TOÁN ỨNG DỤNG TRONG HÀNG HẢI

Chương Các kiến thức 1.1 Đường tròn lớn đường tròn nhỏ Hình cầu vật thể giới hạn mặt bao gồm điểm có khoảng cách không đổi tới điểm cố định, gọi tâm hình cầu Đoạn thẳng nối điểm mặt cầu với tâm gọi bán kính Đoạn thẳng qua tâm nối điểm mặt cầu gọi đường kính Giao tuyến mặt cầu với mặt phẳng đường tròn B C D A O Giả sử AB giao tuyến mặt cầu với mặt phẳng đó, O tâm hình cầu Kẻ OC vuông góc với mặt phẳng; lấy D thuộc giao tuyến nối OD, CD Vì OC vuông góc với mặt phẳng nên góc OCD góc vuông; CD = √ OD2 − OC Do O C cố định nên OC số; OD số bán kính hình cầu nên CD số Như điểm giao tuyến cách C khoảng không đổi, tức C tâm đường tròn giao tuyến http://www.ebook.edu.vn Các kiến thức Giao tuyến mặt cầu với mặt phẳng gọi đường tròn lớn mặt phẳng qua tâm hình cầu, gọi đường tròn nhỏ mặt phẳng không qua tâm hình cầu Như bán kính đường tròn lớn với bán kính hình cầu Trục đường tròn đường kính hình cầu vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn; hai điểm đầu đường kính gọi cực đường tròn Khoảng cách từ cực đường tròn lớn đến mặt phẳng chứa đường tròn Các cực đường tròn nhỏ có khoảng cách khác đến mặt phẳng chứa đường tròn; chúng gọi tương ứng cực gần xa P T S F R D C E O B A B X Y Q Trên hình vẽ, EAB đường tròn lớn, mặt phẳng chứa qua tâm O hình cầu Giả sử QOP đường kính hình cầu vuông góc với mặt phẳng (EAB ) Lấy điểm R tùy ý OP , vẽ mặt phẳng qua R song song với (EAB ) giao với hình cầu theo đường tròn nhỏ F CD Các điểm P , Q cực đường tròn lớn EAB đường tròn nhỏ F CD Giả sử P CAQ đường tròn lớn qua cực P , Q cắt F CD, EAB C A; P DB cung đường tròn lớn khác qua P , Q Khi ta nói P có góc cầu xác định theo cách sau: Vẽ tiếp tuyến P S , P T tương ứng với cung P A, P B ; hiển nhiên P T song song với OB , P S song song với OA Góc SP T gọi góc cầu P tạo cung đường tròn lớn P A, P B với góc AOB Khoảng cách từ điểm đường tròn đến cực Giả sử http://www.ebook.edu.vn 1.1 Đường tròn lớn đường tròn nhỏ O tâm hình cầu, AB đường tròn bất kì, C tâm, P P cực √ đường tròn Lấy D thuộc đường tròn; nối CD, OD, P D Khi P D = P C + CD2 ; P C CD không đổi P D không đổi Giả sử có đường tròn lớn qua P D dây cung P D không đổi, tức cung đường tròn lớn nằm P D số D chạy đường tròn AB P B C D A O P Cung đường tròn lớn tính từ cực tới điểm đường tròn 900 P B C O A Giả sử P cực đường tròn lớn ABC cung P A có số đo 900 Thật vậy: dễ thấy P O vuông góc với (ABC ) P cực (ABC ), góc P OA 900 , nghĩa sđ P A 900 Góc trương tâm hình cầu cung đường tròn lớn nối cực đường tròn lớn góc mặt phẳng chứa đường tròn http://www.ebook.edu.vn Các kiến thức A B O M D C N E Giả sử O tâm hình cầu, CD, CE đường tròn lớn giao C , A B cực CD, CE Vẽ đường tròn lớn qua A B , cắt CD, CE M N Khi AO vuông góc với OC , BO vuông góc với OC nên OC vuông góc với mặt phẳng (AOB ), OC vuông góc với OM , ON Như M ON góc mặt phẳng (OCD) (OCE ) Hơn nữa: AOB = AOM − BOM = BON − BOM = M ON Hai đường tròn lớn chia đôi Vì mặt phẳng chứa đường tròn lớn qua tâm hình cầu, tức đường nối giao điểm đường kính hình cầu đường tròn lớn có đường kính, đường tròn chia thành phần giao điểm Các đường tròn lớn qua cực đường tròn lớn cho trước gọi đường tròn phái sinh (secondaries circle) Trong hình vẽ C cực ABM N , CM CN phần đường tròn phái sinh; góc CM CN số đo cung M N ; vậy, góc đường tròn lớn số đo cung chúng chắn đường tròn lớn mà chúng đường tròn phái sinh 10 Cung tròn mặt cầu Hai điểm