KSTN K60 HUST KỸ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU Tóm tắt nội dung Kỹ thuật Nhảy tầng lầu phương pháp tách tích phân hữu tỉ (phân thức) thành nhiều tích phân có khoảng cách bậc tử mẫu khơng lớn, hạ bậc mẫu tích phân ban đầu xuống mức tối giản có thể, từ tính tốn dễ dàng Kỹ thuật thầy Trần Phương viết sách “TUYỂN TẬP CÁC CHUYÊN ĐỀ & KỸ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN” xuất năm 2006, tài liệu ngắn này, nhắc lại kỹ thuật “tư CASIO” – lối tư học sinh phổ thông từ năm 2016, giúp bạn hiểu chất kỹ thuật, mà đưa số cách truy dạng đẹp đối mặt với số vô tỉ Tài liệu tham khảo Sách “TUYỂN TẬP CÁC CHUYÊN ĐỀ & KỸ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN” thầy Trần Phương Bản quyền Tài liệu phép chép hình thức, với điều kiện phải ghi rõ nguồn tác giả trang web Mọi thơng tin đóng góp tài liệu xin gửi địa chỉ: Lâm Minh – sherlockttmt@gmail.com Kiến thức cần chuẩn bị 1.1 Hai công thức tích phân ln|𝑎𝑥 + 𝑏| + 𝐶 𝑛 = 𝑑𝑥 𝑎 CT1 ∫ = (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑛 + 𝐶 𝑛 ≠ [ (1 − 𝑛)(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑛−1 CT2 ∫ 𝑎𝑥 𝑑𝑥 2𝑎𝑥 + 𝑏 = tan−1 ( ) + 𝑏𝑥 + 𝑐 √4𝑎𝑐 − 𝑏 √4𝑎𝑐 − 𝑏 VIET NAM CASIO TEAM (∆ < 0) KSTN K60 HUST 1.2 Lý thuyết tách phân thức hữu tỉ 1.2.1 Phân thức thực phân thức 𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥) với deg 𝑃(𝑥) < deg 𝑄(𝑥) (deg 𝑃(𝑥) bậc đa thức 𝑃(𝑥)) 1.2.2 Phân thức đơn giản phân thức thuộc dạng sau: 𝑚 (𝑎𝑥+𝑏)𝑛 ; 𝑚𝑥+𝑛 (𝑎𝑥 +𝑏𝑥+𝑐)𝑛 (𝑛 ∈ 𝑁, 𝑏 − 4𝑎𝑐 < 0) 1.2.3 Định lý tổng quát phân tích đa thức: Mọi đa thức 𝑄(𝑥) không đồng với hệ số thực có cách phân tích thành nhân tử dạng: 𝑄(𝑥) = (𝑥 − 𝑥1 )𝑟1 … (𝑥 − 𝑥𝑘 )𝑟𝑘 (𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑥 + 𝑐1 )𝑠1 … (𝑎𝑛 𝑥 + 𝑏𝑛 𝑥 + 𝑐𝑛 )𝑠𝑛 Trong tam thức bậc có ∆ < 1.2.4 Phương pháp chung tính tích phân hàm hữu tỉ: phân thức hữu tỉ 𝑃∗ (𝑥) 𝑄(𝑥) với deg 𝑃∗ (𝑥) > deg 𝑄(𝑥) thực phép chia đa thức 𝑃∗ (𝑥) cho 𝑄(𝑥) đưa phân thức thực 𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥) (có deg 𝑃(𝑥) < deg 𝑄(𝑥)) Khi đó, giả sử ta có: 𝑄(𝑥) = (𝑥 − 𝑥1 )𝑟1 … (𝑥 − 𝑥𝑘 )𝑟𝑘 (𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑥 + 𝑐1 )𝑠1 … (𝑎𝑛 𝑥 + 𝑏𝑛 𝑥 + 𝑐𝑛 )𝑠𝑛 phân thức thực 𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥) biểu diễn dạng: 𝑝𝑟𝑘𝑘 𝑝𝑟1 𝑃(𝑥) 𝑝11 𝑝1𝑘 =( +⋯+ ) + ⋯+ ( +⋯+ ) 𝑟 (𝑥 − 𝑥𝑘 )𝑟𝑘 𝑄(𝑥) 𝑥 − 𝑥1 (𝑥 − 𝑥1 ) 𝑥 − 𝑥𝑘 𝑚𝑠1 𝑥 + 𝑛𝑠1 𝑚11 𝑥 + 𝑛11 +( + ⋯+ )+⋯ (𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑥 + 𝑐1 )𝑠1 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑥 + 𝑐1 𝑚𝑠𝑛 𝑛 𝑥 + 𝑛𝑠𝑛𝑛 𝑚1𝑛 𝑥 + 𝑛1𝑛 +( + ⋯+ ) (𝑎𝑛 𝑥 + 𝑏𝑛 𝑥 + 𝑐𝑛 )𝑠𝑛 𝑎𝑛 𝑥 + 𝑏𝑛 𝑥 + 𝑐𝑛 Bằng cách tách phân thức hữu tỉ vậy, ta áp dụng cơng thức tích phân có sẵn mục 1.1 để tính dễ dàng 1.3 Một số kỹ thuật CASIO Đây số kỹ thuật CASIO bạn dễ dàng tìm học qua viết mạng từ có hiểu biết chút CASIO: VIET NAM CASIO TEAM KSTN K60 HUST 1.3.1 Phương pháp xấp xỉ khai triển rút gọn đa thức 1.3.2 Phân tích đa thức ẩn thành nhân tử 1.3.3 Tính giới hạn Kỹ thuật CASIO tách phân thức hữu tỉ Giả sử ta cần tách: 𝑃(𝑥) 𝑝1 𝑝𝑘 𝑚1 𝑥 + 𝑛1 𝑚𝑛 𝑥 + 𝑛𝑛 =( + ⋯+ ) + ( + ⋯ + ) (𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐)𝑛 𝑄(𝑥) 𝑥 − 𝑥0 (𝑥 − 𝑥0 )𝑘 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 Trong đó: 𝑄(𝑥) = (𝑥 − 𝑥0 )𝑘 (𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐)𝑛 với 𝑏 − 4𝑎𝑐 < Đặt 𝑚1 𝑥+𝑛1 𝑎𝑥 +𝑏𝑥+𝑐 𝑚 𝑥+𝑛𝑛 + ⋯ + (𝑎𝑥 2𝑛 +𝑏𝑥+𝑐)𝑛 = 𝑅(𝑥), ta dễ thấy: 𝑃(𝑥) (𝑥 − 𝑥0 )𝑘 = lim (𝑝1 (𝑥 − 𝑥0 )𝑘−1 + ⋯ + 𝑝𝑘−1 (𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑝𝑘 + (𝑥 − 𝑥0 )𝑘 𝑅(𝑥)) = 𝑝𝑘 𝑥→𝑥0 𝑄(𝑥) 𝑥→𝑥0 lim 𝑃(𝑥) 𝑝𝑘 ⇒ lim ( − ) (𝑥 − 𝑥0 )𝑘−1 = 𝑝𝑘−1 𝑥→𝑥0 𝑄(𝑥) (𝑥 − 𝑥0 )𝑘 𝑃(𝑥) 𝑝𝑘 𝑝𝑘−1 ⇒ lim ( − − ) (𝑥 − 𝑥0 )𝑘−2 = 𝑝𝑘−2 ⇒ … 𝑘 𝑥→𝑥0 𝑄(𝑥) (𝑥 − 𝑥0 ) (𝑥 − 𝑥0 )𝑘−1 Như ta tìm hệ số 𝑝𝑖 (𝑖 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1, 𝑘) cách tính giới hạn CASIO Tiếp theo giả sử PT 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = có nghiệm phức 𝑥1 , 𝑥2 (vì ∆ < 0), tương tự ta có: 𝑃(𝑥) lim 𝑄(𝑥) (𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐)𝑛 = 𝑚𝑛 𝑥1 + 𝑛𝑛 𝑥→𝑥 { ( ) từ giải hệ ta tìm 𝑚𝑛 , 𝑛𝑛 𝑃𝑥 lim 