Tích phân và ứng dụng

Tài Liệu Ôn Thi TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Truy cập fb: Học Online Theo Mùa- Ôn Thi THPTQG để nhận tài liệu Tài liệu Tích Phân KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN 1.Diện tích hình thang cong a) Hình thang cong Cho hàm số y = f (x) liên tục, không đổi dấu đoạn [a;b] Một hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f (x), trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b gọi hình thang cong b) Diện tích hình thang cong Diện tích hình thang cong giới hạn đường thẳng x = a, x = b (a < b), trục hoành đường cong y = f (x), f (x) hàm số liên tục, không âm đoạn [a;b] là: b f (x)dx = F (b) − F (a) với F(x) nguyên hàm f (x) S= a Định nghĩa tích phân Cho f (x) hàm số liên tục đoạn [a;b] Giả sử F(x) nguyên hàm f (x) đoạn [a;b] Hiệu số F (b) − F (a) gọi tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định đoạn [a;b]) hàm số f (x), kí hiệu b Vậy a b a f (x)dx f (x)dx = F (x)|ba = F (b) − F (a) b dấu tích phân với a cận b cận trên, f (x)dx biểu Ta gọi a thức dấu tích phân f (x) hàm số dấu tích phân Học Chắc Chắn Đỗ Truy cập fb: Học Online Theo Mùa- Ôn Thi THPTQG để nhận tài liệu Tài liệu Tích Phân Chú ý • Trong trường hợp a = b hay a > b, ta quy ước a b a f (x)dx = − f (x)dx = a f (x)dx a b b • Tích phân hàm f từ a đến b kí hiệu b f (x)dx hay a f (t)dt a Tích phân phụ thuộc vào hàm f cận a, b mà không phụ thuộc vào biến x hay t II TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN Giả sử ta có hàm số f (x), g(x) liên tục khoảng I a,b,c số thuộc I Ta có: Tính chất b b kf (x)dx = k a f (x)dx ( với k số ) a Tính chất b b [f (x) ± g(x)]dx = a b f (x)dx ± a g(x)dx a Tính chất Học Chắc Chắn Đỗ f (x)dx f (x)dx + f (x)dx = a b c b a c Truy cập fb: Học Online Theo Mùa- Ôn Thi THPTQG để nhận tài liệu Tài liệu Tích Phân CÁC KỸ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN I Kỹ thuật đổi biến số: Dạng Để tích tính phân b a f (x)dx phương pháp đổi biến số dạng ta thực bước sau: - Bước Viết hàm số f (x) dạng f [u(x)]u (x), với u (x) hàm số có dạo hàm liên tục đoạn [a;b] - Bước Đặt t = u(x) tính vi phân dt = u (x)dx - Bước Đổi cận α = u(a) β = u(b) b β f (x)dx = - Bước Biến đổi a f (t)dt α β f (t)dt - Bước Tính tích phân α ➤Biểu thức dấu tích phân có dạng f [u(x)]u (x)dx Cách giải Đặt t = u(x) dt = u (x)dx Khi f [u(x)]u (x)dx = f (t)dt n ➤Hàm dấu tích phân chứa biểu thức có dạng Cách giải Nếu hàm dấu tích phân có chứa trường hợp ta đổi biến t = n n ϕ(x) ϕ(x) đa số ϕ(x) ➤Biểu thức dấu tích phân có chứa hàm Logarit Cách giải Đa số ta đặt hàm logarit biến Chú ý hàm Logarit chưa ta đặt biểu thức t Ví Dụ: 1/2 I= 1+x 1+x ln dx ⇒ t = ln − x2 1−x 1−x Học Chắc Chắn Đỗ ⇒ dt = 2dx − x2 Truy cập fb: Học Online Theo Mùa- Ôn