Các phơng pháp tính diện tích phía dới đờng cong gz ThS Đào Quang Dân Khoa Điều khiển tàu biển Lu ý tớnh din tớch phn phớa di ng cong GZ n gúc nghiờng no ú M t s quan im, lp lun tớnh din tớch phớa di ng cong GZ, gii hn n gúc nghiờng no ú, gi s n gúc 30 0, ngi ta s dng phng phỏp gn ỳng theo din tớch hỡnh tam giỏc vuụng (tam giỏc OBC nh hỡnh v 1.1), sau ú lý lun din tớch tam giỏc vuụng OBC cũn nh hn din tớch phớa di ng cong GZ, gii hn n gúc nghiờng 30 Cú th núi õy l mt sai lm Vỡ: Ch chỳng ta biu din (v) ng cong GZ nh hỡnh 1.1 thỡ din tớch phn phớa di ng cong GZ tớnh n gúc nghiờng (gi s) 30 mi ln hn din tớch tam giỏc vuụng OBC Nhng thc t tt c cỏc loi tu, th ng cong GZ cú dng chun nh hỡnh 1.2, thỡ ú theo nh hỡnh v 1.3 hoc 1.4 ta nhn thy, cha chc din tớch tam giỏc vuụng OBC ó nh hn din tớch phn phớa di ng cong GZ n gúc nghiờng no ú (gi s ú l gúc nghiờng 30 0) Chớnh vỡ vy chỳng ta cn loi b cỏch suy din trờn v khụng nờn tớnh din tớch phớa di ng cong GZ gii hn n mt gúc no ú kim tra n nh theo tiờu chun bng phng phỏp tớnh gn ỳng din G tớch Ztam giỏc vuụng B B O 10 20 C 30 400 500 600 700 800 C 90 10 A Hỡnh 1.1 100 200 300 400 500 600 700 800 900 Hỡnh 1.2 GZ xỏc nh cỏc phn din tớch phớa di ng cong GZ n cỏc gúc nht nh no ú ta cú cỏc cỏch sau: B GZ O C 0 10 20 30 40 50 60 70 80 B 90 Hỡnh 1.3 O C X Hỡnh 1.4 Cỏch tớnh din tớch phớa di ng cong GZ 2.1 Cỏc phng phỏp Trong nhiều ứng dụng kỹ thuật, ta cần tính diện tích bao đờng cong có hình dạng bất kỳ, chẳng hạn nh tính diện tích dới cánh tay đòn ổn định (hay mô men nghiêng) Để việc tính toán thuận tiện, đảm bảo xác dễ dàng áp dụng cho chơng trình tính toán máy tính, ta sử dụng số phơng pháp nh sau: y y1 y2 y3 y4 yn-1 yn 2.1.1 Phơng pháp hình thang o x Chia diện tích cần tính đờngh thẳnghsong song đờng thẳng cách h với trục Oy, h khoảng h Khi đó: H S = S1(y1, y2) +S2(y2, y3) + S3(y3, y4) + + Sn-1(yn-1, yn)ình 2.1 (y + y ).h + (y +y )h + + h(y + y ) 2 n-1 n 2 = h [y1 + 2y2 +2y3 + + 2yn-1+ yn] = Trong Si (yi, yi) diện tích giới hạn yi, yi + đợc coi nh hình thang đợc tính bằng: Si = (y + y ) h i i+1 Rõ ràng giảm khoảng cách h, giá trị diện tích tính đợc đảm bảo xác 2.1.2 Phơng pháp Simpson's Mặc dù thờng đợc biết đến với tên "Công thức Simpson", phơng pháp đợc nhà toán học sử dụng trớc lâu Đây trờng hợp đặc biệt công thức Newton - Cotes Giả sử cần tính diện tích dới đờng cong y = f(x) (Hình 2.2) Với điểm đờng cong A(-h, y1), B (O, y2), Container (h, y3); Coi y = f(x) đoạn C y =f(x) B hàm số bậc với biên x, ta có : A y = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 Khi đó, diện tích dới đờng cong đợc tính bằng: h A = ydx = h (a h y3 y2 + a1x + a x )dx h = a x +a1 y1 x2 x3 x +h - h +a +a = 2a h + a Hì h 3nh h Lại giả sử diện tích đợc tính theo công thức: A = L.y1 + M.y2 + N.y3 Với: y1 = a0 - a1h + a2h2 - a3h3 y2 = a0 y3 = a0 + a1h + a2h2 + a3h3 2.2 (2-1) (2-2) +h Thay vào (2-2), ta có: A = (L + M + N) a0 - (L - N) a1h + (L+N) a2h2 - (L-N)a3h3 Cân hệ số (2-3) (2-1) ta có: (2-3) L + M + N = 2h L N = L = N = h; M = h 3 L +N = h Nh vậy, ta có: (thay vào (2-2) A = y h y + h.y + h.y = h (y + 4y + y ) 3 3 3 A1 A2 Công thức đợc gọi Công thức Simpson bậc Diện tích (Hình 2.3) đợc chia (2n + 1) (lẻ) điểm cách (khoảng cách h) Khi đó, theo công thức trên, diện tích o giới hạn (1) (3) đợc tính bằng: y y y y y 2n+1 A1 = h ( y1 + y + y ) Diện tích (3), (5): A2 = h ( y + y +y ) Diện tích (5), (7): A3 = yn 2n+1 Hình 2.3 h( y + 4y + y ) Nh vậy: A = n A i = h ( y1 + y + y + y + y + y + + y n +1 ) Hay: A = y1 y h + y + y + y + y + y + + n 2 Hệ số chung: h Các hệ số lần lợt là: 1, 4, 2, 4, 2, , 2,4,1 Nh vậy, công thức hình thang, ta coi y = f(x) đoạn chia tuyến tính đây, ta coi đờng cong bậc 3, độ xác tăng lên đáng kể * Trong trờng hợp phần diện tích đợc chia số chẵn (2n) điểm, ta sử dụng công thức Simpson cho diện tích giới hạn 2n-1 điểm đầu diện tích khoảng cuối nh sau: A(1, 2n-1) = A(2n-1, 2n) = h( y1 + y + 2y + + y n + y n ) h (y + 4y* + y ) 2n-1 2n y h. y1 + y + + y n + y n + y * + y n 2 * Khi cần độ xác cao hơn, ứng với số điểm chia 4, 7, 10, 13, 16, 4+3n, ta coi đoạn y = f(x) đa thức bậc h h/2 biến x A = A(1,2) + A(2n-1; 2n) = 2n Hỡnh 2.4 h/2 2n-1 x Bằng cách thực tơng tự, ta có: A(1;4) = h( y1 +3y +3y + y ) A(4,7) = h ( y + 3y + 3y + y ) A(3n+1, 3n+4) = h ( y n +1 +3y n +2 +3y n +3 + y n +4 ) A = Ai = h (y1+3y2+3y3+2y4+3y5+3y6+2y7+ +y3n+4) Trong đó: h: Khoảng chia Các hệ số (1,3,3,2,3,3,2,3,2, 2,3,3,1) * Tổng quát, ta có bảng hệ số nhân, ứng với số điểm chia từ tới nh sau: Hệ số Số điểm 1 2 1 6 6 8 90 8 32 90 32 90 90 19 288 75 288 12 90 50 288 50 288 75 288 A = L x (yi x hệ số i) Với L khoảng cách từ đờng thẳng đứng qua điểm đầu tới đờng thẳng đứng qua điểm cuối đờng cong 2.1.3 Công thức Tchebycheff y Vẫn từ giả thiết nh Simpson nhng Tchebycheff đa công thức tích phân gần dạng: A = P (y1 + y2 + y3) Trong đó: P : thừa số chung y2: lấy gốc y1 y3 y2 x x y1, y2: lấy vị trí x mà ta tìm sau đây: Thay vào công thức: x y1 = a0 - a1x + a2x2 - a3x3 h h y2 = a0 Hỡnh 2.5 y3 = a0 + a1x +a2x2 + a3x3 A = P (y1 + y2 + y3) = P (3a0 + 2a2x2) => 3P =2 h P = h 2 px = h =ph x = h =0,7071h Vậy, công thức Tchbycheff đợc viết thành 2h [f(-0,7071h) + f(0) + f(0,7071h)] Công thức đợc xây dựng ứng với số đoạn chia A= Ta xây dựng công thức Tchebycheff cho điểm chia khác (2 ữ 10) cách tơng tự, kết đợc tính nh sau: Thừa số chung đợc tính công thức: P = 2h n Trong đó: n số điểm lấy giá trị Số điểm lấy 10 Khoảng cách từ gốc tới giá trị điểm, tính theo đơn vị h 0.57735 0.18759 0.26664 0.10268 0.08375 0.70711 0.79465 0.37454 0.42252 0.32391 0.40620 0.16791 0.31273 0.83250 0.86625 0.52966 0.59380 0.52876 0.5000 0.88386 0.89733 0.60120 0.68727 Bậc đờng cong 3 7 0.91159 0.91625 2.1.4 Công thức Gauss Có thể thấy, công thức Simpson, hệ số nhân khác vị trí điểm lấy giá trị cách nhau; ngợc lại, công tác Tchebycheff, hệ số nhân đợc lấy giá trị cố định khoảng cách điểm lấy giá trị không Đối với công thức sau, hệ số nhân khoảng cách điểm đợc tính không nhau: Số điểm lấy giá trị Diện tích = (y(khoảng cách) x hệ số nhân) x 2h Khoảng cách 0.57735 Hệ số nhân 0.50000 Vị trí 0.77460 Hệ số