đây là tài liệu rất hữu ích cho các ban học sinh lớp 10.tài liêu là công sức tổng hợp kiến thức của nhiều nguồn khác nhau của thay tmt..các ban hay ủng hộ nha............................................................................................................................
Trang 1THẦY TMT………T*M*T………
4 PHÁN ỨNG RÚT GỌN NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ( Chuyên đề được chuyển thể từ chuyên đề gốc: Kỹ năng tìm nghiệm PTLG của tác giả Trần Mậu Tú _ Thầy tmt_)
Phản ứng 1: Đưa điều kiện và nghiệm về cùng 1 loại hàm số lượng giác.
Phương pháp này dựa vào việc các em nắm bắt được sự tương đồng giữa nghiệm và điều kiện của bài toán. Biểu diễn điệu kiện dưới dạng nghiệm và biểu diễn nghiệm dưới dạng điều kiện. Một
số ví dụ cụ thể như sau.
VD1: GPT
2
2
sin 1
sin
x cos x cot x
x
Bước 1: Ta có điều kiện s inx Chúng ta không cần tìm ra giá trị của x. 0
Bước 2: Giải phương trình, biến đổi.
Ghi Chú: Đặc điểm ở đây là chúng ta thấy điều kiện của bài toán là sinx ≠ 0 nên chúng ta đi tìm các giá trị của phương trình dưới dạng sinx. Khi đó chúng ta đối chiếu được ngay nghiệm nào nhận, nghiệm nào loại một cách dễ dàng ngay tức liền.
Trang 2và độ phức tạp cũng như cách biến điệu tăng dần lên.
VD2: GPT
sin 2 cos 4 1
0
s inx.cos
x
Bước 1: Điều kiện
s inx 0
s inx.cos 0
x
. Chúng ta không cần tìm x ra.
Bước 2: Giải phương trình và biến đổi ta thấy. Điều kiện chốt ở đây là sin2x. Chính vì thế ta đưa phương trình về ản dạng sin2x để đối chiếu ngay với điều kiện luôn. Cụ thể như sau.
Và các em thấy đấy. Tới đây chúng ta kết luận được ngay nghiệm của phương trình là gì rồi. Chúng
ta đã làm mọi thứ đơn giản đi rất nhiều lần rồi đúng không?
QUY TRÌNH GỒM
Bước 3: KIỂM TRA VÀ RÚT GỌN NGHIỆM Bước 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH THEO HÀM CỦA ĐIỀU KIỆN
Bước 1: TÌM ĐIỀU KIỆN
Trang 3x
tanx
Bước 1: Tìm điều kiện có tanx ≠ -1. Chúng ta không cần phải tìm ra x khác mấy.
Bước 2: Chúng ta biến đổi phương trình và đưa về dạng tanx để rút gọn nghiệm. Cụ thể được như sau.
Tới đây các em đã thấy mình đưa nghiệm của phương trình về tanx rồi. Nhưng còn phương trình
2
sin xs inx.cosx 1 0 thì có vẻ chúng ta cần đưa tiếp về tanx. Cụ thể ta có.
sin s inx.cos 1 0 sin s inx.cos cos sin 0 2sin s inx.cos cos 0
2
2 sin s inx.cos cos 0
cos tan 1
x x
( Với cosx ≠ 0 )
2
2 tan tan x 1 0
tan 1 tan 1
x
x x
Vậy ta kết luận ngay được nghiệm của PTLG là tanx = 1.
Trang 4 Phản ứng 2: Biến đổi LƯỢNG GIÁC.
Trong nhiều trường hợp thì phản ứng vô cùng hữu hiệu. Nó là hệ quả của phản ứng 1. Khi các em giải bài thì không lường trước được sẽ đưa nghiệm về đúng với hàm của điều kiện hay không. Cho nên phương pháp biến đổi này tỏ ra MẠNH hơn và hay áp dụng nhiều trong khi chúng ta giải quyết các bài toán lượng giác.
Thầy sẽ đi qua 1 số ví dụ điển hình để các bạn dễ hình dung hơn.
cot tan 4 sin 2
sin 2
x
Bước 1: Tìm điều kiện sin2x ≠ 0. Chúng ta không cần phải tìm ra x khác mấy.
Bước 2: Biến đổi và giải phương trình.
Các bạn nhấn thấy rằng với phản ứng 1 thì rất khó để chúng ta thực hiện. Chính vì thế phản ứng 2 đi giúp các bạn biến đổi để đưa về phản ứng 1. Hay chúng ta có các biến đổi lượng giác như sau.
Cos2x = 1 thì ta có ngay sin2x = 0. Nhìn vào điều kiện ta thấy cos2x = 0 không thể là nghiệm nên cos2x = 1 bị loại.
Cos2x = thì ta có sin2x = ±√ . Nhìn vào điều kiện thì ta thấy cos2x = là nghiệm.
Vậy là các bạn chắc cũng đã nắm được sự thuần thúy của phản ứng 2 này rồi. Nó cũng đơn giản mà thôi nhỉ? Bạn không cần tìm ra điều kiện của x làm gì mà chỉ vài biến đổi đơn giản là có thể xử lý xong.
Tiếp theo là 1 số ví dụ để bạn thành thạo hơn với phản ứng.