Thi THPTQG để nhận tài liệu e Tài liệu Tích Phân    lnx = t2 − √ √ + lnx dx Đặt t = + lnx ⇒  x   dx = 2tdt x √ e lnx + ln x I2 = dx x    ln2x = t3 − √ Đặt t = + ln2x ⇒    lnx dx = t2dt x e dx dx √ ⇒ t = lnx ⇒ dt = I3 = x x − ln x ➤Biểu thức dấu tích phân chứa hàm số mũ I1 = Cách giải Đặt ax = t ⇒ dt = axlnadx Trong số trường hợp hàm mũ mẫu ta cần phải nhân thêm tử mẫu cho ax để lấy vi phân ➤Biểu thức dấu tích phân chứa hàm lượng giác Cách giải Sử dụng phép biến đổi t = sinx, t = cosx hay t = tanx Khi hàm dấu tích phân chưa thức ta đặt thức biến số Dạng b f (x)dx phương pháp đổi biến số dạng ta Để tích tính phân a thực theo bước sau: - Bước Đặt x = u(t), với u(t) có đạo hàm riêng liên tục đoạn [a;b] - Bước Tính vi phân dx = u (t)dt - Bước Đổi cận α = u(a), β = u(b) - Bước Thay x f (x) u(t) dx u (t) biến đổi f (x)dx = Học Chắc Chắn Đỗ Truy cập fb: Học Online Theo Mùa- Ôn Thi THPTQG để nhận tài liệu Tài liệu Tích Phân f [u(t)].u (t)dt = g(t)dt với f [u(t)].u (t) = g(t) β g(t)dt - Bước Tính tích phân α √ ➤ Hàm dấu tích phân có chứa biểu thức dạng a2 − x2 (a > 0) π π Cách giải Đặt x = asint, t ∈ − , x = acost, t ∈ [0, π] 2 a+x ➤ Hàm dấu tích phân có chứa biểu thức dạng a−x Cách giải Đặt x = a.cos2t √ ➤ Hàm dấu tích phân có chứa biểu thức dạng x2 − a2 (a > 0) a π π π a Cách giải Đặt x = ,t ∈ − ; \{0} x = , t ∈ [0; π]\ sint 2 cost √ ➤ Hàm dấu tích phân có chứa biểu thức dạng a2 + x2 (a > 0) π π x = acott, t ∈ (0, π) Cách giải Đặt x = atant, t ∈ − ; 2 b udv = II Kỹ thuật tích phân phần: a uv|ba b − vdu a - Có log, đa thức ráp vào u - Có mũ, lượng giác ráp vào dv III.Một số dạng lượng giác: dx ➤I = sin(x + a)sin(x + b) sin(a − b) sin[(x + a) − (x + b)] Ta thấy: = = sin(a − b) sin(a − b) sin(x + a)cos(x + b) − cos(x + a)sin(x + b) = sin(a − b) cos(x + b) cos(x + a) ⇒I= dx − dx sin(a − b) sin(x + b) sin(x + a) sin(x + b) = ln +C sin(a − b) sin(x + a) Học Chắc Chắn Đỗ Truy cập fb: Học Online Theo Mùa- Ôn Thi THPTQG để nhận tài liệu Tài liệu Tích Phân dx cos(a − b) với = sin(x + a)cos(x + b) cos(a − b) dx dx ➤I = = x + α x − α (Đưa dạng trên) sinx + sinα sin cos 2 sinx.sin(x + α) ➤I = tanx.tan(x + α)dx = dx cosx.cos(x + α) cosx.cos(x + α) + sinx.sin(x + α) dx − dx = cosx.cos(x + α) cosα = dx − dx cosx.cos(x + α) Ta áp dụng cho I = dạng Ta áp dụng cho I= tan(x + α).cot(x + β)dx I= cot(x + α).tan(x + β)dx ➤I = cosax.cosbxdx , sinax.sinbxdx, sinax.cosbxdx Ta sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng ➤I = sinmx.cosnxdx Trường hợp Nếu hai số m,n lẻ ➣ Nếu m lẻ ta đặt t = cosx ➣ Nếu n lẻ ta đặt t = sinx Trường hợp Nếu m n chẵn ta đặt t = tanx Trường hợp Nếu m n chẵn dương ta sử dụng công thức hạ bậc: + cos2x − cos2x cos2x = , sin2x = 2 ➤I = (tannx, cotnx) dx Cách giải: Học Chắc Chắn Đỗ Truy cập fb: Học Online Theo Mùa- Ôn Thi THPTQG để nhận tài liệu Phân tích tannx = tann−2x.tan2x = tann−2x tannxdx = Khi I = Tiến hành tương tự với I = −1 cos2x tann−2xd(tanx) − Ta công thức truy hồi In = Tài liệu Tích Phân tann−2xdx tann−1x − In−2 n−1 cotnxdx tanmx dx hay I = cosnx cotmx ➤I = dx, n số dương chẵn sinnx 1 = tan x + hay = + cot2x Cách giải: Sử dụng công thức 2 cos x sin x ➤I = R(sinx, cosx)dx Trong R hàm hữu tỷ Cách giải x 2dt , ta đặt t = tan ⇒ dx = asinx + bcosx + c + t2 − t2 2t , cosx = Khi đó: sinx = + t2 + t2 mcosx + nsinx + p ➣ Nếu R(sinx, cosx) = , ta phân tích acosx + bsinx + c mcosx + nsinx + p A(acosx + bsinx + c) + B(−asinx + bcosx) + C = acosx + bsinx + c acosx + bsinx + c Dùng phương pháp hệ số bất định để tìm A,B,C biến đổi tích phân cho thành ➣ Nếu R(sinx, cosx) = tích phân đơn giản ➣ Nếu R(sinx, cosx) lẻ đổi với sinx, tức là: R(−sinx, cosx) = −R(sinx, cosx), ta đặt t = cosx ➣ Nếu R(sinx, cosx) lẻ đổi với cosx, tức là: R(sinx, −cosx) = −R(sinx, cosx), ta đặt t = sinx ➣ Nếu R(sinx, cosx) chẵn sinx cosx, tức là: R(−sinx, −cosx) = R(sinx, cosx), ta đặt t = tanx Học Chắc Chắn Đỗ Truy cập fb: Học Online Theo Mùa- Ôn Thi THPTQG để nhận tài liệu Tài liệu Tích Phân IV Tích phân hàm vô tỷ: ➤Tích phân dạng R x, n u(x) dx, u(x) = ax + b hay u(x) = ax + b cx + d Cách giải: Đặt t = n u(x) ⇒ u(x) = tn Tính x theo t, biến đổi tích phân cần tính dạng tích phân hữu tỷ hàm t *Chú ý: Nếu biểu thức dấu tích phân có chứa mà biểu thức ax + b có dạng ax + b, ta gọi p bội chung nhỏ cx + d ax + b số thức đặt ax + b = = làm thức cx + d √ ➤Tích phân dạng R x, ax2 + bx + c dx Cách giải: b ∆ Ta viết ax + bx + c = a x + − , với ∆ = b2 − 4ac 2a 4a Tùy theo dấu ∆ a, ta biến đổi tích phân cho dạng sau: I= R x, I= R x, x2 − a2 dx − x2 √ a2 dx, I= R x, a2 + x2 dx ➣ Ba phép Euler: √ Ta khử ax2 + bx + c phép đổi biến số, gọi phép Euler: √ √ Phép thứ Nếu a > 0, ta đặt ax2 + bx + c = ± ax + t √ √ Phép thứ hai Nếu c > 0, ta đặt ax2 + bx + c = tx ± c Học Chắc Chắn Đỗ Truy cập fb: Học Online Theo Mùa- Ôn Thi THPTQG để nhận tài liệu Tài liệu Tích Phân Phép thứ ba Nếu ax2 + bx + c có nghiệm x0, ta đặt √ ax2 + bx + c = t(x − x0) V: Tích phân hàm chứa trị tuyệt đối b |f (x)|dx ta tiến hành sau: Cách giải: Muốn tính tích phân a + Xét dấu biểu thức f (x) đoạn [a;b] + Chian đoạn [a;b] thành đoạn nhỏ hơn, tương ứng với dấu f (x) đoạn + Sử dụng tính chất cận trung gian, phân tích tích phân cho thành c b |f (x)|dx = tích phân đoạn: a b |f (x)|dx + a |f (x)|dx c + Dựavào dấu f (x) đoạn ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối, với lưu ý   f (x), f (x) ≥ |f (x)| =   −f (x), f (x) < + Tính tích phân đoạn chia VI Tính phân liên kết Phương pháp: b f (x)dx + Trong số trường hợp, việc tính trực