Tổng hợp 210 đề thi thử môn toán 2015 phần 1

! Khoá)giải)đề)THPT)Quốc)Gia)–)Thầy:)Đặng)Thành)Nam) Môn:)Toán;)ĐỀ)SỐ)24/50) Ngày)thi):)8/04/2015) Thời)gian)làm)bài:)180)phút,)không)kể)thời)gian)giao)đề) Liên)hệ)đăng)ký)khoá)học)–)Hotline:)0976)266)202)–)Chi)tiết:)www.mathlinks.vn)) Câu)1)(2,0)điểm).)Cho!hàm!số! y = (x + m)(x −1) (1) ! Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1)!với! m = ! Cho!điểm!C(10;A2).!Tìm!m!để!(1)!có!hai!điểm!cực!trị!A,B!sao!cho!ba!điểm!A,B,C!thẳng! hàng.! Câu)2)(1,0)điểm).) a) Giải!phương!trình! 2 sin x cos x =1 !! b) Tìm!số!phức!z!có!phần!thực!và!phần!ảo!đều!dương!thoả!mãn! z = 5, z + z = !! Câu)3)(0,5)điểm).!Giải!phương!trình! log (x + 3) = log x −1 + ! ⎧⎪ ⎪⎪ x + 3x + y + = (x +1)(x + 2) y −1 Câu)4)(1,0)điểm).)Giải!hệ!phương!trình! ⎪⎨ ,( x, y ∈ !) !!! ⎪⎪ 2 ⎪⎪⎩ x +16 − x −3x + = y −1 −1 Câu)5)(1,0)điểm).!Tính!thể!tích!khối!tròn!xoay!khi!quay!hình!phẳng!giới!hạn!bởi!các!đường! y= + x ln x , y = , x = quanh!trục!hoành.! x x Câu)6)(1,0)điểm).!Cho!hình!chóp!S.ABC!có!mặt!bên!SBC!là!tam!giác!vuông!cân!tại!S!và!nằm! ! = CSA ! = 600 !Tính!thể!tích! trong!mặt!phẳng!vuông!góc!với!mặt!phẳng!(ABC),! BC = a 2, ASB khối!chóp!S.ABC!và!khoảng!cách!từ!điểm!B!đến!mặt!phẳng!(SAC).! Câu)7)(1,0)điểm).!Trong!mặt!phẳng!với!trục!toạ!độ!Oxy!cho!tam!giác!ABC!vuông!cân!tại!C.! Gọi!M!là!trung!điểm!cạnh!AC,!D!là!điểm!thuộc!đoạn!AB!thoả!mãn! DB = 2DA ,!H!là!hình! 18 24 chiếu!vuông!góc!của!D!trên!BM.!Tìm!toạ!độ!các!đỉnh!A,B,C!biết!D(A2;4),! H (− ; ) và!đỉnh!B! 5 có!hoành!độ!nguyên.! Câu)8)(1,0)điểm).!Trong!không!gian!với!trục!toạ!độ!Oxyz!cho!điểm!I(2;2;0)!và!mặt!phẳng! (P ) : 3x + 2y − z + = !Viết!phương!trình!đường!thẳng!d!đi!qua!I!và!vuông!góc!với!mặt! phẳng!(P).!Tìm!toạ!độ!điểm!M!trên!d!sao!cho!M!cách!đều!gốc!toạ!độ!và!mặt!phẳng!(P).!! Câu)9)(0,5)điểm).!Người!ta!dùng!5!cuốn!sách!Toán,!6!cuốn!sách!Vật!lý,!7!cuốn!sách!Hoá!học! (các!sách!cùng!loại!thì!giống!nhau)!để!làm!phần!thưởng!cho!9!học!sinh!mỗi!học!sinh!được!hai! cuốn!khác!loại,!trong!9!học!sinh!này!có!hai!bạn!Nam!và!Hường.!Tính!xác!suất!