LTM1_Slides-Phan II

Phần II: Mạch tuyến tính chế độ độ Chương 10 Các tượng trình độ Chương 10 Các tượng trình độ 10.1 Quá trình độ mạch tuyến tính Chương 11 Phương pháp tích phân kinh điển 10.2 Một số hàm đặc biệt trình độ Chương 12 Phương pháp toán tử Laplace 10.3 Sơ kiện trước trình độ 10.4 Định luật bảo tồn từ thơng bảo tồn điện tích 10.5 Biến trạng thái hệ phương trình biến trạng thái 10.1 Các tượng Định nghĩa QTQĐ: Quá trình chuyển giao hai trạng thái xác lập Tại thời điểm t=0: khóa K đóng vào Các thơng số: E = 12V ; R = 4Ω; C = 0,1F 10.1 Các tượng Các nguyên nhân QTQĐQTQĐ xảy mạch điện có: – Thay đổi giá trị phần tử – Thay đổi chất phần tử – Thay đổi cấu trúc mạch → Thời điểm độ: thời điểm xảy thay đổi mạch điện E u(t ) =  0 t → ∞ t ≤ Do số tín hiệu mạch điện có “qn tính” nên xảy thay đổi mạch, mạch điện cần thời gian để chuyển đổi sang trạng thái xác lập 10.1 Các tượng Hai dạng tín hiệu “có qn tính” mạch điện: • dịng điện qua cuộn dây • điện áp tụ điện 10.2 Một số hàm đặc biệt trình độ Để thuận tiện cho việc mơ tả tín hiệu trình độ, ta sử dụng số hàm “đặc biệt” sau: − Hàm bước nhảy Heaviside 1 t > 1(t ) = u (t ) =  0 t ≤ → Tín hiệu mạch hàm khơng liên tục điểm độ (điểm xảy thay đổi mạch điện) u(t0+ ) ≠ u(t0− ) i (t0+ ) ≠ i (t0− ) − Hàm xung Dirac ∞ t =  t ≠ ∞ → Khi cần xác định giá trị tức thời sau độ: phối hợp định luật hệ phương trình K với định luật bảo tồn điện tích bảo tịan từ thơng − Liên hệ hai hàm trên: Chú ý: Tính chất “quán tính” hai dạng tín hiệu ứng dụng để dùng L C để bảo vệ phần tử mạch điện trình độ − Chú ý khác mô tả nguồn khóa mơ tả hàm Heaviside: e(t ) = E0 ⋅ 1(t ) hc e(t ) = E0 sin (ωt + ϕ ) ⋅ 1(t ) δ (t ) =  vµ ∫ δ (t ) ⋅ dt = t =−∞ d 1(t ) = δ (t ) dt 10.3 Sơ kiện trước trình độ Sơ kiện: Giá trị ban đầu tín hiệu trình độ Tuy nhiên tùy theo phương pháp mà ta cần giá trị ban đầu trước thời điểm độ giá trị sau thời điểm độ 10.3 Sơ kiện trước trình độ Nguyên tắc chung: - Các giá trị tín hiệu trước thời điểm độ tính từ mạch điện trước độ chế độ xác lập - Các giá trị tín hiệu sau thời điểm độ tính dựa tín hiệu trước thời điểm q độ + hai định luật bảo tồn (từ thơng, điện tích) + định luật Kirchhoff “Ohm” - Đa số trường hợp sử dụng tín hiệu dịng qua cuộn dây điện áp tụ điện làm biến trạng thái sơ kiện tín hiệu cần tính → ta ưu tiên xét biến trạng thái trước Ví dụ: - Phương pháp tích phân kinh điển cần sử dụng giá trị sau thời điểm độ (t0+) - Phương pháp ảnh Laplace cần sử dụng giá trị trước thời điểm độ (t0-) Chú ý: Có nhiều trường hợp tín hiệu f(t) hàm khơng liên tục t=t0 thời điểm độ (f(t0-) ≠ f(t0+)) 10.3 Sơ kiện trước q trình q độ Ví dụ số trường hợp tính sơ kiện trước thời điểm độ: 10.3 Sơ kiện trước trình độ b Trường hợp “DC” a Trường hợp “0” Trước độ nguồn E1 nối với R1 C2: Trước độ nguồn E1 không đấu nối với phần tử cịn lại mạch nên ta có tín hiệu mạch uC (0−) = E1; iL3 (0−) = uC (0−) = E1; iL3 (0−) = Các phần tử lại mạch có sơ kiện 0: iR1 (0−) = 0; uR1 (0−) = 0; iR (0−) = 0; uR (0−) = 0; uL3 (0−) = 0, 10.3 Sơ kiện trước trình độ 10.3 Sơ kiện trước trình độ c Trường hợp “AC” c Trường hợp “AC” Trước độ nguồn e1 nối với R1 C2: iL (0− ) = Ví dụ với mạch trên: Để tính sơ kiện tụ C2 ta cần giải mạch trước độ chế độ xác lập Nếu nguồn e1(t) nguồn biến thiên tín hiệu trước q độ tín hiệu biến thiên ta cần xác định xem thời điểm độ giá trị tức thời tín hiệu e1 (t ) → E
