PHÒNG GD-ĐT ĐỨC THỌ Đề thi thức ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN NĂM HỌC 2015-2016 Thời gian làm 120 phút − x − 3x + − : Bài 1: Cho biểu thức A = ÷ − x x + 1 − x x −1 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên c) Tìm x để A = A Bài 2: a) Giải phương trình ( 2x + x − 2015 ) + ( x − 5x − 2016 ) = ( 2x + x − 2015 ) ( x − 5x − 2016 ) 2 b) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x3 + 2x + 3x + = y 3 2 Bài 3: a) Tìm a, b cho đa thức f ( x ) = ax + bx + 10x − chia hết cho đa thức g ( x ) = x + x − b) Biết x + y = x + y Tìm GTNN GTLN P = x − y Bài 4: Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD O, M điểm thuộc cạnh BC (M khác B, C) Tia AM cắt đường thẳng DC N Trên cạnh AB lấy điểm E cho BE = CM a) Chứng minh ∆OEM vuông cân b) Chứng minh ME // BN c) Từ C kẻ CH ⊥ BN (H ∈ BN) Chứng minh ba điểm O, M, H thẳng hàng a−b b−c c−d a−d + + ≥ Bài 5: Cho a, b, c > Chứng minh b+c c+d d+a a+b BÀI GIẢI x ≠ ±1 Bài 1: ĐKXĐ: x ≠ + x ( − x ) − x x − 1 + x + − 2x − + x x − A = + − = = a) Ta có 2 2 1− x − x − 3x − 3x − 3x − ( x − 1) 1 − x b) Để A nhận giá trị nguyên ( − 3x ) ∈ Ư(2) = {-2; -1; 1; 2} Với − 3x = −2 ⇒ x = (không TMĐK) Với − 3x = −1 ⇒ x = Với − 3x = ⇒ x = (TMĐK) Với − 3x = ⇒ x = − (loại) (loại) Vậy x = thỏa mãn toán c) Vì A ≥ A , dấu "=" xảy A ≥ Do để A = A ⇒ − 3x > ⇔ x < 2 = − 3x − 3x 1 Đối chiếu ĐKXĐ x < , x ≠ −1 thỏa mãn toán 3 ( ) ( ) Bài 2: a) Phương trình tương đương 2x + x − 2015 − x − 5x − 2016 = 2017 ⇔ 2x + x − 2015 − 2x + 10x + 4032 = ⇔ 11x + 2017 = ⇔ x = − 2017 Vậy phương trình có nghiệm x = − ( ) b) Xét x = y = không thỏa mãn Xét x = y = ⇒ y = Xét x = −1 y = ⇒ y = Với x < −1 x > , x nguyên nên x > Ta có < x ⇒ x3 + 2x + 3x + < x + 3x + 3x + = ( x + 1) Mặt khác x > 2x + 3x + > 2 2 Nếu x < −1 2x + 3x + = x + x + 3x + = x + ( x + 1) ( x + ) > Do x + 2x + 3x + > x , suy x < y < ( x + 1) , vô lí Vậy ( x;y ) ∈ { ( −1;0 ) ; ( 1;2 ) } thỏa mãn toán Bài 3: a) Giả sử đa thức f(x) chia hết cho đa thức g(x), tồn đa thức q(x) cho f ( x ) = ax + bx + 10x − = q ( x ) x + x − với x ( ) 19 a=− a + b + = 2a + 2b = −12 ⇔ ⇔ Xét x = x = -2 ta có −8a + 4b − 14 = −4a + 2b = b = − 17 19 17 Vậy ( a;b ) = − ; − ÷ thỏa mãn toán ( ) 2 b) Ta có ( x − y ) + ( x + y ) = x + y = ( x + y ) ⇒ ( x − y ) − = − ( x + y ) + ( x + y ) − 2 2 ⇒ ( x − y ) − = − ( x + y ) − 1 ≤ ⇒ P = ( x − y ) ≤ ⇒ −1 ≤ P ≤ 2 x + y = x = ⇔ GTNN P -1 Đạt x − y = −1 y = x + y = x = ⇔ GTLN P Đạt x − y = y = BE = MC E B A · · Bài 4: a) Xét ∆OBE ∆OMC có OBE = OCM = 45 OB = OC nên ∆OBE = ∆OMC (c – g – c) M · · H O ⇒ OE = OM BOE = COM H' · · mà BOM + COM = 90 · · · ⇒ BOM + BOE = 90 ⇒ MOE = 90 D N C Do ∆OEM vuông cân O b) Áp dụng hệ định lí TaLet ta có: MN MC BE MN BE = = = MC // AD nên hay suy ME // BN (Định lí đảo định lí TaLet) AN AD AB AN AB · c) Giả sử đường thẳng OM cắt BN H' Vì ∆OEM vuông cân nên OME = 450 · ' B = OME · · ' B = OCM · · · ME // BN nên OH (đối = 450 (đồng vị), suy OH = 450 , BMH ' = OMC MH ' MB MH ' MC · · = ⇒ = đỉnh) suy ∆MH'B ∼ ∆MCO (g – g) ⇒ , BMO = CMH ' (đối đỉnh) MC MO MB MO · ' C = MBO · Suy ∆BMO ∼ ∆H'MC (c – g – c) ⇒ MH = 450 · ' B + MH · ' C = 90 suy CH' ⊥ BN Suy điểm H' trùng với H Do OH Vậy O, M, H thẳng hàng a −b b −c c−d d −a a −b b−c c−d d−a + + + ≥0⇔ +1+ +1+ +1+ +1 ≥ b+c c+d d+a a+b b+c c+d d+a a+b a+c b+d c+a d+b ⇔ + + + ≥ ⇔ ( a + c) + + ( b + d) + ÷ ÷≥ b+c c+d d+a a+b b+c d+a c+d a+b 1 Áp dụng BĐT + ≥ với x, y > Ta có x y x+y ( a + c) ( b + d) 1 + + ( b + d) + ≥ + =4 ( a + c ) ÷ ÷ b+c d+a c+d a+b a+b+c+d a+b+c+d Do BĐT chứng minh Dấu "=" xảy a = b = c = d Bài 5: BĐT tương đương Lời giải: Nguyễn Ngọc Hùng – THCS Hoàng Xuân Hãn – Đức Thọ - Hà Tĩnh