để!Nam!và! Hường!có!phần!thưởng!giống!nhau.! Câu)10)(1,0)điểm).!Cho!a,b,c!là!các!số!thực!dương!thoả!mãn! a(a − c) + b(b − c) = !Tìm!giá!trị! a b c + ab ⎛⎜ a + b ⎞⎟ ⎟ ! nhỏ!nhất!của!biểu!thức! P = + + −⎜ ⎜⎝ c ⎟⎟⎠ b + c c + a3 ) mmmHẾTmmm) Hotline:)0976)266)202)) Chi)tiết:)Mathlinks.vn) Đăng)ký)nhóm)3)học)sinh)nhận)ưu)đãi)học)phí))) ! 1! ! PHÂN)TÍCH)BÌNH)LUẬN)ĐÁP)ÁN) Câu)1)(2,0)điểm).)Cho!hàm!số! y = (x + m)(x −1) (1) ! Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1)!với! m = ! Cho!điểm!C(10;A2).!Tìm!m!để!(1)!có!hai!điểm!cực!trị!A,B!sao!cho!ba!điểm!A,B,C!thẳng! hàng.! Học!sinh!tự!giải.! ⎡ x =1 ⎢ 2 Ta!có:! y ' = (x −1) + 2(x + m)(x −1); y ' = ⇔ ⎢ ! ⎢ x = 1− 2m ⎢⎣ 1− 2m ≠1 ⇔ m ≠ −1 ! 1− 2m 4(m +1)3 ; ) ,!ta!có:! Khi!đó!toạ!độ!2!điểm!cực!trị!là! A(1;0), B( 27 !!!" !!!" −2(m +1) 4(m +1)3 AC = (9;−2), AB = ( ; ) / /(−9;2(m +1) ) ! ! 27 !!!" !!!" Vậy!A,B,C!thẳng!hàng!khi!và!chỉ!khi! AB , AC cùng!phương! ⎡m = −9 2(m +1) ! ⇔ = ⇔⎢ (t / m) ! ⎢ m = −2 −2 ⎣ Kết)luận:!Vậy! m = −2;m = là!giá!trị!cần!tìm.!!! +)!Để!đồ!thị!hàm!số!có!hai!điểm!cực!trị!khi!và!chỉ!khi! Câu)2)(1,0)điểm).) a) Giải!phương!trình! 2 sin x cos x =1 !! b) Tìm!số!phức!z!có!phần!thực!và!phần!ảo!đều!dương!thoả!mãn! z = 5, z + z = !! a) Điều!kiện!phương!trình!có!nghiệm:! sin x > ! Khi!đó!bình!phương!hai!vế!của!phương!trình!ta!được:! π π + k ,k ∈ ! ! +)!Biểu!diễn!trên!vòng!tròn!lượng!giác!ta!được!các!nghiệm!thoả!mãn!:! ⎧ ⎫ ⎪π ⎪ 3π 5π 7π ! x ∈⎪ ⎨ + k2π, + k2π, + k2π, + k2π,k ∈ !⎪ ⎬ !! ⎪ ⎪ 8 ⎪ ⎪ ⎩8 ⎭ ! 8sin x.cos2 x =1 ⇔ 2sin 2x =1 ⇔ cos4x = ⇔ x = b) Đặt! z = x + y.i (x, y > 0) ,!theo!giả!thiết!ta!có:! ⎧ 2 ⎧ ⎪ ⎧x = ⎪x + y = ⎧ ⎪ x2 = ⎪ ⎪ x +y = ⎪ ⇔⎪ ⇔ ⇔⎪ (do x, y > 0) ! ! ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ 2 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ y =1 x − y = y =1 (x + yi) + (x − yi) = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ⎩ ⎪ ⎩ Vậy! z = + i !!! Câu)3)(0,5)điểm).!Giải!phương!trình! log (x + 3) = log x −1 + ! Điều!kiện:! −3 < x ≠1 ! Phương!trình!tương!đương!với:! Hotline:)0976)266)202)) Chi)tiết:)Mathlinks.vn) Đăng)ký)nhóm)3)học)sinh)nhận)ưu)đãi)học)phí))) ! 