 2 = a (b − c) − b [ (a − b) + (b − c) ] + c (a − b) a.2 = (a − b )(b − c) + (c − b )(a − b) = (a − b)(a + b(b − c) − (b − c)(b + c)(a − b) = (a − b)(b − c) [ (a + b − b − c) ] = (a − b)(b − c)(a − c) a.3 a3 x + 81 = (2 x )2 + 36 x + 81 − (6 x) = x + − (6 x) 2 = ( 2x − 6x + 9) ( 2x + 6x + 9) Rút gọn biểu thức: A= 0.5 0.5 0.5 0.5 a b c + + Ta có: a + 2bc b + 2ac c + 2ab 0.5 a2 b2 c2 A= + + a − ab − ac + bc b − bc − ab + ac c − ac − bc + ab a2 b2 c2 − + (a − b)( a − c ) (a − b)(b − c) (a − c )(b − c ) (a − b)( a − c )(b − c ) = =1 (a − b)( a − c )(b − c ) = Câu 0.5 0.5 ab + ac + bc = ⇒ −ab − ac = bc; −ac − bc = ab; −ab − bc = ac b 0.5 A 1 1 1 + + = ⇒ + = − Ta có: 2đ x y z x y z 0.5 0.5 0.5 1 1 1 1 1 + + = + − + + ÷ x y3 z x y xy x y ÷ z 1 1 1 = − − − ÷+ = z xy z z xyz 1 1 Vậy: x + y + z = ⇒ x + y + z = xyz đó: A = xyz( B 1đ ⇔ f ( x, y ) = ( x + y + 3) + ( x − 5) + ( y − 3) + 2017 ⇔ f ( x, y ) > 2016 với x,y Câu a 0.5 1 + + ) x y3 z 1 1 = xyz + + ÷ = xyz =3 y z xyz x f ( x, y) = x + y + xy + x + 2060 ⇔ f ( x, y) = x + y + + xy + 12 x + y + x − 10 x + 25 + y − y + + 2017 0.5 2 a) Chứng minh : A = 13 + 23 + 33 + 43 + + 20163 số phương.Thật vậy: 0.5 0.5 0.5 2 2 2 1 2 3 4 5 2016 A = ÷ 4.1+ ÷ 4.2 + ÷ + ÷ 4 + ÷ + ÷ 4.2016 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 2016 2 A = ÷ ( 22 − 02 ) + ÷ ( 32 − 12 ) + ÷ ( 42 − 22 ) + ÷ ( 52 − 32 ) + + ÷ ( 2017 − 2015 ) 2 2 2 2 2 2 0.5 2 0.5 1.2 0.1 2.3 1.2 3.4 2.3 2016.2017 2015.2016 A = ÷ − ÷ + ÷ − ÷ + ÷ − ÷ + + ÷ − ÷ 2 2 2 2 0.5 2 2016.2017 A= ÷ ; A = ( 1008.2017 ) ; Vậy A số phương 0.5 b Dễ thấy: a − a = a (a − 1) = a(a − 1)(a − + 5) = a (a − 1)(a − 4) + 5a(a − 1) 2 2 = (a − 2)(a − 1)a( a + 1)(a + 2) + 5a(a − 1) = (a − 2)(a − 1)a( a + 1)(a + 2) tích 0.5 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 5; 5a(a − 1) bội nên chia 0.5 hết cho Vậy; a − a chia hết cho5 0.5 Xét hiệu A − (a1 + a2 + + a2016 ) = (a + a + + a 5 2016 ) − (a1 + a2 + + a2016 ) = (a15 − a1 ) + (a25 − a2 ) + + ( a2016 − a2016 ) chia hết cho Mà a1 , a2 , a2013 số tự nhiên có tổng chia hết cho 0.5 Do A chia hết cho Câu C D I H O E F 0,5 A a b K M B Ta có: ∠CAB = ∠FMB= 450 ⇒AC // MF (Vị trí đồng vị) mà EB ⊥ MC (T/c đường chéo hình vuông) ⇒EB ⊥ AC ∆ACB có: BE ⊥ AC; CM ⊥ AB⇒ E trực tâm ∆ACB ⇒AE ⊥ BC; Gọi O giao điểm AC BD ∆AHC vuông H có HO đường trung tuyến 1 ⇒ HO = AC = DM 2 ⇒ ∆DHM vuông H ⇒ ∠DHM = 900 Chứng minh tương tự ta có: ∠MHF = 900 Suy ra: ∠DHM + ∠MHF = 1800 Vậy ba điểm D, H, F thẳng hàng 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 c Gọi I giao điểm AC DF Ta có: ∠DMF = 900 ⇒ MF ⊥ DM mà IO ⊥ DM ⇒ IO // MF Vì O trung điểm DM nên I trung điểm DF Kẻ IK ⊥ AB (K∈AB) ⇒ IK đường trung bình hình thang ABFD AD + BF AM + BM AB ⇒ IK = = = (không đổi) 2 Do A, B cố định nên K cố định, mà IK không đổi nên I cố định Vậy đường thẳng DF qua điểm cố định điểm M di động đoạn thẳng AB Câu 0,5 0,5 0,5 0,5 Chứng minh rằng: P= a2 b2 c2 + 2 + + >1 2 2 a + b + b + c + c + a + a + b + c2 + Với a,b,c Thật vậy, với a,b,c ta có: a2 a2 b2 b2 > ; > 0,5 a + b2 + a + b + c2 + b2 + c + a + b + c2 + 4 c2 c2 > > ; 2 2 2 2 a + b + c + a + b + c2 + 0,5 c + a +1 a + b + c + Cộng vế với vế bất đẳng thức ta được: a2 b2 c2 P> + + + a + b + c2 + a + b + c + a + b + c + a + b + c + a + b2 + c2 + = = Điều phải chứng minh a + b2 + c2 + 0,5 0,5