𝑄(𝑥) (𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐)𝑛 = 𝑚𝑛 𝑥2 + 𝑛𝑛 𝑥→𝑥2 VIET NAM CASIO TEAM KSTN K60 HUST ⇒ 𝑃(𝑥) 𝑚𝑛 𝑥+𝑛𝑛 𝑛−1 lim (𝑄(𝑥) − = 𝑚𝑛−1 𝑥1 + 𝑛𝑛−1 𝑛 ) (𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐) 𝑥→𝑥1 (𝑎𝑥 +𝑏𝑥+𝑐) 𝑃(𝑥) 𝑚𝑛 𝑥+𝑛𝑛 𝑛−1 lim (𝑄(𝑥) − = 𝑚𝑛−1 𝑥2 + 𝑛𝑛−1 𝑛 ) (𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐) 𝑥→𝑥2 (𝑎𝑥 +𝑏𝑥+𝑐) { , tìm 𝑚𝑛−1 , 𝑛𝑛−1 Về lý thuyết, ta làm trên, tách phân thức hữu tỉ dạng tối giản, có trường hợp ngoại lệ ta cần phải linh hoạt sử dụng CASIO để đạt hiệu suất giải toán cao nhất, phần ví dụ minh họa sau cho bạn thấy rõ Ví dụ minh họa 𝒙𝟑 + 𝟐 𝐕𝐃𝟏 ∫ 𝟒 𝒅𝒙 𝒙 − 𝟓𝒙𝟐 + 𝟒 Ta có 𝑥 − 5𝑥 + = (𝑥 − 2)(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)(𝑥 + 2) ta tách hàm sau: 𝑥3 + 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 = + + + 𝑥 − 5𝑥 + 𝑥 − 𝑥 − 𝑥 + 𝑥 + 𝑋 +2 𝑥3 +2 Vì lim (𝑥 − 2) = 𝑎 nên ta nhập (𝑋 − 2) gán 𝑋 = + 10−11 , 𝑥→2 𝑥 −5𝑥2 +4 𝑋 −5𝑋 +4 kết 0,8333333333 = = 𝑎 𝑋 +2 𝑥3 +2 (𝑥 − 1) = 𝑏, sửa biểu thức thành (𝑋 − 1), gán 𝑋 = + 𝑥→1 𝑥4 −5𝑥2 +4 𝑋 −5𝑋 +4 Tiếp theo: lim 10−11 thu −0,5 = − = 𝑏 1 Tương tự: 𝑐 = ; 𝑑 = 𝑥3 + 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 Vậy: ∫ 𝑑𝑥 = ∫ − ∫ + ∫ + ∫ 𝑥 − 5𝑥 + 𝑥−2 𝑥−1 𝑥+1 𝑥+2 𝐕𝐃𝟐 ∫ 𝟐𝒙𝟐 + 𝟏𝟖 𝒅𝒙 (𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟏𝟑)𝟐 VIET NAM CASIO TEAM KSTN K60 HUST Phương trình 𝑥 − 6𝑥 = 13 = vơ nghiệm thực, ta tách phân thức sau: 2𝑥 + 18 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑐𝑥 + 𝑑 = + 2 (𝑥 − 6𝑥 + 13) 𝑥 − 6𝑥 + 13 (𝑥 − 6𝑥 + 13)2 Ta có: 𝑥 − 6𝑥 = 13 = ⇔ 𝑥 = ± 2𝑖, để tìm 𝑐𝑥 + 𝑑 ta tính giới hạn: 2𝑥 + 18 (𝑥 − 6𝑥 + 13)2 = 𝑐(3 − 2𝑖) + 𝑑 𝑥→3−2𝑖 (𝑥 − 6𝑥 + 13)2 lim 2𝑥 + 18 (𝑥 − 6𝑥 + 13)2 = 𝑐(3 + 2𝑖) + 𝑑 lim 𝑥→3+2𝑖 (𝑥 − 6𝑥 + 13)2 Bằng cách chuyển chế độ sang MODE (số phức) gán 𝑋 = − 2𝑖 + 10−10 𝑋 = + 2𝑖 + 10−10, thu { 𝑐(3 − 2𝑖) + 𝑑 = 28 − 24𝑖 𝑐 = 12 ⇔{ 𝑐(3 + 2𝑖) + 𝑑 = 28 + 24𝑖 𝑑 = −8 Tương tự ta tìm 𝑎𝑥 + 𝑏, nhiên nhận thấy: 2𝑥 + 18 12𝑥 − ( − ) (𝑥 − 6𝑥 + 13) = 𝑎𝑥 + 𝑏 (𝑥 − 6𝑥 + 13)2 (𝑥 − 6𝑥 + 13)2 Do sửa biểu thức hiển thị thành: 2𝑋 + 18 − (12𝑋 − 8) ÷ (𝑋 − 6𝑋 + 13)2 (𝑋 − 6𝑋 + 13)2 Cho 𝑋 = 1000 sau nhân kết với 𝑋 − 6𝑋 + 13 Vậy: ∫ 2𝑥 + 18 𝑑𝑥 12𝑥 − 𝑑𝑥 = ∫ +∫ 𝑑𝑥 2 (𝑥 − 6𝑥 + 13) (𝑥 − 6𝑥 + 13)2 𝑥 − 6𝑥 + 13 𝒙𝟐 − 𝟏 𝐕𝐃𝟑 ∫ 𝟒 𝒅𝒙 𝒙 +𝟏 Ta có: 𝑥 + = (𝑥 − √2𝑥 + 1)(𝑥 + √2𝑥 + 1) nên ta tách thành: VIET NAM CASIO TEAM KSTN K60 HUST 𝑥2 − 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑐𝑥 + 𝑑 = + 𝑥 + 𝑥 − √2𝑥 + 𝑥 + √2𝑥 + Nghiệm 𝑥 − √2𝑥 + = 𝑥 = √2 ± √2𝑖 , đó, tương tự VD2, ta tính giới hạn: 𝑥2 − √2 − √2𝑖 (𝑥 − √2𝑥 + 1) = 𝑎 ( )+𝑏 √2 − √2𝑖 𝑥 + 𝑥→ lim 𝑥2 − √2 + √2𝑖 (𝑥 − √2𝑥 + 1) = 𝑎 ( )+𝑏 √2 + √2𝑖 𝑥 + 𝑥→ lim 𝐴= √2 − √2𝑖 Các bạn nên gán trước { để việc tính tốn phía sau đơn giản √2 + √2𝑖 𝐵= Lưu ý thứ số dòng máy đời thấp khơng hỗ trợ tính lũy thừa biểu thức số phức với số mũ từ trở lên, thay nhập vào biểu thức là 𝑋 −1 𝑋𝑋 +1 𝑋 −1 𝑋 +1 (𝑋2 − √2𝑋 + 1), ta phải nhập (𝑋2 − √2𝑋 + 1), khơng tính giới hạn bị “Math ERROR” Cho 𝑋 = 𝐴 + 10−10 ta số xấu: −0,00001502625 − 0,4999849728𝑖, lưu vào C Cho 𝑋 = 𝐵 + 10−10 số xấu khác, lưu vào D 𝐶−𝐷 √2 𝑎𝐴 + 𝑏 = 𝐶 Vậy ta { ⇒ tính thu 0,7070855295 ≈ = 𝑎 (nếu không nhận 𝑎𝐵 + 𝑏 = 𝐷 𝐴−𝐵 dạng đẹp bình phương kết lên) √2 √2 ⇒𝑏 =𝐶− 𝐴=𝐷− 𝐵⇒𝑏 = 2 √2 √2 (𝐶 − 𝐴) + (𝐷 − 𝐵) VIET NAM CASIO TEAM KSTN K60 HUST √2 √2 Như ta tính b dễ dàng 𝐶 − 𝐴 𝐷 − 𝐵, tính biểu thức ta nhận kết xấu, đặc biệt chứa 𝑖 gây nên lúng túng, ta dùng biểu thức gộp thứ để tính 𝑏, thu −0,5000150263 ≈ − = 𝑏 Sở dĩ phải lấy xấp xỉ có sai số lớn, ngun nhân bắt nguồn từ phép tính giới hạn ban đầu Do phải tách thành phân thức, việc tìm 𝑐𝑥 + 𝑑 khơng phải áp dụng cách lằng nhằng vừa rồi, trường hợp ngoại lệ phần lí thuyết đề cập Cụ thể ta thấy: ( 𝑥2 − 𝑎𝑥 + 𝑏 − ) (𝑥 + √2𝑥 + 1) = 𝑐𝑥 + 𝑑 𝑥 + 𝑥 − √2𝑥 + Từ 𝑎, 𝑏 tìm được, suy khả 𝑐, 𝑑 có dạng thức, việc gán 𝑋 = 1000 VD2 khơng thành cơng Mặt khác 𝑐, 𝑑 có dạng căn, chắn liên quan đến √2, ta sửa biểu thức hiển thị thành: 𝑋2 − 1 √2 − ( 𝑋 − ) ÷ (𝑋 − √2𝑋 + 1) 𝑋 +1 2 Gán 𝑋 số vô tỉ đẹp tránh √2, chẳng hạn với 𝑋 = √3, kết thu đem nhân với 𝑋 + √2𝑋 + 1, ta số Vậy: ∫ −1 − √6 =− 1 √2 √2 3− =− 𝑋 − = 𝑐𝑥 + 𝑑 √ 2 2 𝑥2 − 1 √2𝑥 − √2𝑥 + 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 − ∫ 𝑑𝑥 𝑥4 + 𝑥 − √2𝑥 + 𝑥 + √2𝑥 + 𝐕𝐃𝟒 ∫ 𝒅𝒙 𝒙𝟕 − 𝟏𝟎𝒙𝟑 4 Vì 𝑥 − 10𝑥 = 𝑥 (𝑥 − √10)(𝑥 + √10)(𝑥 + √10) nên ta tách phân thức sau: VIET NAM CASIO TEAM KSTN K60 HUST 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑚𝑥 + 𝑛 = + + + + + 𝑥 − 10𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 − 4√10 𝑥 + 4√10 𝑥 + √10 Dễ dàng tìm 𝑎 = 𝑏 = 0; 𝑐 = − 10 VD trước, để tìm 𝑑 ta tính: (𝑥 − √10) = 𝑑 − 10𝑥 𝑥 𝑥→ √10 lim 4 Gán 𝐴 = √10, cho 𝑋 = 𝐴 + 10−10 vào biểu thức giới hạn ta 0,00790451347, số chắn có chứa √10, vấn đề tìm dạng đẹp Bài cần thay đổi cách tính giới hạn chút, cụ thể ta thấy: 𝑥7 1 (𝑥 − √10) = ⇒𝑑 = | 4 − 10𝑥 𝑥 (𝑥 + √10)(𝑥 + √10) 𝑥 (𝑥 + √10)(𝑥 + √10) 𝑥= √10 Do nhập biểu thức 𝑋 (𝑋+ √10)(𝑋 +√10) 0,00970569415, thử bình số lên, ta Tương tự, 𝑒 = | 𝑥3 (𝑥− √10)(𝑥2+√10) cho 𝑋 = 𝐴, ta số xác hơn: √10 , 𝑑 = √16000 = 400 16000 =𝑑 𝑥=− √10 Để tìm 𝑚𝑥 + 𝑛, ta áp dụng: 𝑚𝑥 + 𝑛 = [ 𝑥7 1 1 √10 + − ( + )] (𝑥 + √10) 3 − 10𝑥 10𝑥 400 𝑥 − √10 𝑥 + 4√10 Vẫn cách giải hệ bậc VD trước, thay dùng nghiệm PT 𝑥 + √10 = khiến cho kết tăng sai số, ta dùng số nguyên Lần lượt cho 𝑋 = 1; 𝑋 = −1 vào biểu thức trên, ta thu kết đối nhau, bình lên √10 , số xác , ta có hệ: 4000 200 VIET NAM CASIO TEAM KSTN K60 HUST √10 √10 200 ⇔ {𝑚 = − 200 √10 𝑛 = −𝑚 + 𝑛 = 200 { 𝑚+𝑛 =− Vậy: ∫ 1 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑥𝑑𝑥 √10 √10 √10 𝑑𝑥 = − + ∫ + ∫ − ∫ 4 𝑥 − 10𝑥 10𝑥 400 𝑥 − √10 400 𝑥 + √10 200 𝑥 + √10 Nhìn chung, không thiết phải tách đến tối giản vậy, ta tính sau: 1 𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑥 1 𝑑(𝑥 ) 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑥 = (∫ − ∫ ) = ( ∫ − ∫ ) 𝑥 − 10𝑥 10 𝑥 − 10 𝑥3 10 (𝑥 )2 − 10 𝑥3 Đó kiểu tách “dễ chịu hơn” “nhảy tầng lầu”, muốn kết hợp thêm việc phân tích xử lí gặp thức cho bạn xem, nên theo hướng phân tích 𝐕𝐃𝟓 ∫ 𝒅𝒙 +𝟏 𝒙𝟖 Chắc chắn đọc “TUYỂN TẬP CÁC CHUYÊN ĐỀ & KỸ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN” thầy Trần Phương khó mà quên đoạn văn ấn tượng này, nằm trang nhất: Thực tế chưa thấy thầy Phương giải