A, B đường tròn chia đường tròn thành cung Cung có số đo nhỏ gọi cung tròn nhỏ, cung có số đo lớn gọi cung tròn lớn Sau ta xét cung tròn nhỏ http://www.ebook.edu.vn 1.1 Đường tròn lớn đường tròn nhỏ O α B A Cung tròn nhỏ đường tròn nhỏ mặt cầu gọi cung đường tròn nhỏ (đôi gọi cung cầu nhỏ) Độ dài cung cầu nhỏ AB kí hiệu l AB Cung tròn nhỏ mặt cầu gọi cung đường tròn lớn (đôi gọi cung cầu lớn) Độ dài cung cầu lớn AB kí hiệu L AB 11 Qua tâm điểm A, B tùy ý mặt cầu vẽ mặt phẳng (trừ trường hợp điểm điểm đầu, điểm cuối đường kính), có cung cầu lớn qua điểm A, B Ngược lại, có vô số cung cầu nhỏ qua điểm mặt cầu Định lý Đường ngắn điểm mặt cầu theo cung cầu lớn Chứng minh Giả sử σ : [a, b] −→ S đường cong cho dạng tham số mặt cầu S với σ (a) = A, σ (b) = B Trong tọa độ Đề Các σ viết dạng σ (t) = x(t), y (t), z (t) Khi độ dài σ tính công thức: b (x (t))2 + (y (t))2 + (z (t))2 dt(∗) l(σ ) = a Trong hệ tọa độ cầu ta có: x(t) = R sin θ cos ϕ; y (t) = R sin θ sin ϕ; z (t) = R cos θ , θ = θ(t), ϕ = ϕ(t) Ta tính thay đạo hàm x (t), y (t), z (t) vào công thức (*) ta nhận được: b l(σ ) = R a b (θ )2 + sin2 θ(ϕ )2 dt ≥ ˆ =AB Rθ dt = R(θ(b) − θ(a)) = R BOA a Dấu "=" xảy ϕ (t) = sin2 θ(t) = với t, tức theo cung cầu lớn AB 12 Số đo cung đường tròn nhỏ số đo cung đường tròn lớn trương góc tâm Giả sử ab cung đường tròn nhỏ, C tâm đường tròn, P cực, O tâm hình cầu Qua P vẽ đường tròn lớn P aA P bB , gặp đường tròn lớn cực P http://www.ebook.edu.vn Các kiến thức điểm A, B ; nối Ca, Cb, OA, OB Khi Ca, Cb, OA, OB vuông góc với OP , mặt phẳng aCb, AOB vuông góc với OP nên Ca song song với OA, Cb song song với OB P b C a O B A Như góc aCb góc AOB , suy arcab arcAB arcab Ca Ca = ⇒ = = = sin P Oa radiusCa radiusOA arcAB OA Oa 1.2 Kinh độ vĩ độ Trái Đất • Trong nhiều toán thực tế Trái đất xem cầu tuyệt bán kính khoảng 6400km, quay xung quanh trục nối cực từ trường trái đất N, S N gọi cực bắc, S gọi cực nam Đường tròn lớn nằm mặt phẳng vuông góc với NS gọi xích đạo Mặt phẳng chứa đường xích đạo gọi mặt phẳng xích đạo Nó chia mặt cầu thành bán cầu gọi bán cầu bắc bán cầu nam • Các mặt phẳng song song với mặt phẳng xích đạo cắt mặt cầu theo giao tuyến đường tròn nhỏ, gọi vĩ tuyến Các vĩ tuyến bán cầu bắc gọi vĩ tuyến bắc, bán cầu nam gọi vĩ tuyến nam http://www.ebook.edu.vn 1.2 Kinh độ vĩ độ Trái Đất N M G X H J O K W ϕ Y λ L E S • Qua cực nam, bắc có vô số đường tròn lớn Hai cực chia đường tròn lớn thành nửa, nửa đường tròn lớn gọi kinh tuyến Đặc biệt, kinh tuyến qua đài thiên văn Greenwich quy ước kinh tuyến gốc; hình (1.2) N GKS • Giả sử kinh tuyến N HLS cắt xích đạo L Số đo góc KOL gọi kinh độ kinh tuyến N HS Nó số đo cung KL nằm xích đạo số đo góc cầu cực KN L Kinh độ kí hiệu λ đo từ O0 đến 1800 đông tây so với kinh tuyến gốc (theo hướng mũi tên gần K ) Trên hình (1.2), kinh độ N XS khoảng 1000 E (east), kinh độ N M S khoảng 600 W(west) Các điểm nằm kinh tuyến có kinh độ Qui ước: Trái đất quay từ tây sang đông (W−→E), tức người đứng tâm trái đất, đầu hướng phía bắc nhìn xích đạo chiều quay ngược chiều kim đồng hồ • Để xác định xác vị trí điểm mặt cầu, ta cần xác định vị trí điểm kinh tuyến qua Điều thực nhờ tham chiếu đến xích đạo Xét điểm J kinh tuyến N HS Kinh tuyến qua J cắt xích đạo L số đo góc LOJ , hay cung tròn lớn LJ gọi vĩ độ J , kí hiệu ϕ Nếu J nằm xích đạo cực bắc N ta nói J có vĩ độ bắc (N), J nằm xích đạo cực nam S ta nói J có vĩ độ nam (S) http://www.ebook.edu.vn Các kiến thức • Mỗi điểm A mặt cầu Trái đất xác định thông qua kinh độ λM vĩ độ ϕM • Ví dụ Hãy xác định điểm sau mặt cầu: A(ϕA = 200 30 42 N ; λA = 140 41 26 W ), B (ϕB = 180 25 49 N ; λB = 720 41 26 E ), C (ϕC = 480 21 37 S ; λC = 280 17 46 W ), D(ϕD = 600 20 41 S ; λD = 540 38 11 E ), H (ϕH = 620 30 N ; λH = 1680 24 42 E ),G(ϕG = 800 19 25 S ; λG = 1570 54 36 W ) http://www.ebook.edu.vn Chương Tam giác cầu 2.1 Khái quát tam giác cầu 2.1.1 Tam giác cầu yếu tố Cho điểm A, B, C mặt cầu tâm O bán kính R Ta gọi phần mặt cầu giới hạn cung tròn lớn AB, BC, AC tam giác cầu ABC , điểm A, B, C gọi đỉnh tam giác cầu A t t O C B B Nối OA, OB, OC kéo dài ta tam diện Oxyz đỉnh O Các góc đỉnh BOC = số đo BC = a, AOC = số đo AC = b, BOA = số đo AB = c cạnh tam giác cầu, viết tắt a =BC ,b =AC ,c =AB Giả sử At tiếp tuyến AB A, At tiếp tuyến AC A (các tiếp tuyến hướng từ A B , C ); tAt góc đỉnh A tam giác cầu Đó góc nhị diện cạnh OA tạo mặt phẳng (OAC ) (OBC ) Tương tự ta xác định góc lại B C http://www.ebook.edu.vn 10 Tam giác cầu Vậy tam giác cầu có yếu tố là: cạnh a, b, c góc A, B, C đối diện với cạnh Quy ước: Số đo cạnh tam giác cầu nhỏ 1800 hay π A F C B D E Trong hình vẽ cung ADEB lớn nửa vòng tròn, xem ADEB , AC BC cạnh tam giác cầu với góc A, B , C Tuy nhiên theo quy ước ta không xét tam giác cầu loại này; tam giác với góc A, B , C hiểu tam giác với cạnh AF B , BC CA Với quy ước dễ dàng dẫn đến kết sau: tam giác cầu số đo góc nhỏ 1800 Trung tuyến tam giác cầu cung tròn lớn nối đỉnh tam giác cầu với trung điểm cạnh đối điện với đỉnh Đường vuông góc (hay đường cao) tam giác cầu kẻ từ đỉnh đến cạnh đối diện cung tròn lớn nối đỉnh với điểm H cạnh đối diện cho góc cầu cực H tạo cung tròn lớn cạnh đối diện 90◦ Trong tam giác cầu có hay góc vuông có vô số đường cao kẻ từ đỉnh π π mặt cầu có góc A = B = C = cạnh a = b = c = Có vô 2 số đường cao kẻ từ đỉnh • Ví dụ 2.1.2 Tính chất tam giác cầu Với tam giác cầu ABC có góc tam diện đỉnh tâm cầu O cạnh OA, OB, OC http://www.ebook.edu.vn 2.3 Các công thức theo góc, cạnh chia đôi 21 Vậy ta có: tan A sin(p − b) sin(p − c) sin p sin(p − a) = Hoàn toàn tương tự ta có: tan 2.3.2 B sin(p − a) sin(p − c) ; sin p sin(p − b) = tan C sin(p − a) sin(p − b) sin p sin(p − c) = Công thức tổng hai góc chia đôi, hiệu hai góc chia đôi Theo công thức tang ta có tan ⇒ tan ⇔ tan ⇔ tan ⇔ tan ⇔ tan ⇔ tan A+B A+B = = A+B A+B A+B = = = = + tan − tan A B tan B sin(p − b) sin(p − c) sin p sin(p − a) sin(p − b) sin(p − c) + sin p sin(p − a) 1− A+B = A sin(p − b) sin(p − c) + sin p sin(p − a) 1− A+B tan sin(p − b) sin(p − c) sin p sin(p − a) sin(p − a) sin(p − c) sin p sin(p − b) sin(p − a) sin(p − c) sin p sin(p − b) sin(p − a) sin(p − c) sin p sin(p − b) sin(p − a) sin(p − c) sin p sin(p − b) sin(p − c) sin p sin(p − b) sin(p − a) + sin(p − a) sin(p − b) sin(p − c) 1− sin p sin(p − c) sin(p − b) + sin(p − a) sin p sin(p − a) sin(p − b) sin p − sin(p − c) sin p 2p − a − b a−b cos sin p sin(p − c) sin 2 2p − c c sin(p − a) sin(p − b) cos sin 2 a−b c a−b cos C sin cos 2 · cot C cot · = a+b c a+b 2 cos sin cos 2 Tương tự ta có: tan A+C = cos cos a−c a+c · cot B ; tan B+C = http://www.ebook.edu.vn cos cos b−c b+c · cot A 22 Tam giác cầu 2.4 Giải tam giác cầu 2.4.1 Khái quát chung Bài toán: Tam giác cầu có yếu tố cạnh a, b, c, góc A, B, C Tam giác cầu hoàn toàn xác định biết yếu tố Giải tam giác cầu tức xác định yếu tố tam