Trang 5
VD 2: GPT
4 sin 3 1 7 sin (2 cos ) s inx 7 sin
0 cos
x
Bước 1: Tìm điều kiện cosx ≠ 0. Không cần tìm ra giá trị của x.
Bước 2: Biến đổi để giải phương trình.
Ta có.
Tới đây các bạn thấy sin3x = . Chúng ta cần biến đổi để so sánh với cosx. Ta sẽ biến đổi như sau, chúng ta thấy nếu cosx ≠ 0 thì cos3x ≠0. Mặt khác sin3x = thì cos3x = ±√ ≠ 0. Vậy sin3x = chính là nghiệm của phương trình.
QUY TRÌNH GỒM
Bước 3: BIẾN ĐỔI - KIỂM TRA RÚT GỌN NGHIỆM Bước 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH THEO HÀM BẤT KỲ
Bước 1: TÌM ĐIỀU KIỆN
Trang 6 Phản ứng 3: Vòng tròn lượng giác.
Phản ứng 3 này thông thường được áp dụng khá nhiều bởi tính nhanh gọn và hiệu quả đồng loạt của nó. Nếu 2 phản ứng trên không áp dụng được ngay thì chúng ta sẽ nghỉ ngay tới phương pháp VÒNG TRÒN LƯỢNG GIÁC này. Nó vô cùng hữu ích.
CÁC BƯỚC THỰC HIỆN
Bước 1. Tìm điều kiện của x ra. Tìm ra giá trị đó của x.
Bước 2: Giải phương trình, tìm ra nghiệm x của phương trình.
Bước 3: Vẽ vòng tròn lượng giác.
Bước 4: Biểu diễn các nghiệm lên đường tròn. Sau đó biểu diễn các điều kiện lên đường tròn.
Bươc 5: Kết luận nghiệm.
Trong chuyên đề này thầy sẽ đưa ra nghiệm và điều kiện sau đó hướng dẫn các bạn cách tìm nghiệm chứ không trình bày giải phương trình nữa. Cụ thẻ như sau.
VD : Cho nghiệm tìm được ,
x kZ Còn điều kiện là 4 2
2 2 3
π kπ x
π
. Bây giờ việc của chúng ta
là tìm ra nghiệm của phương trình lượng giác. Cách làm như sau.
Biểu diễn nghiệm ,
6 2
π kπ
x kZ
Cho k = 0 nhận được x = Pi/6.
Cho k = 1 nhận được x = 2Pi/3
Cho k = 2 nhận được x = 7Pi/6
Cho k = 3 nhận được 5Pi/3
Cho k = 4 ta nhận được x = Pi/6. ( Do đó ta
có tổng cộng 4 điểm dấu chấm biểu diễn nghiệm x)
Biễu diễn điều kiện 4 2
2 2 3
π kπ x
π
Hoàn toàn tương tự như cách chúng ta làm với biểu diễn nghiệm.
Chỉ khác là chúng ta có 6 dấu nhân trên hình vẽ.
Kết luận NGHIỆM: Nếu dấu chấm trùng dấu nhân thì nghiệm đó bị loại. Nghiệm của phương trình là 6
5 2 6
π
x kπ
π
Trang 7
Phản ứng 4: THỬ NGHIỆM.
Phản ứng thử nghiệm là phản ứng cuối cùng nếu bạn không áp dụng được 1 trong 3 phản ứng trên. Phản ứng này ít được sử dụng nhưng nó cũng có khả năng ứng dụng trong 1 số trường hợp cụ thể. Thầy sẽ đưa ra một ví dụ để các em hình dung ra cách thực hiện như sau.
VD: Ta xét PTLG
Sau khi giải phương trình ta có nghiệm như sau
s inx 0
2 cos
2
x
. Từ đây chúng ta kết hợp với phản
ứng 1 kết luận được ngay sinx = 0 là nghiệm bị loại. Bây giờ ta tìm nghiệm cos 2
2
x
Ta có 3
2 4
π
x k π. Đến đây chúng ta nếu dùng phản ứng 1 hay phản ứng 2 đều được nhưng nó hơi dài vì
điều kiện cosx – sinx hơi phức tạp. Do vậy các em chỉ cần thay 3
2 4
π
x k π vào hệ điều kiện trên. Và
cuối cùng nhận được nghiệm là 3
2 4
π
x k π.
KẾT LUẬN: Như vậy thầy vừa giới thiệu cho các em các phản ứng để có thể xữ lý được 1 số tình huống đề thi sẽ
ra có điều kiện của nghiệm. Tất nhiên trong quá trình biên soạn không thể không tránh sai sót mong các em đóng góp ý kiến đồng thời để hiệu quả thì các em nên tự mình nghiên cứu tìm tòi thêm để làm 1 cách thuần thục với dạng toán này. CHÚC CÁC EM HỌC TỐT.
Thầy tmt: https://sites.google.com/site/thaytmt/
Trang 8ĐỐI VỚI NHỮNG BẠN HỌC SINH LỚP 9 LÊN 10 10 LÊN 11 VÀ 11 LÊN 12 NĂM 2017 Cuốn sách dự định năm sau sẽ ra mắt các em và nhớ theo dõi để có thể sở hữu nó nhé
CÁM ƠN CÁC EM!