SỞ GD & ĐT HÀ TĨNH TRƯỜNG THPT CÙ HUY CẬN Câu 1( 2,0 điểm ) Cho hàm số y ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN II NĂM HỌC 2015 - 2016 MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề 2x 1 (C) x 1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc Câu ( 1,0 điểm ) a) Giải phương trình sau: 25 x 4.5 x 21 b) Cho số phức z thỏa mãn: z i.z 5i Tính mođun số phức z e Câu ( điểm ) Tính tích phân I 1 (x 3ln x )dx x Câu ( điểm ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d mặt phẳng (P) có phương trình d : x 1 y z ; P : x y z Tìm tọa độ giao điểm A đường thẳng d 3 mặt phẳng (P) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I (1;2; 3) qua A Câu ( 1,0 điểm ) a) Giải phương trình : 2cos x 1 cos x 2sin x sin x sin x b) Đoàn trường trung học phổ thông Cù Huy Cận có 18 chi đoàn học sinh gồm chi đoàn khối 10, chi đoàn khối 11 chi đoàn khối 12 Nhân kỷ niệm “ 85 năm thành lập Đoàn niên cộng sản Hồ Chí Minh” Đoàn trường cần chọn bí thư chi đoàn từ chi đoàn để tham dự mít tinh Huyện đoàn Tính xác suất để chọn bí thư chi đoàn cho có đủ bí thư chi đoàn ba khối Câu ( điểm ) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) , góc SC mặt phẳng ( ABCD) 60 Gọi M trung điểm CD , N hình chiếu vuông góc D SM Tính thể tích khối chóp S ABCD khoảng cách từ N đến mặt phẳng ( SBC ) theo a x y ( x xy y 2) x y x Câu ( điểm ) Giải hệ phương trình: x y 12 x y x Câu (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vuông A B có phương trình cạnh CD x y 14 Điểm M trung điểm AB , điểm N (0; ) trung điểm MA Gọi H , K hình chiếu vuông góc A, B MD MC Xác định tọa độ đỉnh hình thang ABCD biết điểm M nằm đường thẳng d : x y , hai đường thẳng AH BK cắt điểm P ( ; ) 2 Câu ( điểm ) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x y z x y z Tìm giá trị lớn biểu thức: P x y z 2 x y yz - Hết SỞ GD & ĐT HÀ TĨNH TRƯỜNG THPT CÙ HUY CẬN HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN II NĂM HỌC 2015-2016 MÔN TOÁN Câu 1a Điể Nội dung Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y m 1,0 2x 1 (C) x 1 - Tập xác định D R \ 1 - Sự biến thiên 0,25 + Chiều biến thiên y ' y ' 0, x 1 ( x 1) Hàm số đồng biến khoảng ; 1 1; + Cực trị: Hàm số cực trị + Giới hạn tiệm cận 0,25 lim y Đồ thị có tiệm cận ngang y x lim y ; lim y Đồ thị có tiệm cận đứng x 1 x1 x1 + Bảng biến thiên x 1 - y' + y + 0,25 - Đồ thị + Đồ thị cắt trục Ox A(0;-1), cắt trục Oy B ( ; 0) f( x) = 2∙x x +1 10 O Chú ý: Thí sinh trình bày theo chương trình nâng cao 0,25 10 1b Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc 1,0 Gọi x hoành độ tiếp điểm tiếp tuyến đồ thị (C) Khi