nhân 0.44444 0.27778 Vị trí 0.33998 0.86114 Hệ số "x" 0.32607 0.17393 Vị trí 0.53847 0.90618 Hệ số nhân 0.28445 0.23931 0.11846 y Ví dụ: (4 điểm) A = 2h x [ 0.32607.y + 0.32607.y + 0.17393.y + 0.17393.y ] So với công thức Simpson hay Tchebycheff công thức Gauss có độ xác cao nhiều việc tính toán đặc biệt tính toán tay gặp nhiều khó khăn 0.8 y y h 0.8 0.3 0.3 y y h Hỡnh x 2.2 Lu thut toỏn 2.2.1 Phng phỏp Simpson tớnh tớch phõn xỏc nh theo thut toỏn sau: b f ( x)dx = a 2h f + f n +2 f1 + f + +2 f n + Rn ( f ), ( a b ) f ( 4) ( ) , a < < b; Trong ú phn d Rn ( f ) = 180n ba n bc h = Trong chng trỡnh cú dựng cỏc ký hiu sau: a l cn di ca tớch phõn; b l cn trờn; l chớnh xỏc; m l s ln tớnh lp max; IT l ch s bng -1 phộp tớnh lp phõn k, ngc li IT = 1; Sigma l tr s ca tớch phõn BEGIN c a, b, , m S = S h = (b-a)/n 2h S i:=1 In S= END BEGIN S:= ỳng i < n-1 i= i+2 Sai h := Hỡnh 2.7 ba n i:=1 h : = phỏp hỡnh thang (phng phỏp 4.2.2 Tớnh tớch phõn bng phng Romberg) b f0 + fn + f1 + + f n +Rn ( f ), f ( x )dx =h a Trong ú f i = f ( a + ih ) ; Rn ( f ) = ( b a2) f '' ( ) , a < < b; 12n Hình 2.8 S : = S + fi in a2 l cn di ca [ a ,b2 ] ; b2 l cn trờn ca [ a ,b2 ] ; Tớnh y, S dta l chớnh xỏc ; ỳng no l s im tớnh; Sigma l giỏ tr ca tớch phõn kộp sau tớnh toỏn Sai k>m m l s ln tớnh lp cc i; Sai Hình 2.9 dta? ỳng In END 2.2.4 Tớnh tớch phõn kộp bng phng phỏp Romberg = f ( x, y ) dxdy Hm f(x, y) liờn tc = [ a1 ,b1 ] x [ a ,b2 ] õy phng phỏp Romberg tớnh tớch phõn kộp dựng cụng thc kt hp trờn c s cỏc im trung gian Vỡ hm f liờn tc nờn ta cú th vit: b1 b2 a1 a2 = dx f ( x, y )dy Chia cỏc cn [ a1 ,b1 ] x [ a ,b2 ] thnh cỏc on nh hn ngha l chn cỏc bc tớch phõn hx v hy vi cỏc nx v ny l cỏc s nguyờn khỏc khụng hx = b1 a1 , nx hx = b2 a , ny Giỏ tr ca x v y ti cỏc im tớch phõn xi = + ihx i := 1, n x xi = + ihx j := 1, n y Chia thnh cỏc Pij vi [ Pij = xi , xi ] x[ y j , y ] i := 1, n x j := 1, n y Ta nhn c tớch phõn kộp l mt tng nh sau: n n i =1 j =1 = x Vi y Pij n n i =1 j =1 f ( x, y )dxdy = x y ij ij = hx h y f x i , y j i j n = hx h y i =1 x n j =1 y f x i , y j i j Trong chng trỡnh cú function HAM cha hm cn tớch phõn õy chỳng ta cú f(x, y) = (x + y)sinxsiny Cỏc bin ca chng trỡnh gm: a1, b1 l cỏc cn tớch phõn theo x; a2, b2 l cỏc cn tớch phõn theo y; m l s ln tớnh lp cc i (nhiu nht l 15); it l ch s nhn hai giỏ tr = -1 nu bi toỏn khụng hi t = nu bi toỏn khụng hi t dta l chớnh xỏc; sigma l tr s ca tớch phõn Lu đồ thuật toán nh hình 2.9 ... Cỏch tớnh din tớch phớa di ng cong GZ 2.1 Cỏc phng phỏp Trong nhiều ứng dụng kỹ thuật, ta cần tính diện tích bao đờng cong có hình dạng bất kỳ, chẳng hạn nh tính diện tích dới cánh tay đòn ổn định... bậc Diện tích (Hình 2.3) đợc chia (2n + 1) (lẻ) điểm cách (khoảng cách h) Khi đó, theo công thức trên, diện tích o giới hạn (1) (3) đợc tính bằng: y y y y y 2n+1 A1 = h ( y1 + y + y ) Diện tích. .. Si (yi, yi) diện tích giới hạn yi, yi + đợc coi nh hình thang đợc tính bằng: Si = (y + y ) h i i+1 Rõ ràng giảm khoảng cách h, giá trị diện tích tính đợc đảm bảo xác 2.1.2 Phơng pháp Simpson's