TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH I ĐỀ THI MÔN TOÁN_KHỐI 12 (lần 1) Năm học: 2015-2016 Thời gian: 180 phút Câu (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y x3 3x Câu (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f x x x đoạn 12 ; 2 2 Câu (1,0 điểm) a) Giải phương trình sin x cos x 2sin x cos x b) Giải phương trình log x log x x 1 Câu (1,0 điểm) Tìm y x 1 x 1 hai điểm m A, B để đường thẳng cho d : y x m cắt đồ thị C hàm số AB Câu (1,0 điểm) a) Cho cot a Tính giá trị biểu thức P sin a cos a sin a cos a b) Một xí nghiệp có 50 công nhân, có 30 công nhân tay nghề loại A, 15 công nhân tay nghề loại B, công nhân tay nghề loại C Lấy ngẫu nhiên theo danh sách công nhân Tính xác suất để người lấy có người tay nghề loại A, người tay nghề loại B, người tay nghề loại C Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABC có đường cao SA 2a , tam giác 30 Gọi H hình chiếu vuông A ABC vuông C có AB 2a, CAB SC Tính theo a thể tích khối chóp H ABC Tính cô-sin góc hai mặt phẳng SAB , SBC Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang OABC ( O gốc tọa độ) có diện tích 6, OA song song với BC , đỉnh A 1; , đỉnh B thuộc đường thẳng d1 : x y , đỉnh C thuộc đường thẳng d : x y Tìm tọa độ đỉnh B, C Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân A có phương trình AB, AC x y 0, x y , điểm M 1; thuộc đoạn thẳng BC Tìm tọa độ điểm D cho tích vô hướng DB.DC có giá trị nhỏ Câu (1,0 điểm) Giải bất phương trình x2 x x2 x3 2 1 tập số x 3 thực Câu 10 (1,0 điểm) Cho số thực x, y thỏa mãn x 2 y 2 xy 32 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A x3 y xy 1 x y -Hết Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: .; Số báo danh Câu ĐÁP ÁN TOÁN 12, lần 1, 2015-2016 Nội dung Tập xác đinh: D Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y ' x x ; y ' x 0; x 2 Các khoảng đồng biến ; 2 0; ; khoảng nghịch biến 2; - Cực trị: Hàm số đạt cực đại x 2, yCD ; đạt cực tiểu Điểm 0,25 x 0, yCT 4 - Giới hạn vô cực: lim y ; lim y x x 0,25 Bảng biến thiên 2 x y' y 4 0,25 Đồ thị f x = x3+3x2-4 -15 -10 -5 10 15 -2 -4 -6 -8 0,25 Ta có f x x x ; f x xác định liên tục đoạn ; 0 ; f ' x 4x x 0,25 Với x ; 2 , f ' x x 0; x 1 Ta có f , f 4, f 0, f 2 16 0,25 0,25 Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f x đoạn ; sin x cos x 2sin x cos x sin x cos x sin x sin x a) cos x sin x 0,25 0,25 x k sin x x k 2 2sin x sin x sin x 5 x k 2 b) Điều kiện x 0, x 0,25 Với điều kiện đó, pt cho tương đương với : x x 1 16 x x 1 x2 x x 1 4 x 1 Pt hoành độ giao điểm x m x x m x 1 (vì x không x 1 nghiệm pt) x m x m (1) 2 log x x 1 0,25 0,25 Pt (1) có nghiệm phân biệt x1 , x2 m m x x