Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 02 SUY LUẬN TOÁN HỌC Thầy Đặng Việt Hùng VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP có website MOON.VN I KIẾN THỨC CƠ BẢN Định lí khẳng định đúng, thông thường có dạng ∀x ∈ X , P ( x ) ⇒ Q ( x ) Có hai phương pháp chứng minh định lí bản: +) Phương pháp trực tiếp: Từ x ∈ X, P(x) suy Q(x) +) Phương pháp gián tiếp: Dùng phương pháp phản chứng Ta biết mệnh đề ∀x ∈ X , P ( x ) ⇒ Q ( x ) sai P(x) Q(x) sai Để chứng minh phản chứng ta thực sau - giả sử tồn xo thuộc X cho P(xo) Q(xo) sai Khi mệnh đề ban đầu sai - Dùng phép lập luận đề dẫn đến điều giả sử bị mâu thuẫn Chú ý: +) Biến đổi tương đương cách chứng minh khác quen thuộc định lí thay chứng minh khẳng định P đúng, ta biến đổi tương đương khẳng định Q đúng, P +) Dạng số nguyên thường gặp: - số n số chẵn n = 2k, (tức n chia hết cho 2) - số n số lẻ n = 2k + - số n chia hết cho n = 3k Tổng quát, n chia hết cho a n = a.k - số n không chia hết cho n = 3k + 3k + 2, viết gọn n = 3k ± - số n không chia hết cho viết gọn n = 5k ± 1; n = 5k ± II CÁC VÍ DỤ ĐIỂN HÌNH Các ví dụ chứng minh trực tiếp: Ví dụ 1: [ĐVH] Chứng minh với số tự nhiên n ta có a) Nếu n số lẻ n3 lẻ b) Nếu n chia hết cho n(n + 1) chia hết cho Hướng dẫn giải: a) Do n số lẻ nên n = 2k + Khi n3 = ( 2k + 1) = 8k + 12k + 6k + = ( 4k + 6k + 3k ) + = 2k ′ + k′ Vậy n3 số lẻ b) Do n chia hết n = 3k với k số nguyên Do ta chưa thể xác định k chẵn hay lẻ, nên có hai khả xảy TH1: k số chẵn, tức k = 2m → n = 3k = 3.2m = 6m Khi n ( n + 1) = 6m ( 6m + 1) = ( 6m + m ) →n⋮ TH2: k số lẻ, tức k = 2m + → n = 3k = 3.( 2m + 1) = 6m + Khi n ( n + 1) = ( 6m + 3) ( 6m + + 1) = ( 6m + 3) ( 6m + ) = 3( 2m + 1) 2.( 3m + ) = ( 2m + 1)( 3m + ) →n⋮ Ví dụ 2: [ĐVH] Chứng minh với số phương biểu diễn dạng 4k 4k + Hướng dẫn giải: Gọi n số phương Khi n số chẵn số lẻ - Nếu n chẵn, giả sử n = ( 2m ) = 4m = 4k - Nếu n lẻ, giả sử n = ( 2m + 1) = 4m + 4m + = ( m + m ) + = 4k + Vậy ta điều phải chứng minh Ví dụ 3: [ĐVH] Chứng minh với x, y ta có a) x − xy + y + > b) x + y + x + ≥ xy Hướng dẫn giải: Tham gia khóa TOÁN 10 MOON.VN để có chuẩn bị tốt cho kì thi Trung học phổ thông Quốc gia! Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 y 3y2 a) Ta có x − xy + y + = x − + + > 0, ∀x, y ∈ R 2 b) Ta có x + y + x + − xy = ( x − xy + y ) + x + x + = ( x − y ) + ( x + 1) ≥ 0, ∀x, y ∈ R 2 Các ví dụ sử dụng phương pháp phản chứng để chứng minh: Ví dụ 1: [ĐVH] Cho số tự nhiên n Chứng minh a) n2 số chẵn n chẵn b) Nếu n2 chia hết cho n chia hết cho Hướng dẫn giải: Ta biết với mệnh đề P Q sai P đúng, Q sai a) Giả sử n số lẻ n2 số chẵn Do n số lẻ nên n = 2k + → n = ( 2k + 1) = 4k + 4k + = ( 2k + 2k ) + = 2k ′ + Ta thấy n2 số lẻ, trái với giả thiết phản chứng Vậy mệnh đề phủ định sai, từ mệnh đề cho đúng, hay định lí chứng minh b) Giả sử n không chia hết cho 5, n = 5k ± 1; n = 5k ± Với n = 5k ± → n = ( 5k ± 1) = 25k ± 10k + = ( 5k ± 2k ) + = 5k ′ + → n2 không chia hết cho 5, giả thiết phản chứng sai Với n = 5k ± → n = ( 5k ± ) = 25k ± 10k + = ( 5k ± 2k + 1) − = 5k ′ − → n2 không chia hết cho 5, giả thiết phản chứng sai Vậy n2 chia hết cho n chia hết cho Ví dụ 2: [ĐVH] Chứng minh a) Nếu a + b > có hai số a b phải dương b) Nếu a b hai số dương a + b ≥ ab Hướng dẫn giải: a ≤ a) Giả thiết phản chứng a b không dương, tức → a + b ≤ Điều mâu thuẫn với giả thiết b ≤ Vậy a + b > có hai số a b phải dương b) Giả sử a b hai số dương a + b < ab → a + b − ab < ⇔ ( a− b ) < → vô lí Vậy a, b hai số dương a + b ≥ ab BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: [ĐVH] Chứng minh a) a + b < hai số a, b phải nhỏ b) cho n số tự nhiên, 5n + lẻ n số lẻ c) Nếu abc > ba số a, b, c có số dương Bài 2: [ĐVH] Chứng minh a) bỏ 100 viên bi vào hộp có hộp chứa 12 viên bi b) tam giác tam giác có góc nhỏ 600 c) x ≠ −1 y ≠ −1 x + y + xy ≠ −1 Bài 3: [ĐVH] Chứng minh phương pháp phản chứng: a) với số tự nhiên n, 3n + lẻ n số lẻ b) tích hai số nguyên chia hết cho phải có số chia hết cho c) tổng bình phương hai số nguyên dương chia hết cho hai số chia hết cho Bài 4: [ĐVH] Một nhà thông thái bị xử phạt tội chết bị hành quyết: chém đầu treo cổ Trước hành nhà vua cho nói câu giao hẹn: nói chém đầu, nói sai bị treo cổ Nhà thông thái mỉm cười nói câu, nhờ thoát chết Bạn cho biết câu nói nhà thông thái gì? Bài 5: [ĐVH] Cúp Tiger 98 có đội lọt vào vòng bán kết: Việt Nam, Singapor, Thái Lan Indonesia Trước vào đấu vòng bán kết, ba bạn A, B, C dự đoán sau Bạn A: Singapor nhì Thái Lan ba Tham gia khóa TOÁN 10 MOON.VN để có chuẩn bị tốt cho kì thi Trung học phổ thông Quốc gia! Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Bạn B: Việt Nam nhì Thái Lan thứ tư Bạn A: Singapor Indonesia nhì Kết bạn dự đoán đội sai đội Bạn cho biết đội xác đoạt giải mấy? Tham gia khóa TOÁN 10 MOON.VN để có chuẩn bị tốt cho kì thi Trung học phổ thông Quốc gia! ... đoán sau Bạn A: Singapor nhì Thái Lan ba Tham gia khóa TOÁN 10 MOON.VN để có chuẩn bị tốt cho kì thi Trung học phổ thông Quốc gia! Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Bạn B:... đoán đội sai đội Bạn cho biết đội xác đoạt giải mấy? Tham gia khóa TOÁN 10 MOON.VN để có chuẩn bị tốt cho kì thi Trung học phổ thông Quốc gia! ... 2k ) + = 2k ′ + Ta thấy n2 số lẻ, trái với giả thiết phản chứng Vậy mệnh đề phủ định sai, từ mệnh đề cho đúng, hay định lí chứng minh b) Giả sử n không chia hết cho 5, n = 5k ± 1; n = 5k ± Với