theo ta có 0,25 phương trình : y '(x ) x (x 1)2 (x 1) x 2 0,25 + Với x y 1 Suy pttt cần tìm : y 3(x 0) y 3x 0,25 + Với x 2 y Suy pttt cần tìm : y 3( x 2) y 3x 11 0,25 Câu Giải phương trình sau: 25 x 4.5 x 21 0,5 2a t 7(l ) Đặt t 5x với t Khi ta có pt : t 4t 21 t 3(t / m) 0,25 + Với t 5x x log Vậy pt có nghiệm x log 0,25 Câu Cho số phức z thỏa mãn: z i.z 5i Tính mođun số phức z 2b 0,5 Đặt z a bi với a, b Khi ta có : z a bi z i.z 5i 2(a bi) i (a bi ) 5i 2a b a 2b i 5i 0,25 a 2a b b a 2b Suy z 4i z 32 e Câu Tính tích phân I e I 0,25 (x 3ln x )dx x 1,0 e e (x 3ln x )dx xdx 3ln xdx A B x 1 x 0,25 e e 1 x2 A xdx 2 1 e e Tính B 0,25 3 3ln xdx Đặt t 3ln x t 3ln x 2tdt dx x x Đổi cận x e t 2 2t 14 Suy B t.2tdt t dt 3 1 2 0,25 e 25 Vậy I A B 0,25 Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d mặt phẳng (P) có phương 4a trình d : x 1 y z ; P : x y z Tìm tọa độ giao điểm A 3 1,0 đường thẳng d mặt phẳng (P) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1;2;-3) qua A x 2t Ta có ptts d : y 2 3t với t z 4t 0,25 Gọi A(1+2t; -2-3t; 5+4t) d (P) Vì A (P) nên ta có pt : 1 2t 2 3t 4t t 1 0,25 A 1;1;1 Vì mặt cầu (S) có tâm I(1;2; 3) qua A nên có bán kính : R IA (1 1)2 (2 1) (3 1)2 21 Phương trình mặt cầu (S) cần tìm : (x 1)2 (y 2)2 (z 3) 21 Câu Giải phương trình : (2 cos x 1)( 3cosx 2sin x 3) sin x sin 2x 5a 0,25 0,25 0,5 Ta có (2 cos x 1)( 3cosx 2sin x 3) sin x sin 2x (2 cos x 1)( 3cosx 2sin x 3) sinx(2cos x 1) 0,25 2cos x (2 cos x 1)( 3cosx sin x 3) 3cosx sin x + Với cos x cos x + Với 2 x k2, k 3cosx sin x vô nghiệm ( ( 3) (1) 32 ) 0,25 Vậy phương trình cho có nghiệm x 2 k2, k Đoàn trường trung học phổ thông Cù Huy Cận có 18 chi đoàn học sinh gồm chi đoàn Câu khối 10, chi đoàn khối 11 chi đoàn khối 12 Nhân kỷ niệm “ 85 năm thành lập Đoàn niên cộng sản Hồ Chí Minh” Đoàn trường cần chọn bí thư chi đoàn từ 5b chi đoàn để tham dự mít tinh Huyện đoàn Tính xác suất để chọn bí thư chi đoàn cho có đủ bí thư chi đoàn ba khối Chọn bí thư chi đoàn 18 chi đoàn nên số chọn : n() C18 3060 0,5 0,25 Gọi biến cố A : “Chọn bí thư chi đoàn có đủ bí thư chi đoàn ba khối” Khi đó, để chọn bí thư thỏa mãn yêu cầu toán ta phải chọn bí thư có bí thư khối nhiều hai bí thư khối 1 1 0,25 Do ta suy : n(A) C 6C 5C7 C 6C5C C6C 5C7 1575 Suy P(A) n(A) 1575 35 n() 3060 68 Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc SC (ABCD) 60o Gọi M trung điểm CD, N hình chiếu vuông góc D SM Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ N đến mặt phẳng (SBC) theo a Ta có S 1,0 (SC, SCA (ABCD)) 600 Suy SA AC.tan 60 a (Thí sinh tính SABCD a cho điểm 0,25 H phần ) B N A D M C a3 