giác cầu biết giả thiết tam giác cầu Khi giải tam giác cầu thường đưa giải phương trình lượng giác có vô số nghiệm, ta phải lựa chọn nghiệm thích hợp với điều kiện tam giác cầu, phù hợp với thực tế toán đặt Khi ta dựa vào điều kiện: < a, b, c < π ; a; a < b + c; 3π ; < A, B, C < π ; c < a + b; A + B − C < π; b < a + c; B + C − A < π; |a − b| < c; |a − c| < b; < a + b + c < 2π ; |b − c| < π < A+B+C < A + C − B < π Dạng • Giải tam giác cầu biết cạnh (hay góc) • Giải tam giác cầu biết cạnh góc xen cạnh • Giải tam giác cầu biết cạnh góc đối diện với cạnh Phương pháp: Ta thường sử dụng phương pháp để giải toán • Giải trực tiếp: dựa vào yếu tố cho tính trực tiếp yếu tố chưa biết mà không cần thông qua yếu tố trung gian • Giải gián tiếp: Đưa giải tam giác cầu cực, tính yếu tố qua kết trung gian (thường mắc sai số tích lũy) 2.4.2 Giải tam giác cầu biết cạnh Cho tam giác cầu ABC biết cạnh a, b, c, cần tính góc A, B, C Ta tính trực tiếp từ định lý cosin thứ cos A = cos a − cos b cos c sin b sin c hay tính gián tiếp sử dụng logarit theo tan A = sin(p − b) sin(p − c) sin p sin(p − a) http://www.ebook.edu.vn 2.4 Giải tam giác cầu 23 Các góc khác tính tương tự Chú ý Với tam giác cầu biết góc A, B, C ta đưa giải tam giác cầu trực đối biết a = π−A,b = π−B ,c = π−C A , B , C , từ suy ra: a = π−A ,b = π−B ,c = π−C • Ví dụ Giải tam giác cầu ABC biết: a = 75◦ 46 b = 60◦ 30 25 c = 82◦ 47 Giải • Cách 1: Tính trực tiếp cos a − cos b cos c cos 75◦ 46 − cos 60◦ 30 25 cos 82◦ 47 = sin b sin c sin 60◦ 30 25 sin 82◦ 47 = 0, 23110787 ⇒ A = 77◦ 41 43 cos b − cos a cos c cos B = = 0, 479845896 ⇒ B = 61◦ 19 29 sin b sin c cos c − cos a cos b cos C = = 0, 05422473162 ⇒ B = 89◦ 41 22 sin a sin b cos A = • Cách 2: Tính gián tiếp qua logarit p= a+b+c log tan = 109◦ 31 43 , p − a = 33◦ 45 43 , p − b = 49◦ 18 , p − c = 26◦ 44 43 [log sin (p − b) + log sin (p − c) log sin p − log sin (p − a)] 2 = −0, 093992535 A = ⇒ A = 77◦ 41 43 Hoàn toàn tương tự ta B, C • Ví dụ Giải tam giác cầu ABC biết: A = 65◦ 23 , B = 72◦ 19 30 , C = 92◦ 47 18 Giải • Cách 1: Tính gián tam giác cầu trực đối A B C tam giác ABC a = 114◦ 37 , b = 107◦ 40 30 , c = 87◦ 12 42 cos a − cos b cos c = −0, 422182071 ⇒ A = 114◦ 58 20, sin b sin c ⇒ a = 65◦ 01 39, cos A = • Cách 2: Tính trực định lý cosin thứ hai cos a = cos A + cos B cos C = 0, 422181071 ⇒ a = 65◦ 39, 49 sin B sin C Tương tự cos b = 0, 31205052 cos c = 0, 089845346 ⇒ b = 71◦ 49 ⇒ c = 84◦ 50 43 http://www.ebook.edu.vn 24 Tam giác cầu 2.4.3 Giải tam giác cầu biết cạnh góc xen cạnh Cho tam giác cầu ABC với giả thiết biết a, b, C Tính A, B, c? Theo định lý cosin thứ nhất: cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C Theo định lý hàm cotang ta có: cot a sin b − sin C cot A = cos b cos C =⇒ cot A = cot a sin b − cos b cos C sin C cot b sin a − cos a cos C sin C Để tính logarit ta dựa công thức: Hoàn toàn tương tự: cot B = tan tan rút A+B A−B = a−b cot C a+b cos sin a−b cot C a+b sin   A+B = α  A−B = β hay từ cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C Xét b = = cos π (0 < b < π ) ta viết: cos c = cos a + sin a tan b cos C cos b cos c cos c cos a cos α + sin a sin α = cos a+sin a tan α hay = cos b cos b cos α cos b Sau tính α ta được: cos c = cos(a − α) cos α Đặt tan b cos C = tan α ta có: • Trường hợp biết cạnh góc kề với cạnh Giả sử biết a, B, C ta tính trực tiếp hay gián tiếp qua tam giác cầu trực đối A B C Khi biết: A = π − a, b = π − B, c = π − C Theo cách tính ta được: a , B , C , từ suy ra: A = π − a , b = π − B , c = π − C • Ví dụ Giải tam giác cầu ABC biết a = 60◦ , b = 75◦ , C = 45◦ Giải http://www.ebook.edu.vn 2.4 Giải tam giác cầu 25 cos c = cos a + cos b sin a tan α với tan α = tan b cos C = 2, 638958 hay α = 69◦ 14 47 Khi đó: Theo định lý cosin thứ nhất: cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C ⇒ cos c cos(a − α) = ⇒ cos c = 0, 7209 ⇒ c = 43◦ 52 12 cos b cos α Ta có: a + b = 135◦ , a − b = −15◦ suy tan tan A+B A−B = = cos a+b = 67◦ 30 , a−b a−b cot C = 6, 2546 ⇒ A + B = 80◦ 54 59 a+b 2 cos sin sin = −7◦ 30 a−b a+b cot C = −0, 34108 ⇒ A−B   A + B = 161◦ 49 58 ⇒  A − B = −37◦ 40 = −18◦ 50 Giải hệ ta được: A = 62◦ 58 , B = 99◦ 44 59 • Ví dụ 10 Một tàu từ cảng A theo hướng HTA = 210◦ Biết ϕA = 5◦ 24 35 N, λA = 12◦ 47 24 E Hỏi tàu qua kinh tuyến gốc điểm nào? Giải N A W O B θ A E B S Xét tam giác cầu SAB , với B giao hành trình tàu với kinh tuyến gốc Ta có: λB = 0◦ , SAB = 30◦ , SA= 95◦ 24 35 , ASB = 12◦ 47 24 Theo định lý cotg: cot SB sin SA − sin ASB cot SAB = cos SA cos ASB Khi đó: cot SB = 0, 29280458 ⇒SB = 73◦ 40 47 , tức ϕB = 16◦ 19 13 S http://www.ebook.edu.vn 26 Tam giác cầu 2.4.4 Giải tam giác cầu biết cạnh góc đối diện với cạnh Cho tam giác cầu ABC Giả sử biết cạnh a, b góc A Tính B, c, C ? Giải Theo định lý hàm sin: sin B sin A sin b sin A = ⇒ sin B = sin b sin a sin a • Cách 1: Với yếu tố a, C, b, A nên theo định lý cotg ta có: cot a sin b − sin b cot A = cos b cos C π cot a sin b sin C cot A Xét b = : = + cos C cos b cos b cot A sin b cot a cos(C − α) Đặt tan α = ta có = sin C tan α + cos C = ⇒ cos(C − cos b cos b cos α α) = cos α cot a tan b sin C sin a Từ tìm C − α, C sử dụng sin c = suy c sin A • Cách 2: Có thể tìm C c theo: tan A+B cos a−b cos 12 (a − b) C cot (A + B ) = cot =⇒ tan C = a+b 2 cos (a + b) cos , cos 12 (A − B ) cos 12 (A + B ) 1 1 tan c =⇒ tan c = tan (a + b) tan (a + b) = 1 2 2 cos (A + B ) cos (A − B ) Chú ý Khi giải phương trình sin x = y ta có nghiệm < α, π − α < π Ta lấy nghiệm hay nghiệm tùy theo nghiệm có thỏa mãn điều kiện tam giác cầu hay không ? Các toán thực tế có nghiệm thỏa mãn điều kiện tam giác cầu Ngoài yếu tố cần xác định giải cách khác lấy nghiệm chung hai cách • Ví dụ 11 Một tàu từ cảng A đến cảng B theo hướng HTA = 302◦ Biết ϕA = 12◦ 30 S, λA = 176◦ 24 30 W, ϕB = 6◦ 28 37 N Tính λB thời gian hành trình tàu biết tàu với vận tốc 12 hải lý/giờ Giải http://www.ebook.edu.vn 2.4 Giải tam giác cầu 27 N E θ W B O A B A HTA S Xét tam giác cầu N AB biết: N B = a = 90◦ −ϕB = 83◦ 31 23 , N A= b = 90◦ +ϕA = 102◦ 30 , sin b sin A A = 360◦ − HTA = 58◦ Theo định lý hàm số sin: sin B = = 0, 833264423 ⇒ sin a B1 = 56◦ 26 B2 = 123◦ 33 52 Vì a < b ⇒ A < B nên ta chọn B = 123◦ 33 52 Ta a−b a+b A+B cos cos tan A+B C C cot (coi N = C ) ⇒ cot = 2 = 3, ⇒ lại có: tan = a+b a−b 2 cos cos 2 C ◦ ◦ = 14 22 34 ⇒ C = 28 45 Vậy λB = 360◦ − (λA + C ) = 154◦ 50 22 E sin AB sin a Theo định lý hàm số sin: = ⇒ sin AB = 0, 563591338 ⇒AB = 34◦ 18 16 sin C sin A 145◦ 41 44 Do N − C < A < B nên c < a < b, ta chọn AB = 34◦ 18 16 ⇒ l AB = 2058, 2717 hải lý Thời gian hành trình tàu t = 2.4.5 l AB v = 171h 31m 22s Giải tam giác cầu biết góc cạnh đối diện với góc Cho tam giác cầu ABC Giả sử biết góc A, B cạnh a Tính b, c, C ? Giải Theo định lý hàm sin ta tìm b: sin b = sin B sin a sin A http://www.ebook.edu.vn 28 Tam giác cầu Sau tìm