2! ! log (x + 3) = log + log ! x −1 ⇔ log (x + 3) = log x −1 ⇔ x + = x −1 ⇔ (x + 3) =16 x −1 ! ⎡⎧ ⎪ x >1 ⎢⎪ ⎢⎨ ⎪(x + 3) =16(x −1) ⎩ ⇔ ⎢⎢⎪ ⇔ x = 5; x = −11 ⎪ ⎢⎧ x 1 !Phương!trình!thứ!nhất!của!hệ!tương!đương!với:! ⎧ ⎪ ( x +1)( x + 2) ≥ ⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎪ x +1) ( x + 2) ! ⎨ ( ⎪ x + 3x + y + = ⎪ ⎪ ⎪ y −1 ( ) ⎪ ⎩ Hotline:)0976)266)202)) Chi)tiết:)Mathlinks.vn) Đăng)ký)nhóm)3)học)sinh)nhận)ưu)đãi)học)phí))) ! 3! ! ⎧( x +1)( x + 2) ≥ ⎪ ⎪ ⇔⎪ ⎨ 2 ⎪ y −1) ⎡⎢( x +1)( x + 2) + y ⎤⎥ = ( x +1) ( x + 2) ⎪ ⎪( ⎣ ⎦ ⎩ ! ⎧ ⎪ x +1 x + ≥ )( ) ⎪( ⇔⎪ ⎨ ⎪ x + 3x + y +1)( x + y +1)( x − y + 2) = ⎪ ⎪ ⎩( +!Ta!có! y >1 ⇒ x + 3x +1+ y > x + 3x + = ( x +1)( x + 2) ≥ ! +!)!Nếu! y = −x −1 ⇒ −x −1>1 ⇔ x 6,∀x ∈ ⎡⎣⎢−3;−2⎤⎦⎥ ! Do!đó!phương!trình!vô!nghiệm.! !+!)!Nếu! y = x + thay!vào!phương!trình!thứ!hai!của!hệ!ta!được:! x +16 − x −3x + = x +1 −1 ! Phương!trình!này!có!điều!kiện:! x ≥−1 !! Thực!hiện!nhân!liên!hợp!ta!có:! ⇔ −3x +12x x +16 + x −3x + = x x +1 +1 ! ⎡x = ⎢ ⇔⎢ 2 ⎢ x +16 + x −3x + = −3( x − 4) x +1 +1 (1) ⎣ Giải!phương!trình!(1)!bằng!cách!kết!hợp!với!phương!trình!đầu!của!hệ!ta!được!(!Xem!thêm! Cuốn!“%Bài%giảng%chọn%lọc%Phương%trình%–%Bất%phương%trình%vô%tỷ”!cùng!tác!giả).! ⎧ ⎪ x +16 + x −3x + = −3( x − 4) x +1 +1 ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎩ x +16 − x −3x + = x +1 −1 ( ( ) ) ⇒ x +16 = (13−3x ) x +1 −3x +11 ⇔2 ( ) ( x +16 −5 + (3x −13) ) x +1 − + 9( x −3) = ! ⎡ 2( x + 3) ⎤ 3x −13 ⇔ ( x −3) ⎢⎢ + + 9⎥⎥ = ⎢⎣ x +16 + ⎥⎦ x +1 + ⎡ 2( x + 3) ⎤ + x +1 + 3x ⎥ ⎢ ⇔ ( x −3) ⎢ + ⎥=0⇔ x =3 ⎢⎣ x +16 + x +1 + ⎥⎦ Thử!lại!thấy!thoả!mãn.!Suy!ra! ( x; y ) = (0;2);(3;5) ! Hotline:)0976)266)202)) Chi)tiết:)Mathlinks.vn) Đăng)ký)nhóm)3)học)sinh)nhận)ưu)đãi)học)phí))) ! 4! ! Kết)luận:!Vậy!hệ!phương!trình!có!hai!nghiệm!là!! ( x; y ) = (0;2);(3;5) !!! Cách%2:!Đặt! t = x + 3x + + y ⇒ (x +1)(x + 2) = t − y ! Phương!trình!thứ!nhất!của!hệ!trở!thành:! t2 − y ⇔ t −( y −1)t − y = ⇔ (t − y)(t +1) = ⇔ t = y (do t ≥ 0) ! y −1 ⎧⎪ y ≥ ⎪⎧ y ≥ Vì!vậy! x + 3x + + y = y ⇔ ⎪ ! ⇔ ⎪⎨ ⎨ 2 ⎪⎪ x + 3x + + y = y ⎪⎪⎩( y − x − 2)( y + x +1) = ⎩ Ta!có!kết!quả!tương!tự!trên.!!!! Câu)5)(1,0)điểm).!Tính!thể!tích!khối!tròn!xoay!khi!quay!hình!phẳng!giới!hạn!bởi!các!