tiếp tích phân a b g(x)dx có liên hệ với tích phân phức tạp Khi đó, ta cần xét thêm tích phân a I, cho tính tổng mI + nJ = α hiệu mI − nJ = β Học Chắc Chắn Đỗ 10 Truy cập fb: Học Online Theo Mùa- Ôn Thi THPTQG để nhận tài liệu + Giải hệ    mI + nJ = α Tài liệu Tích Phân ta tìm I   mI − nJ = β + Tích phân J gọi tích phân liên kết với tích phân J VII Tích phân hàm phân thức hữu ti β dx ➤Tích phân dạng a=0 + bx + c ax α Cách giải: b ∆ Ta có: ax2 + bx + c = a x + − với ∆ = b2 − 4ac 2a 4a • Nếu ∆ = β dx β −2 I= = a α 2ax + b α b x+ 2a • Nếu ∆ > β dx 1 β dx = − I= a α (x − x1)(x − x2) a(x − x1)(x − x2) x − x α β x − x2 =√ ln x − x1 ∆ α • Nếu ∆ < b d x + β 2a I= √ 2 a α b −∆ x+ + 2a 2a √ b −∆ Đặt x + = tant, ta dễ dàng tính I 2a 2a β mx + n ➤Tích phân dạngI = dx (a = 0) + bx + c ax α Cách giải: Học Chắc Chắn Đỗ β α dx x − x1 11 Truy cập fb: Học Online Theo Mùa- Ôn Thi THPTQG để nhận tài liệu Tài liệu Tích Phân m bm (2ax + b) − n − β 2a 2a I= dx + bx + c ax α β 2a + b bm dx m β dx + n − = 2a α ax2 + bx + c 2a α ax + bx + c β m bm dx β = ln|ax + bx + c| α + n − 2a 2a α ax + bx + c β dx Tích phân ta biết cách tính + bx + c ax α β P (x) ➤Tích phân dạng , bậc P(x) Q(x) đa thức Q(x) α Phương pháp a) Nếu bậc P(x) nhỏ bậc Q(x) + Ta phân tích Q(x) thành nhạn tử bậc nhất, bậc hai có ∆ < 0: Q(x) = (x − a)n(x − b)m · · · (x2 + px + q) P (x) A1 A2 An B1 Bm + Đặt = + +· · ·+ + + +· · ·+ Q(x) (x − a)2 (x − a)n−1 x − a x(x − b)m x−b Mx + N (1) ··· + x + px + q + Dùng phương pháp đồng hệ thức, trị đặc biệt ta tìm A1, A2, · · · , B1, B2, · · · , M, N + Thế giá trị vừa tìm vào (1), ta có tích phân đơn giản b) Nếu bậc P(x) lớn Q(x) P (x) V (x) Lấy P(x) chia cho Q(x), ta = U (x) + , bậc V(x) Q(x) Q(x) nhỏ bậc Q(x), sau thực tương tự bước VIII Các tích phân đặc biệt Học Chắc Chắn Đỗ 12 Truy cập fb: Học Online Theo Mùa- Ôn Thi THPTQG để nhận tài liệu b *Chú ý: I = b b f (t)dt = · · · = f (x)dx = a Tài liệu Tích Phân a f (u)du a ➤ Chứng minh rằng, f (x) liên tục hàm lẻ đoạn [-a;a] a I= f (x)dx = −a Chứng minh a Ta có: I = f (x)dx = a f (x)dx = −a f (x)dx = I1 + I2 −a f (x)dx −a    x = −t Đặt t = −x ⇒   dx = −dt Xét I1 = Đổi cận   x = ⇒ t = a I1 = − f (−t)dt = a a f (−x)dx = − f (−t)dt = a    x = −a ⇒ t = a f (x)dx = −I2 0 Vậy I = I1 + I2 = ➤ Chứng minh rằng, f (x) liên tục chẵn đoạn [-a;a] a I= a f (x)dx = −a f (x)dx Chứng minh a Ta có: I = f (x)dx = a f (x)dx = −a f (x)dx = I1 + I2 −a f (x)dx −a    x = −t Đặt t = −x ⇒   dx = −dt Xét I1 = I1 = − Đổi cận   x = ⇒ t = a f (−t)dt = a a f (−t)dt =    x = −a ⇒ t = a a f (−x)dx = f (x)dx = I2 Vậy I = I1 + I2 = 2I2 Học Chắc Chắn Đỗ 13 Truy cập fb: Học Online Theo Mùa- Ôn Thi THPTQG để nhận tài liệu Tài liệu Tích Phân ➤ Chứng minh rằng, f (x) liên tục đoạn [0;1] π π I = f (sinx)dx = f (cosx)dx 0 Chứng minh     π π     x = x = ⇒ t = − t π 2 Đặt t = − x ⇒ Đổi cận     dx = −dt x = π ⇒ t = π π π Ta có: f (sinx)dx = − π f sin − t dt = f (cost)dt 0 π f (cosx)dx (đpcm) = ➤ Chứng minh a > 0, f (x) hàm chẵn, liên tục R với số thực dương α ta có: α α f (x)dx I= = f (x)dx x + a −α Chứng minh α α f (x)dx f (x)dx f (x)dx = + = I1 + I2 Ta có I = x x x + a + a + a −α −α 0 f (x)dx Tính I1 = x −α + a      x = −α ⇒ t = α x = −t Đổi cận Đặt t = −x ⇒     x = ⇒ t = dx = −dt α t α x f (−t)dt a f (t)dt a f (x)dx I1 = − = = −t + at + ax α 1+a 0 α x α α α a f (x)dx f (x)dx (ax + 1)f (x)dx Do I = + = = f (x)dx x x x + a + a + a 0 0 α α f (x)dx Vậy I = = f (x)dx x + a −α ➤ Chứng minh f (x) hàm số liên tục đoạn [0;1] Học Chắc Chắn Đỗ 14 Truy cập fb: Học Online Theo Mùa- Ôn Thi THPTQG để nhận tài liệu π xf (sinx)dx = π f (sinx)dx π π Tài liệu Tích Phân f (sinx)dx = π 0 π xf (sinx)dx = π Chứng minh π • Chứng minh π xf (sinx)dx    x = π − t Đặt t = π − x ⇒   dx = −dt f (sinx)dx Xét I = Đổi cận   x = π ⇒ t = 0 I=− π (π − t)f [sin(π − t)]dt = π π π π π f (sinx)dx − tf (sint)dt = π π (π − t)f (sint)dt π πf (sint)dt − =    x = ⇒ t = π xf (sinx)dx π π f (sinx)dx ⇒ I = f (sinx)dx − I ⇔ 2I = π =π f (sinx)dx 0 π π π • Chứng minh f (sinx)dx = π f (sinx)dx 0 π π π π π π Xét J = f (sinx)dx = f (sinx)dx + f (sinx)dx = J1 + J2 2 π π Tính J2 = π f (sinx)dx    x = π − t   π π  x = ⇒ t = 2 Đổi cận Đặt t = π − x ⇒     x = π ⇒ t = dx = −dt π π π π π J2 = − f [sin(π − t)]dt = f (sint)dt = f (sinx)dx = J1 π 2 π ⇒ J = 2J = π f (sinx)dx Học Chắc Chắn Đỗ 15 Truy cập fb: Học Online Theo Mùa- Ôn Thi THPTQG để nhận tài liệu π Tài liệu Tích Phân π f (sinx)dx π π f (sinx)dx = π 0 ➤ Chứng minh f (x) hàm số liên tục đoạn [a;b] xf (sinx)dx = Vậy b b f (b + a − x)dx f (x)dx = a a Chứng minh b Xét I = f (x)dx a Đặt t = b + a − x ⇒    x = b + a − t Đổi cận   x = b ⇒ t = a   dx = −dt a b f (b + a − t)dt = I=− b    x = a ⇒ t = b b f (b + a − t)dt = a f (b + a − x)dx a ➤ Cho hàm số f (x) liên tục đoạn [a;b] f (a + b − x) = f (x) Chứng b a+b b minh xf (x)dx = f (x)dx a a Chứng minh b xf (x)dx Xét I = a Do f (a + b − x) = f (x) nên ta có: b I= b xf (x)dx = a Đặt t = a + b − x ⇒ xf (a + b − x)dx a   x = a + b − t Đổi cận   x = b ⇒ t = a   dx = −dt a I=−    x = a ⇒ t = b b (a + b − t)f (t)dt = b b b f (t)dt − = (a + b) a (a + b − t)f (t)dt a b b f (x)dx − I ⇔ 2I = (a + b) = (a + b) a Học Chắc Chắn Đỗ f (x)dx − tf (t)dt = (a + b) a b a b a xf (x)dt a a+b f (x)dx ⇔ I = b f (x)dx a 16 Truy cập fb: Học Online Theo Mùa- Ôn Thi THPTQG để nhận tài liệu Tài liệu Tích Phân ➤ Cho hàm số f (x) liên tục đoạn [0;2a], với a>0 Chứng minh 2a a [f (x) + f (2a − x)]dx f (x)dx = 0 Chứng minh 2a a f (x)dx = Ta có: 2a f (x)dx + 2a f (x)dx a