1 , C2 → Z C ⇒ U
C = Nếu nguồn e1(t) nguồn điều hòa ta dùng ảnh phức để hỗ trợ tính tốn giải mạch ZC
E1 = → uC (t ) = → uC (t0− ) = R1 + ZC Các phần tử cịn lại mạch có sơ kiện bằng: iR1 (0−) = ; uR1 (0− ) = ; iR (0− ) = ; uR (0− ) = ; uL3 (0−) = , 10.3 Sơ kiện trước trình độ d Trường hợp “AC+DC” Trước độ, nguồn E1 (DC) nguồn e5(t) (AC) tạo tín hiệu phần tử R1, C2, L4, R5 R6 Các tín hiệu có thành phần chiều thành phần điều hịa tính chất xếp chồng Để tính sơ kiện tụ C2 cuộn dây L4 ta cần giải mạch trước độ chế độ xác lập với thành phần tần số cộng xếp chồng kết để có tín hiệu theo hàm thời gian Từ xác định sơ kiện 10.4 Định luật bảo tồn từ thơng bảo tồn điện tích • Dùng để hỗ trợ xác định giá trị tức thời dòng điện qua cuộn dây điện áp tụ điện sau thời điểm độ • Ứng dụng cho trường hợp đặc biệt chứng minh tính chất biến thiên liên tục đa số trường hợp dòng điện qua cuộn dây điện áp tụ điện • Hai định luật có độ ưu tiên thấp so với định luật Kirchhoff phương trình đặc trưng phần tử 10.4 Định luật bảo toàn từ thơng bảo tồn điện tích 10.4 Định luật bảo tồn từ thơng bảo tồn điện tích • Chú ý: Nếu ta chọn vòng (trong mạch sau thời điểm độ) chứa cuộn dây Lk dễ dàng chứng minh dịng điện qua cuộn biến thiên liên tục qua thời điểm độ Phát biểu định luật bảo tồn từ thơng: với vịng kín bất kỳ, tổng từ thơng móc vịng qua cuộn dây vịng kín biến thiên liên tục qua thời điểm độ ∑ Ψ (t ) = ∑ Ψ (t ) → ∑ L k − k k + k k ⋅ ik ( t0− ) = ∑ Lk ⋅ ik ( t0+ ) k (Do cuộn dây tuyến tính có: Ψ ( t ) = L ⋅ i ( t )) Ví dụ: Xét vịng E1-R1-L3-L4 Ngay trước q độ: Ψ (0− ) + Ψ (0−) = + L4 Ngay sau độ: E1 R1 + R2 Ψ (0+ ) + Ψ (0+ ) = ( L3 + L4 ) i3 (0+ ) Từ suy ra: i3 (0+ ) = i4 (0+ ) = L4 E1 L3 + L4 R1 + R2 k Lk ⋅ ik ( t0− ) = Lk ⋅ ik ( t0+ ) → ik ( t0− ) = ik ( t0+ ) 10.4 Định luật bảo tồn từ thơng bảo tồn điện tích 10.4 Định luật bảo tồn từ thơng bảo tồn điện tích • Chú ý: Nếu ta chọn nút (trong mạch sau thời điểm độ) nối với tụ điện Ck dễ dàng chứng minh điện áp tụ điện biến thiên liên tục qua thời điểm độ Phát biểu định luật bảo toàn điện tích: với nút bất kỳ, tổng điện tích tích cực tụ điện nối với nút biến thiên liên tục qua thời điểm độ ∑ q (t ) = ∑ q (t ) → ∑C k − k k + k (Do tụ điện tuyến tính có: k Ngay trước q độ: q2 (0− ) + q3 (0− ) = C2 ⋅ E1 + Ngay sau độ: q2 (0+ ) + q3 (0+ ) = ( C2 + C3 ) uC 2−3 (0+ ) uC (0+ ) = uC (0+ ) = C2 E1 C2 + C3 ⋅ uk ( t0− ) = ∑ Ck ⋅ uk ( t0+ ) q( t ) = C ⋅ u ( t ) ) Ví dụ: Xét nút chung tụ C2 C3: Từ suy ra: k k Ck ⋅ uk ( t0− ) = Ck ⋅ uk ( t0+ ) → uk ( t0− ) = uk ( t0+ ) 10.5 Biến trạng thái hệ phương trình biến trạng