đường! ! y= t= + x ln x , y = , x = quanh!trục!hoành.! x x +)!Phương!trình!hoành!độ!giao!điểm:! ⎡ x = 0(l ) + x ln x = ⇔ + x ln x = ⇔ x ln x = ⇔ ⎢ ! ⎢ x =1 x x ⎣ Vì!vậyV = π ∫ + x ln x ( ) − dx =π ∫ ln x dx !!! x x ⎧ ⎪ dx ⎧ ⎪ ⎪ u = ln x du = ⎪ ⎪ +)!Đặt! ⎨ ⇒⎨ x ! ⎪ ⎪ dv = dx ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎩v = x 2 +)!Suy!ra:!V = π(x ln x − ∫ dx ) = π(2ln 2− x ) = π(2ln 2−1) !(đvtt).! 1 Câu)6)(1,0)điểm).!Cho!hình!chóp!S.ABC!có!mặt!bên!SBC!là!tam!giác!vuông!cân!tại!S!và!nằm! ! = CSA ! = 600 !Tính!thể!tích! trong!mặt!phẳng!vuông!góc!với!mặt!phẳng!(ABC),! BC = a 2, ASB khối!chóp!S.ABC!và!khoảng!cách!từ!điểm!B!đến!mặt!phẳng!(SAC).! +)!Gọi!H!là!trung!điểm!BC,!theo!giả!thiết:! ⎧ ⎪SH ⊥ BC !⎪ ⇒ SH ⊥ (ABC ) ! ⎨ ⎪ ⎪ ⎩(SBC ) ⊥ (ABC ) BC a ! = 2 ! = ASC ! = 600 nên! Tam! giác! SAB! và! SAC! có! SA! chung,! SB = SC, ASB Và!tam!giác!SABC!vuông!cân!có! SH = BH = CH = ! bằng!nhau.! Do!đó! AB = AC và!tam!giác!ABC!cân!tại!A,!đặt! SA = x ! Áp!dụng!định!lý!Hàm!số!côsin!cho!tam!giác!SAB,!pitago!cho!các!tam!giác!SAH,!AHB!có:! Hotline:)0976)266)202)) Chi)tiết:)Mathlinks.vn) Đăng)ký)nhóm)3)học)sinh)nhận)ưu)đãi)học)phí))) ! 5! ! AB = SA2 + SB − 2SA.SB cos600 = x + a −ax, ! AH = AB − BH = x + a −ax − SA2 = SH + AH = Do!đó! AH = a2 , ! a2 a2 + (x + a −ax − ) = x ⇒ x = a 2 a 1 a a2 ,S ABC = AH BC = a = ! 2 2 1 a a2 a3 = Vì!vậy!VS ABC = SH S ABC = (đvtt).! 3 2 12 +)!Ta!có:! d(B;(SAC )) = 2d(H ;(SAC )) ! Kẻ!HK!vuông!góc!với!AC!tại!K,!Kẻ!HI!vuông!góc!với!SK!tại!I!thì!! ! HI ⊥ (SAC ) ⇒ d(H ;(SAC )) = HI ! Tam!giác!vuông!AHC!và!SHK!có! ! 1 1 1 2 a = + = + + = + + = ⇒ HI = ! 2 2 2 HI SH HK SH HC HA a a a a a ! Cách)2:!Tính!theo!thể!tích!vì!diện!tích!tam!giác!SAC!tính!đơn!giản! Vậy! d(B;(SAC )) = 2HI = 3V a ⇒ d(B;(SAC )) = SABC Ta!có: SSAC = SA.SC.sin 600 = SSAC a3 a = = !!! a Bình)luận:!Chú!ý!giả!thiết!bài!toán!ta!tính!được! HA = BC ⇒ ΔABC vuông!cân!tại!A.!!! Bài)tập)tương)tự)m)Cho!hình!chóp!S.ABC!có!mặt!bên!SBC!là!tam!giác!cân!tại!S,! SB = a !và!nằm! ! = BSC ! = CSA ! = 600 !Tính!thể!tích! trong!mặt!phẳng!vuông!góc!với!mặt!