Xét I = f (x)dx    x = 2a − t Đặt t = 2a − x ⇒   dx = −dt 0 I=− a 2a a f (2a − t)dt = f (2a − x)dx 0 [f (x) + f (2a − x)]dx f (x)dx = Do   x = 2a ⇒ t = a f (2a − t)dt = a Đổi cận    x = a ⇒ t = a ➤ Chứng minh hàm số f (x) liên tục tuần hoàn tập số thực R với chu kỳ T số a ∈ R ta có: a+T T f (x)dx = a f (x)dx Chứng minh Do hàm số f (x) liên tục tuần hoàn với chu kỳ T nên ta có: a+T T f (x)dx = a a+T f (x)dx + a a+T f (x)dx T f (x)dx Xét T Đặt u = x − T ⇒    x = u + T Đổi cận   x = a + T ⇒ u = a   dx = du a+T a f (x − T )dx = Ta có T Học Chắc Chắn Đỗ a f (u)du =    x = T ⇒ u = f (x)dx 17 Truy cập fb: Học Online Theo Mùa- Ôn Thi THPTQG để nhận tài liệu a+T a f (x)dx = Do a Học Chắc Chắn Đỗ T f (x)dx + Tài liệu Tích Phân T f (x)dx = a f (x)dx 18 Truy cập fb: Học Online Theo Mùa- Ôn Thi THPTQG để nhận tài liệu Tài liệu Tích Phân ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Diện tích hình thang cong Giả sử hàm số y = f (x) liên tục, không âm đoạn [a;b] Diện tích S hình thang cong giới hạn đồ thị y = f (x), trục hoành hai đường b f (x)dx thẳng x = a, x = b tính theo công thức: S = a Diện tích hình phẳng giới hạn đường Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f (x) liên tục, trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b tính theo công thức b |f (x)|dx S= a *Các trường hợp cụ thể b a) Nếu f (x) ≥ 0, ∀x ∈ [a; b], ta có: S = f (x)dx a b Nếu f (x) ≤ 0, ∀x ∈ [a; b], ta có: S = − f (x)dx a b) Nếu f (x) ≥ 0∀x ∈ [a; c] f (x) ≤ 0∀x ∈ [c; b], ta có: c b f (x)dx − S= a f (x)dx c Diện tích hình phẳng giới hạn đường: y = f (x), y = g(x), x = a, x = b b |f (x) − g(x)|dx Công thức tổng quát: S = a *Các trường hợp cụ thể b a) Nếu f (x) ≥ g(x), ∀x ∈ [a; b], ta có: S = [f (x) − g(x)]dx a Học Chắc Chắn Đỗ 19 Truy cập fb: Học Online Theo Mùa- Ôn Thi THPTQG để nhận tài liệu Tài liệu Tích Phân b b) Nếu f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a; b], ta có: S = [g(x) − f (x)]dx a c) Nếu f (x) ≥ g(x), ∀x ∈ [a; c] f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ [c; b], ta có: c b S = [f (x) − g(x)]dx + [g(x) − f (x)]dx a Học Chắc Chắn Đỗ c 20 Truy cập fb: Học Online Theo Mùa- Ôn Thi THPTQG để nhận tài liệu Tài liệu Tích Phân ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT TRÒN XOAY Thể tích vật thể - Cắt vật thể V hai mặt phẳng (P) (Q) vuông góc với trục Ox x = a, x = b (a < b) - Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox điểm x (a ≤ x ≥ b) cắt V theo thiết diện có diện tích S(x) - Giả sử S(x) liên tục đoạn [a;b] Người ta chứng minh thể tích V phần vật thể V bị giới hạn hai mặt phẳng (P) (Q) tính b S(x)dx công thức: a Thể tích khối tròn xoay a) Thể tích V khối tròn xoay quay quanh Ox • Thể tích V khối tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường y = f (x), y = 0, x = a, x = b (a < b) quay quanh trục Ox tính b f 2(x)dx công thức: V = π a • Thể tích V khối tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường y = f (x), y = g(x), x = a, x = b (a < b) với ≤ g(x) ≤ f (x) quay quanh b trục Ox tính công thức: V = π [f (x)]2 − [g(x)]2 dx a b) Thể tích V khối tròn xoay quay quanh Oy Thể tích V khối tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường thẳng x = f −1(y), x = 0, y = a, y = b quay quanh trục Oy tính Học Chắc Chắn Đỗ 21 Truy cập fb: Học Online Theo Mùa- Ôn Thi THPTQG để nhận tài liệu b [f công thức: V = π a −1 Tài liệu Tích Phân b x2dy (y)] dy = π a − − − − − − − − − − HẾT − − − − − − − − − − Học Chắc Chắn Đỗ 22 [...]...Truy cập fb: Học Online Theo Mùa- Ôn Thi THPTQG để nhận tài liệu + Giải hệ    mI + nJ = α Tài liệu Tích Phân ta tìm được I   mI − nJ = β + Tích phân J được gọi là tích phân liên kết với tích phân J VII Tích phân hàm phân thức hữu ti β dx Tích phân dạng a=0 2 + bx + c ax α Cách giải: 2 b ∆ Ta có: ax2 + bx + c = a x + − 2 với ∆ = b2 − 4ac 2a 4a • Nếu ∆ = 0 β dx 1 β −2 I=... Chắc Chắn Đỗ T f (x)dx + 0 Tài liệu Tích Phân T f (x)dx = a f (x)dx 0 18 Truy cập fb: Học Online Theo Mùa- Ôn Thi THPTQG để nhận tài liệu Tài liệu Tích Phân ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1 Diện tích hình thang cong Giả sử hàm số y = f (x) liên tục, không âm trên đoạn [a;b] Diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của y = f (x), trục hoành và hai đường b f (x)dx thẳng x = a,... [g(x) − f (x)]dx a c) Nếu f (x) ≥ g(x), ∀x ∈ [a; c] và f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ [c; b], ta có: c b S = [f (x) − g(x)]dx + [g(x) − f (x)]dx a Học Chắc Chắn Đỗ c 20 Truy cập fb: Học Online Theo Mùa- Ôn Thi THPTQG để nhận tài liệu Tài liệu Tích Phân ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT TRÒN XOAY 1 Thể tích của vật thể - Cắt một vật thể V bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với trục Ox lần lượt tại x = a, x... được vào (1), ta có các tích phân đơn giản hơn b) Nếu bậc của P(x) lớn hơn Q(x) P (x) V (x) Lấy P(x) chia cho Q(x), ta được = U (x) + , trong đó bậc của V(x) Q(x) Q(x) nhỏ hơn bậc của Q(x), sau đó thực hiện tương tự bước trên VIII Các tích phân đặc biệt Học Chắc Chắn Đỗ 12 Truy cập fb: Học Online Theo Mùa- Ôn Thi THPTQG để nhận tài liệu b *Chú ý: I = b b f (t)dt = · · · = f (x)dx = a Tài liệu Tích Phân. .. vuông góc với Ox tại điểm x (a ≤ x ≥ b) cắt V theo thiết diện có diện tích là S(x) - Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a;b] Người ta chứng minh được rằng thể tích V của phần vật thể V bị giới hạn bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) được tính b S(x)dx bởi công thức: a 2 Thể tích khối tròn xoay a) Thể