thái 10.5 Biến trạng thái hệ phương trình biến trạng thái Định nghĩa chung biến trạng thái: Ví dụ: Mạch hình bên có hai biến … • Trong toán độ ta thường chọn biến trạng thái dòng độc lập qua cuộn dây điện áp độc lập tụ điện • Hệ phương trình biến trạng thái: biến đổi suy từ hệ phương trình Kirchhoff + phương trình đặc trưng phần tử trạng thái là: uC (t ); iL (t ) (còn gọi mạch bậc 2) → cần xây dựng hai phương trình cho hai biến này! • Hệ phương trình Kirchhoff i1 (t ) = i2 (t ) + i3 (t ) (1)   u t u t E ( ) + ( ) − = (2)  R1 C2 u ( t ) + u (t ) − u ( t ) = (3)  R3 L3 C2 • Hệ phương trình cho hai biến đặc trưng uC2(t) iL3(t) (1) (2) → uC (t ) − E1 + R1 ⋅ i1 (t ) =  → uC (t ) − E1 + R1 ⋅ ( i2 (t ) + i3 (t ) ) = → uC (t ) + R1 ⋅ C2 duC + R1 ⋅ i3 (t ) = E1 dt (4) 12.2 Ảnh ngược Laplace b Phương pháp Heaviside 12.2 Ảnh ngược Laplace Ví dụ minh họa nghiệm thực: Các trường hợp nghiệm: - - U ( p) = Nghiệm đơn: F1 ( p ) 12( p + 1)( p + 4) = F2 ( p ) p( p + 2)( p + 3) • Chỉ gồm nghiệm thực Nghiệm đa thức mẫu số: p0 = 0; p1 = −2; p2 = −3 • Có số nghiệm ảo Các hệ số tương ứng: Nghiệm kép (tự tham khảo) Chú ý: Trường hợp nghiệm phức đơn ta có cặp nghiệm số phức liên hợp Khi hệ số tương ứng số phức liên hợp pi = → Ai ⋅ e pi t + Aj ⋅ e p jt = Ai e Re( pi )⋅t cos ( Im( pi ) ⋅ t + Ai ) p i = a + jb; Ai = Aϕ ; pi = → Ai ⋅ e = p = pi 12( p + 1)( p + 4) p + 10 p + → A0 = 8; A1 = 12; A2 = −8 p = pi u(t ) = ∑ Ai ⋅ e − pi ⋅t = + 12e −2t − 8e −3t (cho t ≥ 0) i =1 hc nÕu pi t F1 ( p ) F2′( p ) Tổng hợp nghiệm pi = p*j → Ai = A*j p*j Ai = + Aj ⋅ e p jt p*j at at = ⋅ A ⋅ e cos ( bt + ϕ ) = ⋅ A ⋅ e sin ( bt + ϕ + 90° ) Chú ý: Trường hợp mạch ổn định đa thức mẫu số có nghiệm thực ta khơng có nghiệm dương! 12.2 Ảnh ngược Laplace Ví dụ minh họa nghiệm phức: 12.3 Ảnh Laplace phần tử mạch điện Ý tưởng chung: F ( p ) 12( p + 1)( p + 4) U ( p) = = F2 ( p ) p ( p + p + 5) Nghiệm đa thức mẫu số: Các hệ số tương ứng: F ( p) Ai = F2′( p ) p = pi 12( p + 1)( p + 4) = p2 + p + p0 = 0; p1 = −2 + j; p2 = −2 − j Các phần tử mạch điện: → A0 = 9,6; a Nguồn áp: p = pi → A1 = 1,2 − j8, = 8,485 − 81,87°; A2 = A1* = 1, + j8, = 8,48581,87° Tổng hợp nghiệm (cho t≥0) u(t ) = ∑ Ai ⋅ e pi ⋅t = 9,6 + ⋅ 8,485 ⋅ cos(t − 81,87°) = 9,6 + 16,97 ⋅ sin(t + 8,13°) i =1 Chú ý: Trường hợp mạch ổn định đa thức mẫu số có nghiệm phức thành phần thực nghiệm không số dương! L uba (t ) = e(t )  → U ba ( p ) = E ( p ) 12.3 Ảnh Laplace phần tử mạch điện Các phần tử mạch điện: 12.3 Ảnh Laplace phần tử mạch điện Các phần tử mạch điện: d Cuộn dây: b Nguồn dòng: u(t ) = L ⋅ L iab (t ) = j (t )  → I ab ( p ) = J ( p ) c Điện trở: L u(t ) = R ⋅ (t )  → U ( p ) = L ( u ( t ) ) = L ( R ⋅ i (t ) ) = R ⋅ L ( i ( t ) ) = R ⋅ I ( p ) di L di di  → U ( p ) = L  L ⋅  = L ⋅ L   = L ⋅ ( pL ( i (t ) ) − i (0−) ) dt dt dt     = pL ⋅ I ( p ) − L ⋅ i (0− ) e Tụ điện: i (t ) = C ⋅ du L du du  → I ( p ) = L  C ⋅  = C ⋅ L   = C ⋅ ( pL ( u(t ) ) − u(0− ) ) dt dt    dt  → U ( p) = u (0−) I ( p) + pC p