đề thi thử đại học năm 2012 môn toán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI THỬ ĐỀ THI THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2012 Môn thi : TOÁN Thời gian làm : 180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = −2 x − mx + ( 1) , có đồ thị ( Cm ) , m tham số Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho m = −1 Tìm m để đồ thị ( Cm ) hàm số ( 1) có điểm cực đại, cực tiểu, đồng thời điểm tạo thành tam giác vuông Câu II (2,0 điểm) ( sin x − 1) cos4 x − x + = 4x Giải phương trình: tan x + cot x = Giải phương trình: ( 1+ x − )( Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I = ) π cos x ∫ ( sin x + cos x ) dx Câu IV (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy A ' B ' C ' tam giác vuông B ' Gọi K hình chiếu vuông góc điểm A ' lên đường thẳng AC ' Biết góc đường thẳng A ' K với mặt phẳng ( C ' AB ') 300 A ' B ' = a, A ' C ' = a Tính thể tích khối tứ diện KA ' BC Câu V (1,0 điểm) Cho x, y, z số thực khác Chứng minh bất đẳng thức sau: x2 y2 z2 + + ≥ 2 2 2 x +( y + z ) y +( x + z ) z +( y + x) PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần ( phần A B) A Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A ( 1;1) , trực tâm H ( −1;3) , tâm đường tròn ngoại tiếp I ( 3; −3) Xác định tọa độ đỉnh B, C, biết xB < xC  x = −1 + 3t  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :  y = − 2t hai điểm A ( 1;2; − 1) , B ( 7; − 2;3)  z = + 2t  Tìm điểm I thuộc đường thẳng d cho IA + IB nhỏ Câu VII.a (1,0 điểm) Tính môđun số phức z , biết: z = ( − i ) + ( + i ) − 7−i 7+i B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC với hai điểm A ( 2; −1) , B ( 1; −2 ) trọng tâm G nằm đường thẳng d : x + y − = Tìm tọa độ điểm C, biết diện tích tam giác ABC  x = + 2t  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 10; 2; −1) , đường thẳng d có phương trình:  y = t  z = + 3t  Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A song song với đường thẳng d cho khoảng cách đường thẳng d mặt phẳng (P) lớn Câu VII.b (1,0 điểm) Viết số phức sau dạng lượng giác: z = ( −i ) 2011 2012 5π   π  sin − i.sin ÷   -Hết Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: ……………………………; Số báo danh: ………………; Lớp: ………… ĐÁP ÁN CÂU I.1 NỘI DUNG Học sinh tự giải y ' = −2 x − 2mx = −2 x ( x + m ) , (Cm) có ba điểm cực trị m < m2 + m2 + 3 m4 ), B ( −m ; ), C (0; ) nên AB = −m , AC = BC = −m 2 A(− −m ; I.2 ĐIỂM 0.25 0.25 Tam giác ABCvuông AB = AC + BC ⇔ −4m = m = m4 m4 − 2m ⇔ = −2 m ⇔  2  m = −4 Mà m < nên giá trị m cần tìm là: m = −4 0.25 0.25 π , m ∈ ¢ ( cos x − 1) s inx cos2 x (1) ⇔ + = cos x sin x 2sin xcos2 x cos x − ⇔ = sin x sin xcos2 x ⇔ cos2 x = cos x − ⇔ cos x = cos x Điều kiện: x ≠ m II.1 0.25 0.25 π  cos x =  x = + kπ ⇔ ⇔ cos x =  x = ± π + k 2π , k ∈ ¢   π Vậy: x = ± + k 2π , k ∈ ¢ 0.25 0.25 Điều kiện: −1 ≤ x ≤ II.2 ( 2) ⇔ x ( − x +1 = 2x ) ( ') ⇔ + x = −5 x − ( x = 0( n) 1+ x +1 ⇔   − x = + x + 1( ' ) )  24 −1 ≤ x ≤ − ⇔ ⇔ x=− 25 25 x + 24 x =  Vậy: x = 0, x = − I =∫ cos x ( sin x + cos x ) 0.25 0.25 24 25 π III.1 0.25 0.25  π2 1 cos x − s inx dx =  ∫ −  ( sin x + cos x ) ( sin x + cos x )  π 2 1 π  ÷ =  tan  x − ÷− 4  ( s inx + cos x ) ÷  0  ÷ ÷dx ÷  0.25 0.5 = 1 ( − + + 1) = 0.25 GócA’KH = 300 ⇒ A’K = 2A’H IV 0.25 1 1 = − = − 2 2 AA ' A' H a A' K 5a a 15 ⇒ A' K = , AA ' = a 15, AC ' = A ' C = 2a a ⇒ OA ' = a 5, OK = S ∆A ' CK = S∆OA ' K = A ' K OK = B A I C G H 0.25 B' A' K 5a C' Dựng đường cao BI tam giác ABC BI ⊥ (CA’K) nên BI đường cao khối chóp 2a B.A’CK BI = 0.25 Vậy thể tích khối tứ diện KA ' BC là: a 15 = S ∆A ' CK BI = VKA ' BC = VB A 'CK Ta có: ( y + z) 0.25 ≤ ( y + z ) , ∀y , z > ( x2 + y2 + z ) x2 +1 ≥ +1 = x + y2 + 2z2 x + ( y2 + z2 ) 0.25   1 VT + ≥ ( x + y + z )  + + 2 2 2 ÷ y + 2x + 2z z + 2x + y   x + y + 2z 0.25 ⇒ x2 x2 + ( y + z ) Do đó: V ⇒ VT + ≥   18 1 5x2 + y + 5z )  + + ≥ ( 2 2 2 ÷ y + 2x + 2z z + 2x + y   x + y + 2z ⇒ VT ≥ VT = ⇔ x = y = z > Vậy x2 x2 + ( y + z ) + y2 y2 +( x + z ) + z2 z2 +( y + x) ≥ (đpcm) 0.25 0.25 Gọi D đối xứng với A qua I D(5;-7) D nằm đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC: ( x − 3) + ( y + 3) = 20 VI.a.1 0.25 Gọi J trung điểm HD J trung điểm BC nên BC: x – y – = Tọa độ hai điểm B, C nghiệm hệ phương trình: ( x − 3) + ( y + 3) = 20   x − y − = 0.25  x =  y =1 ⇔   x = −1    y = −5 0.25 Mà xB < xC nên hai đỉnh cần tìm B(-1;-5) C(5;1) 0.25 I (−1 + 3t ; − 2t; + 2t ) ∈ d 0.25 IA + IB = 17t + 13 + 17t − 68t + 81 Xét hàm số f (t ) = 17t + 13 + 17t − 68t + 81   t t−2 f '(t ) = 17  + ÷ 17t − 68t + 81   17t + 13 VI.a.2 ) ( f '(t ) = ⇔ t 17t − 68t + 81 = ( − t ) ( 0.25 ) 0 ≤ t ≤ 17t + 13 ⇔  ⇔ t =1 52t − 52 = Điểm I cần tìm I(2;0;4) 0.25 Ta có: ( − i ) = − 4i ( + i ) = ( 2i ) = −4 VII.a 0.25 (7 − i ) z = − 4i − − 50 24 49 93 z = −1 − 4i − + i = − − i 25 25 25 25 442 Vậy z = 492 + 932 = 25 0.25 0.25 0.25 AB: x – y – = 0.25 Giả sử G ( m; − m ) ∈ d ⇒ C ( 3m − 3;9 − 3m ) VI.b.1 VI.b.2 3 ⇒ AB.d ( C ; AB ) = ⇒ d ( C ; AB ) = 2 2 6m − 15 m = = ⇒ ⇒ 2  m = S ∆ABC = 0.25 0.25 Vậy điểm C cần tìm là: C(3;3) C(6;0) 0.25 Gọi H hình chiếu vuông góc A d Khi d ( d ;( P ) ) = d ( H ;( P) ) 0.25 Giả sử điểm I hình chiếu vuông góc H lên (P) AH ≥ AI ⇒ HI lớn A trùng với I H(3;1;4) 0.25 0.25 uuur Mặt phẳng (P) cần tìm qua A nhận vectơ AH = ( −7; −1;5 ) làm VTPT 0.25 Vậy (P): 7x + y – 5z – 77 = ( VII.b 0.25 −i ) 2011  1  =  2  − i ÷÷   2   ( = 2 2012 5π   π  sin − i sin ÷   Vậy: ) 2011 2011 ( = 2   2011π  cos  −   ) 2011   π  π   cos  − ÷+ i sin  − ÷      2011 0.25   2011π   ÷ + i sin  − ÷     2012   π  π  =  cos  − ÷+ isin  − ÷÷     6  1006π = cos  −  0.25   1006π ÷ + isin  −    ÷  0.25 0.25 z= ( 2)   2011π   2011π  cos  − ÷+ i sin  −      1006π   1006π  cos  − ÷ + i sin  − ÷     2011 = 23016 ( cosπ + i sin π )  ÷   = 23016  cos  − 1005π       1005π ÷ + i sin  −    ÷ 