VS.ABCD SA.SABCD a 6.a 3 0,25 SN SD 28 Vì tam giác ΔSDM vuông D có đường cao DH nên ta có : SM SM 29 Suy d(N,(SBC)) 28 d(M,(SBC)) 29 (1) Mặt khác, M trung điểm CD nên d(M,(SBC)) d(D,(SBC)) (2) Hơn nữa, AD//(SBC) nên d(D,(SBC)) d(A,(SBC) AH với H AH SB (3) Từ (1),(2) (3) suy ra: d(N,(SBC)) 14 14 d(A,(SBC)) AH 29 29 0,25 Tam giác ΔSAB vuông A có đường cao AK nên : Suy : d(N,(SBC)) Câu 1 2 2 AB 6a AH SA 0,25 14 2a 42 AH (đvđd) 29 29 Câu ( điểm ) Giải hệ phương trình: x y ( x xy y 2) x y x x y 12 x y x 1,0 +Điều kiện: x y 3 + Ta có (1) ( x 1) ( x 1) x ( y 1) ( y 1) y 0,25 2 + Xét hàm f (t ) t t t f '(t ) 3t 2t t , suy f (t ) đồng biến f ( x 1) f ( y 1) x y y x + Thay y x vào phương trình (1) ta có pt: x2 x 14 x x x x 20 x x 3 x 3 x ( x 4)( x 5) x 2x 3 x4 2 23 x (x 4) x 0 3 x ( x 4) x 0,25 x 23 x A x 5 (3) x ( x 4) x + Với x x y , suy nghiệm hệ (4;2) + Ta chứng minh pt (3) vô nghiệm Vì ( x 4) x x 2x Ta lại có 1 3 (*) ( x 4)2 x 4 x ( x 4).1.1 23 x 3 2x 2 x 12 2 x x 12 ( x 1) (**) 9 2x 0,25 + Từ (*),(**) A x 0,25 x 12 28 x 105 0x 36 + Vậy nghiệm hệ (4; 2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông A B có phương Câu trình cạnh CD 3x y 14 Điểm M trung điểm AB, điểm N ( 0; ) trung điểm MA Gọi H, K hình chiếu vuông góc A, B MD MC Xác định tọa độ đỉnh hình thang ABCD biết điểm M nằm đường thẳng 1,0 d : 2x y , hai đường thẳng AH BK cắt điểm P( ; ) 2 Chứng minh : MP CD Áp dụng hệ thức lượng cho hai tam giác ΔMAD vuông A ΔMBC vuông B ta 2 có : AM MH.MD, BM MK.MC B C Kết hợp giả thiết MA=MB ta suy MH MK MH.MD MK.MC (1) MC MD CMD (2) Mặt khác, HMK K 0,25 P M N I H Từ (1) (2) suy : ΔMHK đồng dạng với ΔMCD CDM IDM (3) (c-g-c) Suy MKH A D MPH (cùng chắn cung MH) (4) Tứ giác MHPK nội tiếp suy MKH MPH 900 (6) MPH (5) Mà HMP Từ (3),(4) suy : IDM 0,25 IDM 900 MID 900 MP CD Từ (5) (6) suy : HMP Phương trình đường thẳng MP : x 3y x 3y M(1; 1) A( 1; 2) 2x y Tọa độ điểm M nghiệm hệ pt : 0,25 Vì M trung điềm AB nên suy B(3; 0) Phương trình đường thẳng AD : 2x y Suy AD CD D(2; 8) Phương trình đường thẳng BC : 2x y Suy AD CD C( 4; 2) Vậy A( 1; 2) , B(3; 0) , C( 4; 2) , D(2; 8) 0,25 Câu ( điểm ) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x y z Tìm giá x2 y z P x y z x y yz trị lớn biểu thức: 1,0 Câu + Ta có x2 y z x y z x y z x y 2z 1 1 11 2 2 x y z x y z 10 x y z 10 2 2 0,25 + Đặt x y z t t 10 + Ta có x y yz x y y.2 z x y y z x y z 1 2 2 1 x y yz x y z x y yz x y z x y z P 0,5 1 ( x y z) x yz + Xét hàm số 1 , t 2; 10 t2 t t2 f '(t ) t 2; 10 t f (t ) 0,25 Suy hàm số f (t ) đồng biến 2; 10 f (t ) f ( 10) 10 10 10 x y x y 2z 10 + Vậy MaxP 2 10 10 x y 2z z