m Khi A x1 ; x1 m , B x2 ; x2 m Theo hệ thức Viet ta có x1 x2 m 2 0,50 AB AB 18 x1 x2 18 x1 x2 2 x1 x2 x1 x2 m m 1 m 1 a) P 4 0,50 4 sin a cos a sin a cos a sin a cos a 2 2 2 sin a cos a sin a cos a sin a cos a sin a cos a 0,25 cot a 17 4 cot a 15 b) Số phần tử không gian mẫu n C503 19600 Chia tử mẫu cho sin a , ta P 0,25 0,25 Số kết thuận lợi cho biến cố “trong người lấy ra, người thuộc loại” C301 C151 C51 2250 Xác suất cần tính p 2250 45 19600 392 0,25 S K H A B I C Trong mặt phẳng SAC , kẻ HI song song với SA HI ABC Ta có CA AB cos 30 a Do 1 a2 AB AC.sin 30 2a.a 3.sin 30 2 HI HC HC.SC AC AC 3a Ta có HI a 2 2 2 SA SC SC SC SA AC 4a 3a 7 a 1 a Vậy VH ABC S ABC HI a 3 7 (Cách khác: VH ABC VB AHC S AHC BC ) Gọi K hình chiếu vuông góc A lên SB Ta có AH SC , AH CB (do CB SAC ), suy AH SBC AH SB 0,25 S ABC 0,25 Lại có: SB AK , suy SB AHK Vậy góc giữa hai mặt phẳng SAB , SBC HKA 1 1 a.2 2 2 AH ; 2 AH SA AC 4a 3a 12 a 1 1 1 2 AK a 2 AK SA AB a 4a 2a Tam giác HKA vuông H (vì AH SBC , SBC HK ) a.2 cos HKA AH sin HKA AK a OA : x y 0,50 OA BC BC : x y m m Tọa độ điểm B nghiệm hệ x y 1 x 1 m B 1 m; m 2 x y m y m Tọa độ điểm C nghiệm hệ 3 x y x m C m 2; 3m 2 x y m y 3m SOABC OA BC d O, BC m 1 2 1 22 2m 4m 6 22 12 0,50 2m 1 m 12 Giải pt cách chia trường hợp để phá dấu giá trị tuyệt đối ta m 7; m Vậy B 7; 1 , C 1 7;1 B 2;1 , C 1; 5 0,50 Gọi vec tơ pháp tuyến AB, AC , BC n1 1; , n2 2;1 , n3 a; b Pt BC có dạng a x 1 b y , với a b Tam giác ABC cân A nên cos B cos C cos n1 , n3 cos n2 , n3 a 2b a b2 2a b a b2 a b a b 0,50 Với a b Chọn b 1 a BC : x y B 0;1 , C ; , 3 không thỏa mãn M thuộc đoạn BC Với a b Chọn a b BC : x y B 4; 1 , C 4; , thỏa mãn M thuộc đoạn BC Gọi trung diểm BC I I 0;3 Ta có DB.DC DI IB DI IC DI BC BC 4 Dấu xảy D I Vậy D 0;3 Điều kiện x 3 Bất pt cho tương đương với x x2 x3 x 2 x2 x 3 0,25 x2 x x3 x x2 x2 x 2 x3 x 3 1 x x x x 3 x x2 x3 x2 0,50 x 3 x2 x x 1 1 2 x x2 x x x x x 1 x (Với x 3 biểu thức ngoặc vuông dương) Vậy tập nghiệm bất pt S 1;1 10 0,25 2 Ta có x 4 y xy 32 x y x y x y A x y x y xy x y x y x y Xét hàm số: f t t t 3t đoạn 0;8 1 1 Ta có f ' t 3t 3t 3, f ' t t t (loại) 2 17 5 17 5 Ta có f 6, f , f 398 Suy A 4 Khi x y 17 5 0,50 0,25 0,25 0,25 1 dấu xảy Vậy giá trị nhỏ A 0,25 ... x 0, yCT 4 - Giới hạn vô cực: lim y ; lim y x x 0,25 Bảng biến thiên 2 x y' y 4 0,25 Đồ thị f x = x3+3x2 -4 -15 -10 -5 10 15 -2 -4 -6 -8 0,25... 1 m 1 a) P 4 0,50 4 sin a cos a sin a cos a sin a cos a 2 2 2 sin a cos a sin a cos a sin a cos a sin a cos a 0,25 cot a 17 4 cot a 15 b) Số phần... x y B 4; 1 , C 4; , thỏa mãn M thuộc đoạn BC Gọi trung diểm BC I I 0;3 Ta có DB.DC DI IB DI IC DI BC BC 4 Dấu xảy D I