này, có số thầy giáo áp dụng kỹ thuật nhảy tầng lầu thầy giải thành cơng, chưa có “giải biến đổi dấu với khoảng dịng” cả! Tại tơi trình bày lại cách giải CASIO Ta có: 𝑥 + = (𝑥 − √2 + √2𝑥 + 1) (𝑥 + √2 + √2𝑥 + 1) (𝑥 − √2 − √2𝑥 + 1) (𝑥 + √2 − √2𝑥 + 1) Do việc tách sau: VIET NAM CASIO TEAM KSTN K60 HUST 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑎3 𝑥 + 𝑏3 = + + 𝑥 + 𝑥 − √2 + √2𝑥 + 𝑥 + √2 + √2𝑥 + 𝑥 − √2 − √2𝑥 + + 𝑎4 𝑥 + 𝑏4 𝑥 + √2 − √2𝑥 + Ta tìm 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 trước, giải nghiệm phức PT 𝑥 − √2 + √2𝑥 + = Các dòng máy từ CASIO fx-570VN PLUS trở lên đến VINACAL lưu nghiệm trực tiếp từ MODE EQN vào biến giống việc gán bình thường, số dòng máy đời thấp CASIO fx-570ES khơng có chức này, phải sử dụng biểu thức −𝐵 ± √𝐵 − 4𝐴𝐶 2𝐴 để tính nghiệm MODE CMPLX (số phức) nghiệm thu xấu: { 𝑋1 = 0,9238795325 − 0,3826834324𝑖 → 𝐴 𝑋2 = 0,9238795325 + 0,3826834324𝑖 → 𝐵 Bây giờ, tương tự VD4 ta có: (𝑥 + √2 + √2𝑥 + 1) (𝑥 + √2𝑥 + 1) | =[ 𝑥=[ 𝐴 𝐵 𝑎1 𝐴 + 𝑏1 𝑎1 𝐵 + 𝑏1 Cũng phải lưu ý lại số dòng máy đời thấp ta phải nhập 𝑋𝑋 + √2𝑋 + thay 𝑋 + √2𝑋 + thực phép tính Tính biểu thức 𝑋 = 𝐴 lưu kết vào C, tính tiếp 𝑋 = 𝐵 lưu kết vào D, 𝐶−𝐷 𝑎 𝐴 + 𝑏1 = 𝐶 𝐶−𝐷 ta được: { ⇒ 𝑎1 = 𝐴 − 𝐵 Tính biểu thức ta số gây 𝑎1 𝐵 + 𝑏1 = 𝐷 𝐴−𝐵 chán nản: −0,2309698831, số bình phương lần khơng mị Phải đây? Với người khơng chun CASIO, có lẽ đến 99% bỏ đoạn này, bạn chơi quen với số vơ tỉ tơi, nghĩ kết có dính dáng đến √2 + √2 VIET NAM CASIO TEAM KSTN K60 HUST √2+√2 𝐶−𝐷 Và thực tế tơi tính √2 + √2 ÷ 𝐴 − 𝐵, thu số đẹp: −8 Vậy 𝑎1 = − Mò 𝑎1 𝑏1 dễ dàng 𝑏1 = 𝐶 + √2+√2 𝐴=4 biểu thức lại 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 , 𝑎3 𝑥 + 𝑏3 , 𝑎4 𝑥 + 𝑏4 bạn tự xử xem nào, hướng làm giống y hệt vừa rồi, luyện bấm cho nhanh Vậy: ∫ √2 + √2𝑥 − √2 + √2𝑥 + 𝑑𝑥 1 =− ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 + +1 𝑥 − √2 + √2𝑥 + 𝑥 + √2 + √2𝑥 + 𝑥8 √2 − √2𝑥 − √2 − √2𝑥 + 1 − ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 𝑥 − √2 − √2𝑥 + 𝑥 + √2 − √2𝑥 + Thực tế việc tìm 𝑎1 tơi làm khơng mị, có