đáy!(ABC).!Biết! ASB khối!chóp!S.ABC!và!khoảng!cách!từ!trung!điểm!đoạn!SB!đến!mặt!phẳng!(SAC).!!! Câu)7)(1,0)điểm).!Trong!mặt!phẳng!với!trục!toạ!độ!Oxy!cho!tam!giác!ABC!vuông!cân!tại!C.! Gọi!M!là!trung!điểm!cạnh!AC,!D!là!điểm!thuộc!đoạn!AB!thoả!mãn! DB = 2DA ,!H!là!hình! 18 24 chiếu!vuông!góc!của!D!trên!BM.!Tìm!toạ!độ!các!đỉnh!A,B,C!biết!D(A2;4),! H (− ; ) và!đỉnh!B! 5 có!hoành!độ!nguyên! Phương!trình!đường!thẳng!DH!là! x + 2y −6 = ! Đường!thẳng!BM!đi!qua!H!và!vuông!góc!với!DH!nên!có!phương!trình! 2x − y +12 = ! !!!" !!!" Ta!chứng!minh!C,H,D!thẳng!hàng!và! CH = HD ! !!!" !!!" 12 2a Do! CH = HD = ( ;− ) ⇒ C (−6;6) !Đặt! CA = CB = a > ⇒ AB = a 2, BD = ! 5 Hotline:)0976)266)202)) Chi)tiết:)Mathlinks.vn) Đăng)ký)nhóm)3)học)sinh)nhận)ưu)đãi)học)phí))) ! 6! ! Áp!dụng!định!lý!hàm!số!CôAsin!cho!tam!giác!BCD!có! CD = BC + BD − 2BC.BD cos450 = a + Gọi!B(b;2b+12)!với!b[...]... Vậy!phương!trình!có!nghiệm!duy!nhất! x = 1 !! x 2 − x +1 +1 Câu%4% (1, 0%điểm).!Giải!bất!phương!trình! x +1+ x 2 + x +1 − x 1 ≤ − x 1 ! x Điều!kiện:! x > 0 ! Bất!phương!trình!tương!đương!với:!!! x +1+ x 2 + x +1 − x 2 − x +1 +1 x 1 ≤ − x 1 x (x +1) + (x +1) −(x +1) +1 + x +1 2 1 x + 1 x2 1 1 ! − +1 + (1) x x Xét!hàm!số! f (t) = t + t 2 −t +1 + t ,!ta!có:! 1+ f '(t) = 1+ 2t 1 2 t 2 −t +1 2t 1+ 2 t 2 −t +1 = 1+ 2 t + t −t +1 4 t +... Cộng!theo!vế!hai!bất!đẳng!thức!trên!ta!được:! 1 1 a b 1 ! ! + ≥ + = 2 2 (a + b)(ab +1) (a + b)(ab +1) ab +1 (a +1) (b +1) Dấu!bằng!xảy!ra!khi!và!chỉ!khi! a = b =1 ! Áp!dụng!ta!có:!!!! 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ! + 3 ≥ 3 3 , 3 + 3 ≥ 3 3 , 3 + 3 ≥ 3 3 3 2 2 2 2 (x +1) ( y +1) x y +1 ( y +1) (z +1) y z +1 z +1 x +1 z x +1 Cộng!theo!vế!ba!bất!đẳng!thức!trên!ta!được:! 1 1 1 3 ! ∑ (x 3 +1) 2 ≥ 2 ∑ x 3 y 3 +1 ≥ 2(x 2 y 2 z 2 +1) ! Chú)ý:!Với!mọi! a,b,c 1 ta!có:!... Nên!từ! (1) !suy!ra:! −x 2 + 6x +11 = 16 ⇔ (3x +1) (−x 2 + 6x +11 ) 16 (x +1) 2 ≥ 0 3x +1 ! 5 2 ⇔ −(x 1) (x + ) ≥ 0 ⇔ x = 1( do x > 0) 3 (x +1) ! 2 ≥ Ta!có!kết!quả!tương!tự!trên.! Cách$3:!Ta!có! (1) !tương!