tích V của khối tròn xoay quay quanh Ox • Thể tích V của khối tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường... I 2a 2a β mx + n Tích phân dạngI = dx (a = 0) 2 + bx + c ax α Cách giải: Học Chắc Chắn Đỗ β α dx x − x1 11 Truy cập fb: Học Online Theo Mùa- Ôn Thi THPTQG để nhận tài liệu Tài liệu Tích Phân m bm (2ax + b) − n − β 2a 2a I= dx 2 + bx + c ax α β 2a + b bm dx m β dx + n − = 2 2a α ax2 + bx + c 2a α ax + bx + c β m bm dx β 2 = ln|ax + bx + c| α + n − 2 2a 2a α ax + bx + c β dx Tích phân ta đã biết cách... ax + bx + c β m bm dx β 2 = ln|ax + bx + c| α + n − 2 2a 2a α ax + bx + c β dx Tích phân ta đã biết cách tính 2 + bx + c ax α β P (x) Tích phân dạng , trong đó bậc của P(x) và Q(x) là các đa thức Q(x) α Phương pháp a) Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) + Ta phân tích Q(x) thành các nhạn tử bậc nhất, hoặc bậc hai có ∆ < 0: Q(x) = (x − a)n(x − b)m · · · (x2 + px + q) P (x) A1 A2 An B1 Bm + Đặt = +... Ôn Thi THPTQG để nhận tài liệu Tài liệu Tích Phân ➤ Chứng minh rằng, nếu f (x) liên tục trên đoạn [0;1] thì π π I = 2 f (sinx)dx = 2 f (cosx)dx 0 0 Chứng minh     π π     x = x = 0 ⇒ t = − t π 2 2 Đặt t = − x ⇒ Đổi cận   2   dx = −dt x = π ⇒ t = 0 2 π π 0 π Ta có: 2 f (sinx)dx = − π f sin − t dt = 2 f (cost)dt 2 0 0 2 π 2 f (cosx)dx (đpcm) = 0 ➤ Chứng minh rằng nếu a > 0, f (x) là hàm... a 1 + a 1 + a 0 0 0 0 α α f (x)dx Vậy I = = f (x)dx x 1 + a −α 0 ➤ Chứng minh rằng nếu f (x) là hàm số liên tục trên đoạn [0;1] thì Học Chắc Chắn Đỗ 14 Truy cập fb: Học Online Theo Mùa- Ôn Thi THPTQG để nhận tài liệu π xf (sinx)dx = 0 π 2 f (sinx)dx π π 2 Tài liệu Tích Phân f (sinx)dx = π 0 0 π xf (sinx)dx = 2 π Chứng minh π • Chứng minh 0 π xf (sinx)dx 0    x = π − t Đặt t = π − x ⇒   dx =... (x) + f (2a − x)]dx f (x)dx = Do đó   x = 2a ⇒ t = 0 a f (2a − t)dt = a Đổi cận    x = a ⇒ t = a 0 ➤ Chứng minh rằng nếu hàm số f (x) liên tục và tuần hoàn trên tập các số thực R với chu kỳ T thì mọi số a ∈ R ta đều có: a+T T f (x)dx = a f (x)dx 0 Chứng minh Do hàm số f (x) liên tục và tuần hoàn với chu kỳ T nên ta có: a+T T f (x)dx = a a+T f (x)dx + a a+T f (x)dx T f (x)dx Xét T Đặt u = x − ... Tài liệu Tích Phân ta tìm I   mI − nJ = β + Tích phân J gọi tích phân liên kết với tích phân J VII Tích phân hàm phân thức hữu ti β dx Tích phân dạng a=0 + bx + c ax α Cách giải: b ∆ Ta có:... + Tài liệu Tích Phân T f (x)dx = a f (x)dx 18 Truy cập fb: Học Online Theo Mùa- Ôn Thi THPTQG để nhận tài liệu Tài liệu Tích Phân ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Diện tích hình thang... đoạn nhỏ hơn, tương ứng với dấu f (x) đoạn + Sử dụng tính chất cận trung gian, phân tích tích phân cho thành c b |f (x)|dx = tích phân đoạn: a b |f (x)|dx + a |f (x)|dx c + Dựavào dấu f (x) đoạn