C c theo công thức sau: tan , A+B = cos a−b cot C =⇒ tan C = cos (a − b) cot (A + B ) a+b 2 cos 12 (a + b) cos cos 12 (A − B ) cos 12 (A + B ) 1 1 tan (a + b) = tan c = ⇒ tan c = tan (a + b) 1 2 2 cos (A + B ) cos (A − B ) Ta tìm C độc lập với b cách sử dụng công thức: cos A = − cos B cos C + sin B sin C cos a = cos B (− cos C + tan B sin C cos a) Đặt cot α = tan B cos a ta có cos A = cos B (− cos C + sin C cot α) = cos B sin(C − α) cos A sin α =⇒ sin(C − α) = sin α cos B Từ tìm C − α, suy C 2.5 Tam giác cầu vuông 2.5.1 Tam giác cầu vuông • Là tam giác cầu có góc 90◦ • Tam giác cầu vuông có 1, góc vuông • Qui ước tam giác cầu vuông với A = 90◦ BC cạnh huyền, AB, AC cạnh góc vuông • Các công thức nhận π Giả sử A = ⇒ cos A = 0, theo định lý cosin thứ ta có cos a = cos b cos c Theo định lý cosin thứ hai cos A = sin B sin C cos a − cos B cos C ⇒ cos a = cot B cot C cos B = sin A sin C cos b − cos A cos C ⇒ cos B = sin C cos b Hoàn toàn tương tự ta có cos C = sin B cos c http://www.ebook.edu.vn 2.5 Tam giác cầu vuông 29 Áp dụng định lý cotang với bACB : cot b sin c − sin A cot B = cos c cos A ⇒ cot b sin c − cot B = =⇒ sin c = cot B tan b Tương tự ta có sin b = cot C tan c Áp dụng định lý cotang với aBcA cot A = ta có: cot a sin c − sin B cot A = cos c cos B =⇒ cot a sin c = cos c cos B ⇒ cos B = cot a tan c Tương tự ta có: cos C = cot a tan b Áp dụng định lý hàm sin với sin A = ta sin b sin c sin a = = = sin a sin B sin C sin A Suy sin b = sin a sin B ; sin c = sin a sin C 2.5.2 Hai quy tắc dễ nhớ Nêpe Cho tam giác cầu vuông ABC với C = 900 Ta xếp yếu tố sau hình tròn theo thứ tự: a, b, 900 − A, 900 − c, 900 − B (Hình 2.5.2) Nếu ta yếu tố gọi yếu tố giữa, hai yếu tố bên cạnh gọi yếu tố kề, hai yếu tố lại yếu tố đối A B a 900 − b b 900 − B 900 − A 900 − a 900 − c C − 900 http://www.ebook.edu.vn 30 Tam giác cầu • Ví dụ 12 a kề với b 900 − B , 900 − A 900 − c 900 − B kề với a 900 − c, 900 − A b Quy tắc Nêpe phát biểu sau: sin(yếu tố giữa) = tích tang yếu tố kề ; sin(yếu tố giữa) = tích cosin yếu tố đối Hai quy tắc Nêpe tam giác cầu ABC có cạnh c = 900 Khi ta xếp yếu tố A, B , 900 − a, C − 900 , 900 − b theo thứ tự xung quanh hình tròn (Hình 2.5.2) • Ví dụ 13 sin A = tan B tan(900 − b) = tan B cot b sin(900 − b) = tan A tan(C − 900 ) =⇒ cos b = − tan A cot C sin(900 − b) = cos B cos(900 − a) =⇒ cos b = cos B sin a 2.5.3 Các ví dụ ứng dụng • Ví dụ 14 Một tàu từ cảng A theo hướng HTA = 130◦ 20 , ϕA = 18◦ 42 19 N, λA = 120◦ 41 23 E Tàu qua xích đạo vị trí nào? Giải N A W θ E O C B S http://www.ebook.edu.vn 2.5 Tam giác cầu vuông 31 Kinh tuyến qua A cắt xích đạo điểm C , tàu qua xích đạo B Xét tam giác cầu ABC , C = 90◦ , b =AC = 18◦ 42 19 , A = 49◦ 40 Thay AC 90◦ − b = 71◦ 17 41 , BC 90◦ − a Theo Nêpe: cos(90◦ − b) = cot A cot(90◦ − a) ⇒ tan a = sin b tan A = 0, 377711 ⇒ a = 20◦ 41 32 ϕB = 0◦ : λB = λA + a = 141◦ 22 55 E • Ví dụ 15 Cho hai tàu khởi hành từ A B lúc Tàu từ A theo hướng HTA = 200◦ 15 30 Biết ϕA = 15◦ 15 N, λA = 6◦ 25 40 W , ϕB = 20◦ 30 42 S, λB = 5◦ 52 E Khi hai tàu gặp C hướng tàu vuông góc với Xác định vị trí hai tàu gặp hướng tàu B khởi hành từ B Giải N A O W θ E C B S Xét tam giác cầu N AB N A= 90◦ − ϕA = 74◦ 52 45 , N B = 90◦ + ϕB = 110◦ 30 42 , AN B = λA + λB = 12◦ 17 55 Theo định lý cosin thứ nhất: cos AB = cos N A cos N B + sin N A sin N B cos AN B = 0, 792020312 ⇒AB = 37◦ 37 31 Theo định lý hàm số sin ta có: sin A = sin AN