đương!với:! ( ⇔ ⇔ 8 2x(x +1) − 16 3x +1 )+ (3x +1) 2x(x +1) 8( 2x − x +1) 2 (3x +1) 2x(x +1) + 2 1 2 x 2 − 2x +1+ x x 1 3x +1 8(3x +1 2 2x(x +1) ) Câu)5) (1, 0)điểm).!Tính!tích!phân! I = ∫ Ta!có:! I = ∫ 3x +17 +... 1 ta!có:! 1 1 1 3 + 3 + 3 ≥ (*).! a +1 b +1 c +1 abc +1 Chứng$minh.!Ta!có!bất!đẳng!thức!quen!thuộc:!! ! ! 3 1 1+ m 2 + 1 1+ n 2 ≥ 2 1+ mn ,∀ mn 1 ! Áp!dụng!ta!có:!! 1 1 2 + ≥ , 3 3 1+ a 1+ b 1+ a 3b 3 1 1 2 ! ! + ≥ , 3 1+ abc 1+ abc 4 1+ c ⎛ 1 1 ⎞⎟⎟ 4 4 2⎜⎜⎜ + ≥ = ⎟ ⎜ 1+ a 3b 3 abc 4 ⎟⎠ 1+ a 3b 3 abc 4 1+ abc Cộng!theo!vế!ba!bất!đẳng!thức!trên!ta!có!(*)!được!chứng!minh.! 1 3 Quay!lại!bài !toán, !áp!dụng!ta!có:!... c 2 ≥ (a + b + c)2 !Ta!có:! 3 2 1 1 1 1 ⎛⎜ 1 1 1 ⎞⎟ ⎟⎟ ! + + ≥ + + ⎜ (x 3 +1) 2 ( y 3 +1) 2 (z 3 +1) 2 3 ⎜⎝ x 3 +1 y 3 +1 z 3 +1 ⎠ Áp!dụng!bất!đẳng!thức!(*)!ta!có:! Do!đó:! P ≥ 3 (1+ xyz) 2 − 3 2x y 2 z 2 + 2 2 1 1 1 3 !! + 3 + 3 ≥ 1+ xyz x +1 y +1 z +1 3 !! Mặt!khác:! 2x 2 y 2 z 2 + 2 1+ xyz ,!do!đó:! 2 ⎛ 1 1 ⎞⎟⎟ 3 3 ⎜⎜ P≥ − = 3 − ⎟⎟ − ≥− ! ⎜⎜ 2 (1+ xyz) 1+ xyz 4 1+ xyz 2 ⎟⎠ 4 3 3 Bình)luận:!Chú!ý!trong!lời!giải!trên!ta!sử!dụng!các!bất!đẳng!thức!hay!dùng!sau:!... Câu )10 ) (1, 0)điểm).!Cho!x,y,z!là!các!số!thực!dương!thuộc! ⎡ 1; +∞ !Tìm!giá!trị!nhỏ!nhất!của!biểu! ⎣ thức! P = 1 1 1 3 + 3 + 3 − ! 2 2 2 (x +1) ( y +1) (z +1) 2x 2 y 2 z 2 + 2 3 1 1 1 ! + ≥ 2 2 ab +1 (a +1) (b +1) Chứng$minh.!Sử!dụng!bất!đẳng!thức!Cauchy!–Schwartz!ta!có:! a 1 b (ab +1) ( +1) ≥ (a +1) 2 ⇒ ≥ , 2 b (a + b)(ab +1) (a +1) ! ! b 1 a 2 (ab +1) ( +1) ≥ (b +1) ⇒ ≥ a (b +1) 2 (a + b)(ab +1) Nhận)xét:!Với!a,b!là!hai!số!thực!dương!ta!có:!... thành!hai !đề! thi! mỗi !đề! thi! gồm !10 !câu,!và!các!câu!trong!một !đề! được!đánh!số!thứ!tự!từ!Câu !1! đến!Câu !10 .!Tính!xác!suất!để!xây!dựng!được!hai !đề! thi! mà!mỗi !đề! thi! đều!gồm!2!câu!hỏi!khó.! Không!gian!mẫu!là!số!cách!xây!dựng!hai !đề! thi! mỗi !đề! thi! gồm !10 !câu!được!chọn!ra!từ!ngân! hàng!20!câu!hỏi.! +!Chọn!ra !10 !câu!hỏi!cho !đề! thứ!nhất,!sau!đó!sắp!xếp!theo!thứ!tự!từ!câu !1! đến!câu !10 !có! 10 C20 10 ! !cách.! + !10 !câu!còn!lại!lấy!làm !