sở nó, miễn bạn chịu khó luyện tập nhiều nhạy bén, linh hoạt, kinh nghiệm tư nhiều lên việc nhìn mấu chốt khơng cịn khó khăn Nhắc lại lần nữa, kỹ thuật Nhảy tầng lầu có nhiều cách tách khác nhau, cách đưa đến hướng ngắn, lí thầy Phương viết: Và đây, tơi muốn lần qua tích phân thầy để nói thêm linh hoạt thao tác xử lí số vơ tỉ, khơng đơn giản dừng lại việc nhắc lại kỹ thuật Nhảy tầng lầu VIET NAM CASIO TEAM KSTN K60 HUST Bài tập tự luyện Đây toán sách “TUYỂN TẬP CÁC CHUYÊN ĐỀ & KỸ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN” thầy Phương, bạn nghĩ nhiều cách tách khác ưu tiên cách tách tối giản, mục đích để tiếp xúc nhiều với số vô tỉ! Và đừng xem trước đáp án Bài ∫ 𝑑𝑥 𝑥6 − Bài ∫ 𝑑𝑥 𝑥 + 4𝑥 + 6𝑥 + 7𝑥 + Bài ∫ 𝑑𝑥 𝑥6 + Bài ∫ Bài ∫ 𝑑𝑥 𝑥4 + 𝑥2 + Bài ∫ 𝑥 + 2𝑥 + 4𝑥 + 𝑑𝑥 𝑥2 + Bài ∫ 𝑑𝑥 𝑥8 − 𝑥11 𝑑𝑥 − 8𝑥 Nếu bạn đọc cách giải thầy sách đó, thấy hầu hết thầy không sử dụng cách tách triệt để tôi, hệ số phải số đẹp, thầy “giải sai” nhiều cách chia tử mẫu cho 𝑥 chưa có xác nhận 𝑥 ≠ 0, tốn tích phân bất định khơng phải xác định để dựa vào cận Dù vậy, nghĩ thầy muốn giải ngắn tốt! Đáp án tập tự luyện Bài ∫ 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑥−2 𝑥+2 = ∫ − ∫ + ∫ 𝑑𝑥 − ∫ 𝑑𝑥 𝑥6 − 𝑥 − 𝑥 + 𝑥2 − 𝑥 + 𝑥2 + 𝑥 + Bài ∫ 𝑑𝑥 𝑑𝑥 1 √3𝑥 − √3𝑥 + = ∫ − ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 − √3𝑥 + 𝑥 + √3𝑥 + Bài ∫ 𝑑𝑥 𝑥+1 𝑥−1 = ∫ 𝑑𝑥 − ∫ 𝑑𝑥 𝑥4 + 𝑥2 + 𝑥2 + 𝑥 + 𝑥2 − 𝑥 + Bài ∫ = 𝑑𝑥 −1 𝑥8 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 1 √2𝑥 − √2𝑥 + ∫ − ∫ − ∫ + ∫ 𝑑𝑥 − ∫ 𝑑𝑥 𝑥 − 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 − √2𝑥 + 𝑥 + √2𝑥 + Bài ∫ 𝑥4 + 4𝑥 𝑑𝑥 + 6𝑥 + 7𝑥 + 𝑑𝑥 𝑑𝑥 2𝑥 + − √3 = ∫ − ∫ − ∫ 𝑑𝑥 3 𝑥 + 𝑥 + + √3 𝑥 + (2 − 3√3)𝑥 − 3√3 + 3√9 + VIET NAM CASIO TEAM KSTN K60 HUST 𝑥 + 2𝑥 + 4𝑥 + 𝑑𝑥 Bài ∫ 𝑑𝑥 = ∫(𝑥 + 2)𝑑𝑥 + ∫ 𝑥2 + 𝑥2 + Bài ∫ 𝑑𝑥 𝑑𝑥 − √2 𝑑𝑥 + √2 𝑑𝑥 = − ∫ + ∫ + ∫ 𝑥11 − 8𝑥 𝑥5 448 448 𝑥 − √2 𝑥 + √2 − 𝑥 + √2 𝑥 − √2 ∫ 𝑑𝑥 − ∫ 𝑑𝑥 192 𝑥 − √2𝑥 + 192 𝑥 + √2𝑥 + Mọi câu hỏi thắc mắc phương pháp xin gửi về: sherlockttmt@gmail.com Thank you for watching! VIET NAM CASIO TEAM