B sin N B = 0, 326787894 sin AB ⇒ A = 19◦ 26 (loại) A = 160◦ 55 34 (nhận) http://www.ebook.edu.vn 32 Tam giác cầu Xét tam giác cầu vuông ABC : BAC = HTA − A = 39◦ 19 56 ,BCA = 90◦ , AB = 37◦ 37 31 ,cos(90◦ − BC ) = sin BAC sin AB = 0, 386941255, BC = 22◦ 45 52 , cos BAC = cot AB cot(90◦ − AC ) ⇒ tan AC cos BAC tan AB = 0, 5962 ⇒AC = 30◦ 48 13 Xét tam giác cầu N AC AC = 30◦ 48 13 , N A= 74◦ 52 45 , N AC = 159◦ 44 30 Ta có cos N C = cos AC cos N A + sin AC sin N A cos N AC = −0, 23973 ⇒N C = 103◦ 52 14 Khi sin AN C = sin N AC sin AC = 0, 18264 ⇒ AN C = 10◦ 31 25 sin N C Suy vị trí tàu gặp là: ϕC = 13◦ 52 14 S, λC = 16◦ 57 W cos N C − cos N B cos BC Trong tam giác N BC có cos N BC = = 0, 23005 ⇒ N BC = sin N B sin BC 76◦ 41 59 ⇒ HTB = 283◦ 18 01 • Ví dụ 16 Cho tàu khởi hành từ A: ϕA = 4◦ N, λA = 178◦ E theo hướng HTA = 129◦ 40 30 với vận tốc 13 hải lý/giờ Sau 100 hành trình gặp tàu B , biết tàu từ B có ϕB = 15◦ 20 50 S, λB = 150◦ 24 45 W Tìm hướng tàu B Giải N E θ W A O C B S Giả sử tàu gặp C Xét tam giác cầu N AC ta có: N A= 90◦ − ϕA = 86◦ , N AC = 129◦ = 129◦ 40 30 Với tốc độ 13 hải lý/giờ quãng đường hành trình tàu A là: l AC =1300 hải lý, suy AC = 21◦ 40 http://www.ebook.edu.vn 2.5 Tam giác cầu vuông 33 Lại có cos N C = cos N A cos AC + sin N A sin AC cos N AC = −0, 17031 ⇒N C = sin N AC 99◦ 48 21 Khi sin AN C = sin AC = 0, 288383 ⇒ AN C = 16◦ 45 40 sin N C Xét tam giác cân N BC có N C = 99◦ 48 21 , N B = 90◦ + ϕB = 105◦ 20 50 ,BN C = 360◦ − (λA + λB + AN C ) = 14◦ 49 35 Theo định lý cotang thì: cot CN sin N B − sin CN B cot N BC = cos N B cos CN B cot CN sin N B − cos N B cos CN B ⇒ cot N BC = = 0, 3485253⇒ N BC = 70◦ 47 sin CN B Vậy hướng tàu khởi hành từ B HTB = 289◦ 12 53 http://www.ebook.edu.vn 34 Tam giác cầu http://www.ebook.edu.vn Tài liệu tham khảo [1] Trần Tuấn Nham, Bài giảng Lượng giác cầu, Tài liệu lưu hành nội ĐHHH, 2006 [2] Nguyễn Đình Dương, Bài giảng Toán chuyên đề, Tài liệu lưu hành nội ĐHHH, 2007 [3] Saul A Teukolsky, William T Vetterling, Brian P Flannery, William H Press, Numerical Recipes in C http://www.ebook.edu.vn [...]... góc bằng nhau nên tam giác cầu cực sẽ có hai cạnh bằng nhau Theo trên trong tam giác cầu cực 2 góc đối diện với cạnh đó sẽ bằng nhau http://www.ebook.edu.vn 2.2 Các định lý cơ bản 13 Vậy suy ra trong tam giác gốc hai cạnh đối diện với hai góc bằng nhau là bằng nhau 6 Trong tam giác cầu cạnh đối diện với góc lớn hơn là lớn hơn Giả sử trong tam giác cầu ABC , góc ABC lớn hơn góc góc BAC : khi đó cạnh AC... BAD, tức là BD = AD, và BD + DC > BC ; do đó AD + DC > BC ⇒ AC > BC B C A D 7 Trong tam giác cầu góc đối diện với cạnh lớn hơn là lớn hơn Dễ dàng chứng minh nhờ tam giác cầu cực và theo kết quả trên 2.2 2.2.1 Các định lý cơ bản Định lý hàm số sin Trong tam giác cầu ABC thì sin a sin b sin c = = sin A sin B sin C A O C C B Chứng minh H B Xét tam giác cầu ABC trên mặt cầu tâm O bán kính OA = R Hạ AH ⊥... sin a sin b sin c = = sin A sin B sin C 2.2.2 Định lý cosin thứ nhất Trong tam giác cầu ABC thì cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A cos b = cos a cos c + sin a sin c cos B cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C A M E O C N B Chứng minh OA rồi trong Xét tam giác cầu ABC trên mặt cầu tâm O Lấy điểm M bất kỳ trên AOC kẻ M N ⊥ OA, trong AOB kẻ M E ⊥ OA Khi đó ta có ∠N M E là góc phẳng nhị diện cạnh... hàm số sin: 2.2.5 Định lý hàm số cotang Trong một tam giác