đề! thứ!hai,!và!sắp!xếp!theo!thứ!tự!từ!câu !1! đến!câu !10 !có !10 !!cách.!... +)!Cho!n!số!thực!dương!thoả!mãn! x i 1, i =1, n ta!có:! ! 1 1 1 n + + + ≥ ! x1 +1 x 2 +1 x n +1 n x x x +1 1 2 n +)!Với!a,b!là!hai!số!thực!dương!ta!có:! 1 1 1 ! ! + ≥ 2 2 ab +1 (a +1) (b +1) Tổng! quát!hơn!ta!có:! 1 1 1 ! + ≥ ,k > 0 ! 2 2 (a + k) (b + k) ab + k 2 Chứng$minh.$ Sử!dụng!bất!đẳng!thức!Cauchy!–Schwartz!ta!có:! b , (ab + k 2 )( ab +1) ≥ (a + k)2 ⇒ (a +1 k)2 ≥ (a + b)(ab + k2) ! ! 1 a 2 b 2 (ab + k )( +1) ≥ (b + k)... ⎪⎪ ≥ (x +1) 2 x(x +1) 4 ⎪⎪⎩ (x +1) x(x +1) ⎪⎧⎪−x 2 + 6x +11 > 0 ⎪⎧⎪−x 2 + 6x +11 > 0 ⇔⎨ ⇔⎨ ! ⎪⎪ x(−x 2 + 6x +11 )2 −32(x +1) 3 ≥ 0 ⎪⎪ x 5 12 x 4 18 x 3 + 36x 2 + 25x −32 ≥ 0 ⎩ ⎩ ⎪⎧⎪−x 2 + 6x +11 > 0 ⎪⎧−x 2 + 6x +11 > 0 ⎪⎨ ⇔ ⎪⎨ ⇔ ⎪⎪(x 1) 2 (x 3 10 x 2 −39x −32) ≥ 0 ⎪⎪(x 1) 2 ⎡⎢−x(−x 2 + 6x +11 )− 4x 2 − 28x −32⎤⎥ ≥ 0 ⎩ ⎣ ⎦ ⎪⎩ −x 2 + 6x +11 2 ⇔ x = 1( do − x(−x 2 + 6x +11 )− 4x 2 − 28x −32 < 0,∀x ∈ (0;3+ 2 5))... + !10 !câu!còn!lại!lấy!làm !đề! thứ!hai,!và!sắp!xếp!theo!thứ!tự!từ!câu !1! đến!câu !10 !có !10 !!cách.! 10 10 Vậy!không!gian!mẫu! Ω = C20 ! 10 ! .10 != (10 !)2 C20 +)!Gọi!A!là!biến!cố!xây!dựng!được!hai !đề! thi! mỗi !đề! gồm!2!câu!hỏi!khó.! +!Chọn!ra!2!câu!hỏi!khó!trong!4!câu,!và!8!câu!hỏi!dễ!trong !16 !câu!cho !đề! thứ!nhất,!sau!đó!sắp! xếp !10 !câu!này!theo!thứ!tự!từ!câu !1! đến!câu !10 !có! C42 C168 10 ! cách.! + !10 !câu!còn!lại!lấy!làm !đề! thứ!hai,!và!sắp!xếp!theo!thứ!tự!từ!câu !1! đến!câu !10 !có !10 !!cách.! ... −(x +1) +1 + x +1 x + x2 1 ! − +1 + (1) x x Xét!hàm!số! f (t) = t + t −t +1 + t ,!ta!có:! 1+ f '(t) = 1+ 2t 1 t −t +1 2t 1+ t −t +1 = 1+ t + t −t +1 t + t −t +1 t −t +1 2 > ,!! bởi!vì! 2t 1+ ... ,!bất!phương!trình!tương!đương!với:! ⎧⎪−x + 6x +11 > ⎪⎪ ⎪⎨ ≥ (1) ⇔ (−x + 6x +11 )2 32 ⎪⎪ ≥ (x +1) 2 x(x +1) ⎪⎪⎩ (x +1) x(x +1) ⎪⎧⎪−x + 6x +11 > ⎪⎧⎪−x + 6x +11 > ⇔⎨ ⇔⎨ ! ⎪⎪ x(−x + 6x +11 )2 −32(x +1) 3 ≥ ⎪⎪ x 12 x 18 x + 36x + 25x... Cách$2:!Sử!dụng!bất!đẳng!thức!AM!–GM!ta!có! ! x(x +1) = 2x(x +1) ≥ 2x + x +1 16 3x +1 ! Nên!từ! (1) !suy!ra:! −x + 6x +11 = 16 ⇔ (3x +1) (−x + 6x +11 ) 16 (x +1) 2 ≥ 3x +1 ! ⇔ −(x 1) (x + ) ≥ ⇔ x = 1( do x > 0) (x +1) ! ≥ Ta!có!kết!quả!tương!tự!trên.!