cầu ta xét 4 yếu tố liên tiếp gồm 2 cạnh, một góc xen giữa 2 cạnh ấy và góc đối diện với cạnh thứ nhất trong hai cạnh, tức là viết theo thứ tự: cạnh, góc, cạnh, góc đối diện cạnh thứ nhất, chẳng hạn:aBcA, cBaC , aCbA, A b c a C B http://www.ebook.edu.vn 2.2 Các định lý cơ bản 19 Trong tam giác cầu ABC ứng với 4 yếu tố liên tiếp aBcA thì cot... 2.5 Tam giác cầu vuông 29 Áp dụng định lý cotang với bACB : cot b sin c − sin A cot B = cos c cos A ⇒ cot b sin c − cot B = 0 =⇒ sin c = cot B tan b Tương tự ta có sin b = cot C tan c Áp dụng định lý cotang với aBcA trong đó cot A = 0 ta có: cot a sin c − sin B cot A = cos c cos B =⇒ cot a sin c = cos c cos B ⇒ cos B = cot a tan c Tương tự ta có: cos C = cot a tan b Áp dụng định lý hàm sin với sin... cos B = cot a sin c − sin B cot A Chứng minh tương tự ta cũng được các công thức với 4 yếu tố khác • Ví dụ 6 Một tầu chạy từ cảng A đến cảng B theo hướng HTA = 120◦ 40 25 , biết ϕA = 5◦ 20 45 S, λA = 170◦ E, λB = 172◦ W Nếu tầu chạy với vận tốc 13 hải lý/giờ thì thời gian hành trình là bao lâu? Tính ϕB N E θ W O A B A B S http://www.ebook.edu.vn 20 Tam giác cầu Giải Trong tam giác cầu SAB có SAB 180◦... 2.4.1 Khái quát chung 1 Bài toán: Tam giác cầu có 6 yếu tố cơ bản là 3 cạnh a, b, c, 3 góc A, B, C Tam giác cầu hoàn toàn xác định khi biết 3 trong 6 yếu tố cơ bản ấy Giải tam giác cầu tức là xác định 6 yếu tố cơ bản của tam giác cầu khi biết các giả thiết về tam giác cầu ấy Khi giải tam giác cầu thường đưa về giải các phương trình lượng giác có vô số nghiệm, do đó ta phải lựa chọn nghiệm thích hợp... bản • Giải tam giác cầu biết 3 cạnh (hay 3 góc) • Giải tam giác cầu biết 2 cạnh và góc xen giữa 2 cạnh ấy • Giải tam giác cầu biết 2 cạnh và 1 góc đối diện với một trong 2 cạnh ấy 3 Phương pháp: Ta thường sử dụng 2 phương pháp để giải các bài toán trên • Giải trực tiếp: dựa vào các yếu tố đã cho tính trực tiếp các yếu tố chưa biết mà không cần thông qua các yếu tố trung gian • Giải gián tiếp: Đưa về giải... 40◦ 10 25 Theo định lý cosin thứ nhất: cos AB = cos N A cos N B + sin N A sin N B cos AN B = 0, 663849992 Do 0 ≤AB≤ 180◦ nên AB = 48◦ 24 21 Trên trái đất ta quy ước 1 hải lý ứng với 1’ Vậy khoảng cách hai cảng A và B là lAB = 2904, 35 hải lý, suy ra thời gian hành trình tàu là t = lAB = 242h 1 45 v http://www.ebook.edu.vn 16 Tam giác cầu 2.2.3 Hướng tàu • Quy ước đường trục tàu là đường thẳng từ lái... hướng HTA = 129◦ 40 30 với vận tốc 13 hải lý/giờ Sau 100 giờ hành trình thì gặp tàu B , biết rằng tàu đi từ B có ϕB = 15◦ 20 50 S, λB = 150◦ 24 45 W Tìm hướng tàu B Giải N E θ W A O C B S Giả sử 2 tàu gặp nhau tại C Xét tam giác cầu N AC ta có: N A= 90◦ − ϕA = 86◦ , N AC = 129◦ = 129◦ 40 30 Với tốc độ 13 hải lý/giờ thì quãng đường hành trình tàu A là: l AC =1300 hải lý, suy ra AC = 21◦ 40 http://www.ebook.edu.vn ... http://www.ebook.edu.vn 2.2 Các định lý 19 Trong tam giác cầu ABC ứng với yếu tố liên tiếp aBcA cot a sin c − sin B cot A = cos c cos B Chứng minh Trong tam giác cầu ABC ta có: cos b = cos a... 663849992 Do ≤AB≤ 180◦ nên AB = 48◦ 24 21 Trên trái đất ta quy ước hải lý ứng với 1’ Vậy khoảng cách hai cảng A B lAB = 2904, 35 hải lý, suy thời gian hành trình tàu t = lAB = 242h 45 v http://www.ebook.edu.vn... DC > BC ⇒ AC > BC B C A D Trong tam giác cầu góc đối diện với cạnh lớn lớn Dễ dàng chứng minh nhờ tam giác cầu cực theo kết 2.2 2.2.1 Các định lý Định lý hàm số sin Trong tam giác cầu ABC sin